利用数轴比较有理数的大小 类题典例1
2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题(教师版)
2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题专题课1 绝对值的应用类型1 绝对值的非负性①|a |≥0.①若|a |＋|b |＝0，则a ＝b ＝0.1．若|x |＝x ，则x 的取值范围是( )A ．x ＞0B ．x ≤0C ．x ≥0D ．x ＜0 2．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是__________． 3．已知|x －3|＋|y －1|＝0，求2x ＋3y 的值．4．已知有理数|x －2|与|y －3|互为相反数，求x ＋y ＋xy 的值．类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是________． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是________．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是________．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝________；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x－3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ________－0.009；－2 0192 020 ________－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来．类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；(2)－45 与－56 ；(3)－821 与－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是________．4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C.(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数．类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝________，b＝________．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是________．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( )A．－4 B．0 C．－2 D．4 12．已知a，b是不为0的有理数，且|a|＝－a，|b|＝b，|a|>|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是( )13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a＝________，b＝________．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B，C，D处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B 记为：A→B(＋1，＋4)，从B到A记为：B→A(－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B→D(________)，C→________(－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程．类型4利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52 ，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是________，A ，B 两点之间的距离为________；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是________；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是________，点N 表示的数是________． 16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是________； ①从－2到2有5个整数，分别是________________； ①从－3到3有7个整数，分别是________________________； ①从－100到100有________个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有________个整数；(3)在单位长度是1 cm 的数轴上任意画一条长为1 000 cm 的线段AB ，线段AB 盖住的整点最多有多少个？专题课4 有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳 方法1 相反数结合法【例1】 计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).方法2 同号结合法——把正数和负数分别结合相加 【例2】 计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.方法3 同分母结合法 【例3】 计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18 ；(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615 ).方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加 【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78 .方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差 【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312 .方法6 裂项相消法【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14 ，…，根据规律完成下列各题． (1)19×10＝________； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900的值为________．易错点 分解带分数时易弄错符号【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123 .强化训练 计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13 )；(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318 ；(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512 )；(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212 |；(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47 )]＋|－4|；(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112 )；(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172 ；(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳 方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412 ).方法2 运用乘法对加法的分配律 【例2】 计算：(1)－16×(34 －78 ＋12 )＋(－1)2020.(2)391314 ×(－14)；方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367 .方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律 【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124 ).强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算) (1)－0.75×(－112 )÷(－214 )；(2)－(3－5)×32÷(－1)3；(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34 ；(4)－14－(12 －23 ＋14 )×12；(5)(－5)÷(－127 )×(－214 )÷7；(6)1318 ÷(－7)；(7)(－5)－(－5)×110 ÷110 ×(－5)；(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14 ×(－13)；(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18 ；(10)－14－(－512 )×411 ＋(－2)3÷|－32＋1|；(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16 )；(12)1－0.52 －|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|；(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题专题课1绝对值的应用类型1绝对值的非负性①|a|≥0.①若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0.1．若|x|＝x，则x的取值范围是( C )A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜02．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是x≤2．3．已知|x－3|＋|y－1|＝0，求2x＋3y的值．解：因为|x－3|和|y－1|均为非负数，即|x－3|≥0, |y－1|≥0，又因为|x－3|＋|y－1|＝0，所以|x－3|＝0，|y－1|＝0.所以x－3＝0，y－1＝0.所以x＝3，y＝1.所以2x＋3y＝2×3＋3×1＝9.4．已知有理数|x－2|与|y－3|互为相反数，求x＋y＋xy的值．解：因为|x－2|与|y－3|互为相反数，所以|x－2|＝－|y－3|.所以|x－2|＋|y－3|＝0.所以x－2＝0，y－3＝0.所以x＝2，y＝3.所以x＋y＋xy＝2＋3＋2×3＝11.类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是2． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是5．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是2．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝7或－3；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x －3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？ 解：(2)当3≤x ≤6时，|x －3|＋|x －6|有最小值，最小值为3. (3) 当x ＝2时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值为7.专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( C )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( A )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( A )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .解：－a ，－b 对应的点如图所示． 由数轴上点的位置可得－b ＜a ＜－a ＜b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．