【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决数列最值问题
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：高考中三角函数大题重点难点击破
2 ， 2
方法：化为同名函数（同一单调区间）
利用函数的单调性来比较大小。
3. 判断三角函数的单调区间 1）判断 y=－Asin（ωx+ ） （ω＞0）的单调区间，只须求 y=Asin（ωx+ ）的相反区间 即可，一般常用数形结合的方法。 2）判断 y=Asin（－ωx+ ） （ω＞0）的单调区间时，则需要先将 x 的系数变为正的， 再设法求之。
）是定义域为 R 的奇函数， 2 且当 x=2 时，f（x）取得最大值 2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=______________。 解析：∵f（x）=Asin（ωx+φ）是定义在 R 上的奇函数 f（0）=0， ∴φ=kπ，|φ|≤ 。 2 ∴φ=0。 当 x=2 时，f（x）max=2， ∵A＞0，∴A=2。 sin2ω=1 2 2k k （ω＞0） ， 2 4 ∴f（x）=2sinωx。
）
（2）由（1）可知： f x 的最小值为 a2 3 b ，所以， a2 3 b 2 。
另外，由 f x 在区间 ,0 上单调递增，可知： f x 在区间 ,0 上的最小值为 3 3 1 a f 。所以， sin 1 。即 = 2 2 3 3 a 3
当 x 0, 时， g ( x) sin sin x cos sin x 2 ∵ sin x 和 cos x 同属于余弦函数的一个单调区间（即 sin x ， cos x 0, ） ，∴ 2 2 只须比较 sin x 与 cos x 的大小 2 ∵（ sin x ）－ cos x = sin x － cos x = 2 sin x 2 0 2 4 2 2 2 ∵余弦函数在 0, 上单调递减，
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：巧解数学创新题
高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。
“出活题，考能力”，要求考生能活用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。
这类问题主要以选择填空的形式考查，难度较大。
1. 新定义概念型问题所谓“定义新概念”，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些新概念，要求考生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新定义进行推理、迁移的一种题型。
按内容大致可分为新定义集合、新定义函数、新定义数列等。
2. 新定义运算型问题定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、⊕、⊙等来表示的一种运算。
新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
3. 创新背景型问题这类的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中。
此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能。
这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题。
例题 1 项数为n 的数列123,,,,n a a a a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，定义12n S S S n +++为该数列的“凯森和”。
如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a 的“凯森和”为（ ）A.991B.1001C.1090D.1100解析：（1）正确理解凯森和的定义，根据数列求和知识求解；（2）准确理解正对数的定义和所给四个命题的信息，结合所学的对数的相关知识解决问题。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：算法与程序框图
1. 算法的设计特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 例题 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
解析：设计时要注意算法的特征，观察每个数字之间的规律。
答案：用P 表示被乘数，i 表示乘数。
第一步，使P ＝1； 第二步，使i＝3； 第三步，使P ＝P ×i ； 第四步，使i ＝i ＋2；第五步，若i ≤11，则返回到第三步、第四步继续执行，否则执行第六步； 第六步，输出P 。
注意：给出一个问题，设计算法时应注意：（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；（2）综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；（3）将解决问题的过程划分为若干个步骤；（4）用简练的语言将各个步骤表示出来。
或：当型循环结构3. 画程序框图的规则（1）使用标准的框图符号；（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画；（3）除判断框外，大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；（4）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
注意：（1）终端框（起止框）是任何程序框图都不可少的，表明程序的开始和结束。
（2）输入框和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
一、顺序结构与条件结构的设计例题1 “网上购物”使人们不用出行就可以享受购物的方便和乐趣，由此催生了“快递”行业，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f ＝0.53,50,500.53(50)0.85,50,ωωωω≤⎧⎨⨯+-⨯>⎩其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）。
试设计计算费用f 的算法，并画出程序框图。
解析：解决分段函数的求值问题时，一般采用条件结构设计算法。
利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一框图中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：几何概型的重难点突破
1. 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
2. 几何概型中，事件A 的概率计算公式P （A ）＝A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3.几何概型试验的特点（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； （2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
4. 几何概型两种类型的使用条件（1）线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时。
（2）面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。
例题1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________。
解析：由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4。
即A ＝{m |－1<m <4}。
由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是（0，4），故所求概率为P ＝404(1)---＝45。
