2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃
高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
2022历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《三角函数》专题真题汇编 1、设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( D )（A ）(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π)Y(2k π+ ,2k +),k Z2、在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ D ）． Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜3、若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是（ ） (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253 【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]， y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．4、设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12【答案】B【解析】由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．5、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ C ）A. 21-B. 21C. −1D. 1 6、arcsin(sin2000︒)=__________.【答案】-20°【解析】sin 2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= -a rcs in(sin20°)= -20°7、使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =- （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)c o s c o s c B b C-=. （1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
(含答案)三角函数2014(理)全国各地试题 (1)
三角函数高考题1. （2014全国大纲，17，10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .2. （2014北京，15，13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长3. （2014山东，16，12分） 已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.4. （2014江苏，15，14分） 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值. 5. （2014浙江，18，14分）在∆ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -- (I) 求角C 的大小；(II) 若4sin ,5A =求∆ABC 的面积。
6. （2014福建，16，13分） 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.7. （2014安徽，16，12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin()4A π+的值。
高中数学联赛真题三角函数与解三角形A辑
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A 辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB的取值范围是( )A ．(0,+∞)B ．(0,√5+12) C ．(√5−12,√5+12) D ．(√5−12,+∞)2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a的值等于( )A ．−12B ．12C ．−1D ．13．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A1，B 1，C 1.则AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C2sinA+sinB+sinC的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π126．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[−5π12,−π3]，则y =tan (x +2π3)−tan (x +π6)+cos (x +π6)的最大值是( )A ．125√2B ．116√2C ．116√3D ．125√37．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )A ．y =sin|x|B ．y =cos|x|C ．y =|cotx|D ．y =lg|sinx|8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3B ．0<k ⩽12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k =89．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α3>cos α3，则α3的取值范围是( )A ．(2kπ+π6,2kπ+π3),k ∈ZB ．(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k ∈ZC ．(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈ZD ．(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈Z10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2−πx,α=arcsin 13，β=arctan 54，γ=arccos (−13)，δ=arccot (−54)，则( )A．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(−12,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2C．α3<α1<α2D．α2<α3<α113．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1<log cos1tan1B．log cos1sin1<log cos1tan1<log sin1cos1<log sin1tan1C．log sin1tan1<log cos1tan1<log cos1sin1<log sin1cos1D．log cos1tan1<log sin1tan1<log sin1cos1<log cos1sin114．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=cC．√a2+b2<c D．