解：各数分别为：3.5，－3.5，－12，±3，－1.在数轴上表示如图：这些数由大到小用“>”连接为：3.5＞3＞－12 ＞－1＞－3＞－3.5.类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( D )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( D )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ＞－0.009；－2 0192 020 ＞－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来． 解：5＞1＞0＞－2＞－3.类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；解：因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)－45 与－56；解：因为|－45 |＝45 ＝2430 ，|－56 |＝56 ＝2530 ，且2430 <2530 ， 所以－45 >－56 .(3)－821 与－|－17 |.解：－|－17 |＝－17.因为|－821 |＝821 ，|－17 |＝17 ＝321 ，且821 ＞321 ， 所以－821 ＜－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( B )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( A ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( B )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( A )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( C )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是－7或－1． 4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？ 解：如图所示．4＞212＞－1.5＞－|－3|＞－5.最大数与最小数两点之间相距9个单位长度．5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A ，再向右爬了2个单位长度到达点B ，然后又向左爬了10个单位长度到达点C .(1)画出数轴，标出A ，B ，C 三点在数轴上的位置，并写出A ，B ，C 三点表示的数； (2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D 表示的数． 解：(1)如图：A ，B ，C 三点表示的数分别为4，6，－4.(2)点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的．(3)从原点向右爬4个单位长度，再向左爬7个单位长度，可以到D ，结合数轴可得，点D 表示的数为－3.类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝3，b＝－3．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是2或－4．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( A )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？解：(1)点C表示的数是－1.(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是－4.5.类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( D )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( C )A ．－4B ．0C ．－2D ．412．已知a ，b 是不为0的有理数，且|a |＝－a ，|b |＝b ，|a |>|b |，那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( C )13．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a ＝2或－2，b ＝3．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A 处出发去寻找B ，C ，D 处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A →B (＋1，＋4)，从B 到A 记为：B →A (－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B →D (＋3，－2)，C →A (－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A →B →C →D ，请计算贝贝走过的路程．解：|＋1|＋|＋4|＋|＋2|＋|0|＋|＋1|＋|－2|＝10(米).答：贝贝走过的路程为10米．类型4 利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是4或－2，A ，B 两点之间的距离为3.5；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是4.5；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是－6.5，点N 表示的数是4.5．16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是－1，0，1；①从－2到2有5个整数，分别是－2，－1，0，1，2；①从－3到3有7个整数，分别是－3，－2，－1，0，1，2，3；①从－100到100有201个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有21个整数；(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长为1 000 cm的线段AB，线段AB盖住的整点最多有多少个？解：依题意，得①当线段AB起点在整点时覆盖1 001个数；①当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖1 000个数．综上所述，线段AB盖住的整点最多有1 001个．专题课4有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳方法1相反数结合法【例1】计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)＝0＋0＋1＋(－4)＝－3.方法2同号结合法——把正数和负数分别结合相加【例2】计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.解：原式＝9－10－2＋8＋3＝(9＋8＋3)－(10＋2)＝20－12＝8.方法3同分母结合法【例3】计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18； 解：原式＝(－23 －13 )＋(－35 －25 )＋(78 ＋18) ＝－1－1＋1＝－1.(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615). 解：原式＝[－479 －(＋229 )]＋[－(－315 )＋(－615)] ＝－7－3＝－10.方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18 ＋78＝(0.75＋0.25)＋(18 ＋78)－3 ＝1＋1－3＝－1.方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312. 解：原式＝(－1－56 )＋(－5－23 )＋(24＋34 )＋(3＋12) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56 )＋(－23 )＋34 ＋12] ＝21＋(－14) ＝2034.方法6 裂项相消法【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14，…，根据规律完成下列各题．(1)19×10 ＝19 －110 ； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900 的值为99100 ．易错点 分解带分数时易弄错符号【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123. 解：原式＝6＋34 ＋3＋13 －5－14 －3－12 ＋1＋23＝(6＋3－5－3＋1)＋(34 ＋13 －14 －12 ＋23) ＝2＋1＝3.强化训练计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－7－5－4＋10＝－6.(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)＝7－7＝0.(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13)； 解：原式＝[12 ＋(－12 )]＋[(－23 )＋(－13 )]＋45＝0＋(－1)＋45＝－15.(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318； 解：原式＝－478 ＋512 －412 －318＝(－478 －318 )＋(512 －412) ＝－8＋1＝－7.(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512)； 解：原式＝14 ＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512) ＝(14 －14 )＋[112 ＋(－23 )＋(－512)] ＝－1.(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212|； 解：原式＝12 ＋2.5＋1－212＝12 ＋1＋(2.5－212) ＝112.(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47)]＋|－4|； 解：原式＝1－[(－1)＋37 －5＋47]＋4 ＝1－[(－1＋37 ＋47)－5]＋4 ＝10.(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112)； 解：原式＝(－205)＋400＋34 ＋(－204)＋(－23 )＋(－1)＋(－12) ＝(400－205－204－1)＋(34 －23 －12) ＝－10＋(－512) ＝－10512.(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172； 解：原式＝－(12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172) ＝－(1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋14 －15 ＋15 －16 ＋16 －17 ＋17 －18 ＋18 －19 ) ＝－(1－19) ＝－89.(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100)＝－1＋1－1＋1－…－1＋1＝0.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412). 解：原式＝－531 ×29 ×3115 ×92＝－(531 ×3115 )×(29 ×92) ＝－13×1 ＝－13.方法2 运用乘法对加法的分配律【例2】 计算：(1)－16×(34 －78 ＋12)＋(－1)2020. 解：原式＝－16×34 ＋16×78 －16×12＋1 ＝－12＋14－8＋1＝－5.(2)391314×(－14)； 解：原式＝(40－114)×(－14) ＝40×(－14)－114×(－14) ＝－560＋1＝－559.方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367. 解：原式＝－367×(4－3＋6) ＝－27.方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124). 解：原式＝(43 －58 ＋712)×(－24) ＝43 ×(－24)－58 ×(－24)＋712×(－24) ＝－32＋15－14＝－31.