答案：45点拨：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。
当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。
事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比。
例题2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23解析：在区间[-1，1]上随机取一个数x ，即[1,1]x ∈-时，要使cos2xπ的值介于0到21之间，需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案： A例题3 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用对数公式解题
1. 对数函数的基本性质如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a M M N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 2. 对数运算三个常用结论（1）log 1a a =；（2）1log 0a =；（3）log N a a N =3. 换底公式（1）定义：,0(log log log >=a ac b c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c （2）常用的推论： ①log log 1a b b a ⋅=；②log log m n a a n b b m =（a 、0b >且均不为1）。
例题1 的值。
，求设ba b a 123643+== 解析：利用指对互化。
求出a ，b 后代入求值。
也可利用等式两边取对数的方法求出a ，b 后再代入求值。
答案：解法一：由623643363log log 6log 2log 3643======b a b a ；得： 所以1log log 6log 1log 22122636263=+=+=+b a 解法二：对已知条件取以6为底的对数，得：1log log 12log 1,3log 21log 2log 26362662636=+=+∴==∴==b a ba b a ， 点拨：本题考查对数的性质，对一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧，一般来说，给出的等式是以指数形式出现的，常用此法，在取对数时，要注意对底数的合理选取，本题也可以取常用对数或自然对数。
例题2 设1643>===t z y x ，求证：yx z 2111=-。
解析：利用指对互化及换底公式找出x 、y 、z 之间的关系。
答案：证明：∵1643>===t z y x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 点拨：对数恒等式的证明可以从左到右，或从右到左，或从两边一起证，但通常采取从复杂的一边向简单的一边证。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：三角函数模型的实际应用
1. 三角函数模型的应用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧在物理学中的应用在航海中的应用在建筑学中的应用在生活中的应用用三角函数模型的简单应 2. 方法与步骤（1）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词； （2）确定以角作为变量的三角函数； （3）要能根据题意，画出符合题意的图形； （4）对计算结果，可根据实际情况进行处理。
3. 失误与防范（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量； （2）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围； （3）解决应用问题要注重检验。
例题1 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 。
（1）根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式。
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8︰00至20︰00之间，有多少小时可供冲浪者进行运动？ 解：（1）由表中数据，知周期T ＝12。
∴ω＝22126T πππ==，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5。
由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0。
∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12。
∴y ＝12cos 6πt ＋1。
（2）由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放。
∴12cos 6πt ＋1>1，∴cos 6πt >0。
∴2k π－2π< 6πt <2k π＋2π，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。
① ∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24。
所以在规定时间8︰00至20︰00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即9︰00至15︰00。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：数量积的运算及应用
1. 两个向量的夹角 （1）定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉。
（2）范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[]0,π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉。
（3）向量垂直 如果〈a ，b 〉＝2π，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
2. 平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉。
可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零。
其中|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。
（2）向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a （交换律）②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）③（λa ）·b ＝λ（a ·b ）＝a ·（λb ） （数乘结合律）。
例题1 （1）若a ＝（3，－4），b ＝（2，1），求（a －2b ）·（2a ＋3b ）和|a ＋2b |；（2）在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|。
解析：（1）运用向量的坐标运算计算出（a －2b ）、（2a ＋3b ）的坐标，再利用数量积进行计算；（2）根据题意可知AB →、BC →模长相等，找到AB →与BC →的夹角为120°即可求出。
再利用平行四边形法则求出CD →，即可求出|CD →|。
答案：解：（1）a －2b ＝（3，－4）－2（2，1）＝（－1，－6）， 2a ＋3b ＝2（3，－4）＋3（2，1）＝（12，－5），∴（a －2b ）·（2a ＋3b ）＝（－1）×12＋（－6）×（－5）＝－12＋30＝18。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：三角函数性质
, 2k ](k Z ) 2 2 , 2k 3 ](k Z ) 2
[2k , 2k ](k Z ) [2k , 2k ](k Z )
偶函数
单调减区间：
[2k
奇偶性
2
k , k ( 0
函数 y sin x 0 剟 B.
