2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

1．1+2i=()5555555542D．y=±3C．y=±2x6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()252018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-2i43A．--i43B．-+i34C．--i34D．-+i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=e x-e-xx2的图像大致为()e2-e-2解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3x2y25．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y=±2x B．y=±3x2x解析：选A e=3c2=3a2b=2aC525A．42B．30C．29D．25C3解析：选A cosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=422 3 4 99 100 12 B ． 1 14 C ． 1 15 D ． 1A ． 1 C 102 155 6 5 24 B ．π2 C ．3πA ．π解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π 4 4 4 ＋ 2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为b 61 1 1 1 17．为计算 S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始N = 0, T = 0i = 1是i < 100否N = N +1iS = N - TT = T +1i + 1输出 S结束A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选 B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是( )18解析：选 C 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个，从中选 2 个其和为 30 的3 1为 7+23，11+19，13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= =9．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=1，AA 1= 3，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为( )1 5 52A ．B ．C ．D ．解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

10．若 f(x)=cosx-sinx 在[-a,a]是减函数，则 a 的最大值是()4 D ．ππ π),依据 f(x)=cosx 与 f(x)= 2cos(x+ )的图象关系知 a 的最大值为 。

11．已知 f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x)．若 f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( ) A ．-50 B ．0 C ．2 D ．50解析：选 C 由 f(1-x)= f(1+x)得 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且 f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2 12．已知 F 1，F 2 是椭圆 C: x 2 a 2 y 2 3 的直线上，ΔP F 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P=1200，则 C 的离心率为( )A ．2 3B ．1 2C ．1 3D ．1 4解析：选 DAP 的方程为 y= 32 8⎩8 2 8 至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t ．6(x+a),∵ΔP F 1F 2 为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c,过 P 作 PH ⊥x 轴，则∠PF 2H=600, ∴|F 2H|=c,|PH|= 3c, ∴P(2c, 3c),代入 AP 方程得 4c=a二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x⎧⎪x+2y-5≥014．若 x,y 满足约束条件⎨x-2y+3≥0,则 z=x+y 的最大值为__________．⎪x-5≤0解析：915．已知 sin α+cos β=1,cos α+sin β=0，则 sin(α+β)=__________．1解析：- 两式平方相加可得716．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若ΔSAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥底面圆半径为 r,依题 SA= 2r, 又 SA ，SB 所成角的正弦值为 15 1 15,则 ×2r 2× =5 15∴r 2=40, S=π×r × 2r=40 2三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。

第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（12 分）记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1=-7，S 3=-15．（1）求{a n }的通项公式；（2）求 S n ，并求 S n 的最小值． 解：（1）设{a n }的公差为 d ，由题意得 3 a 1+3d=-15,由 a 1=-7 得 d=2. 所以{a n }的通项公式为 a n =2n-9. （2）由（1）得 S n =n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时, S n 取得最小值,最小值为 16. 18．（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年^^（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元). y=99+17.5×9=256.5 (亿元). （ⅰ）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t 上下. 年的数据建立的线性模型y=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因 设 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由⎨⎩Δ=16k +16>0，故 x 1+x 2= 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则⎨ (y 0-x 0+1)2(x 0+1)2=⎪⎩ 2⎧⎪x 0=3 ⎧⎪x 0=11（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为^利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为^（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：^这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016^此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．（12 分）设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，|AB|=8． （1）求 l 的方程；（2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y=k(x-1)(k>0).⎧⎪y=k(x-1) ⎪y 2=4x得 k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.2 2k 2+4 k 2.2k 2+4 所以|AB|= x 1+x 2+2= k 2+2=8 ，解得 k=-1（舍去），k=1.因此 l 的方程为 y=x-1.（2）由（1）得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3)，即 y=-x+5.⎧⎪y 0=-x 0+5+16解得⎨⎪⎩y 0=2或⎨⎪⎩y 0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 20．（12 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点．2由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP=(0,0,23)所以cos<OB,n>=.由已知得|cos<OB,n>|=2解得a=-4（舍去），a=.所以n=(-8343,,-).又→PC=(0,2,-23)，所以cos<PC,n>=→4（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．PAOC BM解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2 3.连结OB.因为AB=BC=22AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，1且OB⊥AC，OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.→取平面PAC的法向量→OB=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a≤2)，则→AM=(a,4-a,0).⎧2y+23z=0设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).则⎨⎩ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4),3a,-a)，→23(a-4)23(a-4)2+3a2+a2→3.∴23|(a-4)|23(a-4)2+3a2+a2==3423433334.所以PC与平面PAN所成角的正弦值为3 .21．（12分）已知函数f(x)=e x-ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0．设函数g(x)(x2+1)e-x-1，则g′(x)=-(x-1)2e-x．当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．故 h(2)=1- 4a 4 4 4(e 2a )2 a 4 ⎩ ⎩ 4 16而 g(0)=0，故当 x ≥0 时，g(x)≤0，即 f(x)≥1． （2）设函数 h(x)=1-ax 2e -x ．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0,+∞)只有一个零点． （i ）当 a ≤时，h(x)>0，h(x)没有零点； （ii ）当 a>0 时，h ′(x)=ax(x-2) e -x ．当 x ∈(0,2)时，h ′(x)<0；当 x ∈(2,+∞)时，h ′(x)>0． 所以 h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增． e 2 是 h(x)在[0,+∞)的最小值．e 2①若 h(2)>0，即 a< ，h(x)在(0,+∞)没有零点；e 2②若 h(2)=0，即 a= ，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；e 2③若 h(2)<0，即 a> ，由于 h(0)=1，所以 h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当 x>0 时，e x =x 2，所以 h(4a)=1- 16a 3 >1- 16a 3 (2a)4 1=1- >0故 h(x)在(2,4a)有一个零点，因此 h(x)在(0,+∞)有两个零点．e 2综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a= ．（二）选考题：共 10 分。