数学说题—2018全国卷II理科数学第20题
2018高考全国卷2理科数学真题(含答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合｛（x，y）｜x ²²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）²²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·1,则a·（2）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²²²²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为±x ±x ±±6.在中，，1，5，则A.4B.C. D.27.为计算1…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入1 2 3 48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.B.C.D.9.在长方体1B 1C 1D 1中，1，1=则异面直线1与1所成角的余弦值为A. B.10.若f （x ）在［，a ］是减函数，则a 的最大值是 A. B. C.D. π11.已知f （x ）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f （1）（1）。
若f （1）=2，则f （1）+ f （2）+ f （3）+…（50）=50 B.0 C.2 D.50 12.已知F 1，F 2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2120°，则C的离心率为A..B.C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷2,含答案)
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少做、不做难题，努力避免“心理饱和”现象的加剧。
保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷2）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y x = D ．3y x = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．2B 30C 29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学说题—2018全国卷II理科数学第20题
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ;
2 ，
( 2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，
求二面角M PA B的大小
说题流程
变式拓展3
变式拓展
2
说题流程
方法三 方法四
解题过程
证明：连接中点 PO AC ，PO 2 3 在ABC 中，AB AC 2 2, AC 4 AB BC AC ABC 90
2 2 2
证明：连接OB, 在PBC 中 PA PC 4且O为AC 中点 PO AC ，PO 2 3 PO PO OB OA PAC POB PA PB POB POA 90
求PC 与平面PAM 所成角的正弦值
仔细审题，明确已知 与所求
线线垂直→线面垂直 线 面 垂 直 等 腰 三 角 形 底 边 中 线 勾 股 定 理 的 逆 定 理 向 量 方 法
调用相关知识
PAC , PBC , PAB , ABC OAB , OBC
等 腰 三 角 形
数 量 关 系
证明：在PAC 中，PA PC , O为AC 中点 PO AC
在PAB 中, PA PB 4, AB 2 2 16 16 8 3 3 cos APB ,同理 cos BPC 2 4 4 4 4 1 PO ( PA PC ), AB ( PB PA) 2 1 PO AB ( PA PB PB PC PA PA PC ) 2 1 (12 12 16 8) 0, PO AB 又 AB AC A 2 AB , AC 平面ABC , PO 平面ABC
2018年全国II卷理科数学(含答案)
19。(1） y x 1 （2） (x 3)2 ( y 2)2 4 或 (x 11)2 ( y 6)2 144
20。（1)略 (2) 2 21
21
21.（1）略 （2） e2
4
22.（1） C : x2 y2 1 4 16
l : y tan x 2 tan
23。（1) [2, 3] (2) (, 6] U[2, )
55
C． 3 4 i
55
D． 3 4 i
55
2．已知集合 A x ，y x2 y2≤3，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为（ ）
A．9
B．8
3．函数
f
x
ex
ex x2
的图象大致是（
C．5 )
D．4
rr
r
rr
r rr
4．已知向量 a,b 满足，| a | 1， a b 1，则 a (2a b) （ ）
16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 所成角的余弦值为 7 , SA 与圆锥底面所成角为 45 ．若
8
△SAB 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为_________． 三、解答题（共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题。
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
A． 1
5
B． 5
6
C． 5
5
D． 2
2
10．若 f x cos x sin x 在 a ，a 是减函数,则 a 的最大值是（ ）
A．
4
B．
2
C． 3
4
D．
11．已知 f x 是定义域为 ， 的奇函数,满足 f 1 x f 1 x ．若 f 1 2 ，则
数学说题—2018全国卷II理科数学第20题教学教材
1
2
PO • AB ( PA • PB PB • PC PA PA • PC )
2
1 (12 12 16 8 ) 0 , PO AB 又 AB AC A 2
AB , AC 平面 ABC , PO 平面 ABC
说题流程
方法三
证明：连接 OB , 在 PBC 中 PA PC 4 且 O 为 AC 中点 PO AC ， PO 2 3 在 ABC 中， AB AC 2 2 , AC 4 AB 2 BC 2 AC 2 ABC 90 BO 2 在 POB 中， PO 2 OB 2 PB 2 PO OB , 又 OB AC O , OB , AC 平面 ABC , PO 平面 ABC
数学说题—2018全国卷II理科数学第20题
说题流程
原题再现
（全国高考数学二卷科理 20题） 如图，在三棱P锥 ABC中，AB BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为AC中点. (1) : 证明PO 平面ABC; (2)若点M在棱BC上，且二面M角 PAC为30， 求PC与平面PAM所成角的正弦值
方 以 O 为坐标原点，分别以
OB ，OC ,OP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，
法 一
建立空间直角坐标系
o xyz .
