正态概率图(normal-probability-plot).
正态分布概率公式(部分)
图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。
当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)= （6.16 ）式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ 是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。
上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。
正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。
（二）正态分布的特性1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。
因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。
在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。
2 、正态分布曲线有一个高峰。
随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。
3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。
曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
normal prob plot p值0.05
正态概率图和p值0.05【概述】1. 正态概率图是一种常用的统计工具，用于检验数据是否符合正态分布。
2. p值是在假设检验中常用的统计学概念，用于判断样本数据对某个假设的支持程度。
3. 本文将介绍正态概率图和p值的相关概念，以及它们在统计学中的应用。
【正态概率图的概念及作用】4. 正态概率图是一种用于检验数据是否服从正态分布的方法。
5. 在正态概率图中，样本数据被转换成标准分位数，然后与正态分布的理论值进行比较。
6. 如果数据符合正态分布，则图上的点应该近似落在一条直线上。
7. 利用正态概率图可以直观地判断数据是否呈现出明显的偏离正态分布的特征。
【p值的概念及意义】8. p值是在假设检验中用于判断样本数据对某个假设的支持程度的统计量。
9. 在假设检验中，首先提出一个原假设和一个备择假设，然后利用样本数据计算出p值。
10. 当p值小于事先设定的显著水平（通常是0.05），就会拒绝原假设。
11. p值的大小代表了样本数据对原假设的支持程度，越小表示越不支持原假设。
【正态概率图与p值在统计学中的应用】12. 在统计学中，正态概率图和p值常常用于检验数据的正态性和假设检验。
13. 通过正态概率图可以直观地观察数据的分布特征，快速判断数据是否符合正态分布。
14. 利用p值可以对实验结果的可靠性进行判断，帮助做出合理的统计推断。
【结语】15. 正态概率图和p值是统计学中常用的两种工具，它们为我们提供了检验数据分布和假设检验的有效手段。
16. 合理地利用正态概率图和p值，可以帮助我们更加客观地分析实验数据，做出科学的统计决策。
扩写新内容：【正态概率图的绘制方法】17. 正态概率图的绘制方法包括以下几个步骤：1) 将所研究的数据按照从小到大的顺序排列。
2) 计算出每个数据点对应的累积概率值，即计算累积分布函数。
3) 根据所得的累积概率值，查找对应的标准正态分布的理论值，通常利用正态分布的标准分位数来进行匹配。
可以使用统计软件或统计图表来实现这一步骤。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
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原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
正态概率图(normal probability plot)精编版
正态概率图(normal probability plot)方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q)概述正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。
是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。
如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。
通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。
适用场合·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时；·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。
例如：·确定一个样本图是否适用于该数据；·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前；·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。
实施步骤通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。
下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。