强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)(1)－0.75×(－112 )÷(－214)； 解：原式＝－34 ×(－32 )×(－49) ＝－12.(2)－(3－5)×32÷(－1)3；解：原式＝－(－2)×9÷(－1)＝－2×9÷1＝－18.(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34； 解：原式＝32 ×45 ×52 ×34＝94.(4)(2020·成都成华区期末)－14－(12 －23 ＋14)×12； 解：原式＝－1－12 ×12＋23 ×12－14×12 ＝－1－6＋8－3＝－2.(5)(－5)÷(－127 )×(－214)÷7； 解：原式＝－5×79 ×94 ×17＝－54.(6)1318÷(－7)； 解：原式＝1318 ×(－17) ＝(14－78 )×(－17) ＝－2＋18＝－178.(7)(－5)－(－5)×110 ÷110×(－5)； 解：原式＝(－5)－(－5)×110×10×(－5) ＝－5－25＝－30.(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14×(－13)； 解：原式＝－137 ×(2＋5)－13×(234 ＋14) ＝－107×7－13×3 ＝－10－39＝－49.(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18； 解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18＝125×8×18＝125.(10)－14－(－512 )×411＋(－2)3÷|－32＋1|； 解：原式＝－1＋112 ×411－8÷8 ＝－1＋2－1＝0.(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16)； 解：原式＝1＋112 ÷(612 －312 －212) ＝1＋112 ÷112＝1＋1＝2.(12)1－0.52－|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|； 解：原式＝－4－16×3×11 ＝－4－112＝－192.(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.解：原式＝[(－1)－32 ×18＋56 ×18＋19×18]÷4 ＝(－1－27＋15＋2)÷4 ＝(－11)÷4＝－114.。
怎样比较有理数的大小
数学篇比较有理数的大小，是学习有理数时经常遇到的问题.由于负数、相反数、绝对值等概念的引入，增加了解答此类问题的难度.现介绍几种比较有理数大小的方法.一、利用绝对值比较大小借助绝对值可以比较两个负数的大小:“两个负数，绝对值大的反而小”.其步骤如下:(1)分别求出两个负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”确定两个负数的大小.例1比较-89和-910的大小.解:因为||||||-89=89,||||||-910=910，而89<910，所以-89>-910.评注：比较负数的大小，一定要先比较其绝对值的大小，然后根据“绝对值大的反而小”得出最终结果．二、分类比较大小对于几个正负数一起比较大小的问题，可采用分组比较的方法，即先将需比较大小的各数按正数、零、负数进行分类，接着在各个“类”内进行大小比较，最后按正负数的比较法则写出结果.例2用“>”号将13，-12，-13，0连接起来.解：∵13>0，-12<0，-13<0，||||||-12=12，||||||-13=13，12>13，1213∴13>0>-13>-12．评注：把一组数分成正数、0、负数再分类比较：（1）负数<0<正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．三、利用数轴比较大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据这个特点可把需要比较的数表示在数轴上，通过数轴比较两数的大小.这种方法特别适用于同时比较多个有理数的大小.例3有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，将a ，-a ，b ，-b ，1，-1用“<”号排列出来.1a0-1b 图1分析：由图1看出，a >1，-1<b <0，∣b ∣<1<∣a ∣.-a ，-b 分别是a 和b 的相反数，数轴上表示a 和-a ，b 和-b 的点都关于原点对称，他们到原点的距离分别相等，用这个性质在数轴上画出表示-a ，-b 的点，如图2，他们的大小也就排列出来了1a-ab-1-b图2解：在数轴上画出表示-a ，-b 的点，由图2可以得出，-a <-1<b <-b <1<a .评注：对用字母表示的有理数进行大小比较时，常常画出数轴，利用数轴进行大小比较，把“数”与“形”结合进行解题非常直观.四、作差值比较大小数苑纵横怎样比较有理数的大小甘肃武威田梦数学篇为任意两个有理数，先求出a 与b 的差，再根据当a -b >0时，得到a >b ；当a -b <0时，得到a <b ；当a -b =0，得到a =b .例4当0<x <1时,x 2,x ,1x的大小顺序是().A.1x <x <x 2B.1x<x 2<x C.x 2<x <1x D.x <x 2<1x解:因为0<x <1，所以1-x >0，x -1<0，x +1>0.所以x -x 2=x (1-x )>0.所以x >x 2.又x -1x =x 2-1x =(x +1)(x -1)x<0.所以x <1x ,即x 2<x <1x,故选C 项.评注：当要比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，差值比较法是常采用的方法.五、作商值比较大小作商值比较大小就是求出两个数的商，然后将商与1进行大小比较.设a ，b 是任意两正数，则a b >1⇔a >b ；a b =1⇔a =b ；ab<1⇔a <b .例5比较5251与2627的大小.解:因为5251÷2627=5251×2726=5451>1，所以5251>2627.评注：当比较大小的两个正分数作商易约分时，商值比较法往往能起到事半功倍的效果.六、取倒数比较大小倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正有理数，分别求出a 、b 的倒数1a ,1b，如果1a <1b ，那么有a >b ；1a >1b ，那么有a <b .例6比较1111111和111111111的大小.解：1111111的倒数是101111，111111111的倒数是1011111，因为101111>1011111，所以1111111<111111111.评注：有些分数通分母和通分子都不方便，而分子分母之间的差相等，或是分子分母之间的整数倍数相同，就可以比较倒数.倒数越大，原分数就越小；倒数越小，原分数就越大.七、分类讨论比较大小用字母表示的两个有理数，随着字母取值的变化，它们的大小关系也随之变化.因此，当用字母代替数时，比较大小必须对字母的取值情况进行分类讨论，分类后字母的取值不能重复、遗漏.例7比较a 与1a的大小.解：⑴当a >1时，a >1a.⑵当a =1时,a =1a.⑶当0<a <1时,a <1a.⑷当-1<a <0时,a >1a.⑸当a =-1时,a =1a.⑹当a <-1时,a <1a.综上所述，当a >1或-1<a <0时,a >1a;当a =±1时,a =1a ;当0<a <1或a <-1时,a <1a.评注：比较含有字母的数，要对字母的取值范围进行讨论，尤其还要考虑两个数取何值时相等.此外，还可以把各数在数轴上表示出来，作为分类的依据.总之，正确熟练地比较有理数的大小，对后面的学习非常重要.比较有理数大小的方法较多，应根据数的特征灵活选择比较的方法，做到具体问题具体分析，准确快速解答.数苑纵横22。
专题1.8 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)2
专题1.8 数轴贯穿有理数的经典考法【九大题型】【人教版】【题型1 数轴上点的平移】 (1)【题型2 数轴上点表示的数】 (3)【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】 (4)【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】 (5)【题型6 数轴与方程思想的运算】 (12)【题型7 数轴上的动点定值问题】 (13)【题型8 数轴上的折叠问题】 (16)【题型9 数轴上点的规律问题】 (19)【题型1 数轴上点的平移】【例1】（2022•惠安县校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，如图所示．（1）将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是；（2）将点C向左平移3个单位得到数m，再向右平移2个单位得到数n，则m，n分别是多少？（3）怎样移动A、B、C中的两点，使三个点表示的数相同？你有几种方法？【变式1-1】（2022•沂水县一模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，1，将点A向右平移2个单位长度，得到点C（点C不与点B重合），若CO＝BO，则a的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【变式1-2】（2022•乳山市期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列问题：（1）将点A在数轴上向左平移1个单位长度后记为A1，A1表示的数是，将点B在数轴上向右平移31个单位长度后记为B1，B1表示的数是；（2）在（1）的条件下，将点B1向移动个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点B2表示的数是多少？【变式1-3】（2022•工业园区期末）【理解概念】对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以2，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移3个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B、C、D、E、F经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′、C′、D′、E′、F′．【巩固新知】（1）若点A表示的数为﹣1，则点A′表示的数为．（2）若点B′表示的数为9，则点B表示的数为．【应用拓展】（3）若点C表示的数为5，且CD′＝3CD，求点D表示的数；（4）已知点E在点F的左侧，将点E′、F′再次进行“倍移”后，得到的点分别为E″、F″，若E″F″＝2020，求EF的长．【题型2 数轴上点表示的数】【例2】（2022秋•三元区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14）（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？【变式2-1】（2022秋•德惠市校级月考）东方红中学位于东西方向的一条路上，一天我们学校的李老师出校门去家访，他先向西走100米到聪聪家，再向东走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：（1）如果把这条路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请你在这条数轴上标出聪聪家与青青家的大概位置（数轴上一格表示50米）．（2）聪聪家与刚刚家相距多远？（3）聪聪家向西20米所表示的数是多少？（4）你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离？【变式2-2】（2022春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（）A．3B．3.1C．πD．3.2【变式2-3】（2022•南安市模拟）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（）A．点A B．点B C．点D D．点E【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】【例3】（2022秋•岳池县期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜1；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的b结论有（）个．A．4B．3C．2D．1【变式3-1】（2022秋•新郑市期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述错误的是（）A．数轴是以小明所在的位置为原点B．