√a2+b2>c15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，0<a<π4，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则sin C−A2+cos C+A2的值是( )A．1B．12C．13D．−117．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且CA ,sinB sinA都是方程log√bx=log b(4x−4)的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π4,π2)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB−sinA+i(sinB −cosA)在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是( ).A．(−π,π)B．[−3π4,3π4]C．(−3π4,3π4)D．[−π2,π2]21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A．10√2B．14C．5√6D．1222．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<π3).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )A．22π(1+sina)−66a B．22π+683πsina−66aC．673πD．33π−66a23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}B．{x|2nπ−θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}C．{x|(2n−1)π+θ<x<2nπ−θ,n∈Z}D．{x|(2n−1)π−θ<x<2nπ+θ,n∈Z}24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos45−arccos(−45)=arcsinx，则( )A．x=2425B．x=−2425C．x=0D．这样的x不存在25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( )A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( )A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )A．l>R+r B．l⩽R+r<R+r<6l D．A，B，C三种关系都不对C．16)都有( )28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π2A．sinsinφ<cosφ<coscosφB．sinsinφ>cosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ<cosφ<cossinφ29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ2+cosθ2=aA．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ2(k=0,±1,±2,⋯),T=sinα+tanαcosα+cotαA．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负优质模拟题强化训练1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2−2+√b2−2a=√b2−3+√c2−3b=√c2−4+√a2−4，则→AB⋅→BC，→BC⋅→CA，→CA⋅→AB中小于0的个数为（）．A．3B．2C．1D．02．arccos13+12arccos79=（）.A．3π8B．2π3C．π2D．arcsin893．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．√324．函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．√22B．1C．12+√22D．√25．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π5。
2014-2017全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选
(1+ 1) a na n 1 10 1 2 ∑ 1 2014 年——2017 年全国高中数学联赛各省预赛中数列试题集萃（ 2017 天津） 2. 已知等差数列{a n } 的公差不为零， 且 a 2 , a 3 , a 9 构成等比数列， 则a 4 + a 5 + a 6a 2 + a 3 + a 4= .（2017 天津）8.已知数列{a n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，{b n }是首项为 2，公差为5 的等差数列. 同时出现在这两个数列中的数从小到大顺序排列成数列{x n } ，则x 100 = .（2017 天津）14.如果整数n ≥ 2 ，证明： (1+ 22 )(1+ 23 ) < 2 . （2017 河北）6.设(x +1)2017 = a x 2017 + a x 2016 +a x 2015 +值为.+ a 2017505，则 a 4k -3 的 k =1（2017 河北）9.前n 项和为S 的正项数列{a }满足： a 2 + 2a = 4S+ 3(n ∈ N *) .nnnnn（I ）求数列{a n }的通项公式.（II ）求证： (1+ )(1+ 1)(1+1) < . a 1 a 2a 3 2 （2017 山西）4.将全体正整数从小到大排列，然后取第一个数为a 1 ，取后续两数和为a 2 ， 再 取 后 续 三 数 和 为 a 3， 以 此 类 推 ， 得 到 数 列{a n }1 a =: 2 a =1 , + 32a = 3 +,+4 a 4 5……。
则数列{a n } 的前 20 项和S 20 = .（2017 辽宁）3.数列{a } 满足： a = 134,a= 150,a= a - k(k = 1, 2,n - 1)，若na n = 0 ，则n 为.1k +1k -1k（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n α ) <- 1都成立，求实数α .3（ 2017 福建） 3 ． 已知{a } 为等比数列，且 aa = 1 ，若 f (x ) = 2，则n 1 2 0 1 71+ x 2f ( a 1 )+ f ( a 2 )+ f ( a 3 )+ + f ( a 2 0 1 7 )。
2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃
