线性规划问题计算机解法

合集下载

7.2线性规划问题的计算机求解

7.2线性规划问题的计算机求解
另一个为: x11 6, x13 3, x23 3, x24 1, x32 5, x34 2 , 其余都为 0.
19
7.2.3 整数规划 在某些实际问题中,有时还会遇到要求解必须为
整数的情况,例如,所求的解为安排上班的人数、 生产机械的台数等,这就是整数规划问题.
在整数规划中,如果所有的变量都为非负整数, 则称之为纯整数规划问题,如果只有一部分变量 为非负整数,则称之为混合整数规划问题.
35
• 作业P164习题7.2
• 1、 2、 3.
2/16/2014
27
例2
求解下面的混合整数规划问题:
max z 2 x1 x2 3x3
x1 x2 2 x3 4 3 x 4 x 2 2 3 x1 2 x2 3 x3 3 约束条件: x2 1 x1 , x2 , x3 0 x1 , x2为整数
注意:以上有关计算机输出的目标函数系数及约束 条件右边常数项的分析称为灵敏度分析.
2/16/2014
以上的分析都是在其他系数值及约束条件右 边常数项不变,只有一个系数及约束条件右 边常数项变化的基础上得出的,而当有两个 或多个系数变化时,灵敏度分析比较复杂, 请查阅相关资料,这里不详述.
2/16/2014
2/16/2014
第一步
开始
程序
管理运筹学2.0
30
第二步
整数规划
31
第三步
混合整数规划
32
第四步
新建
输入3个变量,3个约束条 件
确定
MAX
输 入 数 据
33
第五步
解决
34
第六步
分析运行结果

线性规划的应用及计算机求解

线性规划的应用及计算机求解

金融投资
在金融投资领域,如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案,考虑风险和收益的平衡,以实现投资效益的最大化。
例如,一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产,以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中,如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题,考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制,通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中,单纯形法是最常用的一种,它 通过迭代的方法逐步逼近最优解,直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节,线性规划可以用于制定最优的生产计划,以最小化生产成本 或最大化利润为目标,考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素,通过调整生产资源的配置,实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险,约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值,通过合理配置投资组合,降低投资 风险,提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题,常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用,通过合理分配有限 资源,实现资源利用的最大化,提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益,约束条件包括 资源限制、需求约束等。

运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解

运筹学  第3章   线性规划问题的计算机求解
• 百分之一百法则
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100,故 1的允许增加量为

上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50,故 2的允许减少量为

现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量,使得该决策变量有可能 取正数值,当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中,所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时,其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加(减少)百分比的定义同 i
的允许增加(减少)百分比一样,为bj的增加量 (减少量)除以bj的允许增加量(减少量)所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时,要 注意以下三点:
• (1)当允许增加量(减少量)为无穷大时,则 对于任一个增加量(减少量),其允许增加(减 少)百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中,所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时,与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设:当一个系数发生 变化时,其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时,怎么来 进行灵敏度分析?

第四章 线性规划问题的计算机求解

第四章  线性规划问题的计算机求解

第四章线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题:max Z=2x l+3 x2S.T. x l+ x2≤102x l+ x2≥4x l+3 x2≤242x l+ x2≤16x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么?此时最大目标函数值是多少?3、四个约束条件中,哪些约束条件起到了作用?各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少?4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时,最优解不变?5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。

解:1、2、最优解:(3,7),最优值:273、第一、第三个约束条件起到了约束作用。

松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 04、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题:min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么?此时最大目标函数值是多少?3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少?分别解释其含义。

4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时,最优解不变?5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。

解:本问题无解。

4.3 有以下线性规划数学问题:max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么?此时最大目标函数值是多少?3、分别解释“递减成本”栏中各数据的含义。