数轴采用向北为正方向C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53D．小刚在小颖的南边【变式3-2】（2022秋•海淀区校级期末）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么原点的位置可能是（）A．线段AM上，且靠近点A B．线段AB上，且靠近点BC．线段BM上，且靠近点B D．线段BM上，且靠近点M【变式3-3】（2022秋•海陵区校级期中）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是m，n，点M在表示0，1的两点（不包括这两点）之间移动，点N在表示﹣1，﹣2的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0B．|3m+n|的值一定小于2C．1m−n的值可能比2000大D．1m +1n的值不可能比2000大【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】【例4】（2022秋•盱眙县期中）已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”．请根据上述规定回答下列问题：（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝．（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为；（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E 为点A、B的“n节点”，求出n的值．【变式4-1】（2022秋•江夏区校级月考）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．（1）①AB＝；②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝；③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝．（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？【变式4-2】（2022•长汀县期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C 到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【变式4-3】（2022•湖里区校级期中）已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点．（1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；（2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点．①若点M运动到原点O时，此时点M【A，B】的好点（填是或者不是）②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间（3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．【题型5 数轴上的行程问题】【例5】（2022秋•东阿县期末）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为；（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．求：①P、Q相遇时求P对应的数②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动．当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？【变式5-1】（2022秋•市中区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【变式5-2】（2022•越秀区二模）甲、乙两个昆虫分别在数轴原点和+8的A处，分别以1单位长度/s，1.5单位长度/s速度同时相向而行．（1）第一次相遇在数轴上何处；（2）若同时沿数轴的负方向而行，乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫？（3）在（1）的条件下，两个昆虫分别到达点A和O处后迅速返回第二次相遇于数轴何处？【变式5-3】（2022春•南关区校级月考）一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．【题型6 数轴与方程思想的运算】【例6】（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知3a＝4b﹣3，则代数式c﹣5d的值是（）A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8【变式6-1】（2022秋•余姚市期末）数轴上有6个点．每相邻两个点之间的距离是1个单位长，有理数a，b，c，d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示：（1）完成填空：c﹣a＝，d﹣c＝，d﹣a＝；（2）比较a+d和b+c的大小；（3）如果4c＝a+2b，求a+b﹣c+d的值．【变式6-2】（2022秋•武昌区校级月考）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且b﹣2a＝9，请在图中标出原点O，并求出3c+d﹣2a的值．【变式6-3】（2022•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点．【题型7 数轴上的动点定值问题】【例7】（2022秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【变式7-1】（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置：（2）点C到点A的距离CA＝cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为；（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．【变式7-2】（2022秋•黄陂区期末）数轴上A，B，C三点对应的数a，b，c满足（a+40）2+|b+10|＝0，B为线段AC的中点．（1）直接写出A，B，C对应的数a，b，c的值．（2）如图1，点D表示的数为10，点P，Q分别从A，D同时出发匀速相向运动，点P的速度为6个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回到A又折返向C点运动；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P，Q两点相遇点在数轴上对应的数．（3）如图2，M，N为A，C之间两点（点M在N左边，且它们不与A，C重合），E，F分别为AN，CM的中点，求AC−MN的值．EF【变式7-3】（2022•荔湾区期末）数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的值．的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝OM，求ABOM【题型8 数轴上的折叠问题】【例8】（2022秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是．（2）翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示B点表示．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为．（用含有a，b的式子表示）【变式8-1】（2022秋•苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是．【变式8-2】（2022秋•丰城市期中）操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：①﹣5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少③已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值．【变式8-3】（2022秋•邗江区校级月考）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①数7对应的点与数对应的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？（3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由．【题型9 数轴上点的规律问题】【例9】（2022秋•茅箭区校级月考）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互为相反数．（1）求a，b，c的值．（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数．（3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2019次移动后到达点P，求P点表示的数．，我们称点P′是【变式9-1】（2022秋•成都期末）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是11−a 点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样，则点A2016在数轴上表示的数是．依次得到点A1、A2、A3、A4，…，A n．若点A1在数轴表示的数是12【变式9-2】（2022秋•翁牛特旗期中）已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点．（1）数轴上A、B两点的距离为8．（2）当P点满足PB＝2P A时，求P点表示的数．（3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4．①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k o的值是多少？②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是__（请直接写答案）．【变式9-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是；（2）若使点B所表示的数最大，则需将点C至少向移动个单位；（3）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动个单位；（4）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有种，其中移动所走的距离和最少的是个单位；（5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳________-步，落脚点表示的数是；跳了第n次（n是正整数）时，落脚点表示的数是．。
比较有理数大小的类型和方法
比较有理数大小的类型与方法一、两个有理数比较大小，可以归纳为五种情况：（1）两个正数，如3和310； 分析：1、一个分数和一个小数比较大小时，要统一成分数或者小数，一般统一成小数；2、异分母的两个分数比较大小时，先通分再比较。
（2）正数和0，如3和0；分析：由“比较大小的法则：正数大于零”，直接可得出3>0（3）负数和0，如-2和0；分析：由“比较大小的法则：负数小于零”，直接可得出-2<0（4）一个负数和一个正数，如-2和3；分析：由“比较大小的法则：负数小于正数”，直接可得出-2<3（5）两个负数，如-2和-3。
分析：因为33,22=-=-，2<3，由“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得-2>-3二、比较有理数大小的方法方法一：利用数轴比较有理数的大小数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
例1：在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：－35，0,1.5，－6,2，－514. 解：如图所示.－6＜－514＜－35＜0＜1.5＜2. 例2：如图，有理数a 在数轴上的位置如图所示，则( )A.a＞2B.a＞－2C.a＜0D.－1＞a解：选B例3：大于-2.5而小于3.5的整数共有个。
解：6个例4：已知a＞0，b＜0，且b＞a，试比较a、a-、b、b-的大小。
解：根据题意画出数轴，如图在数轴上表示a-、b-的点。