2014——2017全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（2017天津）12.设ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若BC 的中点为,M 证明：cot 2cot cot BAM A B ∠=+.（2017河北）3.函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+的图像与函数()y g x =的图像关于直线1x =对称.当4[0,3x ∈时，()g x 的最大值为____________.（2017河北）10. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ln tan ln tan 2ln tan A C B +=.求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（II ）当B 最小时，若ABC ∆，求,,a b c 的值. （2017山西）2.函数sin 23sin cos 2x y x x -=+-的值域为_____________.（2017山西） 6.若三个角,,x y z 构成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=_____.（2017辽宁）1.ABC ∆的三个内角为,,A B C ，若222sin sin sin 2A B C ++=，则cos cos 2cos A B C ++的最大值为____________.（2017辽宁）6.设()f x 是定义在R 上的函数，满足2231|()cos |,|()sin |,44f x x f x x +≤-≤则函数()f x 的解析式为____________.（2017辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ，1cos(2)3nα<-都成立，求实数α. （2017山东）7.函数()2)f x x π=≤≤的值域为___________.（2017福建）7．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos(2cos )sin 22A A C C =-，3cos 5A =，4a =，则ABC △的面积为 。
高中数学三角函数各地历年高考真题汇编（附答案）
高中数学三角函数各地历年高考真题汇编（附答案）三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数22cos 14y x π?=-- ??是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（）4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D.cos 2y x =5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为A.6π B.4π C. 3π D. 2π7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，328.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- 在区间ππ2??-，的简图是（）二.填空题1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π=。
2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝三.解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ??π=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
全国高中数学联赛三角函数与解三角形专题复习(附带解析)
三角函数与解三角形真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为.【答案】或【解析】由图像分析得或.2．【2017年全国联赛】已知x、y满足.则的取值范围是___________。
【答案】【解析】由于.由,知因此,当时, 有最小值-1,此吋,y可以取;当时, 有最大值此时，y可以取由的值域为,知的取值范围是。
故答案为：3．【2016年全国联赛】设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k 的最小值为，其中，表示不超过实数x 的最大整数.4．【2015年全国联赛】若tan cos αα=，则41cos sin αα+=__________． 【答案】2【解析】由tan cos αα=有2sin cos ,sin cos cos ααααα==，而22sin cos 1αα+=，求出15cos 2α-+=（负值舍去），所以24421115cos cos 2sin cos 15αααα⎛⎫-++=+=+= ⎪ ⎪-+⎝⎭。
5．【2015年全国联赛】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______. 【答案】【解析】 由.而，故已知条件等价于：存在整数，使得. ①当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①.当时，注意到，.故只要考虑如下几种情形：（1），此时，，且，无解；（2），此时，；（3），此时，.综上，并注意到也满足条件，知.故答案为：6．【2013年全国联赛】在中，已知，则______. 【答案】11【解析】由.7．【2012年全国联赛】设的内角的对边分别为，且满足.则______.【答案】4【解析】解法1 有题设及余弦定理得.故.解法2 如图4，过点，垂足为.则.由题设得.又，联立解得.故.解法3 由射影定理得.又，与上式联立解得.故.8．【2012年全国联赛】满足的所有正整数的和是______.【答案】33.【解析】由正弦函数的凸性，知当时，.故，.因此，满足的正整数的所有值分别为10、11、12，其和为33.9．【2011年全国联赛】若，则的取值范围为______. 【答案】【解析】题设不等式等价于.设，所以，所以上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为：10．【2010年全国联赛】已知函数的最小值为.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令.于是，原函数化为.由内的最小值为，即.故. ①当，时，式①总成立；当时，；当时，.从而，.11．【2019年全国联赛】在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin（B-A）与sinC的等差中项，求cosB的值.【答案】【解析】由题意ac=b2，，整理即sin B=tan A.对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得.即.于是.即..令，则，解得.12．【2012年全国联赛】已知函数，其中，，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围.(2)若，且存在，使，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）.令.则.由题设知解得的取值范围为.（2）因为，所以，.故.从而，.由题设知.解得.故的取值范围是.1．【2018年浙江预赛】已知，得，所以_____【答案】【解析】.2．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.【答案】【解析】由,又时取等号.3．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________.【答案】【解析】由.令，，所以.4．【2018年山西预赛】计算的值为________.【答案】【解析】记，则，所以，. 5．【2018年江苏预赛】函数的值域是________.【答案】【解析】，因为，所以. 故答案为：6．【2018年贵州预赛】如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．【答案】【解析】在△ABD中，（其中AD=x）①在△BCD中，②由①②得，因为x+2>0，∴x3=2．即．故答案为：7．