1将数据从小到大排列，并从1～n标号。
2计算每个值的分位数。
i是序号：分位数＝(i－0.5)/n3找与每个分位数匹配的正态分布值。
把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。
然后在表的左边和顶部找到对应的z值。
4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。
数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。
将在平面图上得到n个点。
5画一条拟合大多数点的直线。
如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。
将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。
请参阅注意事项中的典型图形。
可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。
示例为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。
表5. 12中有按次序排好的20个值，列上标明“过程数据”。
下一步将计算分位数。
如第一个值9，计算如下：分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025同理，第2个值，计算如下：分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。
正态概率分布
正态概率分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个非常重要的概率分布。
在数学、物理及工程等领域以及统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
基本信息
中文名正态分布
出处棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到
所属学科概率论
又名高斯分布、常态分布
应用领域数学、物理及工程等领域
发现者高斯
曲线形态呈钟型、两头低、中间高、左右对称。
数据的正态分布
数据的正态性检验汇总2012-11-21 00:01:04| 分类：统计学习|字号订阅如何在spss中进行正态分布检验一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。
3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。
两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。
由公式可见，部分文献中所说的"偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布"并不严谨。
2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W检验）。
SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。
SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。
对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3 和 5000 之间时，计算该统计量。
由此可见，部分SPSS教材里面关于"Shapiro – Wilk 适用于样本量3-50之间的数据"的说法实在是理解片面，误人子弟。
正态概率分布函数
正态概率分布函数
正态概率分布函数（Normal Probability Distribution, NPD）是数学和统计学中最重要的概率分布之一。
它表示的是一类服从某种特定的分布的随机变量的概率，也称为正态分布。
它具有非常重要的理论意义，广泛应用于数理统计中。
正态概率密度函数，又称正态分布函数，是一种特殊的概率分布，应用最广泛的概率分布之一，主要原因是正态概率分布可以简化很多统计方法的计算，同时还可以具有非常实用的性质，其中包括中心极限定理等。
正态概率分布具有以下共同特征：样本均值（简称为均值）等于随机变量期望，样本方差等于随机变量方差，数据点符合均匀分布；另外，垂直于均值线的两条贝塞尔曲线位于两边，并且贝塞尔曲线是对称的。
一般来说，概率分布的形状取决于均值和方差，正态概率分布的形状由均值调节，方差决定，均值越高正态曲线就越高，方差越大，则曲线越宽，曲线的右边越低。
而当方差趋近于零时，正态曲线就由直线表示。
正态分布在概率统计里有着重要的意义，它能够准确地描述实际问题中的随机变量，同时也可以提供许多非常重要的性质，如中心极限定理，大数定律等。
总的来说，正态概率分布函数是统计学中最重要的概率分布之一，广泛运用于数理统计，同时也有着非常重要的理论意义，是很多统计方法的重要基础。
解读Minitab的正态概率图
解读Minitab的正态概率图已有371 次阅读2009-11-5 20:41 |个人分类:Minitab|关键词:Minitab在DOE、Regression、统计检定时常需要用到正态分布的假设，检定一组数据是否取自正态分布，进行常态性检定最简单方法就是采用正态概率图。