根据“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”，可得b＜-a＜a＜-b方法二：利用比较大小的法则比较有理数大小。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例5：在3，－9,412，－2四个有理数中，最大的是()A.3B.－9C.412 D.－2解：选C方法三：利用特殊值比较有理数的大小。
例6：比较2a与3a的大小。
解：当0<a时，aa32>当0=a时，aa32=当0>a时，aa32<。
有理数比较大小经典讲义
1．利用数轴进行有理数的大小比较(1)数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大．(2)正数大于零，零大于负数，正数大于负数．(3)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a＞0表示a是正数；反之，a是正数也可以表示为a＞0.同理，a＜0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为a＜0.另外可以用a≥0表示a是非负数，用a≤0表示a是非正数．谈重点利用数轴判断正数的大小(1)利用数轴比较两个正数的大小，离原点越远，表示的数就越大，离原点越近，表示的数就越小．(2)利用数轴比较两个负数的大小，离原点越近，表示的数就越大，离原点越远，表示的数就越小．【例1－1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a________0，b________0，a________b.解析：a在原点的左边，是负数，负数小于0；b在原点的右边，是正数，正数大于0；数b的对应点在数a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数．答案：＜＞＜【例1－2】 比较下列各数的大小： (1)－|－1|__________－(－1)；(2)－(－3)__________0；(3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16__________－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－17； (4)－(－|－3.4|)________－(＋|3.4|)．解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1)＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1)；(2)化简－(－3)＝3，因为正数都大于0，所以－(－3)＞0；(3)分别化简两数，得－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝16，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－17＝－17，因为正数大于负数，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＞－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－17；(4)同时化简两数，得－(－|－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较．答案：(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＞2．两个负数的大小比较(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边．例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤①分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．解技巧 正确比较两个分数的大小在比较两个分数大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．例如比较－12与－13的大小时，先求得－12的绝对值是12，－13的绝对值是13，然后比较12与13的大小得12＞13，从而－12＜－13，在整个解答过程中，－12与－13的顺序不变． 【例2】 比较－23与－34的大小． 分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．两个负分数化成同分母分数之后，分子越大，分数值越小．解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝23＝812，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34＝34＝912，而812＜912，所以－23＞－34. 3．有理数的大小比较几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大，绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁为简．利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等)大小比较的问题．【例3】在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：－4,3,0，－0.5，＋412，－212.分析：在数轴上表示上述数时，关键是：＋412应在4的右边，－212应在－2的左边；－0.5应在原点的左边、－1的右边．本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．利用数轴比较有理数的大小时，关键是每个数的位置必须正确确定．解：如图所示，－4＜－212＜－0.5＜0＜3＜＋412.4.利用数轴比较含有字母的有理数的大小“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．【例4】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较a，－a，b，－b，c，－c,0的大小，并用“＜”连接．分析：观察数轴知a＜0，b＜0，c＞0；根据绝对值的意义，得|a|＞|b|＞|c|；根据相反数的几何意义，可以把a，－a，b，－b，c，－c,0都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．解：把a，－a，b，－b，c，－c,0表示在数轴上，如图所示：所以a＜b＜－c＜0＜c＜－b＜－a.5．有理数大小比较的拓展有理数的大小比较是初中数学的一个重要内容．有理数的大小比较常规的方法有很多，这里再介绍两种常用的方法．(1)差值比较法：设a，b是任意两数，则a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a ＝b.(2)商值比较法：设a，b是任意两个正数，则ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.【例5－1】 比较5251与2627的大小． 分析：计算5251与2627的商，再用商与1进行比较．若大于1则被除数大于除数；若小于1则被除数小于除数．解：因为5251÷2627＝5251×2726＝5451＞1，所以5251＞2627. 【例5－2】 比较13与0.3的大小． 分析：计算13与0.3的差．若大于零，则被减数大于减数；若小于零，则被减数小于减数；若等于零，则两数相等．解：因为13－0.3＝1030－930＝130＞0，所以13＞0.3.。
有理数的大小比较(4种题型)(解析版)(浙教版)
有理数的大小比较（4种题型）【知识梳理】1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【考点剖析】 题型一：借助数轴直接比较数的大小例1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－112，4，0.解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示：1a b >a b >1a b =a b =1ab<a b <因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜12＜4＜＋5.方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式1】在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，1-22，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）【答案】数轴见详解，1(3)2(1)452−+<−<−−<−<．【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示：∴用“＜”连接各数为：1(3)2(1)452−+<−<−−<−<；【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键．【变式2】如图，数轴上依次有四个点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的数互为相反数，则在这四个点中表示的数绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．PC ．ND ．Q【答案】D【分析】先利用相反数的定义确定原点为线段MN 的中点，则可判定点Q 到原点的距离最大，然后根据绝对值的定义可判定点Q 表示的数的绝对值最大． 【详解】解：∵点M ，N 表示的数互为相反数， ∴原点为线段MN 的中点， ∴点Q 到原点的距离最大， ∴点Q 表示的数的绝对值最大． 故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了相反数． 【变式3】（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－13，52，0.25（2）比较下列各组数的大小①35-与34− ②| 5.8|−−与( 5.8)−−【答案】（1）数轴见详解；10.2503523−<−<<<；（2）①3354−>−；② 5.8(5.8)−−<−− 【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示：由题意，3−的相反数是3；0的相反数是0；13−的相反数是13；52的相反数是52−；0.25的相反数是0.25−；∴10.2503523−<−<<<；（2）①∵3354<， ∴3354−>−； ②| 5.8| 5.8−−=−，( 5.8) 5.8−−=， ∴5.8(5.8)−−<−−；【点睛】本题考查了数轴的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．题型二：借助数轴间接比较数的大小例2.已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确的是( )A ．a ＜b ＜－a ＜－bB ．b ＜－a ＜－b ＜aC ．－a ＜a ＜b ＜－bD ．－b ＜a ＜－a ＜b解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，则有：－b ＜a ＜－a ＜b.故选D.方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式1】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ） A ．2− B ．1.3C ．0.4−D ．0.6【答案】C【分析】离原点最近，即求这四个点对应的实数绝对值的最小值即可．【详解】解：22,1.3 1.3,0.40.4,0.60.6−==−==又2 1.30.60.4>>>∴离原点最近的是0.4−，故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较、有理数与数轴的对应关系、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知0a <，0ab <，且a b >，那么将a ，b ，a −，b −按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A ．a b b a −>−>> B ．b a a b >>−>− C ．b a a b >−>>− D ．a b b a −>>−>【答案】D【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a ＜0，ab ＜0， ∴b ＞0， 又∵|a|＞|b|，∴设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a ＞b ＞-b ＞a ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小．题型三：运用法则直接比较大小 例3.比较下列各对数的大小：①－1与－0.01； ②2−−与0； ③－0.3与31−； ④⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−91与101−−。