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．【答案】【解析】（1）当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2．（2）当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，．故答案为：8．【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于________．【答案】60【解析】函数的零点即为方程2(5－x)sinπx在区间[0，10]上的解函数y=2sinπx 的图像与函数的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点（6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60．故答案为：609．【2018年重庆预赛】在△ABC中，，则________．【答案】【解析】因为所以注意到：故．故答案为：10．【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。
新课标全国卷近五年高考题 三角函数
)
A．3α－β＝π2 B．3α＋β＝π2
C．2α－β＝π2 D．2α＋β＝π2
8．C
[解析] tan α＝1＋cossinββ＝ccooss2ββ22 －＋ssiinnβ22β2＝
ββ
β
cos 2 ＋sin 2 cosβ2 －sinβ2
42 的取值范围是（ ）
( A) [1 , 5] 24
【解析】选 A
(B) [1 , 3] 24
(C) (0, 1 ] 2
(D) (0, 2]
2 (x ) [5 , 9 ] 不合题意 排除 (D) 4 44
1 (x ) [3 , 5 ] 合题意 排除 (B)(C) 4 44
另：( ) 2 ， (x ) [ , ] [ , 3 ]
小正周期为 ，且 f (x) f (x) ，则
（A）
f
(x)
在
0,
2
单调递减
（B）
f
(x)
在
4
,
3 4
单调递减
（C）
f
(x)
在
0,
2
单调递增
（D）
f
(x)
在
4
,
3 4
单调递增
解 析 ： f (x) 2 sin(x ) ， 所 以 2 ， 又 f(x) 为 偶 函 数 ， 4
解析：由题知 tan
2 , cos 2
cos2 cos2
sin2 sin2
1 1
tan2 tan2
3选B 5
（A） 4 5
（B） 3 5
（C） 3 5
(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)
【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。
三角函数历年高考题
三角函数历年高考题(总13页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除三角函数题型分类总结一． 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：a) 常数代换法：如：αα22cos sin 1+=b) 配角方法：ββαα-+=)(,()βαβαα-++=)(2,22βαβαα-++=,22βαβαβ--+=1、sin330︒= tan690° = o 585sin =2、（1）(10全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=__________ （2）（11北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .(3) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) (09陕西)已知sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（12全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+= .（3）（08福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=4. (1)(10福建) sin15cos75cos15sin105+= (2)（11陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。
（3）sin163sin 223sin 253sin313+= 。
5.(1) 若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ=（2）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=6. （10北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 7．（09浙江）已知cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝8.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 9.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<10．已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ） A ．257 B ．2516- C ．259 D ．257-11．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 （ ）A ．－2627 B ．2627 C ．－26217 D ．26217 12．已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30°）的值是 （ ）A ．1B ．23C ．0D ．－113．已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 32，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 ( ) A ．5142 B ． －5142 C ．±5142 D ．28145±14．已知tan160o ＝a ，则sin2000o 的值是 ( )A.a 1＋a 2B.－a 1＋a 2C.11＋a 2D.－11＋a 215.若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是： ( )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα+ ( ) （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5417.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = （ ）（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-二.最值1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。
2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)
