2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

1．

1+2i

=()

55555555

4

2

D．y=±

3

C．y=±

2

x

6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=()

25

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-2i

43

A．--i

43

B．-+i

34

C．--i

34

D．-+i

解析：选D

2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为()

A．9B．8C．5D．4

解析：选A问题为确定圆面内整点个数

3．函数f(x)=

e x-e-x

x2

的图像大致为()

e2-e-2

解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=>1,故选B

4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()

A．4B．3C．2D．0

解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3

x2y2

5．双曲线

a2

－

b2

＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()

A．y=±2x B．y=±3x

2

x

解析：选A e=3c2=3a2b=2a

C5

25

A．42B．30C．29D．25

C3

解析：选A cosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=42

2 3 4 99 100 12 B ． 1 14 C ． 1 15 D ． 1

A ． 1 C 102 15

5 6 5 2

4 B ．π

2 C ．

3π

A ．

π

解析：选 A f(x)= 2cos(x+ π 4 4 4 ＋ 2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为

b 6

1 1 1 1 1

7．为计算 S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入(

)

开始

N = 0, T = 0

i = 1

是

i < 100

否

N = N +

1

i

S = N - T

T = T +

1

i + 1

输出 S

结束

A ．i=i+1

B ．i=i+2

C ．i=i+3

D ．i=i+4 解析：选 B

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的 概率是( )

18

解析：选 C 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个，从中选 2 个其和为 30 的

3 1

为 7+23，11+19，13+17，共 3 种情形，所求概率为 P= =

9．在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=BC=1，AA 1= 3，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为( )

1 5 5

2

A ．

B ．

C ．

D ．

解析：选 C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

10．若 f(x)=cosx-sinx 在[-a,a]是减函数，则 a 的最大值是(

)

4 D ．π

π π

),依据 f(x)=cosx 与 f(x)= 2cos(x+ )的图象关系知 a 的最大值为 。

11．已知 f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足 f(1-x)= f(1+x)．若 f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(50)= ( ) A ．-50 B ．0 C ．2 D ．50

解析：选 C 由 f(1-x)= f(1+x)得 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且 f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2 12．已知 F 1，F 2 是椭圆 C: x 2 a 2 y 2 3 的直

线上，ΔP F 1F 2 为等腰三角形，∠F 1F 2P=1200，则 C 的离心率为( )

A ．

2 3

B ．

1 2

C ．

1 3

D ．

1 4

解析：选 D

AP 的方程为 y= 3

2 8

⎩

8 2 8 至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t ．

6

(x+a),∵ΔP F 1F 2 为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c,

过 P 作 PH ⊥x 轴，则∠PF 2H=600, ∴|F 2H|=c,|PH|= 3c, ∴P(2c, 3c),代入 AP 方程得 4c=a

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x

⎧⎪x+2y-5≥0

14．若 x,y 满足约束条件⎨x-2y+3≥0

,则 z=x+y 的最大值为__________．

⎪x-5≤0

解析：9

15．已知 sin α+cos β=1,cos α+sin β=0，则 sin(α+β)=__________．

1

解析：- 两式平方相加可得

7

16．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若ΔSAB 的面积

为 5 15，则该圆锥的侧面积为__________．

解析：设圆锥底面圆半径为 r,依题 SA= 2r, 又 SA ，SB 所成角的正弦值为 15 1 15

,则 ×2r 2× =5 15

∴r 2=40, S=π×r × 2r=40 2

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）

记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 a 1=-7，S 3=-15．

（1）求{a n }的通项公式；

（2）求 S n ，并求 S n 的最小值． 解：（1）设{a n }的公差为 d ，由题意得 3 a 1+3d=-15,由 a 1=-7 得 d=2. 所以{a n }的通项公式为 a n =2n-9. （2）由（1）得 S n =n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当 n=4 时, S n 取得最小值,最小值为 16. 18．（12 分）

下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年

^

^

（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；