π 是 R 上的偶函数，则 等于（
）
π π C. D. π 4 2 解析： 因为函数 y sin x 0 剟 π 是 R 上的偶函数， 所以其图象关于 y 轴对称，
由正弦函数的对称性知，当 x 0 时， sin 1, 又 0 剟 答案：C 点拔：本题考查函数的奇偶性。
所以 f x 的最小正周期为 T
2 sin 2 x 1 4
（答题时间：30 分钟）
1. 设函数 f（x）＝sin (2 x ) ，x∈R，则 f（x）是 （ ） 2 A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2 2 5 2. 函数 f ( x) x sin( x ) 是（ ） 2 A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 A. 1 个 为（ ） A.（ ，0） 8 B. 2 个 D. 既奇又偶函数 ） D. 4 个 C. 3 个 3. 若 log8x＝cosx，则此方程实数根的个数为（
π ，所以
π 。 2
1
（1）函数 f（x）=sin（ωx+ ）若为奇函数，则 =kπ；若为偶函数，则 =kπ+ 函数 f（x）=cos（ωx+ ）若为奇函数，则 =kπ+ 数。
【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：巧解等比数列(1)
精品文档m年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版课程标题 巧解等比数列 编稿老师黄志坚一校吕丽娟二校黄楠审核宋树庆1. 等比数列的判定方法： ①定义法：a n 1 a nq （ n ∈N *， q 0 是常数）a n 是等比数列；②通项公式法： a cqn 1cq0的常数， n N a 是等比数列 ；nn③中项公式法： a2 a a （ n ∈ N *）且 a0 a 是等比数列；n 1④前 n 项和公式法： S nnn 2a 1q nq 1na 1= kqq 1k （ kna 是常数，且 qq 10 ，q 1 ）a n 是等比数列 。
2. 等比中项：如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a 、 G 、 b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
也就是，如果 G 是 a 与 b 的等比中项，那么 Ga 3. 等比数列的性质：b ，即 G 2 G ab 。
①等比数列任意两项间的关系： 如果 a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第 m 项，且 m n ，公比为 q ，则有 a n a qn m②对于等比数列a n ，若 n m u v ，则 a n a ma u a v也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 。
③若数列 a 是等比数列， S 是其前 n 项的和， kN *，那么 S ， SS ， SSn n成等比数列。
如下图所示：S 3 kk2kk3k2ka 1 a 2 a 3S ka ka k1S 2 k a 2k S ka 2k1S 3 kS 2 ka 3kS 3 n例 题 1（ 1 ） 已 知 。
S n 为 等 比 数 列a n 的 前 n 项 和 ， S n54 ， S 2 n 60 ， 则（ 2）已知等比数列a n 中， a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是。
解析：（ 1）结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：巧解等差数列
ab 或 2A a b 。 2
在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 3. 等差数列的性质： ①等差数列任意两项间的关系： 如果 a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， 且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d ②对于等差数列 a n ，若 n m p q ，则 an am a p aq 。 也就是： a1 an a2 an1 a3 an2 „„ 成等差数列。如下图所示：
*
④奇数项的和与偶数项的和的关系：设数列 a n 是等差数列， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项的和， S n 是前 n 项的和，则有如下性质： 当 n 为偶数时， S 偶 S 奇 当 n 为奇数时，则 S 奇
n d ，其中 d 为公差； 2 S n 1 n 1 n 1 a中 ， S 偶 a中 ， 奇 ， S偶 a中 ， S 奇 2 2 S偶 n 1
年
级
高三
学
科
数学
版
本
通用版
课程标题 编稿老师
巧解等差数列 黄志坚 一校 林卉 二校 黄楠 审核 宋树庆
1. 等差数列的判定方法： ①定义法：对于数列 a n ，若 an1 an d （常数） ，则数列 a n 是等差数列。
②中项公式法：对于数列 a n ，若 2an1 an an 2 ，则数列 a n 是等差数列。 ③通项公式法：数列 a n 是等差数列 an pn q( p 、 q为常数，n N ) 。 ④前 n 项和公式法： Sn An Bn A, B为常数 数列 a n 是等差数列。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：数学解题技巧之选择题
解析：画出函数 f ( x) 的图象，如图所示。若方程 f ( x) g ( x) 有两个不相等的实数，