2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编（下）1. （2014山东理12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，ABC △的面积为______． 【解析】 162. （2014山东理16）已知向量(cos2)a m x =，，(sin 2)b x n =，，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(2)3π-，．⑴求m n ，的值；⑵将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =的图象上各最高点到点(03)，的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间． 【解析】 ⑴ 已知()sin 2cos2f x a b m x n x =⋅=+，()f x 的图象过点π2π2123⎛⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭，，，πππ()sin cos 1266f m n ∴=+2π4π4π()sin cos 2333f m n =+=-12122m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⑵π()cos22sin(2)6f x x x x +=+，π()(+)=2sin(22)6g x f x x ϕϕ=++设()g x 的对称轴为0x x =，11d =+，解得00x =(0)2g ∴=，解得π6ϕ=πππ()2sin(2)2sin(2)2cos2362g x x x x ∴=++=+=π2π22π,k x k k ∴-+∈Z ≤≤ πππ,2k x k k -+∈Z ≤≤ ()f x ∴的单调增区间πππ,2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，3. （2014）函数22cos y x x =+的最小正周期为 ． 【解析】 π4. （2014山东文17）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． 已知π3,cos ,2a A B A ==+． ⑴求b 的值；⑵求ABC △的面积．【解析】 ⑴ 由题意知：sin A =πsin sin()cos 2B A A =+=由正弦定理得：sin sin a b A B =，sin sin a Bb A∴==；⑵ 由余弦定理得2222cos 902b c a A c bc +-==⇒-+=，12c c ∴=又因为π2B A =+为钝角，所以b c >，c =所以1sin 2ABC S bc A ==△．5. （2014陕西理2）函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 B2ω=∴Q ，最小正周期2ππR ω==．故选B ．6. （2014陕西理13）设π02θ<<，向量a ()sin 2cos θθ=，， b ()cos 1θ=，，若a b ∥，则tan θ＝_________．【解析】 12∵2sin 21cos θθ∴⨯-=0∥，，a b ∴22sin cos cos θθθ-=0，∵π02θ<<，∴cos θ>0∴2sin =cos θθ，∴1tan 2θ=．7. （2014陕西理16）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．⑴若a ，b ，c 成等差数列，证明：()sin sin 2sin A C A C +=+．⑵若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】 ⑴ a b c Q ，，成等差数列，2a c b ∴+=．由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=，sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+Qsin sin 2sin()A C A C ∴+=+．⑵ a b c Q ，，成等比数列，2b ac ∴=．由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥．当且仅当a c =时等号成立．cos B ∴的最小值为12． 8. （2014陕西文2）函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 B9. （2014陕西文13）设π02θ<<，向量(sin 2cos (1cos 0a b a b θθθ=)=-⋅=，，，)，r r r r ，则tan θ=____________．【解析】 1210. （2014陕西文16）ABC △ 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， ⑴成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+；⑵若a b c ，，成等比数列，且2c a =，求cos B 的值．【解析】 ⑴ 证明：∵,,a b c 成等差数列，∴2a c b +=．由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=.∵()()sin sin πsin B A C A C =-+=+⎡⎤⎣⎦，∴()sin sin 2sin A C A C +=+． ⑵ 由题设有2b ac =,2c a =,∴b =，由余弦定理得2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===. 11. （2014上海理21）如图，某公司要在,A B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 是顶点，AC 长35米，CB 长80米，设点,A B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β。
2014-2017高考真题 第四章 三角函数解三角形
专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16251.A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4 2.C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]4.（2017•北京,12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα= ，则cos （α﹣β）=________．4.﹣方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴sin α=sin β= ，cos α=﹣cos β，∴cos （α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β=﹣cos 2α+sin 2α=2sin 2α﹣1= ﹣1=﹣方法二：∵sin α= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+ ×=﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+ ×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣5.（2017•新课标Ⅱ,14）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是________．5. 1 f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1.考点2 三角函数的图象与性质1.（2017·天津,7）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A. ω= ，φ=B. ω= ，φ=﹣C. ω= ，φ=﹣D. ω= ，φ=1. A 由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴，φ= ．