信号与系统 连续时间LTI系统的频率响应共28页文档
信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
连续时间LTI系统的冲激响应
解得A= －1, B =1
h(t) e3tu(t) (t)
可见冲激响应的形式要根据微分方程情况设定
2. 冲激响应的求解
连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足微分方程
h(n)(t)
a h (n1) n 1
(t)
a h ' (t) 1
a n 1h (n1) (t)
a h ' (t) 1
a 0h ( t )
bm (m) (t)
b m 1 ( m 1 ) ( t )
b 1
'(t)
b (t) 0
2. 冲激响应的求解
[例] 某线性时不变系统的微分方程为y'(t) 3y(t) 2x(t), t 0 试求系统的冲激响应h(t)。
i1
j0
由微分方程的特征根确定u(t)前的指数形式。
由微分方程 (t)的最高阶导数与h(t)的最高阶导数确定 (j)(t)项。
连续时间LTI系统的冲激响应
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
a 0h ( t )
bm
(m)
(t)
b
b 1
'(t) b0 ( t )
(1) 当 n>m 时(假设特征根为不等实根)
n
h(t) ( Kiesit )u(t)
i1
(2) 当nm 时, h(t)应含有冲激及其高阶导数
n
mn
h(t) ( Kiesit )u(t) Aj ( j) (t)
i1
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析连续LTI系统的时域分析是信号与系统学中的重要课题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行信号与系统的分析。
下面将介绍MATLAB在连续LTI系统时域分析中的应用。
首先，我们需要了解连续LTI系统的基本概念。
一个连续域线性时不变系统（LTI系统）可以由它的冲激响应完全描述。
冲激响应是系统对单位冲激信号的响应。
在MATLAB中，可以使用impulse函数来生成单位冲激信号。
假设我们有一个连续LTI系统的冲激响应h(t)，我们可以使用conv 函数来计算系统对任意输入信号x(t)的响应y(t)。
conv函数实现了卷积运算，可以将输入信号与冲激响应进行卷积运算得到输出信号。
例如，我们假设一个连续LTI系统的冲激响应为h(t) = exp(-t)u(t)，其中u(t)是单位阶跃函数。
我们可以使用以下代码生成输入信号x(t)和计算输出信号y(t)：```matlabt=-10:0.1:10;%时间范围x = sin(t); % 输入信号h = exp(-t).*heaviside(t); % 冲激响应y = conv(x, h, 'same'); % 计算输出信号```这段代码首先定义了时间范围t，然后定义了输入信号x(t)和冲激响应h(t)。
接下来，使用conv函数计算输入信号和冲激响应的卷积，设置参数’same’表示输出信号与输入信号长度相同。
最后，得到了输出信号y(t)。
在得到输出信号后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化结果。
例如，使用以下代码可以绘制输入信号和输出信号的图像：```matlabfigure;plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制输入信号hold on;plot(t, y, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制输出信号xlabel('时间');ylabel('幅度');legend('输入信号', '输出信号');```除了卷积运算外，MATLAB还提供了许多其他函数来进行连续LTI系统的时域分析。
信号与系统连续时间LTI系统的稳定性
Bode图分析法，通过绘 制系统开环幅频特性和 相频特性曲线，观察幅 值裕度和相位裕度来判
断系统稳定性。
观察系统闭环频率响应 的极点分布，若所有极 点都位于复平面的左半
平面，则系统稳定。
复数域分析法
通过求解系统特征方程，得到系统特征根，若所有特征根都具有负实部， 则系统稳定。
利用Routh-Hurwitz稳定性判据，构造Routh表或Hurwitz行列式，判断 系统特征方程根的性质，从而判断系统稳定性。
时变系统稳定性
时变系统的稳定性分析比时不变系统更为复杂。 未来研究可以关注时变连续时间LTI系统的稳定性 问题，发展适用于时变系统的稳定性理论和方法 。
跨学科应用
连续时间LTI系统的稳定性理论在通信、控制、信 号处理等领域具有广泛应用。未来可以探索将稳 定性理论应用于其他相关领域，如生物医学、经 济学等，以推动跨学科的发展。
仿真验证
利用控制系统仿真软件，对控制系统进行仿真验证，观察系统在不同条件下的响应及稳定性表现。同时， 通过调整控制器参数，优化系统性能。
07 总结与展望
研究成果总结
稳定性分析方法
通过对连续时间LTI系统的稳定性进行深入研究，总结了多种有效的分析方法，包括频域 法、时域法和复平面法等。这些方法为系统稳定性的判断提供了有力工具。
劳斯-赫尔维茨判据适用于系统特征方程系数均 为实数的情况，对于复数系数，则需要通过一 些变换转化为实数形式。
奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据是基于系统频率响应的稳定性判据，通过绘制系统开环频率响应的奈 奎斯特图，观察其包围临界点（-1,j0）的情况来判断系统稳定性。
若奈奎斯特图不包围临界点（-1,j0），则系统稳定；若包围一次，则系统有一个不稳 定根；若包围多次，则系统有多个不稳定根。