第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf

第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf

第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题,设x1为产品Ⅰ每天的产量,x2为产品Ⅱ每天的产量,可以建立下面的线性规划模型:max z=500x1+400x2;约束条件:2x1≤300,3x2≤540,2x1+2x2≤440,1.2x1+1.5x2≤300,x1,x2≥0.使用“管理运筹学”软件,得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题:(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明.(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产,你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1,即每单位产品Ⅰ的利润值,在什么范围内变化时,最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2,即每单位产品Ⅱ的利润值,从400元提高为490元时,最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限.(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时,总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时,从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元,而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时,其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断.(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350,而第3车间的加工工时数从440降到380时,用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化,请求出其最大利润.2. 见第二章第8题(2),仍设xA为购买基金A的数量,xB为购买基金B的数量,建立的线性规划模型如下:max z=5xA+4xB;约束条件:50xA+100xB≤1 200 000,100xB≥300 000,xA,xB≥0.使用“管理运筹学”软件,求得计算机解如图2所示.图2根据图2,回答下列问题:(1) 在这个最优解中,购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释.(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明,并阐述如何使用这些信息.(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明,并阐述如何使用这些信息.(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元,而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时,其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题:min z=16x1+16x2+17x3;约束条件:x1+x3≤30, -x2+6x3≥15,05x13x1+4x2-x3≥20,x1,x2,x3≥0.其计算机求解结果如图3所示.图3根据图3,回答下列问题:(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ,它的含义是什么? ,它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15,而x2的系数从16升为18时,最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15,而第二个约束条件的常数项从15增加到80时,你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。

线性规划问题的解

线性规划问题的解

第二步:最优性检验。
第三步:从一个基本可行解转换到相邻的目标函
数值更大的基本可行解,列出新的单纯形表。
第四步:重复第二、三两步,一直到计算结束为止。
§1-6 .初始可行基的求法
一、 大M法
在上一节例 1-9 中,化为标准形式后约束 条件的系数矩阵中含有单位矩阵,以此作 初始基,使求初始基可行解和建立初始单 纯形表都十分方便。但时常化为标准形后 的约束条件的系数矩阵中不存在单位矩 例1-10 用单纯形法求解线性规划问题
s.t.
AX b X 0
B ( p1 , p2 ,, pm ) 中,不妨设 是一个可行基,则系数矩阵A可分块为 ( B , N ) 。 对 应 于 B 的 基 变 量 为,X B ( x1 , x2 ,, xm ) T ,非基变量 为 X N ( xm1 , xm 2 ,, xn ) T ,N T T = ( pm1 , pm2 ,, pn ) 。并令C T (C B , CN ) ,其 中 B 为基变量 X B的系数列向量, N 为 非基变量的系数列向量。于是原问题可化 为 XB T T T Max Z C X (CB , CN ) X N
0 x (4i aij 0 ,
0,这表明可能找到另一顶点(基可行解)目标函数值也达到最大
因而 的取值可无限增大不受限制, z 也可无限增大,表明线性 规划问题有无界解。
(1)
二、单纯形法的矩阵描述 在线性规划问题的标准型: T z C X Max
p6 , p7是人为添加上去的,它相当于在上述问题的约
1 0 0 0 1 0 0 0 1
p 4 p6 p7
“ -M” 称为“罚因子”,即只要人工变量取值大于零, 目标函数就不可能实现最优。因而添加人工变量后,例110的数学模型的标准形式就变为 max z 3x1 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7

线性规划原理与解法

线性规划原理与解法

c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2

i 1

对增广矩阵 作初等行变换 将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节 线性规划求解原理
5)若约束条件为“≥”,“≤”和“=”的混合性, 则综合应用以上方法,确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例: x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

线性规划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好。

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。

解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法,而图解法简单方便,但只适用于二维的线性规划问题,单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题,缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法,为了针对不同的线性规划问题,计算量大,复杂繁琐。

在这个计算机高速发展的阶段,利用Excel建立电子表格模型,并利用它提供的“规划求解”工具,能轻松快捷地求解线性模型的解。

无论利用哪种方法进行求解线性规划问题,首先都需要对线性规划问题建立数学模型,确定目标函数和相应的约束条件,进而进行求解。

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤;1、根据所求目标的影响因素找到决策变量;2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数;3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。

例题:某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时,所需原材料A分别为4单位、0单位,所需原材料B分别为0单位、4单位,工厂中设备运转最多台时为8台时,原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。