故选A．2.（2017•新课标Ⅰ,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C22. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin （2x+ ）的图象，即曲线C2，故选D．3.（2017•新课标Ⅲ,6）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（）A、f（x）的一个周期为﹣2πB 、y=f （x ）的图象关于直线x= 对称C 、f （x+π）的一个零点为x=D 、f （x ）在（，π）单调递减3. D A ．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A 正确， B ．当x=时，cos （x+）=cos （+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x ）的图象关于直线x= 对称，故B 正确，C 当x=时，f （+π）=cos （+π+）=cos=0，则f （x+π）的一个零点为x=，故C 正确， D ．当＜x ＜π时，＜x+＜，此时余弦函数不是单调函数，故D 错误，故选D.4.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关 4.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]5.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度5.D[由题可知,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.6.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π36.A[点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]7.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.57.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]8.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )8.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.]9.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位9.B[∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.]10.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 10.D[易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]11.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x11.A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 12.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.1012.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]13.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 13.D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.]14.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)14.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.]15.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位15.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C.]16.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 16.B [将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]17.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 17.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]18.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .18.7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]19.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.19.2π3[y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]20.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.20.π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]21.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.21.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)D即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（ ）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==.（1）求sin sin a bA B++的值； （2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-，(1,0)c =-（1）若,,6x a c π=求向量的夹角; （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31(,)2a = cos ,||||a ca c a c <>=3=0,a c π≤<>≤ 5,6a c π∴<>的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数ba x f•=)(.将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()yg x 的图象.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ba ⊥,求()yg x 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =，()1,sin 2b x =，函数()1f x a b =⋅-，()21g x b =-.（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； （2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+； （2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。