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中，MATLAB是一个强大的工具，它提供了许多功能，使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统，时域分析是一个重要的方法，它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应，通过使用MATLAB模拟系统，我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号，从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统：首先，我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数，它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号：为了观察系统的行为，我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中，我们可以使用square函数来生成一个方波信号，该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统：使用MATLAB的lsim函数，我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数，然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果：我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为，并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中，我们使用了不同的输入信号（如方波、正弦波等）来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号，我们都观察了系统的输出信号，并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号，我们可以得出以下结论：1.对于方波输入，系统的输出信号是带有延迟的方波，这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入，系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波，这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性：即对于单位阶跃函数（突变信号）的输入，系统的响应是瞬时的；而对于周期性输入（如正弦波），系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符，从而验证了我们的模型是正确的。
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析报告
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()(3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
2.1、LTI联续系统的响应
信号与系统电子教案信号与系统西安电子科技大学第二章连续系统的时域分析LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。
这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。
两种基本的求解方法：解微分方程法卷积法2.1 LTI 连续系统的响应一、微分方程的经典解y (n)(t) + a n-1y (n-1)(t) + …+ a 1y (1)(t) + a 0y (t)= b m f (m)(t) + b m-1f (m-1)(t) + …+ b 1f (1)(t) + b 0f (t)微分方程的经典解：y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）齐次解是齐次微分方程y (n)+a n-1y (n-1)+…+a 1y (1)(t)+a 0y(t)=0的解。
y h (t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。
例1:描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
解: (1) a.求方程齐次解：特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0其特征根λ1= –2，λ2= –3。
齐次解为yh (t) = C1e –2t + C2e –3tc.确定全解：y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1e –2t + C 2e –3t + e –t其中待定常数C 1,C 2由初始条件确定。
y(0) = C 1+C 2+ 1 = 2，y’(0) = –2C 1 –3C 2 –1= –1 解得C 1 = 3 ，C 2 = –2最后得全解y(t) = 3e –2t –2e –3t + e –t , t≥0 b.求方程特解：当f(t) = 2e –t 时，其特解可设为y p (t) = Pe –t将其代入微分方程得Pe –t + 5(–Pe –t ) + 6Pe –t = 2e –t 解得P=1于是特解为y p (t) = e –t（2）齐次解同上。
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
信号与系统 连续时间LTI系统的频率响应
信号与系统
三、频率响应的计算
从而得幅频响应为
H ω 1 2 ω RC
2
相频特性为
( )
π arctan CRω 2
H j ω
1
2
0
j ω
2
信号与系统
有始信号通过线性电路的瞬态分析
例：已知 e(t ) 2 u t u t ，求零状态响应u0 t
( ) ( )
信号与系统
二、频率响应的性质
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实 现系统。(物理可实现性)。 佩利—维纳准则： 幅频响应为 H ( ) 的系统可实现的必要条件为
ln H ( ) 1
2
d
而且幅频特性必须平方可积，即
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
综上所述，系统频率响应有以下几种等价的定义。 （1）频率响应 H(ω) 是系统零状态响应与系统激励信号的傅 里叶变换之比，即 Y ( ) H ( ) X ( ) （2） 频率响应 H(ω) 是系统冲激响应的傅里叶变换，即
h(t ) H ( )
当系统的激励为复指数信号 e j t ( t ) 时，系统的零 状态响应由卷积积分可得
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
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优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