最近很多贴文询问Minitab正态概率图的坐标系统、意义与手工绘制等议题，因涉及分配概率图的理解与使用，因此撰文剖析，如下图是以一组14个样本数据所画的正态概率图本图原始数据，经排序后如下34，35，36，37，38，39，40，40，41，42，43，44，45，46图上有5个注解，依序说明之注解1：Probability Plot of x，表示此图是一组数据，放在名为x的栏位上，下方有Normal 表示本项检定的H0是Normal –正态分布，当然H1就是非正态分布注解2：Mean 40表示数据平均值，StDev 3.742(计算结果3.74166)表示数据标准差，N 14表示数据数，这些计算式依据一般基本统计的公式计算而得注解3：蓝色直线是画在正态分布机率图纸上，是一条参考线，以判断是否H0成立详细解说如下1)鼠标移到Minitab蓝色直线上，就会出现如下图中的黄底的Percent与x数值表2) Percent与x数值表中，Percent为正态分布累积分配函数(CDF)，数值是介于0与1之间，表上数值为%值，习惯上是以F(x)表式之，而x为F(x)的反函数3)若直接以Percent与x( inv F(x))数值表作散布图不会得到依直线，而是S型曲线4)在Percent与x( inv F(x))数值表多加一栏z，其值为x( inv F(x))的标准化，z=( inv F(x)) –40)/3.741665)以x( inv F(x))为横轴，z为纵轴作散布图+回归线，可得一直线，将每个点以Percent作为数据卷标6)隐藏纵轴z，改用Percent的数据标签，就是一般的正态概率图纸** 此处须要另文说明解读正态概率图-正态概率图纸的秘密**注解4：红色散布图图点是将样本数据排序后，以median rank估计出该点的CDF值，根据CDF数值求出标准正态分布的反函数z值，再以x vs z绘出散布图(参考注解3)** 此处须要另文说明解读正态概率图-绘制小样本数据检验常态性**注解5：Anderson-Darling常态性检定以辅助图型判断** 此处须要另文说明解读正态概率图- Anderson-Darling检定**延伸阅读：用Excel做简易的正态概率图(Normal probability plot)例。
正态分布的种类PPT课件
用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
4
斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
正态分布时 Skewness为0, 右边斜型分布是(+),左边斜型 分布是(-)值. 在左边图中Skewness值为2.186, 是(+)值,因此是右边斜型分布
6
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 • 按照时间的工程变化 • 缺乏独立性或周期的变化 • 测定器精密度问题 • 具有异常点(Outliers)的数据
5
尖度(Skewness)的解释
急尖或平尖分布的平均的分布在中心,但左,右两边的尾巴比正态分布 短或长. Kurtosis称为尖度,表示分布形态的平或尖的程度
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
35
输 30 出
25
收率的分布 (右边斜型)
80% 相对粘性
粘性的分布 (正态分布)
输入
30% 相对粘性
50도
75도
输入
温度的分布
(正态分布)
12
6) 按时间工程变化时
按时间作业条件变化,因此制品品质变化时,有可能带来右边斜型 或左边斜型的结果
30
SAS中的正态性检验
SAS中的正态性检验SAS中的正态性检验许多计量资料的分析⽅法要求数据分布是正态或近似正态，因此对原始独⽴测定数据进⾏正态性检验是⼗分必要的。
正态性检验主要有三类⽅法:⼀、计算综合统计量如动差法、夏⽪罗-威尔克Shapiro-Wilk 法(W检验) 、达⼽斯提诺D Agostino 法(D检验) 、Shapiro-Francia 法(W检验) .⼆、正态分布的拟合优度检验如⽪尔逊χ2 检验、对数似然⽐检验、柯尔莫哥洛夫Kolmogorov-Smirov 法检验 .三、图⽰法(正态概率图Normal Probability plot)如分位数图(Quantile Quantileplot ,简称QQ图) 、百分位数(Percent Percent plot ,简称PP图) 和稳定化概率图(Stabilized Probability plot ,简称SP图) 等.SAS规则：当样本含量n ≤2000 时,结果以Shapiro - Wilk (W 检验) 为准,当样本含量n>2000 时,结果以Kolmogorov - Smirnov (D 检验) 为准。
SAS过程正态分布检验的⼀般格式如下：proc univariate data=数据集 normal;var 变量;histogram 变量;probplot 变量;run;在检验中，我们的零假设是变量服从正态分布，如果test for normality检验结果的p值⼩于0.05⽔平，则拒绝零假设，否则接受零假设。
在检验中，我们的零假设是变量服从正态分布，如果TEST FOR NORMALITY检验结果的P值⼩于0.05⽔平，则拒绝零假设，否则接受零假设。
SAS中的正态性检验(2010-03-02 13:06:22)标签：零假设sas分类：06.统计软件正态分布分位数it许多计量资料的分析⽅法要求数据分布是正态或近似正态，因此对原始独⽴测定数据进⾏正态性检验是⼗分必要的。
正态性检验的一般方法汇总
正态性检验的一般方法汇总1. 引言正态性检验是统计学中一项重要的方法，用于确定数据是否服从正态分布。
正态分布在许多统计分析和假设检验中起着关键的作用，因此正态性检验对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。
本文将综合介绍正态性检验的一般方法，包括直方图和正态概率图的可视化检验方法以及统计量检验方法。