每生产出I、II产品所获得的利润为2和3,问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大?问题的决策变量有两个:产品I的生产数量和产品II的生产数量;目标是总利润最大;需满足的条件是:(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。

线性规划问题计算机解法

线性规划问题计算机解法

线性规划问题计算机解法本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法.1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题以EXCEL2007为例,首先加载EXCEL规划求解加载项,具体操作步骤为:Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项,此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组.下面仍然以例1.5为例,说明其求解过程:1设计电子表格将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档.其中,A列为说明性文字,A3为决策变量的初始值,可以任意给定,本例均设为0;在D4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择,SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数,,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和,因此表示表示目标函数值,由于12值设为0,因而显示0;同理在D5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”,以此类推,其显示值均为0.2设置规划求解参数点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框:在设计目标目标单元格中键入$D$4,或者直接点击单元格D4,并选择“最大值”选项,如下图所示点击对话框中“添加”,弹出如下对话框在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”(或点击单元格D5),选择“<=”(点击出现下拉菜单,可以选择其他约束形式),在约束值栏中键入“$F$5”(或点击单元格F5),确定后弹出下面对话框:类似于上一步操作,添加所有的约束条件后如下图所示:3 应用规划求解工具:点击“求解”弹出如下对话框,选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”确定后则形成一张新的工作表:如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响,可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”.1.6.1应用LINGO求解线性规划问题从上面的介绍中看出,用EXCEL求解线性规划问题时操作简单,而其在输入数据方面有其方便之处.但如果决策变量和约束条件很多的话,其运行速度就不及专业的优化软件了.本节介绍一种专业的优化软件--LINGO的使用方法.LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写,是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本,最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个,最大变量个数可以达到100,000个,最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个,最大整数变量个数可以达到100,000个。

运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解

运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解

变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100,故C1
允许增加量为: 上限-现在值=100-50=50;
而X2的下限为50,故C2的允许减少量为: 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为:Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92%不超过100%,所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元,每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时,此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件, Ⅱ产品生产250件(即x1= 50, x2=250),此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700+19500=23200(元)。
为50元,即增加了一个台时数就可使总利润增加50元;
原料A还有50千克没有使用,原料A的对偶价格当然为零,
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加;原料B全部使
用完,原料B的对偶价格为50元,即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中,所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50,x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数(其它决策 变量的系数固定在当前值)在此范围内变化时,其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时,因为0≤80≤100,在x1的系数变化范 围内,所以其最优解不变(此时要固定c2=100),也即当x1=50, x2=250时,有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了,其最大利润也增加了(最优值变了),

第二章 线性规划问题与计算机求解(MEM运筹学)

第二章 线性规划问题与计算机求解(MEM运筹学)

例2. 某饲料公司希望用玉米、红薯两种原料来配置一种混合饲料,已知 两种原料含三种营养成分和混合饲料对营养成分的要求如下表:
营养成分 碳水化合物 蛋白质 维他命 采购成本(元/KG) 每公斤玉米 8 3 1 2 每公斤红薯 4 6 5 1.8 饲料对营养要求 20 18 16
问题:公司应任何采购两种原材料,使即满足营养要求,又使成本最少?
下面通过例1详细讲 解其方法:
x1 = 50,
得到最优解:
x2 = 250
最优目标值 z = 27500
§2图解法 画出可行域 满足约束的区域
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐 标系里,图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值,例1的每
个约束条件都代表一个半平面。
价格为2万元,每吨B原料的价格为3万元,试问在满足生产需 要的前提下,在公司加工能力的范围内,如何购买A,B两种 原料,使2x1 + 3 x2 约束条件: s.t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图:得Q点坐标(250,100)为最优解。
非标准形式的线性规划非标准形式的线性规划
1.极小化目标函数的问题:
设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z = -f , 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解, 即 Max z =-c1x1-c2x2 - …-cnxn 但必须注意,尽管以上两个问题的最优解相同,但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号,即 Min f =-Max z