信号与系统——系统函数
36
对于非最小相移函数
(s s2 )(s s ) H b ( s) (s s1 )(s s ) * (s s2 )(s s ) (s s2 )(s s2 ) * (s s1 )(s s ) (s s2 )(s s2 )
* 2 * 1 * 2 * 1
st s j
e
jT
因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位 圆上(|z|=1)也收敛
bm e
j 1
jT
z j
H (e jT )
e
n i 1
jT
pi
j
bm B1B2 ...Bme j 1 2 ...m A1 A2 ...An e j 1 2 ... n
1 极点：p1 ， R1C1 1 p2 R2C 2 零点： z1 0 2/7/2019
-π/2
33
最小相移函数
零、极点均位于s平面左半开平面
* (s s2 )(s s2 ) H a ( s) * (s s1 )(s s1 )
极点位于s平面左半开平面，零点位于s平 面右半开平面
2/7/2019
11
几种典型情况
jω0
j
α
O
α
jω0
2/7/2019
12
2.离散系统:
Z平面:
单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k (k)
单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) →∞
Im[z] Z平面
→0
增幅
θ0 z 1 单位圆内
单位圆外
连续LTI系统频率响应的计算方法
(t)
LdiL (t) dt
vL(t)
L
VL( j) LjIL( j)
-
VL ( j) jL
IL ( j)
例 图示R C 电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t) 电容两端的电压vC(t)，电路的初始状态为零。求系统的
频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
R
R
+
x(t)
-
+
C
y(t)
-
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明信
号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。
由于|H(j(1/RC))|0.7，所以把c=1/RC称为该系统的3dB截频。
连续LTI系统频率响应的计算方法
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学 积累，来源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流， 难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！
➢根据描述连续LTI系统的微分方程，计算系统的频率响应
若描述LTI系统的微分方程为
y ''(t) a2 y '(t) a1y '(t) a0 y(t) b2x '(t) b1x '(t) b0x(t) 利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为
[( j)3 a ( j)2 a ( j) a ]Y ( j)=[b ( j)2 b ( j) b ]X ( j)
H ( j) F {h(t)} h(t)e jtdt
例 已知某连续LTI系统的冲激响应为
h(t) = (ete2t) u(t)，求该系统的频率响应H(j)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
2.1LTI连续系统的响应
四、零输入响应和零状态响应
系统响应的分解可以表示为：
y(t) = 4 e−2t − 2 e−5t + 8
3
15
5
︸ ︸ 自由响应 强迫响应
（瞬态响应） （稳态响应）
= − 4 e −2t + 2 e −5t + 8 e −2t − 4 e −5t + 8
3
15 3
15
5
︸ 零输入响应
k =1
k =1
︸ 零输入响应
︸ 零状态响应
四、零输入响应和零状态响应
例2 给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且 已经达到稳态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路 状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响
应。
2 S R1=1
i(t)
1
பைடு நூலகம்
iC(t)
iL(t)
+
e(t)=4V -
n
∑ yzi (t) = Azik exkt k =1
由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发 生变化，即y (k) (0+)= y (k) (0-) ，于是， yzi(t)中的常数 可以由 y (k) (0-)确定。
四、零输入响应和零状态响应
零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作 用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产 生的响应，记为yzs(t)。它满足方程 an yzs (n) (t) +an-1 yzs (n-1) (t) +…+a1 yzs (1) (t) + a0 yzs (t) = bm f(m) (t) + bm-1 f(m-1) (t) + …+b1 f(1) (t) + b0 f (t) 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1) ，其表达式为：
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
2
6
3
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 2.系统的零状态响应
当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t) 产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。
求解系统的零状态响应yf (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) 0