2. 直方图检验直方图是一种用柱状图表示数据分布情况的可视化工具。
在正态性检验中，直方图可以帮助我们初步判断数据是否服从正态分布。
具体操作时，我们将数据划分为若干个区间，并统计每个区间内数据的频数。
如果直方图呈现钟形曲线，则表明数据具有较好的正态性。
反之，如果直方图呈现偏态分布，则可能说明数据不符合正态分布。
3. 正态概率图检验正态概率图是一种常用的正态性检验方法，其基本原理是将数据的分位数与标准正态分布的分位数进行比较。
通过在图上绘制数据的累积分布函数与标准正态分布的理论分布函数之间的关系，我们可以直观地判断数据是否服从正态分布。
在正态概率图中，数据点应当分布在一条直线上，如果数据点在直线上，则说明数据分布接近正态分布。
4. 统计量检验除了可视化方法，我们还可以使用统计量进行正态性检验。
常见的统计量检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验和D'Agostino-Pearson检验等。
这些检验方法都基于假设检验的原理，通过计算统计量并与理论分布进行比较，从而判断数据是否服从正态分布。
4.1 Kolmogorov-Smirnov检验Kolmogorov-Smirnov检验是一种常见的非参数检验方法，用于检验数据是否来自特定的分布。
在正态性检验中，Kolmogorov-Smirnov检验可以用来检验数据是否符合正态分布。
该检验基于经验分布函数和理论分布函数之间的最大差异，通过计算统计量并与临界值进行比较，可以判断数据的正态性。
4.2 Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种适用于小样本数据的正态性检验方法，其原理是通过计算统计量来衡量数据与正态分布之间的偏差程度。
解读正态概率图-正态概率图纸的秘密
解读正态概率图-正态概率图纸的秘密本文是对解读Minitab的正态概率图一文中注解3-正态概率图图纸的说明1上图的H0假设1)上图单组数据为34,35,36,37,38,39,40,40,41,42,43,44,45,46共N=14个2)计算得平均值为Xbar=40，标准差为s=3.741657 (图示为3.742)3)上图的H0假设数据源自正态分布，相对H1就是非正态分布4)基于正态分布的假设，所以根据样本数可以估计此正态分布的2个参数，平均值μ为40，标准差σ为3.7416572正态分布的特性x、z与累积分配函数1)正态分布z值有人称z score，是正态分布的变量x，转换为标准正态分布时对应值为z，关系是为z=(x-μ)/σ2)正态分布下变量x，经转换为标准正态分布对应值z，就可经由正态分布数值表或软件等求得x的累积分配函数(cdf)，cdf一般统计符号写成F(x)= P(X≦x)，P就是X≦x累积机率，正态概率图的纵坐标Percent就是F(x)3)鼠标移到Minitab蓝色直线上，就会出现如下图中的黄底的Percent与x数值表4)Percent与x数值表说明黄底的Percent与x数值表，Percent就是F(x)，F(x)是指定的解于0与1之间，表上所示数值系为%，透过标准正态分布，就可求F(x)的反函数z，然后以公式x=zσ+μ得到x值3正态性检定使用的正态概率图图纸1)下表为手工计算，结果与minitab的Percent与x数值表相符的作成蓝色参考值线的数据x、z、F(x)关系表如下表，表中系先指定F(x)，就是表中Percent栏，然后基于正态分布求x=F-1(x)，再使用正态分布标准化公式计算z=(x-Xbar)/s2)若以Percent vs x畫散佈圖是S型曲線並非直線，如下圖，所以常態機率圖的繪製有點竅門解读正态概率图的第一要务是理解所谓机率图图纸，常用有常态与Weibull二种机率图图纸，下图是正态概率图图纸的示意图，图中蓝色直线是基于H0的正态分布假设下，自样本数据去估计平均Xbar=40与标准差s=3.741657，并制作x、z、F(x)关系表(如上表)所作成4正确制作正态概率图图纸步骤1)作z vs x作散布图为了能够显示一直线，于是以z vs x作散布图，并于每个点上，标出该数据x对应的F(x)值，每一个点上也画出网格线如下图，观看网格线，似乎类似对数坐标(实际上并不是)2)將各點百分比值F(x)作為新座標Y軸3) 若将纵坐标Y轴隐藏或者是移到次坐标轴，而将数据卷标F(x)值作为纵坐标Y轴的坐标刻度，此时就是正态概率图纸5正态概率图的应有认识一张正态概率图表面上为F(x) vs x，实质上还是存在z vs x关系，构成正态概率图的二个轴分别为1)排序数据x2) 数据x对应累积比例(标准正态分布的百分位数值)至于数据x置于横轴或纵轴，不同软件表现不同，Minitab放在横轴，JMP放在纵、横轴均可指定，而Excel是放在在纵轴。
R正态性检验：正态概率图
R正态性检验：正态概率图检验模型是否满⾜正态性假设的⽅法：
1.正态概率图
这是我编写的画正态概率图的函数：
#绘制正态概率图
plot_ZP = function(ti) #输⼊外部学⽣化残差
{
n = length(ti)
order = rank(ti) #按升序排列，t(i)是第order个
Pi = (order-1/2)/n #累积概率
plot(ti,Pi,xlab = "学⽣化残差",ylab = "百分⽐") #画正态概率图
#添加回归线
fm = lm(Pi~ti)
abline(fm)
}
若正态概率图近似呈⼀条直线，认为模型是符合正态性假设的。
2.QQ正态检验图
qqnorm(d) #QQ图正态性检验
qqline(d) #添加趋势线
d是标准化残差
如果所有的点近似成直线，那么，残差就是正态分布的。
3.Shapiro正态性检验
shapiro.test(resid(fm1))
> shapiro.test(resid(fm1))
