2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃

sin x -1

3 - 2 cos x - 2sin x

2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃

（ 2017 天津） 12. 设 ∆ABC 的三个内角分别为 A , B , C ， 若 BC 的中点为 M , 证明：

cot ∠BAM = 2 cot A + cot B . （2017 河北）3.函数 f (x ) = sin(

x - ) - 2 c os 2 x

+1的图像与函数 y = g (x ) 的图像关 4 6 8

4

于直线 x = 1 对称.当 x ∈[0, ] 时， g (x ) 的最大值为

.

3

（ 2017 河 北 ） 10. 在 ∆ABC 中 ， 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ，

ln tan A + ln tan C = 2 ln tan B .

求证： tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；

（II ）当 B 最小时，若∆ABC 面积的最大值为 sin 2x - 3

，求 a , b , c 的值.

（2017 山西）2.函数 y =

sin x + cos x - 2

的值域为 .

（ 2017 山 西 ） 6. 若 三 个 角 x , y , z 构 成 等 差 数 列 ， 公 差 为

， 则

3

tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = .

（ 2017 辽宁） 1. ∆ABC 的三个内角为 A , B , C ， 若 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 ， 则

cos A + cos B + 2 cos C 的最大值为

.

（2017 辽宁）6.设 f (x ) 是定义在 R 上的函数，满足| f (x ) + cos 2 x |≤ 3 ,| f ( x ) - sin 2 x |≤ 1

,

4

4

则函数 f (x ) 的解析式为

.

（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n

) < - 1

都成立，求实数

.

3

（2017 山东）7.函数 f (x ) =

(0 ≤ x ≤ 2

) 的值域为

.

（2017 福建）7．在△ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，且

sin C cos A = (2 - cos C ) s in A 2 2 为 。

， cos A = 3

5

， a = 4 ， 则 △ABC 的 面 积

（2017 江西）2.若sin x + cos x =

2 ，则sin

3 x + cos 3 x =

.

2

（ 2017 河 南 ） 2. 已 知 函 数 f (x ) = x 5 + a sin 3 x + b sin x cos x + cx + 4 ， 且 满 足

f (-2017) = 2, 则 f (2017) = .

3

6 2a 3

⎧

x + y = 1 ⎪sin 2 20︒ + 2018 sin 2 20︒ - 2017

（ 2017 河 南 ） 7. 若 实 数 x , y 满 足 ⎨ x y ， 则

x + y = .

cos 3 ⎪ + = 1 ⎪⎩sin 2 70︒ + 2018 sin 2 70︒ - 2017

1

sin 3 （2017 河南）8.已知 ∈ R ，且

cos = ，则 2 sin

= . （2017 河南）11.已知正实数 x , y , z 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

（1）

证明存在锐角

, ，使得 x = 2 s in cos , y = 2 c os cos , z = 2 s in .

（2）

证明： 3

xy + yz + zx ≤ 2 .

（2017 年湖北）11.求实数a 的取值范围，使得不等式

2 sin 2 - 2 2a cos( - ) - 4 sin( + )

4

> -3 - a 对 ∈[0, ] 恒成立. 2

（2017 湖北）13.已知函数 f (x ) =| sin x |, x ∈ R . 1

（1）证明： sin1 ≤ f (x ) + f (x + 1) ≤ 2 cos .

2

f (n ) f (n +1)

f (3n -1) sin1 （2）证明：对任意的正整数n ，有 + + + > . n n +1 3n -1 2

（ 2017 四川） 2. 已知

, ∈(0,

) ， tan , tan 是方程 x 2 + 3x +1 = 0 的两根， 则

cos( - ) 的值为

.

（ 2017 陕 西 ） 13. 设 ∆ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 向 量

m = (sin A , b + c ), n = (sin C - sin B , a - b ), 且存在实数 ，则m =

n .

（1）求角C 的大小； （2）若a + b = kc ，求实数k 的取值范围.

（2017 甘肃）3.已知向量a = ( + 2,

2 - cos 2

), b = (m , 2

+ s in ), 其中, m , ∈ R ，若

a = 2

b ，则 m

的取值范围为 .

（ 2017 甘肃） 8. 设复数 z 1 = -3 - 3i , z 2 = + i , z = 3 s in

+ ( 3 cos + 2)i ， 则

| z - z 1 | + | z - z 2 | 的最小值为

.

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