2014——2017年全国高中数学联赛三角函数试题集萃
sin x -13 - 2 cos x - 2sin x2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（ 2017 天津） 12. 设 ∆ABC 的三个内角分别为 A , B , C ， 若 BC 的中点为 M , 证明：cot ∠BAM = 2 cot A + cot B . （2017 河北）3.函数 f (x ) = sin(x - ) - 2 c os 2 x+1的图像与函数 y = g (x ) 的图像关 4 6 84于直线 x = 1 对称.当 x ∈[0, ] 时， g (x ) 的最大值为.3（ 2017 河 北 ） 10. 在 ∆ABC 中 ， 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ，ln tan A + ln tan C = 2 ln tan B .求证： tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；（II ）当 B 最小时，若∆ABC 面积的最大值为 sin 2x - 3，求 a , b , c 的值.（2017 山西）2.函数 y =sin x + cos x - 2的值域为 .（ 2017 山 西 ） 6. 若 三 个 角 x , y , z 构 成 等 差 数 列 ， 公 差 为， 则3tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = .（ 2017 辽宁） 1. ∆ABC 的三个内角为 A , B , C ， 若 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 ， 则cos A + cos B + 2 cos C 的最大值为.（2017 辽宁）6.设 f (x ) 是定义在 R 上的函数，满足| f (x ) + cos 2 x |≤ 3 ,| f ( x ) - sin 2 x |≤ 1,44则函数 f (x ) 的解析式为.（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n) < - 1都成立，求实数.3（2017 山东）7.函数 f (x ) =(0 ≤ x ≤ 2) 的值域为.（2017 福建）7．在△ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，且sin C cos A = (2 - cos C ) s in A 2 2 为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin x -13 - 2 cos x - 2sin x2014——2017 全国高中数学联赛各地预赛中的三角函数试题集萃（ 2017 天津） 12. 设 ∆ABC 的三个内角分别为 A , B , C ， 若 BC 的中点为 M , 证明：cot ∠BAM = 2 cot A + cot B . （2017 河北）3.函数 f (x ) = sin(x - ) - 2 c os 2 x+1的图像与函数 y = g (x ) 的图像关 4 6 84于直线 x = 1 对称.当 x ∈[0, ] 时， g (x ) 的最大值为.3（ 2017 河 北 ） 10. 在 ∆ABC 中 ， 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ，ln tan A + ln tan C = 2 ln tan B .求证： tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；（II ）当 B 最小时，若∆ABC 面积的最大值为 sin 2x - 3，求 a , b , c 的值.（2017 山西）2.函数 y =sin x + cos x - 2的值域为 .（ 2017 山 西 ） 6. 若 三 个 角 x , y , z 构 成 等 差 数 列 ， 公 差 为， 则3tan x tan y + tan y tan z + tan z tan x = .（ 2017 辽宁） 1. ∆ABC 的三个内角为 A , B , C ， 若 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 ， 则cos A + cos B + 2 cos C 的最大值为.（2017 辽宁）6.设 f (x ) 是定义在 R 上的函数，满足| f (x ) + cos 2 x |≤ 3 ,| f ( x ) - sin 2 x |≤ 1,44则函数 f (x ) 的解析式为.（2017 辽宁）14.如果对于任意的非负整数n ， cos(2n) < - 1都成立，求实数.3（2017 山东）7.函数 f (x ) =(0 ≤ x ≤ 2) 的值域为.（2017 福建）7．在△ABC 中，内角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，且sin C cos A = (2 - cos C ) s in A 2 2 为 。
， cos A = 35， a = 4 ， 则 △ABC 的 面 积（2017 江西）2.若sin x + cos x =2 ，则sin3 x + cos 3 x =.2（ 2017 河 南 ） 2. 已 知 函 数 f (x ) = x 5 + a sin 3 x + b sin x cos x + cx + 4 ， 且 满 足f (-2017) = 2, 则 f (2017) = .36 2a 3⎧x + y = 1 ⎪sin 2 20︒ + 2018 sin 2 20︒ - 2017（ 2017 河 南 ） 7. 若 实 数 x , y 满 足 ⎨ x y ， 则x + y = .cos 3 ⎪ + = 1 ⎪⎩sin 2 70︒ + 2018 sin 2 70︒ - 20171sin 3 （2017 河南）8.已知 ∈ R ，且cos = ，则 2 sin= . （2017 河南）11.已知正实数 x , y , z 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 4 .（1）证明存在锐角, ，使得 x = 2 s in cos , y = 2 c os cos , z = 2 s in .（2）证明： 3xy + yz + zx ≤ 2 .（2017 年湖北）11.求实数a 的取值范围，使得不等式2 sin 2 - 2 2a cos( - ) - 4 sin( + )4> -3 - a 对 ∈[0, ] 恒成立. 2（2017 湖北）13.已知函数 f (x ) =| sin x |, x ∈ R . 1（1）证明： sin1 ≤ f (x ) + f (x + 1) ≤ 2 cos .2f (n ) f (n +1)f (3n -1) sin1 （2）证明：对任意的正整数n ，有 + + + > . n n +1 3n -1 2（ 2017 四川） 2. 已知, ∈(0,) ， tan , tan 是方程 x 2 + 3x +1 = 0 的两根， 则cos( - ) 的值为.（ 2017 陕 西 ） 13. 设 ∆ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 向 量m = (sin A , b + c ), n = (sin C - sin B , a - b ), 且存在实数 ，则m =n .（1）求角C 的大小； （2）若a + b = kc ，求实数k 的取值范围.（2017 甘肃）3.已知向量a = ( + 2,2 - cos 2), b = (m , 2+ s in ), 其中, m , ∈ R ，若a = 2b ，则 m的取值范围为 .（ 2017 甘肃） 8. 