向 由已知得 O ( 0 , 0 , 0 ), B ( 2 , 0 , 0 ) A ( 0 , 2 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), P ( 0 , 0 , 2 3 ),
解题过程
说题流程
解题思路
如图，在三 P 棱 A 锥 BC 中， ABBC2 2， PAPBPCAC4， O为 AC 中点 . (1):证明 PO平面 ABC ; (2)若点 M在棱 BC 上，且二面 M 角 PAC为 30 ， 求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值
2018年高考全国卷2理科数学试题与答案
2018年高考全国卷2理科数学试题与答案2018年高考全国卷2理科数学试题与答案本试卷共分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
选择题：1.已知$\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{43}{55}$，则其值为（A）$-\frac{1}{2}+\frac{43}{55}i$；（B）$-\frac{1}{2}-\frac{43}{55}i$；（C）$-\frac{34}{55}+\frac{34}{55}i$；（D）$-\frac{34}{55}-\frac{34}{55}i$。
2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq3,x\in Z,y\in Z\}$，则$A$ 中元素的个数为（A）9；（B）8；（C）5；（D）4.3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为（无选项）。
4.已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-1$，则 $\vec{a}\cdot(2\vec{a}-\vec{b})=$（A）4；（B）3；（C）2；（D）$\frac{x^2}{y^2}$。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为3，则其渐近线方程为（A）$y=\pm2x$；（B）$y=\pm3x$；（C）$y=\pm\frac{3}{2}x$；（D）$y=\pm\frac{2}{3}x$。
6.在 $\triangle ABC$ 中，$\cos C=\frac{4}{5}$，$\cosB=\frac{3}{5}$，则 $\frac{a}{b+c}=$（A）$\frac{4}{9}$；（B）$\frac{5}{9}$；（C）$\frac{6}{11}$；（D）$\frac{7}{11}$。
2018年全国高考理科数学试题及答案-全国卷Ⅱ(精编版)
π B．
2
3π C．
4
D． π
11 ． 已 知 f (x) 是 定 义 域 为 (, ) 的 奇 函 数 ， 满 足 f (1 x) f (1 x) ． 若 f (1) 2 ， 则
f (1) f (2) f (3) … f (50)
A． 50
B．0
C．2
D．50
12．已知
F1 ，
F2
B
M
已知函数 f (x) ex ax2 ．
（1）若 a 1 ，证明：当 x 0 时， f (x) 1 ；
（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
D． y
3 x
2
D． 2 5
1
7．为计算 S 1 1 1 1 … 1 1 ，设计了右侧的程序框图，
234
99 100
则在空白框中应填入
A． i i 1
B． i i 2
C． i i 3
D． i i 4
开始 N 0, T 0
i 1 是 i 100 否
N N 1 i
15
1 D．
18
9．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为
1 A．
5
B． 5 6
C． 5 5
10．若 f (x) cos x sin x 在[a, a] 是减函数，则 a 的最大值是
D．2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
x 2y 5 0， 14．若 x, y 满足约束条件 x 2 y 3 0 ，则 z x y 的最大值为__________．
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求PC与平面PAM 所成角的正弦值