1 2
B. ( ,1)
1 2
则函数 f ( x), g ( x) 有两个交点，则 k 答案：B
1 ，且 k 1 ，故选 B。 2
点拨：本题利用数形结合法，直观明了，涉及函数零点、方程根以及函数与不等式结合 等问题，利用数形结合常能化繁为简，获得简捷解法。
高中数学 编稿老师
高考冲刺：数学解题技巧之选择题 武振 一校 程文军 占比例较大，具有题小、量大、基础、灵活的特征，在高考中几 乎占据半壁江山。因此考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关 键。
一、解答选择题的基本策略
在解答时，一要突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两 方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这 是解选择题的基本策略。 其二是要充分挖掘各选择支的暗示作用、 巧妙有效地排除迷惑支的 干扰、同时采用几种方法进行分析、推理。速解选择题要靠基础知识的熟练和思维方法的灵 活以及科学、合理的巧解，可以“不择手段”，应尽量避免小题大做。
2
答案：B 点拨：本题若直接求解则繁琐且易出错，先画出 f ( x) ，再结合特例法则能迅速作出判 断，大有“四两拨千斤”之效。
回归定义，妙解选择题
数学定义经常是数学思维的依据，不少方法和途径由此产生，在解某些问题时，若能根 据题意适时回归定义，常能使之得以快速决断。 【满分训练】已知抛物线 C : y 8 x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与
答案：B 点拔：本题巧用抛物线的定义，使问题顺利解决。涉及圆锥曲线问题，不要忽视定义的 应用。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：深入剖析等比数列的性质
等比数列的基本性质（1）等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 = a k q n -k （其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）。
函数思想的运用：考虑数列是特殊的函数，利用等比数列的单调性：①101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩⇔{a n }为递增数列；②1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩⇔{a n }为递减数列。
（2）等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1（3）等比中项公式：若a 、b 、c 成等比数列，则G=ab ±。
（ab>0） （4）等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ⋅=⋅。
（5）两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ⋅b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列。
（6）等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、…仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）。
（7）等比数列{a n }的任意连续m 项的积构成的数列a 1⋅a 2…a m …，a m+1⋅a m+2…a 2m ，a 2m+1⋅a 2m+2…a 3m …仍为等比数列。
例题1 设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，若3692S S S +=，求数列的公比q 。
解析：2231113(1)[()]024S a q q a q =++=++≠，36396,,S S SS S ∴--成等比数列，3692396632()()S S S S S S S S +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩消去9S 得：362S S =， 363312S S q S -==-q ⇒=答案：3421-点拨：此题还可利用等比数列的前n 项和公式，但需要讨论公比q 是否等于1，本题的解法，不仅避免讨论而且运算简单，思路清晰。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：轻松解决三角函数求值问题
1 3
）
D.
2 3
1 2
D.
2 3
）
3. （平顶山月考）已知 0<α<π，3sin 2α＝sin α，则 cos（α－π）等于（
1 1 1 B. － C. D. － 3 6 6 2 1 4. 已知 tan（α＋β）＝ ， tan( ) ，那么 tan( ) 等于（ 5 4 4 4 13 13 3 1 A. B. C. D. 18 22 22 6 5. 在△ABC 中， tan A ＋ tan B ＋ 3 ＝ 3 tan A tan B ，则 C 等于（ 2 A. B. C. D. 3 3 6 4
)。 4 2 （1） f ( x) 的最小正周期是 T ； 2
4 3 值为 2 ，这时 x 的集合为 。 8 3 答案：（1）π；（2） 2 ， 8
一次幂。 （2）当 x [0,
cos 2 x sin 2 x 2 cos(2 x
∵cos α＝ ∴ cos （ α － β ）＝ cos[2α －（ α ＋ β ） ] ＝ cos 2αcos （ α ＋ β ）＋ sin 2αsin （ α ＋ β ）＝
1 B. 2
C. －
1 3
D.