初一数轴问题经典例题
《数轴》知识点解读+经典例题知识点1数轴（重点）1.数轴的概念画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度.规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
如下图2.数轴的画法（1）画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些．（2）定方向：通常取原点向右的方向为正方向．（3）定单位长度：选取适当的长度（如0.5cm）为单位长度，若在数轴上表示是0.0001和－0.0004则可取一个单位长度为0.0001；在数轴上表示3000与－4000，则可规定一个单位长度为1000．（4）标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，－1，－2，－3，－4等各点．3.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.注意：（1）在取原点位置和确定单位长度时，要根据题目的不同特点，灵活选取.（2）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都可以表示有理数.（今后要学的无理数也可以用数轴上的点来表示）【例1】指出下图中的数轴上各点表示的数.解析读出在数轴上的点表示的有理数分两步：（1）根据点在原点的左右边确定有理数的符合；（2）根据点与原点的距离确定数值.答案A点表示-212；B点表示-1，C点表示0；D点表示2；E点表示212.【类型突破】画出数轴，并用数轴上的点来表示下列各数：+4，-2，-4.5，11 3，0.答案知识点2有理数大小的比较（重点）利用数轴可比较有理数的大小，即（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）由正数、负数、0在数轴上的位置可知：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.提示：正负数的表示方法：因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可用a>0表示a 是正数；反之，知道a 是正数也可以表示为a>0.同理，a<0表示a 是负数；反之，a 是负数也可以表示为a<0.【例2】将下列各数在数轴上描出其对应点，并用“<”将它们连接起来.-312，3，-2，32，-0.5，12，1,0.解析将给出的数在数轴上表示出来，再根据数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大的规律来比较大小.答案在数轴上表示如下图所示.用“<”连接为：113320.5013222-<-<-<<<<<方法总结：比较数的大小时，利用数轴，把这些数用数轴上的点来表示，根据右边的总比左边的大比较，这种方法是数学结合思想的初步运用.【类型突破】写出所以大于132-而小于314的整数.答案-3，-2，-1,0,1。
数学 七年级上 有理数的大小比较习题及答案
-5-3 Biblioteka 1.3 0.3●●
●
●
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
将它们按从小到大的顺序排列为：
2021/6/24 －5 <－3 <-1 .3<0.3
2
☞ 巩固知识
1.判断下列各式是否正确
（1）2.9>-3.1 √ （2）0<-14
×
（3）-10>-9
× （4）-5.4<-4.5 √
－3，－2，－1，0，1，2，3.
2021/6/24
5
2021/6/24
6
综合创新训练
有理数a，b，c在数轴上的位置如 图所示，试比较a，-a，b，-b，c，-c， 0的大小，并用“＜”连接。
2021/6/24
7
能力提升
1.已知-a＜b＜-c＜0＜-d，且︱d︱＜ ︱c︱，试将a，b，c，d，0按由大到小 的顺序排列。
习题
2.5 有理数的 大小比较
2021/6/24
1
☞ 趁热打铁
例1 将有理数3，0，1 65 ，―4按从小到大
顺序排列，用“＜”号连接起来。
―4＜0＜1 65 ＜3。
例2 在数轴上表示数-3,-5,-1.3,0.3，并
比较它们的大小，将它们按从小到大的顺
序用“＜”号连接。
解： -3,-5,-1.3,0.3在数轴上表示如图：
答：没有最大的正整数，最小的正整数是1。
⑶有没有最大的负整数和最小的负整数？
答：最大的负整数是－1，没有最小的负整数。
2、填空：在-17，-2.5 , 5.7 , 0 , -0.31 , 5 中，最
大的整数是 5.7；最大的负数是 0.3；1 最小的有理
有理数的大小比较的方法与技巧
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝1×4，B＝ 3×2，试比较A和B的大小．解：设1＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。
∴A＜B。
2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。
七年级数学上册 1.3 有理数大小的比较 比较大小方法多
比较大小方法多同学们，在小学里，你是怎样比较数的大小呢？到了中学，学习了负数以后，数的种类增多了，比较大小的方法也多了. 下面教你几招比较有理数大小的方法，一定要记住哟.一、多数比较用数轴根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”.借助数形结合来进行比较，这种方法特别适合同时比较多个有理数的大小.例1.用“＞”连接下列各数：32，－5，0，3.6，－3，－12，－112. 分析：先把各数在数轴上表示出来，然后比较大小.解：将各数用数轴上的点表示，如下图所示：根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，得到：3.6＞32＞0＞－12＞－112＞－3＞－5． 评注：用数轴上的点表示有理数时，正数在原点的右边，负数在原点的左边，一定要细心，不能标错数的位置.二、一正一负用法则根据有理数大小比较法则“正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数”来进行比较，这是比较两个有理数大小最常用的方法.当要比较大小的两个数只有一个正数或只有一个负数时，用该法则比较既简便又快捷.例2.比较下列各组数的大小：（1）299-和0.0001； （2）0.0001和0；（3）0和1009-. 分析：根据法则直接进行比较. 解：（1）由于299-是负数，0.0001是正数，根据“正数大于一切负数”，得到299-<0.0001； （2）由于0.0001是正数，根据“正数大于0”可得0.0001>0；（3）由于1009-是负数，根据“负数小于0”可得0>1009-. 评注：对于两个不同号的有理数比较大小时，用该法非常简便.三、两负数比较用绝对值“两个负数，绝对值大的反而小”这也是比较有理数大小常用的方法，主要用于比较两个负数的大小.例3. 比较-与－999810099的大小. 分析：先计算两数的绝对值，再通过比较其绝对值的大小比较其本身的大小. 解：因为9998-＝9998＝1－991，10099-＝10099＝1－1001；而991＞1001， 所以98999899,9910099100-<->故－－. 评注：两个负数比较大小，只要比较它们绝对值即可，绝对值大的反而小.要特别要注意书写过程的规范.四、字母比较取特值就是选取符合题目条件的具体数字代换题中的字母进行比较，该法主要适用于比较字母的大小.例4.设0a >，0b <，且a b <，用“＜”把a ，a -，b ，b -连接起来.分析：由于字母有很大的抽象性.我们可用符合条件的具体数值代换字母，通过比较数的大小来比较字母的大小.解：选取符合条件的数，设1a =，2b =-，（符合0a >，0b <，且a b <的条件） 则1a -=-，2b -=.由于2112-<-<<.所以b a a b <-<<-.评注：本题也用借助数轴来比较，把各数表示在数轴上如下：从而b a a b <-<<-.。
专题03《数轴》知识讲练—暑假小升初数学衔接之精编讲义(解析)北师大版
北师大版暑假小升初数学衔接之知识讲练专题03《数轴》1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.(重点)2.理解数轴上的点和有理数的对应关系，会利用数轴比较有理数的大小.(难点)3.要求学生充分掌握数轴的三要素，理解点在数轴上的表示方法在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．数轴的概念观察如图所示的温度计，回答下列问题：（1）点A表示多少摄氏度？点B呢？点C呢？（2）温度计刻度的正负是怎样规定的?以什么为基准?（3）每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点?活动：把温度计平放，我们能从中发现什么？思考：你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗?画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴.数轴的画法1.画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.2.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.3.选择适当的长度为单位长度.【例题1】判断下面所画数轴是否正确，并说明理由原点、正方向、单位长度一个也不能少.归纳总结画数轴注意事项：(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般画水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.观察画好的数轴，思考以下问题：(1)原点表示什么数？(2)原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？，－1.5，0分别在数轴的什么位置？(3)＋3，−14★任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示.【例题1】指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．解：点A表示1.5；点B表示－0.5；点C表示－3；点D表示3；点E表示－2.【例题2】画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－312，4，－1.5，212，0，1.8，－2.【例题3】如图，数轴上点A 表示的数为+3，把点A 先向右平移5个单位，再向左平移10个单位到点B ，则点B 表示的数为 .新知引入：利用数轴比较有理数的大小活动1：把温度计平放，从左到右观察刻度，我们能发现什么？活动2：类比倒置的温度计，观察数轴上两个点表示的数，右边的与左边有怎样的大小关系？你发现了么？结论：A-1321-20-10010203025155-5-1540355045解：如图所示．-2越来越大(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数.【例题1】比较下列每组数的大小：和－4;（1）－2和＋6; （2）0和－1.8; （3）−321．（2020•朝阳区三模）下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最近的是()A．2-B．1-C．2D．3【解答】解：2-到原点的距离是2个长度单位，-到原点的距离是1个长度单位，12到原点的距离是2个长度单位，3到原点的距离是3个长度单位，∴到原点的距离最近的是1-．故选：B．2．（2019秋•行唐县期末）点B，C在同一条数轴上，其中点B表示的数为2-，若4BC=，则C点在数轴上对应点是()A．1或5-B．2或6-C．0或4-D．4【解答】解：当C点在B点右侧时，BC=，4C ∴点表示的数是242-+=，当C 点在B 点的左侧时， 4BC =，C ∴点表示的数是246--=-，故选：B ．3．（2019秋•沙河口区期末）如图，点A 所对应的数是6-，点B 所对应的数是2，AB 的中点所对应的数是( )A ．3-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：点A ，B 分别表示6-和2， 268AB ∴=+=，∴线段AB 的中点所表示的数是2-，故选：C ．4．（2019秋•新宾县期末）在数轴上，如果一个数到原点的距离等于5，那么这个数是( ) A ．5B ．5-C ．5或5-D ．