设复数 z 1 = -3 - 3i , z 2 = + i , z = 3 s in+ ( 3 cos + 2)i ， 则| z - z 1 | + | z - z 2 | 的最小值为.2 6 m31- sin x 4 5（2017江苏）7.若tan 4x = ， 则3sin 4x cos 8x cos 4x + in 2x cos 4x cos 2x+ sin xcos 2x cos x+ sin x = .cos 4x （ 2017安 徽 ） 7. 设∈[0, 2 ] ， 若 对 任 意 的 x ∈[0,1] ， 恒 有2x 2 sin- 4x (1- x ) c os+ 3(1- x )2 > 0 ，则 的取值范围是 .x - s in x 1（2017 安徽）10.设0 < x < ，证明： 0 < < .2 tan x - sin x 3（ 2017 浙江） 4、设 x , y ∈ R ， 且x - y =sin 2 x - cos 2 x + cos 2 x cos 2 y - sin 2 x sin 2 ysin(x + y )= 1 ， 则（2017 湖南）11．设0 ≤ x ≤ ，3sin x = 2- ，则tan x = ．（2017 湖南）13．在锐角∆ABC 中，sin A =，且a ，b ，c 为角 A ， B ，C 的对边.9（1） 求sin 2(B + C ) + sin 2B +C 的值；2（2） 若a = 4 ，试求当 AB ⋅ AC 取得最大值时， ∆ABC 的面积 S ∆ABC 的值.（2017 新疆）1.函数 f (x ) = (sin x -1)(cos x -1)(x ∈ R ) 的值域为.（2017 新疆）6.已知在∆ABC 中， tan A , (1+ 值为.2) tan B , tan C 成等差数列，则∠B 的最小 （2017 全国）2.若实数 x , y 满足 x 2 + 2 cos y = 1，则 x - cos y 的取值范围为.（2017 内蒙古）2.锐角三角形的内角 A , B 满足tan A -1= tan B , cos 2 B = 6，则sin 2 A = .sin 2A 2 3（2017 内蒙古）5.设复数 z = 3cos + (2sin)i ,则函数 y = - a rg z (0 < < 为.) 的最大值2（2017 上海）1.函数 y = lg[arcsin(2x 2 - x )] 的定义域为,值域为.（ 2017 上 海 ） 5. 设f (x ) =1+2， 则f(tan1︒) + f (tan 2︒ ) + f (tan1+ sin x3︒) + +f (tan 89︒) =x +1x2+132x 2 - x + 3 1 65cos (n （2017 上海）11.求满足2n cos 20︒ ⋅ cos 40︒ ⋅ cos (2n ⋅10︒ )= 1的所有正整数n .（2016 天津）1.函数 f (x ) =| sin 2x + cos 2x | 的最小正周期为.2（2016 天津）9.已知∆ABC 的周长为 20 ，内切圆的半径为 ， BC = 7 ,则tan A 的值为3.（2016 河北）3.若函数 f (x ) = cos 2x + a cos x 在区间( , ) 是减函数，则 a 的取值范围6 3为 .sin 3x（2016 河北）9.已知 f (sin x ) = .sin 2 x（I ） 求 f (x ) 的解析式及定义域.（I I ） 方程 f (x ) = m 有两个不等实根，求m 的取值范围.（2016 山西）6.若函数 y = 3sin x - 4 cos x 在 x 0 处取得最大值，则tan x 0 的值为.（2016 辽宁）2.若∆ABC 的内角为 A , B , C ，所对边为 a , b , c ，若 a , b , c 成等比数列，则sin A cot C + cos Asin B cot C + cos B的取值范围为 .（2016 吉林）3．设 x ∈ (-3 , ) 且cos ⎛ - x ⎫ = - 3 ，则cos 2x 的值是4 4 4 ⎪ 5（ A ） - 7 25 （ B ） - 24 25 ⎝⎭（ C ） 2425（ D ） 7 25 （ 2016 吉林） 在 ∆ABC 中， a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边， b = 1 ， 且 cos C + (2a + c ) cos B = 0 .（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）求∆ABC 的面积的最大值．（2016 山东）3.若实数 x 满足arcsin x > arccos x , 则关系式 f (x ) = + 2 的取值范围为.（2016 山东）8. arcsin+ arcsin+ arcsin+ arcsin=.（2016 山东）12.求证不等式： sin 1 + sin 2 > 3 1 n n n n∈ N *) .（2016 福建）1．若函数 f (x ) = 3cos(x + ) - s in(x -) （> 0 ）的最小正周6 3x 2- x1 101 261 50⎥y3期为，则 f (x) 在区间⎡⎢⎣⎤，上的最大值为。
2 ⎦（2016 江西）4 、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记∠APC =, ∠BPD =，则tan2+tan2= ．（2016 江西）6 、设x 为锐角，则函数y = sin x sin 2x 的最大值是．（2016湖北高一）4.求值：c os +c os3+c os5+c os7= .9 9 9 9（2016 湖北高一）6.如果存在实数a ，使得关于x 的不等式a cos x +b cos 2x >1 无实数解，则实数b 的最大值为.（2016 四川）8.若实数, ,构成以2 为公比的等比数列，sin, s in , s in 构成等比数列，则cos= .x s in +y c os（2016 陕西）13.设x, y 均为非零实数，且满足 5 5x c os-y s in5 59= tan .20y（I）求x的值；（II）在∆ABC中，若tan C=，求sin2A+2cos B的最大值.x（2016 甘肃）3. 已知函数 f (x) =sin x +cos x(>0)(x ∈R) . 若函数 f (x) 在区间(-,) 上单调递增，且函数y =f (x) 的图像关于直线x =对称.则= .（2016 甘肃）11. 在非等腰∆ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为a, b, c ，且满足(2c -b) cos C = (2b -c) cos B .（1）求∠A的大小；（2）若a=4，求∆ABC面积的取值范围.（2016 黑龙江）3.设函数f (x) =M sin(x +)(M ≠ 0,> 0, -<<2 2) 的图像关于直2线x =对称，其周期为，则下列说法中正确的序号为（）31 2①f (x) 的图像过点(0, ) ；②f (x) 在区间[ , ] 内为减函数；③f (x) 的一个对称中心2 12 35为( , 0) ；④f (x) 的最大值为M .12（2016 黑龙江）13. 在∆ABC 中 ， ∠A, ∠B, ∠C 所对边依次为a, b, c . 设f (x) =m ⋅n, m = (2 cos x,1), n = (cos x, 3 sin 2x) ，f ( A) = 2, b=1, S∆ABC=2，则3 4 33⎝ ⎭⎩b +c =sin B + sin C.∠ABC（2016 黑龙江）20.如图，在∆ABC 中， sin 且 AD = 2DC ，BD =.求（1） BC 的长；（2） ∆DBC 的面积.= ， AB = 2, 点 D 在线段 AC 上， 2 31 135 ⎛⎫ （2016 江苏）11、已知+ sin cos = 12,∈ 0, 2 ⎪ , 求 tan。