Shapiro-Wilk normality test
data: resid(fm1)
W = 0.97405, p-value = 0.748
Shapiro检验的原假设是：模型服从正态分布！
因为p-value>0.05 ，所以不拒绝原假设，即认为模型是符合正态性的。
Normal Probability Distributions7正态概率分布
Example: Male Height
64%
16%
16%
67.2 70 72.8
精选ppt
Reexpression of Non-Normal Variables
• Many biostatistical variables are not Normal • We can reexpress non-Normal variables
• Because the total AUC adds to 100%, 32% are in the tails below 67.2˝ and above 72.8˝
• Because of symmetry, half of this 32% (i.e., 16%) is below 67.2˝ and 16% is above 72.8˝
0.8
• 95% of ln(PSA) falls in
μ ± 2σ = −0.3 ±
(2)(0.8) = −1.9 to 1.3
• Thus, 2.5% are above
ln(PSA) 1.3; take anti-
log of 1.3: e1.3 = 3.67 精选ppt
§7.2: Determining Normal Probabilities
• Normal pdfs are recognized by their familiar bell-shape
This is the age distribution of a pediatric population. The overlying curve represents its Normal pdf model
精选ppt
Example: Normal Probability Step 1. Statement of Problem
解读Minitab的正态概率图
解读Minitab的正态概率图P值是MINITAB通过某种分布（F、T等）转换过来的一个值，正是由于概率中有太多的分布，一般对统计学不是很清楚的人是很难记住这些分布的。
通过转换，在MINITAB中，就只需看一个值，即P值，一般取0.05。
通过它来做假设检验，而假设检验又有很多类型，不是一下子能讲清楚的。
就LZ问题而言，从图中得出来的P值为0.84，大于0.05，可认为数据为正态分布（虽然样本量少了点）。
至于P值到底如何而来，AD值代表何意，就个人见解而言，LZ可以先不到这个深度。
Anderson-Darling 统计量,测量数据服从特定分布的程度。
分布与数据拟合越好，此统计量越小。
使用Anderson-Darling 统计量可比较若干分布的拟合情况，以查看哪种分布是最佳分布，或者检验数据样本是否来自具有指定分布的总体。
例如，可以使用Anderson-Darling 统计量为可靠性数据分析在Weibull 和对数正态分布之间进行选择，或者检验数据是否符合t 检验的正态性假设。
其实看一下Minitab帮助什么都有。
AD值代表你的真实的量测数据的累计分布与理论正态的累计正态分布的面积差，AD值越小，说明你的数据越接近正态分布数据。
在DOE、Regression、统计检定时常需要用到正态分布的假设，检定一组数据是否取自正态分布，进行常态性检定最简单方法就是采用正态概率图。
最近很多贴文询问Minitab正态概率图的坐标系统、意义与手工绘制等议题，因涉及分配概率图的理解与使用，因此撰文剖析，如下图是以一组14个样本数据所画的正态概率图本图原始数据，经排序后如下34，35，36，37，38，39，40，40，41，42，43，44，45，46图上有5个注解，依序说明之注解1：Probability Plot of x，表示此图是一组数据，放在名为x的栏位上，下方有Normal表示本项检定的H0是Normal –正态分布，当然H1就是非正态分布注解2：Mean 40表示数据平均值，StDev 3.742(计算结果3.74166)表示数据标准差，N 14表示数据数，这些计算式依据一般基本统计的公式计算而得注解3：蓝色直线是画在正态分布机率图纸上，是一条参考线，以判断是否H0成立详细解说如下1) 鼠标移到Minitab蓝色直线上，就会出现如下图中的黄底的Percent与x数值表2) Percent与x数值表中，Percent为正态分布累积分配函数(CDF)，数值是介于0与1之间，表上数值为%值，习惯上是以F(x)表式之，而x为F(x)的反函数3) 若直接以Percent与x( inv F(x))数值表作散布图不会得到依直线，而是S型曲线4) 在Percent与x( inv F(x))数值表多加一栏z，其值为x( inv F(x))的标准化，z=( inv F(x)) – 40)/3.741665) 以x( inv F(x))为横轴，z为纵轴作散布图+回归线，可得一直线，将每个点以Percent作为数据卷标6) 隐藏纵轴z，改用Percent的数据标签，就是一般的正态概率图纸** 此处须要另文说明解读正态概率图-正态概率图纸的秘密 **注解4：红色散布图图点是将样本数据排序后，以median rank估计出该点的CDF 值，根据CDF数值求出标准正态分布的反函数z值，再以x vs z 绘出散布图(参考注解3)** 此处须要另文说明解读正态概率图-绘制小样本数据检验常态性**注解5：Anderson-Darling 常态性检定以辅助图型判断** 此处须要另文说明解读正态概率图- Anderson-Darling檢定**。