以上都不是【解答】解：在原点左侧到原点的距离等于5，这个数为5-， 在原点右侧到原点的距离等于5，这个数为5+， 故选：C ．5．（2019秋•新市区校级月考）在数轴上，距离与表示2-的点相距5个单位长度的点所对应的的数是 7-或3 ．【解答】解：若点在2-的左边，则257--=-， 若点在2-的右边，则253-+=，所以，在数轴上与表示2-的点相距5个单位长度的点所表示的数是7-或3． 故答案为：7-或3．6．（2019秋•和平区校级月考）数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的数都是整数，若点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且27b a -=，则数轴上的原点应是 C 点．【解答】解：根据题意得：427a bb a +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩．则原点是C ． 故答案为：C ．7．（2019秋•曹县期中）A 为数轴上表示2-的点，将点A 在数轴上移动3个单位得到点B ，则点B 表示的数是 5-或1 ． 【解答】解：由题意可得，点B 表示的数是：235--=-或231-+=． 故答案为：5-或1．8．（2019秋•海安市期末）已知数轴上点A ，B 分别对应数a ，b ．若线段AB 的中点M 对应着数15，则a b +的值为 30 ．【解答】解：如图所示：点A 、B 对应的数为a 、b ， AB a b ∴=-，152a ba -∴-=，解得：30a b +=， 故答案为30．9．（2019秋•天桥区期末）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点，在东西方向上营运，向东为正，向西为负，行车路程依先后次序记录如下（单位：):9km +，3-，5-，4+，8-，6+，3-，6-，4-，7+． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼什么方向？（2）将最后一名乘客送到目的地，出租车一共行驶多少千米？ （3）若每千米的价格为2.4元，司机一下午的营运额是多少元？ 【解答】解：（1）93548636473--+-+---+=-，答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点3千米，在鼓楼西方； （2）935486364755+++++++++=（千米）， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车一共行驶55千米； （3）55 2.4132⨯=（元)，答：每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是132元．10．（2019秋•正定县期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是P ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算P 的值；若以C 为原点，P 又是多少？ （2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且38CO =，求P ． 【解答】解：如图所示：（1）2AB =，1BC =，∴点A ，C 所对应的数分别为2-，1；又201P =-++，1P ∴=-；（2）原点0在图中数轴上点C 的右边，38CO =， C ∴所对应数为38-，又2AB =，1BC =，点A ，B 在点C 的左边，∴点A ，B ，所对应数分别为39-，41-，又41(39)(38)P =-+-+-118P ∴=-．11．（2019秋•凤翔县期中）快递员小王下午骑摩托车从总部出发，在一条东西走向的街道上来回收送包裹．他行驶的情况记录如下（向东记为“+”，向西记为“-”，单位：千米）:2+， 3.5-，3+，4-，2-， 2.5+，2+（1）小王最后是否回到了总部？（2）小王离总部最远是多少米？在总部的什么方向？（3）如果小王每走1000米耗油30毫升，那么小王下午骑摩托车一共耗油多少毫升？ 【解答】解：（1）2 3.5343 2.520-+--++=，∴小王最后回到了总部；（2）2( 3.5) 1.5+-=-（米)，1.53 1.5-+=（米)，1.5(4) 2.5+-=-（米)，2.52 4.5--=-（米)，4.5 2.52-+=-（米)，220-+=（米)，∴小王离总部最远是4.5千米，在总部的西方向；（3）|2|| 3.5||3||4||2|| 2.5||2|19++-+++-+-++++=（千米）， 1930570⨯=（毫升），答：小王下午骑摩托车一共耗油570毫升．一．选择题1．（2019秋•涞水县期末）在数轴上表示数11-和2009的两点分别为A 和B ，则A 和B 两点间的距离为( )A ．1998B ．2008C ．2019D ．2020【解答】解：2009(11)2009112020--=+=， 故选：D ．2．（2019秋•涞水县期末）在一条南北方向的跑道上，张强先向北走了10米，此时他的位置记作10+米．又向南走了13米，此时他的位置在( ) A ．23+米处B ．13+米处C ．3-米处D ．23-米处【解答】解：10133+-=-米， 故选：C ．3．（2019秋•满城区期末）如图，在数轴上有5个点A ，B ，C ，D ，E ，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C 表示的数是1-，则点E 表示的数是( )A ．5-B ．0C ．1D ．2【解答】解：如果点C 表示的数是1-，则点D 表示原点，所以E 表示的数是2， 故选：D ．4．（2019秋•延边州期末）如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为( )A ．3B ．0C ．1-D ．2-【解答】解：由数轴可知，蚂蚁在原点的右侧，故数轴上蚂蚁所在点表示的数为正数， 故选：A ．5．（2019秋•溧水区期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数为2-，那么点B 表示的数是( )A ．3B ．2C ．0D ．1-【解答】解：253-+=， 故选：A ．6．（2019秋•石家庄期末）已知三个数0a b c ++=，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：已知0a b c ++=，A ．由数轴可知，0a b c >>>，当||||||a b c =+时，满足条件．B ．由数轴可知，0a b c >>>，当||||||c a b =+时，满足条件．C ．由数轴可知，0a c b >>>，当||||||b a c =+时，满足条件．D ．由数轴可知，0a b c >>>，且||||||a b c <+时，所以不可能满足条件．故选：D ．二．填空题7．（2019秋•新会区期末）数轴上表示有理数 2.5-与3.5两点的距离是 6 ．【解答】解：数轴上表示有理数 2.5-与3.5两点的距离是3.5( 2.5) 3.5 2.56--=+=，故答案为：6．8．（2019秋•潮州期末）在数轴上，若A 点表示数1-，点B 表示数2，A 、B 两点之间的距离为 3 ．【解答】解：2(1)3--=．故答案为：39．（2019秋•绵阳期末）在数轴上点A 对应的数为2-，点B 是数轴上的一个动点，当动点B 到原点的距离与到点A 的距离之和为6时，则点B 对应的数为 4-或2 ．【解答】解：设点B 表示的数为b ，①当点B 在点A 的左侧时，则有26b b ---=，解得，4b =-，②当点B 在OA 之间时，26AB AO +=≠，因此此时不存在，③当点B 在原点的右侧时，则有26b b ++=，解得，2b =，故答案为：4-或2．10．（2019秋•西宁期末）点A 表示数轴上的数2-，将点A 移动10个单位长度后得到点B ，则点B 表示的数是 8或12- ．【解答】解：2108-+=，21012--=-，故答案为：8或12-．11．（2019秋•仪征市期末）动点A ，B 分别从数轴上表示10和2-的两点同时出发，以7个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动， 3或5 秒后，点A ，B 间的距离为3个单位长度．【解答】解：设运动的时间为t 秒，则运动后A 所表示的数为(107)t -，B 所表示的数为(24)t --，由题意得，|107(24)|3t t ----=，解得，3t =或5t =．故答案为：3或5．三．解答题12．（2019秋•曲靖期末）某治安巡警分队常常在一条东西走向的街道上巡逻．一天下午，该巡警分队驾驶电动小汽车从位于这条街道上的某岗亭出发巡逻，如果规定向东为正，向西为负，他们行驶里程（单位：)km 如下：6-，2-，8+，3-，6+，4-，6+，3+．问：（1）这辆小汽车完成巡逻后位于该岗亭的那一侧？距离岗亭有多少千米？（2）已知这种电动小汽车平均每千米耗电0.15度，则这天下午小汽车共耗电多少度？【解答】解：（1）628364638()km --+-+-++=答：这辆小汽车完成巡逻后位于该岗亭的东侧，距离岗亭有8千米．（2）(|6||2||8||3||6||4||6||3|)0.15-+-+++-+++-++++⨯(62836463)0.15=+++++++⨯380.15=⨯5.7=（度) 答：这天下午小汽车共耗电5.7度．13．（2019秋•吴兴区期末）一辆货车从百货大楼出发送货，向东行驶4千米到达小明家，继续向东行驶1.5千米到达小红家，然后向西行驶8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A 表示，小红家用点B 表示，小刚家用点C 表示）（2）小明家与小刚家相距多远？【解答】解：（1）如图所示：（2）小明家与小刚家相距：4(3)7--=（千米）．答：小明家与小刚家相距7千米远．14．（2019秋•中山市期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB BC =，设点A ，B ，C 所对应数的和是m ．（1）若点C 为原点，1BC =，则点A ，B 所对应的数分别为 3- ， ，m 的值为 ；（2）若点B 为原点，6AC =，求m 的值．（3）若原点O 到点C 的距离为8，且OC AB =，求m 的值．【解答】解：（1）点C 为原点，1BC =，B ∴所对应的数为1-，2AB BC =，2AB ∴=，∴点A 所对应的数为3-，3104m ∴=--+=-；故答案为：3-，1-，4-；（2）点B 为原点，6AC =，2AB BC =，∴点A 所对应的数为4-，点C 所对应的数为2，4202m ∴+-++=-；（3）原点O 到点C 的距离为8，∴点C 所对应的数为8±，OC AB =，8AB ∴=，当点C 对应的数为8，8AB =，2AB BC =，4BC ∴=，∴点B 所对应的数为4，点A 所对应的数为4-，4488m ∴=-+=；当点C 所对应的数为8-，8AB =，2AB BC =，4BC ∴=，∴点B 所对应的数为12-，点A 所对应的数为20-，2012840m ∴=---=-．15．（2019秋•南沙区期末）一辆出租车从甲地出发，在一条东西走向的街道上行驶，每次行驶的路程记录如下表（规定向东为正，其中x 是小于5的正数，单位：):km（1）通过计算，求出这辆出租车每次行驶的方向；（2）如果出租车行驶每千米耗油0.1升，当2x =时，求这辆出租车在这四次的行驶中总共耗油多少升？【解答】解：（1）第1次，向东行驶x 千米，第2次，向西行驶12x 千米，第3次，向西行驶(6)x -千米，第4次，向东行驶2(8)x -千米；（2）行驶的总路程为：1362(8)2222x x x x x ++-+-=-， 当2x =时，原式22319=-=，0.119 1.9⨯=升，答：这辆出租车在这四次的行驶中总共耗油1.9升．。
《数轴与有理数》典型例题
《数轴与有理数》典型例题例1. 在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“>”连接起来。
－4、0、211-、1、-1、 分析：在画数轴时，原点、单位长度、正方向不能少；211-是在原点左侧距离原点211个单位的点。
解：42111015.2---例2. 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简下式。
求：c b a a c ---- ]分析：由数轴观察可知a b c 0，a 、b 为正数，c 为负数则a c -为较小数减去较大数，结果为负数；而负数的绝对值为其相反数，因此有a c a c a c +-=--=-)(；b a -为较大数减去较小数，结果为正数，而正数的绝对值等于其本身，于是有b a b a -=-；c 为负数，因此有c c -=。
解：c b a a c ----b cb a ac c b a a c =++-+-=----+-=)()(例3. 判断若b a ，则b a （ ）分析：a 的绝对值大于b 的绝对值，是指表示的a 点比表示b 的点距离原点远，但在数轴上可以看到，可以分别从正负两个方向取得到原点距离某一单位长度的点，若正负不能确定，不能得到a 、b 大小关系的结论。