求解方法： ✓ 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式 ✓ 再由初始条件确定待定系数。
[例1] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4f(t), t>0
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解得 K1= 6，K2= 5
yx (t) 6e2t 5e3t , t 0
[例2] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。
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LTI系统稳定的充要条件是
h(t) dt
亦即狄里赫利条件中的绝对可积条件。
(2) 频率响应具有共轭对称性，即 H()H()
即
H()H()
（4） 频率响应 H(ω) 是系统对正弦信号 cost 正弦
稳态响应的幅度之比和附加相移，即
c o t s H ( ) c o t s
信号与系统
二、频率响应的性质
(1) 存在性 存在性依赖于稳定性。
只有稳定的LTI系统才存在频率响应。
有一点需要指出的是，上面讨论的测量方法中，测量的 响应是系统的零状态响应，也就是正弦稳态响应。
所以系统频率响应只是包含了系统零状态响应或正弦稳 态响应的信息，而系统起始状态对系统的作用不能从系统频 率响应中求得。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
综上所述，系统频率响应有以下几种等价的定义。
H(ω) 称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为
H ()H ()ej
H ( ) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应
或幅频特性。 () 称为系统的相频响应特性，简称相频响应
一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义
y (t) H ( )c o t s
系统输入信号是正弦信号，那么系统的零状态响应（正弦 稳态响应）也是一个同频率的正弦信号，响应信号的幅度和 相位有了变化。
零状态响应与激励信号幅度的比值随频率的变化就是系统 的幅频响应。
零状态响应信号与激励信号相位之差随频率的变化就是系 统的相频响应。
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
根据傅立叶变换的时域卷积性质有 Y()H ()X ()
Fh(t)H()YX(())
信号与系统
Fh(t)H()YX(())
说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。 h(t)和H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。
H ()H ()ej
H ( ) 系统的幅频响应。是 ω 的偶函数。
() 系统相频响应，是 ω 的奇函数。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义
当系统的激励为复指数信号 ejt( t)时，系统的零 状态响应由卷积积分可得
y ( t) e j t h ( t)e j ( t ) h () d e j t e j h () d e j tH ()
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
y (t) H ( )c o t s
上式还为实验手段测量系统频率响应提供了理论依据。 实验方法测量系统频率响应一般是让输入正弦信号幅度 恒为1，改变输入正弦信号的频率 测量输出信号的幅度就可以得到系统的幅频响应 测量输出信号与输入信号的相位差就可以得到系统的相频 响应。
上式表明，当一个复指数信号 e j t作用于线性系统时，
其响应仍为同频率的复指数信号，不同的是响应比激励多乘
了一个复函数 H(ω) 。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义
当系统的激励为某一频率的正弦时，co t s t
根据欧拉公式
cots 1ejejtejejt 2 可以求得这时系统响应
则有
Y ()b m (j X () a n(j
)m b m 1 (j )m 1 b 1 (j ) b 0 )n a n 1 (j )n 1 a 1 (j ) a 0
令 H () Y () X ()
Y()H ()X()
或相频特性. 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励 无关，是表征系统特性的一个重要参数。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
当系统的激励为冲激信号δ(t) ，系统的零状态响应即为
冲激响应 h (t) ，即 y(t)h(t)(t)h(t)
对任意激励x(t)响应为 yzs(t)h(t)x(t)
（1）频率响应 H(ω) 是系统零状态响应与系统激励信号的傅
里叶变换之比，即 H() Y() X()Байду номын сангаас
（2） 频率响应 H(ω) 是系统冲激响应的傅里叶变换，即
h(t)H()
（3） 频率响应 H(ω) 是系统对复指数信号
（得到系统的稳态响应）
ejt H()ejt
e j t 的加权
y(t)1ejejtH () e je jtH () 2 1 e je j tH ()e j e je j tH ()e j 2 H ( )c o s t
信号与系统
信号与系统
§ 4.6 连续时间LTI系统的频率响应（1）
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统，即
d n y ( t ) d y ( t )
d m x ( t ) d x ( t )
a nd t n a 1d t a 0 y ( t ) = b m d t m b 1d t b 0 x ( t )
由傅立叶变换及其性质可得：
a n [ ( a j n ( ) j n Y ) ( n ) a 1 a ( 1 j ( j) ) Y a ( 0 ] Y ) b m ( ( a j 0 ) Y ) ( m [ b X ) m ( ( j ) ) m b 1 ( j b 1 ( ) j X ( ) ) b 0 b ] 0 X X ( () )