【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决数列最值问题
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2
25 ， 2
20 A B 得 100 A 10 B 225 A 15B
5 A 6 5 2 125 故 Sn n ，所以 S12 S13 130 。 125 6 6 B 6 答案： S12 S13 130 。
点拨： 本题采用的方法体现函数与方程的思想， 并应用了待定系数法， 求数列前 n 项和。
高中数学 编稿老师
巧用函数思想解决数列最值问题 王应祥 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅
数列的最值问题是一类常见的数列问题， 是数列中的难点之一， 也是函数最值问题的一 个重要类型，数列的最值问题大致有以下两种情况。 1. 求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值。 方法：（1）研究数列 an=f（n）的项的情况，判断 Sn 的最值； 特别地，在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：
n
说明是第几项；若没有，说明理由。 解析：假设数列{an}中存在最大项，
an1 an (n 1)0.9n1 n0.9n 0.9n (0.9 0.1n) ，
当 n＜9 时， 当 n=9 时， 当 n＞9 时，
an1 an 0 ，即 an1 an ， an1 an 0 ，即 an1 an ； an1 an 0 ，即 an1 an ； a9 a10 a11 a12
令|an|=1536•（
T12 最大。
由数列的前 n 项之积 Tn =1536n•（时，则 T12 （n∈N*）最大。
2
1 0+1+2+3+…+（n-1） 1 n ( n 1) ） =1536n• ( ) 2 ，可得当 n=12 2 2
答案：n=12 点拨：本题考查考生对等比数列的定义及性质等考点的理解。
2
2 12n 8 1 n 1 ( ) (n N * ) 的最值。 3 3 4
（2）利用数列离散的特点，考查 况。 如： a n (n 1)(Biblioteka ，然后判断数列{an}的最值情
9 n ) , 的最大项。 10 (n N )
例题 1 数列 a n 的通项公式 a n n 0.9 ，试问：此数列中是否存在最大项？若有，
数列的函数“出身” 数列是定义在正整数集 N 或它的有限子集 数列问题蕴含着 1,2,3, , n上的特殊函数，
*
函数的一些重要特征。因此应充分利用数列的函数“出身”，以函数的概念、图象、性质为纽 带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，使数列问题得以解决。 【满分训练】已知等差数列 a n 的前 n 项和 S n ，a1 20, S10 S15 ，求当 n 为何值时， S n 有最大值并求它的最大值。 解析：由已知得 d 0 ， S n 为关于 n 的二次函数， 又 S10 S15 ，故对称轴为 x 所以 S12 S13 为所求最大值。 设 S n An Bn ，则有
am 0 ①当 a1 >0,d<0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最大值。 am 1 0 am 0 ②当 a1 <0,d>0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最小值。 am 1 0
（2）直接研究 Sn 的通项公式，借助函数的性质求 Sn 的最值。 如：求数列 an 的前 n 项和 Sn = 2. 求数列{an}的最值。 方法：（1）从函数角度考虑，利用函数 y=f（x）性质，求数列 an=f（n）的最值； 如：求 a n log 1 (n 4) 中最大项。
例题 3
1 ，用 T n 表示它的前 n 项之积，则 2
Tn 取得最大值时 n 的值为多少?
解析：∵首项 a1=1536，公比 q=为正数，偶数项为负数。
1 1 ，∴an=1536•（- ）n-1，故等比数列{an}的奇数项 2 2
1 n-1 ） ≥1 可得 2n-1≤1536，∴n≤11，故前 11 项的绝对值都大于 1，其中 2 有 6 个奇数项是正数， 5 个偶数项是负数， 再由第 12 项的绝对值小于 1 且为负数， 可得 T9 或
，
9 10
a1 a2 a3
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，且 a9 a10 9 0.9 10 0.9 。
1
答案： a9和a10 点拨：要判断数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列前 n 项是递增的，从 n+1 项开始递减，则 an (an 1 ) 是数列的最大项。 例题 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0。 （1）求公差 d 的取值范围； （2）指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由。 a 3 a1 2d 12, 12 11 解析：（1）依题意有： S12 12a1 d 0 2 13 12 S13 13a1 d 0 2 24 解之得公差 d 的取值范围为－ ＜d＜－3。 7 （2）解：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13， 若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0, 则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值。 由等差数列性质得，当 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq 所以有 2 2a7=a1+a13= S13＜0, 13 1 ∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= S12>0,∴a6≥－a7>0, 6 故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大。 24 答案：（1）－ ＜d＜－3；（2） S6 7 点拨：本题的第（1）问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易。第 （2）问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12，通过等差数列的性质等和性探寻数列的 分布规律，找出“分水岭”，从而得解。 等比数列 an 的首项 a1 1536 ，公比 q=-
25 ， 2
20 A B 得 100 A 10 B 225 A 15B