Normal Probability Plot+QQ Plot
右偏态
左偏态
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Normal Probability Plot
正态概率图（Normal Probability Plot） • 概述：正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布，是实数与正态分布数据之间 函数关系的散点图。如果这组数据服从正态分布，正态概率图会是一条直线。 • 适用条件：（1）当你采用的工具或者方法需要使用服从正态分布的数据 （2）当有50个或更多数据点，为了获得更好的结果 • 计算原理：（1）将数据从小到大排列，并按照1到n标号 （2）计算每个值的分位数。分位数=（i-0.5）/n，其中i为序号 （3）从正态分布概率表中找到各分位数对应的Z值 （4）将数据点作散点图：实际数据值对应Y轴，正态分位数Z值对应X轴 （5）画一条拟合大多数点的直线与点形成的图形相比较，判断拟合正态 分布的好坏
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QQ-Plot
分位数-分位数图（quantile-quantile plot） • 概述：QQ图的主要作用是判断样本是否近似于某种类型的分布，或者验证两组数据是 否来自同一分布。这里的“QQ”是两个Quantiles的大写字母，即两个分位数。 • 适用条件：检验一组数据是否来自某个分布或者两组数据是否来自同一分布 • 计算原理：（1）将数据按照从小到大排列，并按照1到n标号 （2）计算每个值的分位数。分位数=（i-0.5）/n，其中i为序号 （ 3 ）将数据点作散点图：第一组数据的分位数对应 X 轴，另一组数据的 分位数对应Y轴 （ 4 ）作 y=x 的直线，如果两个分布相似，则该 Q-Q 图趋近于落在 y=x 线上。 如果两分布线性相关，则点在Q-Q图上趋近于落在一条直线上，但不一定在y=x线上。
正态分布及其应用 (normal distribution)
➢二．图形 正态分布密度函数
f(X) 21 exp((X 2 2)2)
其中参数 为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N(三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面 积 u2.21与外侧尾部面积 u2.21 相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
附表1给出了标准正态分布曲线下从的面积根据正态分布的对称性我们可以求出任何一个区间内标准正态分布曲线下的面积也就是落在任何一个区间内的概率
正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
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正态概率图(normal probability plot)
方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q)
➢概述
正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。
是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。
如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。
通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。
➢适用场合
·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时；
·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。
例如：
·确定一个样本图是否适用于该数据；
·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前；
·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。
➢实施步骤
通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。
下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。
1将数据从小到大排列，并从1～n标号。
2计算每个值的分位数。
i是序号：
分位数＝(i－0.5)/n
3找与每个分位数匹配的正态分布值。
把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。
然后在表的左边和顶部找到对应的z值。
4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。
数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。
将在平面图上得到n个点。
5画一条拟合大多数点的直线。
如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。
将
点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。
请参阅注意事项中的典型图形。
