2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

附录1：2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一（理科）
选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式3
2
210x x -+<的解集为_____________．
2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大
小为60︒，三棱锥P ABC -
，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________．
3. 当实数m 变化时，不在任何直线()2
21440mx m y m +
---=上的所有点()
,x y 形成的图形的面积为_____________．
4. 已知函数()()2
211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛
⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨⎡⎫
⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩
．()244g
x x x =--．设b 为实数，若存
在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．
填空题（每题6分，共24分）
5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1
的概率为3
16
．则a 的值为_______________．
6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02
θπ
<≤
）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，
当12OP x y =+
e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．
7. 若函数sin 4y x ωπ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=，则实数ω
的值为_____．
8. 已知集合A ，B 满足{}1,2,3,,8A B = ，A B =∅ ．若A 中元素的个数不是A 中的
元素，B 中元素的个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________．
解答题（共56分）
9. （13分）设α∈R ，函数()()cos sin 2cos f x x x x αααα=++，
x ∈R ．（1）若,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 在区间0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值．
（2）若()3f x =，求α与x 的值．
10. （13分）已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的两条渐进线的斜率之积为3-，左
右两支上分别由动点A 和B ．
（1）设直线AB 的斜率为1，经过点()0,5D a ，且AD DB λ=
，求实数λ的值．
（2）设点A 关于x 轴的对称点为M ．若直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，O 为坐标原点，证明2OP OQ a ⋅=．
11. （15分）已知()f x 为R 上的可导函数，对任意的0x ∈R ，有()()000''4f x x f x x <+-<，
0x >．
（1）对任意的0x ∈R ，证明：()()()
000'f x x f x f x x
+-<
（0x >）；
（2）若()1f x ≤，x ∈R ，证明()'4f x ≤，x ∈R ．
12. （15分）已知实数列{}n a 满足11a =，1n n a q a +=，n +∈N ，
常数1q >．对任意的n +∈N ，有1
14n k n k a a +=≤∑．设C 为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合．
（1）求q 的值；
（2）设{}n a ，{}n b C ∈，m +∈N ，
且存在0n m ≤，使00n n a b ≠．证明：1
1
m m
k k
k k a b ==≠∑∑；
（3）设集合{}1m m k n
k A a a C =⎧⎫
=∈⎨⎬⎩⎭
∑，m +∈N ，求m A 中所有正数之和．
附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考．．
答案 选择题
1. 答案：11⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
．提示：22x x =
，把原式视作x 的三次多项式分解因2.
3. 答案：4π．提示：原式视作m 的二次方程()22440ym x m y --+-=，判别式0<即可．
4. 答案：[]1,5-．提示：仔细算算． 填空题
5. 答案：4
．提示：可转化为“线性规划+几何概型”问题． 6.
7. 答案：2
．提示：仔细算算．
8. 答案：44．提示：按A 中元素个数（A =0,1,2,…）逐个进行分类讨论． 解答题
9. 答案：（1）2cos α+；（2）2k α=π，（k ∈Z ）；38x n π
=π+，n ∈Z ．
提示：()2sin 2cos 4f x x ααπ⎛
⎫=+-+ ⎪⎝
⎭
．
10. 答案：（1）27λ=；（2）提示：
2222
22
A B B A A B B A A B B A P Q A B A B A B x y x y x y x y x y x y OP OQ x x y y y y y y -+-⋅=⋅=⋅=-+-，再带入2223A A y
x a =+，2223
B B y x a =+即可．
11. 提示：
（1）即证()()()000'0f x x f x f x x +-->，构造函数()()()()000'g x f x x f x f x x =+--，对()g x 求导证明()g x 在[)0,+∞上单增即可．
（2）由条件知()'f x 是R 上的单增函数，故()'f x 不可能恒等于零．
如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=，则对任意0x >，()()
00f x x f x x δ+->．
则当()01max 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪
>⎨⎬⎪⎪⎩⎭
时，()()()()000
011f x f x x x f x f x δδδ-+>+>⋅+=，与条件矛盾．
如果存在正实数0δ>，及实数0x ，使()0'f x δ=-，则对任意0x <，存在()00,x x x ξ∈+，
满足()()()()000''f x x f x f f x x ξ+-=<．则当()01min 0,f x x δ⎧⎫-⎪⎪
<⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，
()()()()()00001
1f x f x x x f x f x δδδ
-+>-+>-⋅+=，与条件也矛盾．
总之，题目中的条件永远不成立．故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题． 12. 提示：
（1）化简
11141n n q q q
+--≤-，可得()2
112n q q -≥-对任意正整数n 成立，左边在n 无穷大时是无穷小，所以2q =．
（2）方法一：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最大角标．则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
222m
m
l
l
l l l l
k k k
k k
l l k k
k k k k k k k a b
a b
a b a b
---=======-=
-=--
-≥-=∑∑∑∑∑∑∑．
方法二：假设l 是1，2，3，…，m 中满足n n a b ≠中的最小角标，则
()111
1
2220m m
l l l k k
l l l l k k a b
a b a b ++==-≡-+-≡±±±≡/∑∑（1
mod 2l +）
． （3）显然{}n a 的前m 项和是正数，当且仅当0m a >，此时i a （1i =，2，…，1m -）的符号随意．即{}n a ：1±，2±，4±，…，22m -±，12m -．这样的数列共有12m -个，若i a 与i b 符号相反，则进行配对（1i =，2，…，1m -）．于是，m A 中所有元素之和为
1122222m m m ---⋅=．
说明：
（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之． （2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路，应注意掌握．实际上，前者对应于Z 的欧几里得赋值，后者对应于Z 的p adic -赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大．。