对于判断题还可以采用举反例的方法，即举出一个符合条件却不满足结论的例子，即可以判断其为错误。
例如7-=a ，2-=b ，则b a ，但是b a ； 同时，若b a ，也不能判断b a 。
若1-=a ，2-=b ，b a ，但是b a 。
解： （×）例 4. 若b a ，0 a ，0 b ，把a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列。
!分析：按照所给条件将在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了。
利用数轴把抽象的字母直观形象化是解决这类问题的好方法。
解：由0 a ，0 b 可知，a 为正数，b 为负数，a 、b 的对应点分别在原点的右边和左边；由b a 可知，表示a 的点比表示b 的点距离原点近，首先确定a 、b 的位置，而表示a -、b -的点分别与表示a 、b 的点到原点的距离相等，而在原点的另一侧，可以得到a -、b -的位置。
2.3 第2课时 利用数轴比较有理数的大小
第2课时 利用数轴比较有理数的大小知识点 1 利用数轴比较有理数的大小1．冬季某天，我国某三个城市的最高气温分别是－9 ℃，1 ℃，－4 ℃，通过观察温度计，可以把它们从低到高排列为____________；若是在数轴上表示－9，1，－4这三个数，通过观察数轴，可以发现，它们从左到右排列为____________．由此，我们发现，在数轴上左边的数总是________右边的数．2．2017·南开区校级模拟 已知数轴上C ，D 两点的位置如图2－3－5，那么下列说法错误的是( )图2－3－5A ．点D 表示的数是正数B ．点C 表示的数是负数 C ．点D 表示的数比0小D ．点C 表示的数比点D 表示的数小3．结合数轴可以发现：－3________0，0________9，－3________9，5________8，而－5________－8.4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数连接起来： －3，0，1.5，－12.知识点 2 利用法则比较有理数的大小5．2018·泸州 在－2，0，12，2四个数中，最小的是( )A ．－2B ．0 C.12 D ．26．据中央气象台的预报，下列三个城市某天的最低气温分别是：哈尔滨－11 ℃，石家庄0 ℃，海口27 ℃，最低气温最高的城市是________，最低气温最低的城市是________．7．比较大小(填“＞”或“＜”)：(1)－2.1______1； (2)3.2______－4.3； (3)－14______0.8．利用数轴可知，大于－π的负整数有________．9．有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图2－3－6所示，把它们按从大到小的顺序排列为____________．图2－3－610．数轴上的点A ，B 分别表示－2.6和3.9. (1)在这两点之间，表示有理数的点有多少个？(2)在这两点之间，表示整数的点有多少个？把这些数按从小到大的顺序排列．11．如图2－3－7所示，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题．(1)将点B向左移动3个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是________；(2)将点A向右移动4个单位长度后，三个点中，点________表示的数最小，是________；(3)将点C向左移动6个单位长度后，点B与点C中，点________表示的数大，大________；(4)要使三个点表示相同的数，应如何移动其中两点？有几种移法？图2－3－7教师详解详析1．－9 ℃，－4 ℃，1 ℃ －9，－4，1 小于2．C [解析] A ．因为点D 在原点的右侧，所以点D 表示的数是正数，故本选项正确；B.因为点C 在原点的左侧，所以点C 表示的数是负数，故本选项正确；C.因为点D 表示的数是正数，所以点D 表示的数比0大，故本选项错误；D.因为点C 在点D 的左侧，所以点C 表示的数比点D 表示的数小，故本选项正确．故选C.3．＜ ＜ ＜ ＜ ＞4．解：－3，0，1.5，－12在数轴上表示如图：用“＜”连接：－3＜－12＜0＜1.5.5．A [解析] 因为－2<0<12<2，故选A.6．海口 哈尔滨 7．(1)＜ (2)＞ (3)＜[解析] (1)因为负数小于正数，所以－2.1＜1. (2)因为正数大于负数，所以3.2＞－4.3. (3)因为负数小于0，所以－14＜0.8．－3，－2，－1 [解析] 从数轴上可得表示－π的点在表示－3的点的左边，所以大于－π的负整数为－3，－2，－1.9．b >a >c [解析] 从数轴上可知表示c 的点在最左边，表示b 的点在最右边，把它们按从大到小的顺序排列为b >a >c .10．解：(1)表示有理数的点有无数个．(2)表示整数的点有6个，这些数按从小到大的顺序排列为－2<－1<0<1<2<3.11．[解析] 按照题目的移动要求，在数轴上找出相应点表示的数，再比较大小．解：(1)B－5(2)B－2(3)B 1(4)点B不动，把点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度；或点A不动，把点B、点C分别向左移动2个单位长度、7个单位长度；或点C不动，把点A、点B 分别向右移动7个单位长度、5个单位长度．都可以使三个点表示相同的数，因此共有三种移法．。
1.2.5有理数的大小比较综合实践考点梳理及难点突破课件人教版(2024)数学七年级上册
点 清
当比较的数中同时有分数和小数时，要把它们都统一成
单 解
分数（或小数），再比较大小；当比较含有括号（或绝对值
读 符号）的有理数的大小时，要先化简，再比较大小；当比较
带分数的大小时，要先将带分数化为假分数通分后，再比较
大小.
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考
对点典例剖析
点
清
单
解
读
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考 点 清 单 解 读
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（3）因为 7：00 的体温为 40.2+0.2=40.4（℃）， 8：00 的体温为 40.4-1.0=39.4（℃）， 9：00 的体温为 39.4-0.8=38.6（℃）， 10：00 的体温为 38.6-1.0=37.6（℃）， 11：00 的体温为 37.6-0.6=37.0（℃）， 12：00 的体温为 37.0-0.2=36.8（℃）， 13：00 的体温为 36.8-0.2=36.6（℃）， 14：00 的体温为 36.6-0=36.6（℃）， 所以病人 11：00 后体温均在正常范围， 所以病人 11：00 后体温恢复正常.
［答案］解：（1）由表可知，除了 7:00 测量的体温比 前一次升高了，其他都比前一次下降或不变，所以病人 7： 00 时，体温达到最高，最高体温是 40.2+0.2=40.4（℃） ；
（2）40.2+0.2-1.0-0.8-1.0-0.6-0.2=36.8（℃）， 所以病人 12：00 时的体温是 36.8 ℃；
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重 解题通法
难 题
可以根据已知条件和相反数等知识在数轴上找出字母的
型 突
大概位置，再利用数轴比较大小即可.
破
综合与实践
根据体温变化判断病情
初中数学沪科版七年级上册第1章 有理数1.3 有理数的大小-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接起来．﹣4，﹣|﹣2.5|，﹣（﹣2），0，﹣12．【答案】﹣4＜﹣|﹣2.5|＜﹣12＜0＜﹣（﹣2）【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，然后再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜“号排列即可．【解答】解：如图：，﹣4＜﹣|﹣2.5|＜﹣12＜0＜﹣（﹣2）．2.【题文】画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小。
－1，2，3，－2.7，1，－3，0【答案】答案见解析【分析】先画出数轴并在数轴上表示出各数，再按照数轴的特点从左到右用小于号把各数连接起来．【解答】解：画出数轴并在数轴上表示出各数：按照数轴的特点用小于号从左到右把各数连接起来为：-3<-2.7<－1<0<1<2<33.【题文】在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0，－３， 1，－３，－1.25并把它们用“＜”连接起来。
【答案】见解析【分析】先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”号将这些数连接起来．【解答】解：画出数轴并表示出各数如图所示，根据数轴的特点从左到右用“＜”号将这些数连接起来，-3＜-3＜-1.25＜0＜1＜3．4.【题文】在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：﹣，0，2，﹣（+3），|﹣5|，﹣1.5．【答案】﹣（+3）＜﹣1.5＜﹣＜0＜|﹣5|【分析】首先对所给的数进行化简，然后在数轴上表示各数，最后根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，用“＜”号把它们连接起来即可．【解答】解：-（+3）=-3，|-5|=5，数轴表示如图所示：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣（+3）＜﹣1.5＜﹣＜0＜|﹣5|.5.【题文】画数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来﹣3、+2、﹣1.5、0、1【答案】﹣3＜﹣1.5＜0＜1＜+2【分析】首先在数轴上表示各数，然后再根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，用“＜”号把它们连接起来即可．【解答】解：如图所示：﹣3＜﹣1.5＜0＜1＜+2．6.【题文】请把0，－2.5，，－，8，0.75这六个数按从小到大，从左到右串成糖葫芦．依次应填：____________________．【答案】－2.5，－，0，，0.75，8【分析】先画出数轴，再在数轴上表示出各数，根据数轴上左边的数总比右边的小，写出各数即可．【解答】解：如图所示：从左到右串成糖葫芦状，依次为－2.5，－，0，，0.75，87.【答题】不大于4的非负整数有______；不小于－3的负整数有______。
苏科版七年级上册.2利用数轴比较有理数的大小课件
课本例题
例3
比较－3.5和－0.5的大小．
解：在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、 B．
A
-5
-4－3.5-3
-2
B
－0.5
-1
0
因为点B在点A的右边，所以－3.5＜－0.5．
小结
利用数轴两个负数比较大小,离原点远的数较小.
课本例题
例4
在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序
-3
-2
-3
-2
0
-1
0
5
1
2
3
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
4
5
试一试
1.任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？
-3
-2
-1
0
1
3
2
4
5
2.数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
-5
-4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小
小结
-3
-2
-1
0
1
3
2
大
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
A.－3 B. －2 C.－1
D.1
A
C
O
B
-2
0
2
小结
解这类无数轴的题目时，一般第一画出数轴，然后根据题意找到题中
点的位置，对于不能确定准确位置的点，只需找到其大致位置即可（如本
题的点A），最后借助数轴，并运用小学所学的线段的和、差关系求出表示
所求的数的点到原点的距离.
随堂练习
1.判断下列各式是否正确:
连接起来：
有理数的大小比较的方法与技巧
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小．解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。
∴A＜B。
2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．-----精心整理，希望对您有所帮助!。