23 27
7 1 4 2 2 2 23 。 ( )( ) 9 3 9 3 27
1 ，求 tan( ) 的值。 4 4
2 ， tan( ) 5 4
（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知 角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。例：已知 tan( ) ＝
1 ， 2
1 tan ，且 、 (0, ) ，求 2 的值。 7
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：破解集合中的新定义问题
①集合 S { a b 3 a,b 为整数}为封闭集；
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③封闭集一定是无限集；
④若 S 为封闭集，则满足 S T R 的任意集合T 也是封闭集。
其中的真命题是
。（写出所有真命题的序号）
解析：对于整数 a1,b1, a2,b2 有
a1 b1 3 a2 b2 3 a1 a2 b1 b2 3 S
则 x1 x2 (m1 m2 ) (n1 n2 ) 2 ， 其中 m1 m2 ， n1 n2 Z ，则 x1 x2 A ；
由于 x1x2 (m1 n1 2)(m2 n2 2)
(m1m2 2n1n2 ) m1n2 m2n1 2
x
a
x
a
4
5
，B
x
b
1 3
x
b
，
且数集 A，B 都是数集 x 0 x 1 的子集，如果把 n m 叫做集合 x m x n 的“长度”，
则集合 A B 的“长度”的最小值是
。
解析：由
A
x
0
x
1 得
a
a1 b1 3 a2 b2 3 a1 a2 b1 b2 3 S
a1 b1 3 a2 b2 3 a1a2 3b1b2 a1b2 a2b1 3 S
所以①正确
当 a1 a2 ， b1 b2 时， a1 b1 3 a2 b2 3 0 S
,
n0 m02 2n02
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：高考中正弦定理及其应用举例
1
例题 2 在锐角 ABC 中，BC=1，∠B=2∠A，则 值范围为_______________。 解析：设∠A＝ ∠B＝ 2 。由正弦定理得
AC 的值等于 cos A
， AC 的取
AC BC AC AC , 1 2. sin 2 sin 2cos cos 由锐角 ABC 得 0 2 90 0 45 ，
又 0 180 3 90 30 60 ，故 30 45
2 3 ， cos 2 2
AC 2 cos ( 2, 3).
答案：2； ( 2 , 3 ) 点拨：三角形中两内角与其正弦值的关系：在△ABC 中， A B sin A sin B 。
，∴ b 1 2b b 2 1 。 a 2 ,c 5
点拨：注意对三角形内角和 A＋B＋C＝π 的应用，此考点已在高考中多次出现，一旦 出现类似“在三角形中，sin（A＋B）”的题设，一定先通过三角形内角和来进行转换。
（答题时间：30 分钟）
π 1. 在△ABC 中，A＝ ，BC＝3，AB＝ 6，求 C 的值。 3 2. 设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 b sin A 3a cos B 。 （1）求角 B 的大3. 已知△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 3sin B cos B 1 ，b 1 。 5 （1）若 A ，求 c 的值； 12 （2）若 a 2c ，求△ ABC 的面积。 4. 在△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a，b，c，且 a＝2， cos B （1）b＝3，求 sin A 的值。 （2）若△ ABC 的面积 SABC ＝3，求 b，c 的值。 5. 在△ABC 中，a＝3，b ＝ 2 6 ，∠B＝2∠A。 （1）求 cosA 的值； （2）求 c 的值。 6. 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a c 6, b 2, cos B （1）求 a，c 的值； （2）求 sin( A B) 的值。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：高考压轴题终极解答
第三步：答题规范化 答题流程：示意草图→文字描述→分步列式→联立求解→结果检验。
例题
已知函数 f ( x)
ax b 在点 (1 ，f (1)) 的切线方程为 x y 3 0 。 x2 1
（1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）设 g ( x) ln x ，求证： g ( x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立；
1
知，f (1) 1， 即 的解析式即可。
b 最后联立方程组即可求出参数 a, b 的值， 并写出函数 y f ( x) 1 ； 2
