2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

附录1：2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）

选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式3

2

210x x -+<的解集为_____________．

2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大

小为60︒，三棱锥P ABC -

，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________．

3. 当实数m 变化时，不在任何直线()2

21440mx m y m +

---=上的所有点()

,x y 形成的图形的面积为_____________．

4. 已知函数()()2

211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛

⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝

⎭⎨⎡⎫

⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩

．()244g

x x x =--．设b 为实数，若存

在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．

填空题（每题6分，共24分）

5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1

的概率为3

16

．则a 的值为_______________．

6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02

θπ

<≤

）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，

当12OP x y =+

e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．

7. 若函数sin 4y x ωπ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω

的值为_____．

8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B = ，A B =∅ ．若A 中元素的个数不是A 中的

元素，B 中元素的个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________．

解答题（共56分）

9. （13分）设α∈R ，函数()()cos sin 2cos f x x x x αααα=++，

x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，求()f x 在区间0,4π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦上的最大值．

（2）若()3f x =，求α与x 的值．

10. （13分）已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左

右两支上分别由动点A 和B ．

（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=

，求实数λ的值．

（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=．

11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，

0x >．

（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()

000'f x x f x f x x

+-<

（0x >）；

（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．

12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，

常数1q >．对任意的n +∈N ，有1

14n k n k a a +=≤∑．设C 为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合．

（1）求q 的值；

（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，

且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：1

1

m m

k k

k k a b ==≠∑∑；

（3）设集合{}1m m k n

k A a a C =⎧⎫

=∈⎨⎬⎩⎭

∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．

附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考．．

答案 选择题

1. 答案：11⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭

．提示：22x x =

，把原式视作x 的三次多项式分解因2.

3. 答案：4π．提示：原式视作m 的二次方程()22440ym x m y --+-=，判别式0<即可．

4. 答案：[]1,5-．提示：仔细算算． 填空题

5. 答案：4

．提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题． 6.

7. 答案：2

．提示：仔细算算．

8. 答案：44．提示：按A 中元素个数（A =0,1,2,…）逐个进行分类讨论． 解答题

9. 答案：（1）2cos α+；（2）2k α=π，（k ∈Z ）；38x n π

=π+，n ∈Z ．

提示：()2sin 2cos 4f x x ααπ⎛

⎫=+-+ ⎪⎝

⎭

．

10. 答案：（1）27λ=；（2）提示：

2222

22

A B B A A B B A A B B A P Q A B A B A B x y x y x y x y x y x y OP OQ x x y y y y y y -+-⋅=⋅=⋅=-+-，再带入2223A A y

x a =+，2223

B B y x a =+即可．