进 一 步 讨 论

线性规划及其解法

线性规划及其解法

非基变量 σj 为0 是 无穷多最优解
否 存在aik>0 无界解

找出主元素,迭代
3.5 单纯形法的灵敏度分析 --目标函数中ck的灵敏度分析
当ck变成ck +△ck 原规划最优解不变的条件是: σj ‘≤0 • 在最终的单纯形表中,xk是非基变量时
σk ‘= ck+△ck- zk= △ck +σk ≤0 即: △ck ≤-σk 例

某单纯形表中,存在着一个大于零的检 验数,但该列中所有系数小于或等于零, 说明存在无界解。
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t. 3x1 2 x2 6 x1 , x2 0
无穷多最优解:


对于某个最优的基本可行解,如果存在 某个非基变量的检验数为零,说明有无 穷多最优解。 最优解的线性组合仍是最优解,即 X=αX1+(1-α)X2, 0≤α ≤1 max z 50 x1 50 x2
cj cB x B b x5 2 2 x2 1 x1 4 Z
x1
2
x2
2
x3 x4 x5 x6
1 -1 2a
2 1 -1 1
-1 -2
-a+8
1、把表中缺少的项目填上适当的数或式子 2、要使上表成为最优表,a应满足什么条件 3、何时有唯一最优解 4、何时有无穷多最优解 5、何时以x3替换x1
• 2、2≤a ≤4 • 3、2<a<4 • 4、 2≤a ≤4 a=2或a=4 • 5、1<a<2 • 2/1>4/2a 0<a<2
• 系数矩阵A变化时 非基变量系数变化时,最优解不变 的条件是σk ‘≤0 基变量系数变化时,需重新计算

运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解

运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解

运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 2020年4月4日任课教师:杨小康班级:数学1802 姓名:王超学号:2501180224一、实验名称: 简单线性规划模型的求解与Lingo软件的初步使用二、实验目的:了解Lingo软件的基本功能和简单线性规划模型的求解的输入和输出结果。

熟悉Lingo 软件在运筹学模型求解中的作用,增强自身的动手能力,提高实际应用能力三、实验要求:1、熟悉Lingo软件的用户环境,了解Lingo软件的一般命令2、给出Lingo中的输入,能理解Solution Report中输出的四个部分的结果。

4、能给出最优解和最优值;5、能给出实际问题的数学模型,并利用lingo求出最优解四、报告正文(文挡,数据,模型,程序,图形):1.在Lingo中求解下面的线性规划数学模型;(1)12132412512345 max2543..28,,,,0z x xx xx xs tx x xx x x x x=++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩(2)12121212max2343..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(3)12121212max243..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(4)12121212max324 ..3,0z x xx xs t x xx x=+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩(5)1212121212max102401.530.50,0z x xx xx xs tx xx x=++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩2、某工厂利用三种原料生产五种产品,其有关数据如下表。

原料可利用数(千克)每万件产品所用材料数(千克)A B C D E甲10 1 2 1 0 1 乙24 1 0 1 3 2 丙21 1 2 2 2 2 每万件产品的利润(万元)8 20 10 20 21 (l)建立该问题的运筹学模型。

(2)利用lingo 软件求出最优解,得出最优生产计划解:(1)设xi(i=1,2...,5)为所用材料生产的件数则数学模型,,,,21 2222242 3102;212010208max543215 43215431532154321≥≤++++≤+++≤+++++++ =xxxxxx xxxxt xxxx xxxxsxxxxxz (2)结果为220.3:现有15米长的钢管若干,生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根,问如何截取才能使原材料最省?(建立线性规划模型并利用lingo软件求解)解:方案4米5米7米剩余量截取长度1 3 0 0 32 2 1 0 23 2 0 1 04 1 2 0 15 0 3 0 06 0 1 1 37 0 0 2 14人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。