5 A 6 5 2 125 故 Sn n ，所以 S12 S13 130 。 125 6 6 B 6 答案： S12 S13 130 。
点拨： 本题采用的方法体现函数与方程的思想， 并应用了待定系数法， 求数列前 n 项和。
高中数学 编稿老师
巧用函数思想解决数列最值问题 王应祥 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅
数列的最值问题是一类常见的数列问题， 是数列中的难点之一， 也是函数最值问题的一 个重要类型，数列的最值问题大致有以下两种情况。 1. 求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值。 方法：（1）研究数列 an=f（n）的项的情况，判断 Sn 的最值； 特别地，在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：
n
说明是第几项；若没有，说明理由。 解析：假设数列{an}中存在最大项，
an1 an (n 1)0.9n1 n0.9n 0.9n (0.9 0.1n) ，
当 n＜9 时， 当 n=9 时， 当 n＞9 时，
an1 an 0 ，即 an1 an ， an1 an 0 ，即 an1 an ； an1 an 0 ，即 an1 an ； a9 a10 a11 a12
令|an|=1536•（
T12 最大。
由数列的前 n 项之积 Tn =1536n•（时，则 T12 （n∈N*）最大。
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1 0+1+2+3+…+（n-1） 1 n ( n 1) ） =1536n• ( ) 2 ，可得当 n=12 2 2
答案：n=12 点拨：本题考查考生对等比数列的定义及性质等考点的理解。
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2 12n 8 1 n 1 ( ) (n N * ) 的最值。 3 3 4
（2）利用数列离散的特点，考查 况。 如： a n (n 1)(Biblioteka ，然后判断数列{an}的最值情
9 n ) , 的最大项。 10 (n N )
例题 1 数列 a n 的通项公式 a n n 0.9 ，试问：此数列中是否存在最大项？若有，
数列的函数“出身” 数列是定义在正整数集 N 或它的有限子集 数列问题蕴含着 1,2,3, , n上的特殊函数，
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函数的一些重要特征。因此应充分利用数列的函数“出身”，以函数的概念、图象、性质为纽 带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，使数列问题得以解决。 【满分训练】已知等差数列 a n 的前 n 项和 S n ，a1 20, S10 S15 ，求当 n 为何值时， S n 有最大值并求它的最大值。 解析：由已知得 d 0 ， S n 为关于 n 的二次函数， 又 S10 S15 ，故对称轴为 x 所以 S12 S13 为所求最大值。 设 S n An Bn ，则有
am 0 ①当 a1 >0,d<0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最大值。 am 1 0 am 0 ②当 a1 <0,d>0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最小值。 am 1 0
（2）直接研究 Sn 的通项公式，借助函数的性质求 Sn 的最值。 如：求数列 an 的前 n 项和 Sn = 2. 求数列{an}的最值。 方法：（1）从函数角度考虑，利用函数 y=f（x）性质，求数列 an=f（n）的最值； 如：求 a n log 1 (n 4) 中最大项。
例题 3
1 ，用 T n 表示它的前 n 项之积，则 2
Tn 取得最大值时 n 的值为多少?
解析：∵首项 a1=1536，公比 q=为正数，偶数项为负数。
1 1 ，∴an=1536•（- ）n-1，故等比数列{an}的奇数项 2 2
1 n-1 ） ≥1 可得 2n-1≤1536，∴n≤11，故前 11 项的绝对值都大于 1，其中 2 有 6 个奇数项是正数， 5 个偶数项是负数， 再由第 12 项的绝对值小于 1 且为负数， 可得 T9 或
，
9 10
a1 a2 a3
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，且 a9 a10 9 0.9 10 0.9 。
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答案： a9和a10 点拨：要判断数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列前 n 项是递增的，从 n+1 项开始递减，则 an (an 1 ) 是数列的最大项。 例题 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0。 （1）求公差 d 的取值范围； （2）指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由。 a 3 a1 2d 12, 12 11 解析：（1）依题意有： S12 12a1 d 0 2 13 12 S13 13a1 d 0 2 24 解之得公差 d 的取值范围为－ ＜d＜－3。 7 （2）解：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13， 若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0, 则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值。 由等差数列性质得，当 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq 所以有 2 2a7=a1+a13= S13＜0, 13 1 ∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= S12>0,∴a6≥－a7>0, 6 故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大。 24 答案：（1）－ ＜d＜－3；（2） S6 7 点拨：本题的第（1）问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易。第 （2）问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12，通过等差数列的性质等和性探寻数列的 分布规律，找出“分水岭”，从而得解。 等比数列 an 的首项 a1 1536 ，公比 q=-