二次型与对称矩阵的标准形

1 2 0
二次型对应的矩阵为
A
2
2
2
2 2 1
0 2 3
3 3 3
1 0 0
Q
2 3
1
1 3
2
2 3
是正交矩阵，QT
AQ
2
0 0
2 0
0 5
3 3 3
经过正交替换
二次型化为Y T (QTBAQ)Y
x1
2 3
x2 x3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
1 3
y1
1: 1,2 , 3两两正交
1 1 :
2
1
1
0
2
2 5
4
5
1
3
10 :
3
1
2 2
1, 2 ,3 两两正交
QQ将令Q是T它1A0正1们255Q交单331423555矩位1001阵13233化2:100x.：经11000正二10552交次替x2型换化13355y(Xxx为x12y123115452yQy22Y2 Yy01255333324T1)5550Y331y4235T55323(Q1T1323312BA01Q0:xyyy)3123Yyyy123132332
实对称矩阵A
存在正交矩阵Q,使得 存在正交矩阵Q,使得
1
1
Q1 AQ
2
QT AQ
2
O
O
A的所有特 征值
n
定理4.14
n
经过正交替换 X QY 二次型化为：
f Y T BY Y T QT AQ Y
1
1
y12
2
y22
...
n
(
yn2
y1 ,
y2
,
.Baidu Nhomakorabea.,
yn
)
标准形
2
B
2 2 2 ( 1)2(
A
2
2
10)1
5
4
4
5
E A 2 5
24
4 5
特征值：1 2 1,3 10
2
2
1 3 1 3 2
1
1
1 :1
1
0
2
1
1
0
,
2
2
0
3
10
1
2
44 55
1
:
2 5 4 5
1
3
1,
2 2
1 2
将
1
,
2
正交化
2
令 3
Q
2 3
1 3
2
2
1
1
2 3
1 3
2 3
1 1 3
1 :3
2 1
2
2
:
1 3
1 2
2 Q是正交矩阵
3
QT1 AQ
2 3
3
1 00
5:
0 2 0
1 3
2 2
0
0 5
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
yn
实对称矩阵 A
存在可逆矩阵C, 使得
CT AC
d1
d2
O
dr
0
O
0
二次型通过非退化线性替换化成标准形 有三种方法: (一) 用配方法化二次型为标准形 (二) 用初等变换法化二次型为标准形
(三)用正交替换法化二次型为标准形
3.用正交替换法 化二次型为标准形
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X 实对称矩阵A
y1 y2
O
n
yn
例 利用正交替换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形. 解对应的
矩阵为A
1 02
2 0
1 2
2 2
23
E A
2 2
02
0 2
3
特征值 1, 2, 5
( 1)( 2)( 5)
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X
经过非退化线性替换 X CY
二次型 f 化为:
f d1 y12 d2 y22 ... dr yr2
d1
(
y1
,
y2
,
...,
yn
)
d2 O dr 0 O
CT AC
0
y1 y2
yr yr 1
2 3
2 3
y2 y3
1
( y1
y2
y3 )
0 0
0 2 0
0 y1
0 5
y2 y3
Q
y12 2 y22 5 y32
例 用正交替换 化二次型
f 2x12 5x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 2 2 2
为标准形, 并写出所作的线性替换. 解 二次型对应的矩阵为