（2） 将不等式整理得出 ( x 2 1) ln x 2 x 2 ， 问题转化为 x 2 ln x ln x 2 x 2 0 在
点拨：解答本题的关键是构造函数，注意利用各小问衔接点的联系。
巧构函数，妙解高考压轴题 构造法是运用数学的基本思想， 经过细致的观察、 深入的思考， 构造出解题的数学模型， 从而使问题得以解决。在高考压轴题中，特别是代数不等式的证明常常需要构造函数，通过
2
研究函数的性质证明不等式。 【满分训练】 （重庆高考）设 a1 1, an 1
觉得还难吗？ 答案： （ 1 ）将 x 1 代 入 切 线方 程 得 y 2 ， ∴ f (1)
ba 2 ， 化简 得 11
b a 4 ， 2a 2(b a) 2b b a( x 2 1) (ax b) 2 x 1 ， ， f (1) f ( x) 2 2 4 4 2 (1 x ) 2x 2 解得： a 2, b 2 ，∴ f ( x) 2 。 x 1 2x 2 （2）由已知得 ln x 2 在 [1,) 上恒成立， x 1 2 化简 ( x 2 1) ln x 2 x 2 ，即 x ln x ln x 2 x 2 0 在 [1,) 上恒成立。 1 2 设 h( x) x ln x ln x 2 x 2 ，则 h( x) 2 x ln x x 2 ， x 1 因为 x 1 ，所以 2 x ln x 0, x 2 ，即 h( x) 0 ， x 所以 h( x) 在 [1,) 上递增，h( x) h(1) 0 ， 所以 g ( x) f ( x) 在 x [1,) 上恒成立。 b 2 2 b b a （3）因为 0 a b ，所以 1 ，由（2）知有 ln ， b a a ( )2 1 a ln b ln a 2a ln b ln a 2a 2 2 整理得 ，所以当 0 a b 时， 。 2 ba ba a b a b2
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：巧用函数思想解决不等式问题
含对数，指数，绝对值，高次式等的一些不等式的证明与解法中，直接从不等式的角度证明和求解比较麻烦，而不等式与函数的交汇经常出现在高考中，因此把不等式与函数恰当地整合在一起，运用函数的思想，将会使问题迎刃而解。
（1）利用函数证明或解不等式依据是：不等式)()(x g x f >的解集，就是函数f （x ）位于g （x ）上方的图象部分的点的横坐标的值的集合，特别地，f （x ）>0的解集就对应于f （x ）的图象位于x 轴上方的部分。
如：解不等式2x ＞﹣x ＋1。
特别的，求解抽象函数不等式往往需借助函数的单调性或图象来解决。
（2）利用函数处理“恒成立”问题依据是：a>f （x ）恒成立)(x f a >⇔；a<f （x ）恒成立)(x f a <⇔，解题时常用到“分离参数法”，此外利用基本函数的图象与性质，是解决不等式恒成立问题的另一重要方法。
如：不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________。
由题可得a ≥－12x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2。
例题1 解不等式（x 2－2x+2）3+2（x 2－2x+2）﹤x 3+2x 。
解析：设f （x ）= x 3+2x ，易知函数在R 上单调递增。
所以原不等式等价于f （x 2－2x+2）﹥f （x ） ∴x 2－2x+2﹥x ，即x 2－3x+2﹥0解之得 1<x<2。
∴原不等式的解集是：｛ｘ︱1﹤x ﹤2｝。
答案：｛ｘ︱1﹤x ﹤2｝点拨：构造恰当函数，用函数思想化解高次不等式为解二次不等式，可使问题简单化，在平时的学习中注意运用。
例题2 已知a 、b 、m ∈R +，且a<b 。
求证：m b m a ++>ba 。
解析：构造出函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路非常清晰。
答案：证明：令 f （x ）=xb x a ++，其中x ∈R + ，0<a<bf （x ）=x b a b x b ++-+=1－x b a b +- ∵b －a>0∴y=x b a b +- 在R +上为减函数从而f （x ）=1－xb a b +- 在R +上为增函数 ∵m>0 ∴f （m ）> f （0） ∴m b m a ++>ba 。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：如何确定三角函数的解析式
（答题时间：30 分钟）
1. 已知函数 f x sin 2 x ，其中 为实数，若 f ( x) f ( ) 对 x R 恒成立，且
6
3
f ( ) f ( ) 。则下列结论正确的是 2 11 A. f 1 12 7 B. f f 10 5 C. f x 是奇函
解析：由图可知，
T
5 4 4 , , 把 2 ,1 代入y=sin x 有： 2 5 5
9 8 1=sin , 10 5 9 答案： 10
点拨：本题主要考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图、用图能力，注意－π≤φ ＜π 的应用。 根据三角函数图象确定函数值 例题 2 （辽宁）已知函数 f ( x) ＝Acos（ x ）的图象如图所示， f ( )