几类线性规划问题的解法分析

几类线性规划问题的解法分析

线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式,在了解二元一次不等式的几何意义的基础上,画出二元一次不等式组所表示的平面区域,并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化,常见的形式有直线型、分式型、平方型,且解法各不相同.下面结合实例,谈一谈三类线性规划问题的解法.一、直线型目标函数直线型的目标函数一般形如z =ax +by (ab ≠0),这类问题通常要求根据二元一次不等式组,求目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值.求解此类线性规划问题,一般需将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式方程:y =-a b x +z b,根据二元一次不等式组画出可行域后,在可行域内讨论直线的截距zb的最值.通过求直线的截距zb的最值来间接求出z 的最值.例1.设x ,y 满足ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,则z =2x +y 的最大值为.解:画出ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,表示的可行域,如图1中的阴影部分所示,由{x +y -2≤0,y ≥-2,可得{x =4,y =-2,平移直线y =-2x +z ,可知当直线y =-2x +z 经过点()4,-2时,该直线在纵轴上的截距最大,即在()4,-2点处,z 取大值,可得z max =2×4-2=6.由于直线的截距有正有负,所以取最值的情形有所不同.当b >0时,截距zb取最大值,此时z 也取最大值,当截距zb 取最小值时,z 也取最小值;当b <0时,截距z b 取最大值,此时z 取最小值,当截距z b取最小值时,z 取最大值.图1图2例2.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg ,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg ,问怎样混合饲料,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,由题意可得ìíîïïïïx +y ≥35000,y ≥15x ,0≤x ≤50000,y ≥0,则z =0.28x +0.9y ,作出以上不等式组所表示的平面区域,如图2中阴影部分所示,联立x +y =35000和y =15x ,可得x =875003,y =175003,则A (875003,175003),作一组平行直线y =-2890+10z9(即图2中虚线),当直线经过可行域内的点A (875003,175003)时,直线的纵截距最小,此时z 最小.故当x =875003,y =175003时,即将谷物饲料和动物饲料按5:1的比例混合时,成本最低.本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题,需首先仔细读题,根据题意设出变量,建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型,所以需将其转化为直线的截距式,在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点,即可解题.一般地,线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得,我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.二、分式型目标函数分式型目标函数一般形如z =y -bx -a.求解此类线性规划问题,需根据目标函数的几何意义:已知点(a ,b )与可行域内的点(x ,y )连线的斜率.当斜率取最大值时,z 取最大值;当斜率取最小值时,z 取最小值.而直线的斜率k =tan a 受倾斜角a 影响:(1)当倾斜角a 为魏上茗43当直线经过点(1,6)时,直线的斜率取得最大值,最大值为6;当直线经过点直线的斜率最小,此时yx取得最小值,最小的取值范围是éëùû95,6,所以本题选A.本题的可行域在第一象限,所以只需讨论直线的范围内的变化情况,可将直线y=zx在可行域内找出直线的倾斜角最大或即斜率取最值时的点,即可解题.图4图5例5.设实数x,y满足ìíîïïx+y-6≥0,x+2y-14≤0,2x+y-10≤0,则x2+y的最小值为____.解:x2+y2表示可行域内的点P(x,y)到原点的距离,作出不等式组表示的平面区域,如图5中的阴影部分所示,过点O作OA垂直于直线x+y-6=0,垂足为A在可行域内),所以原点到直线x+y-6=0的距离,就是点P(x,y)到原点距离的最小值,由点到直线的图3。

线性规划问题

线性规划问题

线性规划问题本⽂主要内容介绍线性规划问题 (Linear Programming) 及其对偶问题 (Dual Problem)。

Introduction线性规划 (Linear Programming) 就是⾼中数学讲的那个线性规划,不过现在是从计算机的⾓度来谈这个问题的。

给定⼀个⽬标函数 (Objective function) ,和若⼲个不等式约束 (Constraints) :max x1+6x2x1≤200x2≤300x1+x2≤400x1,x2≥0求出⽬标函数的最⼤值。

常规的做法是令c=x1+6x2,然后可得x2=16(−x1+c) ,通过作图法,找出截距c的最⼤值。

这⾥的可⾏域是⼀个封闭的区域,因此最优解必然存在,最优解不存在的 2 种情况是:可⾏域是空的,⽐如x≤1,x≥2 .可⾏域不是封闭的,⽐如⽬标函数为max x1+x2,约束条件为x1,x2≥0 。