说题流程
命题立意
知识点
空间垂直关系的证明 二面角及线面角的计算及应用问题
能通过观察、实验、思辨论证理解垂直关系的基本性质
及判定方法，准确地是用数学语言表述几何对象的位置关系
地位作用
并能解决简单的推理论证及应用问题 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量方法解决线线、线面、面面位置关系 的判定与夹角的计算问题
说题流程
题目价值
通过对空间中垂直关系的判定及空间中二面角 与线面角的求解与应用问题，考查学生的观察、 分析、空间想象及推理论证能力，体现了转化 与化归思想方法和运算素养
年份
试卷 1卷
题号 18 19 19 18
知识点 面面垂直的判定及求二面角 线面垂直的判定及求二面角 线面平行的判定及求线面角 面面垂直的判定及求二面角
C PAM P MAC
1 48 1 h PO S 3 9 3 h 3 h 3 sin PC 4
MAC
说题流程
变式拓展1
变式拓展
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; ( 2)若点M在棱BC上，PC与平面PAM 所成角的正弦值 求二面角M PA C的大小
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ;
2 ，
( 2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，
求C到平面PAM 的距离
说题流程
方法规律
核心思想 — 转化
线线角 空间问题 平面问题，线面角、二面角 向量角 线面垂直 线线垂直等腰三角形的中线 勾股定理 三垂线定理 二面角 等体积法 求三棱锥的高
方法五
证明：在PAC中，PA PC, O为AC中点 PO AC 取AB中点Q, 连接PQ, OQ 在PAB中, PA PB 4, AB 2 2 PQ 14, 又 OQ 2 , PO 2 3 PO2 OQ2 PQ2 PO OQ OQ AC O, OQ, AC 平面ABC PO 平面ABC
能力素养
考查观察、分析、推理论证能力，空间想象能力 体现方程与转化与化归思想方法以及运算素养
说题流程
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; 2 ，
解题思路
( 2)若点M在棱BC 上，且二面角M PA C为30 ，
BO 2 在POB中，PO OB PB
2 2
2
PO OB, 又 OB AC O, OB, AC 平面ABC , PO 平面ABC
PO OB, 又 OB AC O, OB, AC 平面ABC , PO 平面ABC
说题流程
求PC 与平面PAM 所成角的正弦值
仔细审题，明确已知 与所求
线线垂直→线面垂直 线 面 垂 直 等 腰 三 角 形 底 边 中 线 勾 股 定 理 的 逆 定 理 向 量 方 法
调用相关知识
PAC , PBC , PAB , ABC OAB , OBC
等 腰 三 角 形
数 量 关 系
2
说题流程
方法三 方法四
解题过程
证明：连接OB, 在PBC 中 PA PC 4且O为AC 中点 PO AC ，PO 2 3 在ABC 中，AB AC 2 2, AC 4 AB BC AC ABC 90
2 2 2
证明：连接OB, 在PBC 中 PA PC 4且O为AC 中点 PO AC ，PO 2 3 PO PO OB OA PAC POB PA PB POB POA 90
解题过程
说题流程
PA PB PC AC 4 ，O为AC 中点 . (1) : 证明PO 平面ABC ; 中，AB BC 2
( 2)若点M在棱BC 上，且二面角M PA C为30 ，
求PC 与平面PAM 所成角的正弦值
方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 建系，写坐标 方法二：几何法 找到二面角 确定M的位置 求线面角正弦 计算二面角 确定M的位置 求线面角正弦
2 2 2
PO OM PM PO OM
2 2 2
PA, PB , PC长度已知夹角可求 向量法 PO AB
方法四
POA POB PO OB
说题流程
方法一 方法二
解题过程
证明：在PAC中，PA PC, O为AC中点 PO AC 取AB中点Q, 连接PQ, OQ 在PAB中, PA PB，Q为AB中点 PQ AB, 又 AB BC 2 2 AC 4 ABC为等腰直角三角形 OB OA AB OM OQ PQ Q, AB 平面POQ AB PO, AB, AC 平面ABC 且AB AC A PO 平面ABC