年
级
高一 康凯
学 一校
科
数学 吕丽娟 二校
版
本 黄楠
通用版 审核 隋冬梅
课程标题 编稿老师
如何确定三角函数的解析式
1. 函数 y sin x 0, 0 的性质： ①振幅： ②周期：
2
1 ③频率： f 2 ④相位： x
D. f x 的单调递增区间是 k
（
）
3
, k
6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k Z
1 2. 已知函数 f ( x) sin( x ) ( 0,0 ) 的最小正周期为 ，且图象过点 ( , ) 。 6 2 （1）求 、 的值； （2）设 g ( x) f ( x) f ( x ) ，求函数 g ( x) 的单调递增区间。 4 3. 已知函数 f ( x) sin( 2 x) 2 3 cos2 x, x R 。 （1）求 f ( ) ； 6 （2）求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：探究函数的单调性和最值
【重要考点】考点一 函数单调性的证明 思路点拨：考点二 利用函数单调性求最值经典题型：求函数y x =解析：∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大， ∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。
∴1122y ≤-=， ∴函数y x =1(,]2-∞。
函数最大值为21，无最小值。
思路点拨：确定函数的定义域，解出函数的单调区间，根据单调性求最值。
【重要结论】单调性的有关结论 1. 若f （x ），g （x ）均为增（减）函数，则f （x ）＋g （x ）仍为增（减）函数。
2. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
3. 复合函数的单调性“同增异减”。
例题1 y =()63a -≤≤的最大值为（ ）A. 9B.92C. 3D.2解析：这个题目是典型的应用函数的单调性来求最值，原函数是复合函数，根据复合函数同增异减来确定函数在给定区间上的单调性，然后就可求最值。
解：y =原函数在]23,6[--上单调递增，在]3,23(-上单调递减，故最大值为92。
故选B 。
点拨：单调性法是求最值常用的方法，确定单调区间是解题过程的关键。
例题2 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧<-+-≥)0(24)3()0(x a x a x a x 对任意x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，都有0)()(1212>--x x x f x f ，则实数a 的取值范围是________。
解析：由0)()(1212>--x x x f x f 知f （x ）在R 上单调递增，从而f （x ）在[0，＋∞）上和（－∞，0）上都单调递增，且f （x ）在[0，＋∞）上的值恒大于f （x ）在（－∞，0）上的值。
解：∵对任意x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，都有0)()(1212>--x x x f x f ，∴f （x ）在R 上为增函数，由f （x ）＝a x 在[0，＋∞）上单调增知a >1，由f （x ）＝（3－a ）x ＋4－2a 在（－∞，0）上单调增知a <3，再由f （x ）在R 上单调增知，a 0≥（3－a ）·0＋4－2a ， ∴a ≥32，综上知32≤a <3。
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25 ， 2
20 A B 得 100 A 10 B 225 A 15B
5 A 6 5 2 125 故 Sn n ，所以 S12 S13 130 。 125 6 6 B 6 答案： S12 S13 130 。
点拨： 本题采用的方法体现函数与方程的思想， 并应用了待定系数法， 求数列前 n 项和。
高中数学 编稿老师
巧用函数思想解决数列最值问题 王应祥 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅
数列的最值问题是一类常见的数列问题， 是数列中的难点之一， 也是函数最值问题的一 个重要类型，数列的最值问题大致有以下两种情况。 1. 求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值。 方法：（1）研究数列 an=f（n）的项的情况，判断 Sn 的最值； 特别地，在等差数列｛ a n ｝中,有关 Sn 的最值问题：
n
说明是第几项；若没有，说明理由。 解析：假设数列{an}中存在最大项，
an1 an (n 1)0.9n1 n0.9n 0.9n (0.9 0.1n) ，
当 n＜9 时， 当 n=9 时， 当 n＞9 时，
an1 an 0 ，即 an1 an ， an1 an 0 ，即 an1 an ； an1 an 0 ，即 an1 an ； a9 a10 a11 a12