但应当注意的是,即使可⾏域不是封闭的,最优解可能依然存在,⽐如⽬标函数为max x1,⽽约束条件为x1≤1,x2≥0 .SimplexLP 问题是 NP-Hard 的,单纯形法 (Simplex) 是⼀个解决 LP 问题的算法,将在下⼀篇⽂章详细介绍,在这⾥先给出⼀个直观的介绍。

从可⾏域的⼀个有效点出发,若果存在⼀个相邻顶点使得⽬标函数具有更优值,那么令当前顶点为这个邻居顶点,重复这个过程直到不存在这样的更优邻居顶点。

为什么这样的局部测试 (Local Test) 会找到全局最优解呢?In this way it does hill-climbing on the vertices of the polygon, walking from neighbor to neighbor so as to steadily increase profit along the way.By simple geometry - think of the profit line passing through this vertex. Since all the vertex’s neighbors lie below the line, the rest of the feasible polygon must also lie below this line.如果存在 3 个变量,即:那么 Simplex 的过程实际上是在⼀个凸多⾯体的边缘上进⾏ hill-climbing:Standard and slack forms对于⼀个 LP 问题的实例,我们都能把它转换为⼀个标准型 (Standard Form) :⽬标函数是max类型的。

线性规划软件解法

线性规划软件解法
2,3,5单位, 生产B需要甲乙丙分别为3,4,5单
位, 现有甲乙丙三种原料分别为100, 120,
150单位, 请问生产多少A,B产品获利最大?
线性规划例子
max z 150 x1 210 x2 2 x1 3 x2 100 3x 4 x 120 1 2 s.t. 5 x1 5 x2 150 x1 , x2 0
LINDO演示版可以求解多达200个变量和 100多个约束的规划问题. • 正式版可以求解多达32000个变量和16000 个约束的规划问题. LINGO演示版可以求解多达300个变量和 150多个约束的规划问题. • 工业版可以求解多达32000个变量和16000 个约束的规划问题.扩展版对变量和约束 没有限制.
初识LINGO界面
• LINGO有5个主菜单: ●File-文件菜单 ●Edit-编辑菜单 ●LINGO-LINGO系统,合并了 LINDO中的Solve和Reports ●Window-窗口菜单 ●Help-帮助菜单
LINGO的界面
• LINGO软件的主窗口(用 户界面),所有其他窗口 都在这个窗口之内。
• 例1 某商场是个中型的百货商场,它对售 货人员的需求经过统计分析如表所示。 • 为了保证售货人员充分休息,售货人员每 周工作五天,休息两天,并要求休息的两 天是连续的,问应该如何安排售货人员的 作息,既满足了工作需要,又使配备的售 货人员的人数最少。
时间
星期日 星期一
所需售货员人数
28 15
星期二
通过菜单 “WINDOW| Status Window”看到状态窗 口,可看到最佳目标值 “Best Obj”与问题的上界 “Obj Bound”已经是一样的, 当前解的最大利润与这两个 值非常接近,是计算误差引 起的。如果采用全局最优求 解程序(后面介绍),可以验 证它就是全局最优解。

运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)

运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)

运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 任课教师:王挺第五种方案0 3 0 0第六种方案0 1 1 3第七种方案0 0 2 1设:第i种方案需要的钢管为Xi根(其中i=1,2...6),可得:minz=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7解:model:min= X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7;3*X1+2*X2+2*X3+X4>=100;X2+2*X4+3*X5+X6>=150;X3+X6+2*X7>=120;endObjective value: 135.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.2500000X2 0.000000 0.1666667X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.8333333E-01X5 50.00000 0.000000X6 0.000000 0.1666667X7 35.00000 0.0000004人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。

班次时间所需人数班次时间所需人数1 6:00~10:00 60 4 18:00~22:00 502 10:00~14:00 70 5 22:00~2:00 203 14:00~18:00 60 6 2:00~6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班,并连续工作8小时,问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又使配备司机和乘务人员的人数最少?5投资计划问题某地区在今后三年内有四种投资机会,第一种是在3年内每年年初投资,年底可获利润20%,并可将本金收回。

兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解 课后习题题解

兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解  课后习题题解

第四章 线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题: max Z=2x l +3 x 2 S.T. x l + x 2≤10 2x l + x 2≥4x l +3 x 2≤24 2x l + x 2≤16x l 、 x 2≥01、 用EXCEL 线性规划求解模板求解该数学模型。

2、 本问题的最优解是什么?此时最大目标函数值是多少?3、 四个约束条件中,哪些约束条件起到了作用?各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少?4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时,最优解不变?5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。

解: 1、2、最优解:(3,7),最优值:273、 可变单元格约束对于求最大化的问题,对偶价格=阴影价格松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 0 因第一、第三个约束条件的松弛量/剩余量为0 ,所以这两个约束条件起到了约束作用。

4、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题:min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

2、本问题的最优解是什么?此时最大目标函数值是多少?3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少?分别解释其含义。

4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时,最优解不变?5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。

解:本问题无解。

4.3 有以下线性规划数学问题:max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。

三类线性规划问题及其解法

三类线性规划问题及其解法

方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型(直线型),我们一般需先将目标函数变形为:y =-a b x +zb,通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值,这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0,当y =-a b x +z b截距最大时z 最小,当截距最小时z 最大;若b <0,当y =-a b x +zb截距最大时z 最大,当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解:将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域,由图可知当y =-32x +z 2过点A 时,直线的截距最大,则{2x +y =40,x +2y =50,解得ìíîx =10,y =20,此时z max =70.在画出可行域后,我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大,此时z 最大,解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a (斜率型)的线性规划问题,我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先,根据线性约束条件画出可行域,将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率,求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析:该目标函数为斜率型,可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率,求出斜率的最值即可.解:作出如图2所示的可行域,将z =yx变形为z =y -0x -0,可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时,PO 的斜率最大,{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2,所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2(距离型)的线性规划问题时,我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方,结合可行域找到最值点,利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析:该目标函数为距离型,可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方,求得PO 两点间距离的最小值,便可求得z 的最小值.解:将z =x 2+y 2变形为z =(x -0)2+(y -0)2,作出如图3所示的可行域,由图可知点A 到原点的距离最小,{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2,所以z min =5.可见,解答线性规划类问题的基本思路是,(1)根据线性约束条件画出可行域;(2)将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型;(3)在可行域内移动直线、点,找出最值点;(4)联立交点处的直线方程,求出最值点的坐标;(5)将点的坐标代入目标函数中求得最值.(作者单位:中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学)44。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

线性规划问题计算机解法
本节将简要介绍几种软件求解线性规划问题的方法.
1.6.1应用EXCEL求解线性规划问题
以EXCEL2007为例,首先加载EXCEL规划求解加载项,具体操作步骤为:Office按钮——EXCEL选项——加载项——转到——加载宏——规划求解加载项,此时在“数据”选项卡中出现带有“规划求解”按钮的“分析”组.
下面仍然以例1.5为例,说明其求解过程:
1设计电子表格
将模型中的数据直接输入到工作表中并保存文档.其中,A列为说明性文字,A3为决策变量的初始值,可以任意给定,本例均设为0;在D4其中键入“=SUMPRODUCT (B$3:C$3,B4:C4)”或者从直接从函数中选择,SUMPRODUCT是EXCEL的一个内置函数,
,x x初始其功能是两个向量或者矩阵对应元素乘积的和,因此表示表示目标函数值,由于
12
值设为0,因而显示0;同理在D5其中键入“=SUMPRODUCT(B$3:C$3,B5:C5)”,以此类推,其显示值均为0.
2设置规划求解参数
点击“分析”组中的“规划求解”按钮即可弹出如下对话框:
在设计目标目标单元格中键入$D$4,或者直接点击单元格D4,并选择“最大值”选项,如下图所示
点击对话框中“添加”,弹出如下对话框
在“单元格引用位置”栏中键入“$D$ 5”(或点击单元格D5),选择“<=”(点击出现下拉菜单,可以选择其他约束形式),在约束值栏中键入“$F$5”(或点击单元格F5),确定后弹出下面对话框:
类似于上一步操作,添加所有的约束条件后如下图所示:
3 应用规划求解工具:
点击“求解”弹出如下对话框,选择“保存规划求解结果”与“运算结果报告”
确定后则形成一张新的工作表:
如果想得到价值系数、资源向量等条件对最优值的影响,可以在步骤3中选择输出“敏感性报告”.
1.6.1应用LINGO求解线性规划问题
从上面的介绍中看出,用EXCEL求解线性规划问题时操作简单,而其在输入数据方面有其方便之处.但如果决策变量和约束条件很多的话,其运行速度就不及专业的优化软件了.本节介绍一种专业的优化软件--LINGO的使用方法.LINDO 是 Linear Interactive Discrete Optimizer的缩写,是一个线性和整数规划的软件系统. LINDO /386 5.3以上版本,最大规模的模型的非零系数可以达到1,000,000个,最大变量个数可以达到100,000个,最大目标函数和约束条件个数可以达到32000个,最大整数变量个数可以达到100,000个。