教 学 启 示
立体几何是高考命题的重要内容，也是考查学生空间概念、逻辑思维、空
间想象及推理运算的有效载体，从近几年的高考试题来看，其解答题命题 总趋势保持一定的稳定性，此类题目以特殊的几何体为依托，重点考查空 间中平行、垂直关系的判定以及空间角、距离、体积的度量问题 转化与化归是立体几何的核心思想，贯穿于立体几何学习的始终，在 教学中应注重学生转化意识的形成与培养，帮助学生建立知识框架与 网络，熟练掌握空间角、距离的求法及转化；熟练掌握空间向量的选 取及空间直角坐标系的合理建立；熟练掌握利用向量法证明平行与垂 直关系、求空间角与距离
变式拓展2
如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ;
2 ，
( 2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，
求二面角M PA B的大小
说题流程
变式拓展3
变式拓展
——
说题流程
方 法 二 几 何 法
解题过程
设MC x, 过M作ME AC , 垂足为E 由题意知ME PO , 且AC PO O ME 平面PAC 在平面PAC 中过E作EF PA，垂足为F， 又ME DA，EF ME E PA 面MEF MEF 即为二面角M PA C的平面角 2 2 由MC x，则ME x， AE 4 x 2 2 6 EF AE sin 60 2 3 x EFM 30 4 ME 3 4 tan 30 即 6x 2 3 x 2 EF 4 3 2 128 2 PAM 中PA 4, PM 16 2 , AM 8 9 9 3
2 2
——
80 2 9
2
说题流程
解题过程
28 80 64 16 1 9 10 9 9 cos PAM 128 80 32 10 2 10 2 2 9 9 9 3 sin PMA 10 10 1 1 128 80 7 48 S PAM MA MP sin PMA 10 2 2 9 9 10 9 由V V 得
证明：在PAC 中，PA PC , O为AC 中点 PO AC
在PAB 中, PA PB 4, AB 2 2 16 16 8 3 3 cos APB ,同理 cos BPC 2 4 4 4 4 1 PO ( PA PC ), AB ( PB PA) 2 1 PO AB ( PA PB PB PC PA PA PC ) 2 1 (12 12 16 8) 0, PO AB 又 AB AC A 2 AB , AC 平面ABC , PO 平面ABC
说题流程
解题思路
在PAC 中，易证PO AC 还需要证明PO垂直平面PAB 内另一条直线
方法一 方法三
在PAB 中 PM AB , 要证PO AB
PO, OB, OM , PM数量可求， 考虑勾股定理逆定理
只需证AB 平面POM
即证AB OM 等腰三角形
方法二
PO OB PB PO OB
全国数学二卷
E X T E R N A L A S S E S S M E N T
说题流程
01
02
03
04
05
06
07
原 题 再 现
命 题 立 意
解 题 思 路
解 答 过 程
方 法 规 律
变 式 拓 展
题 目 价 值
说题流程
原题再现
（全国高考数学二卷理科20题） 如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2， PA PB PC AC 4，O为AC 中点. (1) : 证明PO 平面ABC ; (2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30 ，
作ME AC 于E ,
设MC x, EF PA于F ME tan 30 连接MF， EF MFE即为二面角平面角 求得x
等积转化 求C到平面PAM 距离h h sin PC
说题流程
方 法 一 向 量 法
解题过程
以O为坐标原点，分别以OB， OC ,OP为x轴、y轴、z轴正方向， 建立空间直角坐标系o xyz. 由已知得O (0,0,0), B (2,0,0) A(0,2,0), C (0,2,0), P (0,0,2 3), 取平面PAC 的法向量OB ( 2,0,0).设M ( a,2 a,0)(0 a 2) 则 AM ( a,4 a,0).设平面PAM 的法向量为n ( x, y, z ) 由AP n 0, AM n 0得 2 y 2 3z 0 取n ( 3( a 4), 3a, a ) ax ( 4 a ) y 0 3 4 8 3 4 3 4 cos OB, n a , n ( , , ) 2 3 3 3 3