令|an|=1536•（
T12 最大。
由数列的前 n 项之积 Tn =1536n•（时，则 T12 （n∈N*）最大。
2
1 0+1+2+3+…+（n-1） 1 n ( n 1) ） =1536n• ( ) 2 ，可得当 n=12 2 2
答案：n=12 点拨：本题考查考生对等比数列的定义及性质等考点的理解。
2
2 12n 8 1 n 1 ( ) (n N * ) 的最值。 3 3 4
（2）利用数列离散的特点，考查 况。 如： a n (n 1)(Biblioteka ，然后判断数列{an}的最值情
9 n ) , 的最大项。 10 (n N )
例题 1 数列 a n 的通项公式 a n n 0.9 ，试问：此数列中是否存在最大项？若有，
数列的函数“出身” 数列是定义在正整数集 N 或它的有限子集 数列问题蕴含着 1,2,3, , n上的特殊函数，
*
函数的一些重要特征。因此应充分利用数列的函数“出身”，以函数的概念、图象、性质为纽 带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，使数列问题得以解决。 【满分训练】已知等差数列 a n 的前 n 项和 S n ，a1 20, S10 S15 ，求当 n 为何值时， S n 有最大值并求它的最大值。 解析：由已知得 d 0 ， S n 为关于 n 的二次函数， 又 S10 S15 ，故对称轴为 x 所以 S12 S13 为所求最大值。 设 S n An Bn ，则有
am 0 ①当 a1 >0,d<0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最大值。 am 1 0 am 0 ②当 a1 <0,d>0 时，满足 的项数 m 使得 s m 取最小值。 am 1 0
（2）直接研究 Sn 的通项公式，借助函数的性质求 Sn 的最值。 如：求数列 an 的前 n 项和 Sn = 2. 求数列{an}的最值。 方法：（1）从函数角度考虑，利用函数 y=f（x）性质，求数列 an=f（n）的最值； 如：求 a n log 1 (n 4) 中最大项。
例题 3
1 ，用 T n 表示它的前 n 项之积，则 2
Tn 取得最大值时 n 的值为多少?
解析：∵首项 a1=1536，公比 q=为正数，偶数项为负数。
1 1 ，∴an=1536•（- ）n-1，故等比数列{an}的奇数项 2 2
1 n-1 ） ≥1 可得 2n-1≤1536，∴n≤11，故前 11 项的绝对值都大于 1，其中 2 有 6 个奇数项是正数， 5 个偶数项是负数， 再由第 12 项的绝对值小于 1 且为负数， 可得 T9 或
，
9 10
a1 a2 a3
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，且 a9 a10 9 0.9 10 0.9 。
1
答案： a9和a10 点拨：要判断数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列前 n 项是递增的，从 n+1 项开始递减，则 an (an 1 ) 是数列的最大项。 例题 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0。 （1）求公差 d 的取值范围； （2）指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由。 a 3 a1 2d 12, 12 11 解析：（1）依题意有： S12 12a1 d 0 2 13 12 S13 13a1 d 0 2 24 解之得公差 d 的取值范围为－ ＜d＜－3。 7 （2）解：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13， 若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0, 则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值。 由等差数列性质得，当 m、n、p、q∈N*,且 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq 所以有 2 2a7=a1+a13= S13＜0, 13 1 ∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= S12>0,∴a6≥－a7>0, 6 故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大。 24 答案：（1）－ ＜d＜－3；（2） S6 7 点拨：本题的第（1）问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易。第 （2）问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12，通过等差数列的性质等和性探寻数列的 分布规律，找出“分水岭”，从而得解。 等比数列 an 的首项 a1 1536 ，公比 q=-