可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。
➢示例
为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。
表5. 12中有按次序排好的20个
值，列上标明“过程数据”。
下一步将计算分位数。
如第一个值9，计算如下：
分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025
同理，第2个值，计算如下：
分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075
可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20
以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。
现在可以在正态分布概率表中查找z值。
z的前两
个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数
字在表的最顶端一行。
如第1个分位数＝0. 025，它位
于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。
用相同的方式找到每个分位数。
如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法
进行求解。
例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736
与0.1762之间。
0.1736对应的z值为－0.94，0.1762
对应的z值为－0.93，故
这两数的中间值为z＝－0.935。
现在，可以用过程数据和相应的z值作图。
图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。
注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。
这属于典型的右偏态数据。
图表5.128显示了数据的直方图，可进行比较。
➢概率图( probability plot)
该方法可以用于检验任何数据的已知分布。
这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。
➢分位数-分位数图（quantile-quantile plot）
同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。
计算每个分布的分位数。
一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。
作一条45°的参照线。
如果这两个数据集来自同一分布，那么这些点就会靠近这条参照线。
➢注意事项
·绘制正态概率图有很多方法。
除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。
实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。
·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差就是直线斜率。
·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。
短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。
表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。
长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上
方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。
表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。
一个双峰分布也可能是这个形状。
右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。
因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈U型。
把正态分布左边截去，也会是这种形状。
左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。
因此，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。
把正态分布右边截去，也会是这种形状。
·如果翻转正态概率图的数轴，那么弯曲的形状也跟着翻转。
比如，左偏态分布将是一个U型的曲线。
·记住过程应该在受控状态下对图形作出有效判断。
·尽管作直方图能马上知道数据的分布，但它却不是判断这些数据是否来自同一特定分布的好办法。
人眼不能很好地判别曲线，其他的分布也可能形成相似的形状。
并且，用服从正态分布的少量数据集作成的直方图可能看起来不是正态的。
因此，正态概率图是判断数据分布的较好方法。
·判断数据分布的另一种方法是使用拟合良好性检定，比如Shapiro-Wilk检验，Kolmogorov-Smirnov检验，或者Lilliefors检验。
关于这些检验的具体描述，不在本书的讨论范围，这些检验在大多数的统计软件上都能实现。
向统计学家咨询如何选择正确的检验并解释其结果。
请参阅“假设检验”以理解这些检验和所得到的结论的一般原则。
·最好的方法是使用统计软件得到正态概率图并作拟合性检验。
结合使用可以对数据和统计标准有直观的理解，以此判定是否为正态。