仍以例1.5为例, 打开LINGO,点击“File”下拉菜单,选择“new”弹出对话框,在对话框中输入目标函数和约束条件,其格式是:
max=2*x1+3*x2;
x1+2x*2<=8;
4*x1<=16;
4*x2<=12;
如下图所示:
说明:每个表达式以“分号”隔开;如果目标函数是取小,则使用“min=”.
保存文件后点击LINGO弹出下拉菜单,选择“solver”或者直接点击快捷按钮即会输出计算结果报告
和解的状态报告
从上面的介绍看出,在求解线性规划问题时,Lingo 较Excel 更为人性化.但涉及到整数规划和非线性规划问题时,格式有所不同,后面将要介绍.
1.6.1应用MATLAB 求解线性规划问题
针对不同的线性规划模型,MA TLAB 优化工具箱提供不同的命令,具体分以下几种情况:
模型1
min ..0
z CX
s t AX b X =≤⎧⎨≥⎩ 其命令为 x=linprog (C ,A ,b )
说明:向量C 为行向量;命令用于求目标函数为最小的形式.
模型2
min
0z CX
AX b AeX =be X =≤⎧⎪⎨⎪≥⎩
命令为x=linprog (C,A ,b ,Ae,be )
说明:若没有不等式约束b AX ≤存在,则令A=[ ],b=[ ];若没有等式约束,可用模型1中的命令,或者令Aeq=[ ], beq=[ ].
3、模型:
min ..
0e e l u z CX
AX b s t A X =b x X x =≤⎧⎪⎨⎪≤≤≤⎩
命令为x=linprog (C ,A ,b ,Ae,be, xl ,xu )
或者 x=linprog (C ,A ,b ,Ae,be, xl ,xu, x0)
说明: 若没有等式约束, 则令A=[ ], b=[ ];若没有等式约束,令Ae=[ ], be=[ ];x0表示初始值.
注:以上命令可以用格式[x,fval]=linprog(…),其含义为返回最优解x及x处的目标函数值fval .
例1:用matlab 优化工具箱计算例1.5线性规划问题
解 新建M 文件如下:
C=[-2 -3];
A=[1 2; 4 0;0 4];
b=[8;16;12];
x=linprog(c,A,b)
保存文件为xxgh1.m ,点击Debug 选择run 或适用快捷键F5,运行结果为
x =
4.0000
2.0000
或者建立如下M 文件:
C=[-2 -3];
A=[1 2; 4 0;0 4];
b=[8;16;12];
Ae=[ ]; be=[ ];
xl=[0;0;0;0;0;0]; (或xl=zeros(6,1))
xu=[ ];
[x,fval]=linprog(c,A,b,[ ],[ ],vl,[ ])
保存并运行,结果为
x =
4.0000
2.0000
fval =
-14.0000
例2
123
123123min 63412030..050
20
z x x x x x x x s t x x =++++=⎧⎪≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩
解: 编写M 文件如下:
C=[6 3 4];
Ae=[1 1 1];
be=[120];
A=[0 1 0];
b=[50];
xl=[30,0,20];
xu=[ ];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Ae,be,xl,xu) 保存为xxgh2.m并运行,结果为
x =
30.0000
50.0000
40.0000
fval =
490.0000。

相关文档
最新文档