蒲丰投针实验模拟

概率论与数理统计实验

蒲丰投针与蒙特卡罗法

班级应数12级01班

学号2012444086

姓名张旭东

蒲丰投针与蒙特卡罗法

张旭东2012444086

（重庆科技学院数学与应用数学，重庆沙坪坝）

【摘要】通过设计一个投针实验使这个事件的概率和未知量π有关，然后通过重复实验，以频率估计概率，即可求得未知参数π的近似解。这种方法称为随机模拟法，也称为蒙特卡罗法。一般来说，实验次数越多所得的近似值就越接近真值。可以利用MATLAB来大量重复地模拟所设计的随机实验。

【关键词】随机模拟；投针实验；重复实验

1 引言

蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称计算机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法，大数定律为近年来发展迅速的随机计算机和随机模拟方法提供了理论基础。

MATLAB是一个适合多学科，具有多种工作平台的功能强大的大型软件。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的进本教学工具，Matlab随机数发生器的种类丰富且用法简便。

本文介绍了利用随机模拟方法和大数定律的相关理论解决蒲丰投针问题计算π的近似值。

2 有关数学实验的有关基础

定理（贝努力大数定律） 设n μ是n 重贝努力实验中事件A 出现的次数，P 是事件A 每次实验中出现的概率，即P(A)=p,则对任意的

ε>0，有

3 实验

蒲丰投针问题

在平面上画有等距离的一些平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面上随机投一长为l(l

解 以x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以β表

示针与此直线间的交角，见图1.2.易知样本空间Ω满足

0/2,x a ≤≤ 0β≤≤π

由这两式确定x β-平面上的夜歌矩形Ω，这就是样本空间，其面积

为S a

Ω=π/2。这时针与平行线相交（记为事件A ）的充要条件是 sin .

2

l

x β≤ 由这个不等式表示的区域是图1.2中的阴影部分。

lim {|

|}1

n

n p p n

μ→∞

-=

图1.1

图1.2

由于针是向平面任意投掷的，所以由等可能性知这是一个概率的问

题。由此得

sin 22()=2

A

l

d S l P A a S ββΩ

==

⎰

π

。a ππ 如果l,a 为已知，则以π的值代入上式即可计算得P （A ）之值。反之如果已知P(A)的值，则也可以利用上式去求π，而关于P(A)的值，可以从实验中获得频率去近似它：即投掷掷其中针与平行线相交n

次，则频率n/N 可作为P(A)的估计值，于是由

2()m l P A n ≈=，a π

可得

2ln

.am

≈

π 历史上有一些学者曾亲自做过这个实验，下表记录了他们的实验结果

实验者 年份 针长 投掷次数 相交次数 π的近似值

Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596

Smith 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554

DeMorgan.c 1860 1.0 600 382.5 3.137

Fox 1884 0.75 1030 489 3.1595

Lazzerini 1901 0.83 3408 1808 3.1415929

Reina 1925 0.5419 2520 859 3.1795

历史上有一些学者曾亲自做过这个实验，下表记录了他们的实验结果

可以采用MATLAB 软件进行模拟实验，即用MATLAB 编写程序来进行“蒲丰投针实验”。 MATLAB 编程 clear ('n') clear('a')

clear('x')

clear('f')

clear ('y')

clear ('m')

disp('本程序用来进行投针实验的演示，a代表两线间的宽度，针的长度l=a/2，n代表实验次数');

a=input('请输入a：');

n=input('请输入n：');

x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);

f=unifrnd(0,pi,[n,1]);

y=x<0.25*a*sin(f);

m=sum(y);

PI=vpa(a*n/(a*m))

实验数据(部分程序截屏见后)

4、结束语

从上述数据分析可知，随着模拟次数的越来越多，PI的值逐渐稳定在π值附近，即越来越趋近于π，故蒲丰投针实验确实可以模拟出π的值。

【参考文献】

茆诗松，程依明，濮晓龙。概率论与数理统计。北京：高等教育出

版社2011.

农吉夫。基于随机模拟实验的参数估计。广西民族大学数学与计算

机科学学院。

五、附录实验截图