MM定理证明过程-MM定理证明过程 (1)
MM定理的严格推导
MM定理的严格推导一基本模型1.未确定现金流量的资本化率假设公司只进行股权融资。
假设1：公司拥有的实物资产将带来一系列现金流（即收入）。
现金流是随机变量，不同的人对每个现金流都有相同的期望。
假设21：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。
也就是说，对同一类别的公司，股票回报率的分布完全相同（不是唯一的）股价立同分布，而是同一个分布）。
在上述假设下，各类公司的股票收益率与股价之比的预期是恒定的。
就是，pj?xj?k(1)或xj??kpj(2)对其股票回报的预期是多少，？K是常数。
其中，pj是第k类公司中、公司j的股价，xj？K有三种含义：a)式(2)表示?k是1单位股份的期望收益。
b)式(1)中，令xj?1，则pj?1?k，表示1.K是获得1个收入单位所支付的成本。
c)从终身年金的角度考虑，式(1)表示?k是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流资本化率。
1这一假设过于严格，保证了MM定理在任何情况下的有效性。
例如，如果人们的投资决策只与投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。
2.债务融资及其对股价的影响可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。
公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。
假设1：所有债券单位时间内都有一定的现金流。
假设2：债券市场完全竞争。
即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。
命题?：在类别k中，设公司j的息前收益的期望为普通股的市场价值为sj，公司价值为vj 表述1对在类别k下的任一公司j，有公司债务的市场价值，dxjdjsj，则xjvj？流行音乐播音员sj？？K即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。
同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。
表述2对在类别k下的任一公司j，有xjxj？？Ksj?djvj即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。
[讲解]mm定理
![[讲解]mm定理](https://img.taocdn.com/s3/m/b1055808a66e58fafab069dc5022aaea988f4142.png)
mm定理MM定理就是指在一定的条件下，企业无论以负债筹资还是以权益资本筹资都不影响企业的市场总价值。
企业如果偏好债务筹资，债务比例相应上升，企业的风险随之增大，进而反映到股票的价格上，股票价格就会下降。
也就是说，企业从债务筹资上得到的好处会被股票价格的下跌所抹掉，从而导致企业的总价值（股票加上债务）保持不变。
企业以不同的方式筹资只是改变了企业的总价值在股权者和债权者之间分割的比例，而不改变企业价值的总额。
MM定理是在高度抽象现实生活的基础上得出的结论，难免会遇到来自现实生活的挑战。
因为税收的列支的先后、破产的可能性、对经理行为的制约、维持生活的挑战、良好的企业形象以及企业控制权等几方面的因素表明：股权资本筹资和债券筹资对企业收益的影响不同，进而直接或间接地影响企业市场的总价值。
别称莫迪里亚尼-米勒定理，它表明：在具备完美资本市场的经济中，企业的市场价值与它的资本结构无关。
编辑本段MM定理的无摩擦环境1、没有所得税2、无破产成本3、资本市场是完善的，没有交易成本，且所有证券都是无限可分的4、公司的股息政策不会影响企业的价值摘自《证券发行与承销》中国证券业协会编著编辑本段MM公司的税模型1．MM的无公司税模型l958年，莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)提出了著名的MM定理，创建了现代资本结构理论，这一理论又被称为资本结构无关论。
MM理论的应用具有严格的假设条件：(1)企业的经营风险可以用EBIT(息税前利润)衡量，有相同经营风险的企业处于同类风险等级；(2)现在和将来的投资者对企业未来的EBIT估计完全相同，即投资者对企业未来收益和这些收益风险的预期是相等的；(3)股票和债券在完全资本市场上进行交易，这意味着：没有交易成本；投资者可同企业一样以同样利率借款；(4)所有债务都是无风险，债务利率为无风险利率；(5)投资者预期EBlT固定不变，即企业的增长率为零，所有现金流量都是固定年金。
无税情况下的MM定理
假定公司U 和公司L 的EBIT 相等，并于同一天发利息和红利。
设想某甲先生具有公司U 的1%股份，而某乙先生拥有公司L 的1%股份和1%的债权，那么到了收获时日，
甲先生的收入为：0.01EBIT ⨯
乙先生的收入为：债权利息0.01d D K ⨯⨯
红利()0.01d EBIT D K -⨯⨯
合计：0.01EBIT ⨯
即甲乙二位先生的投资收入相等，都等于0.01EBIT ⨯。
在完善的资本市场均衡条件下，甲、乙二位先生的投资价值必定相等，故U L L E E D =+，即：U L V V =，其中,U U L L L V E V E D ==+。
这就证明了命题I 。
至于命题II ，那就更简单了，它是以命题I 为基础的。
由于L U V V =，而U eU
EBIT V K =，则得出： ()eU U eU L eU L L EBIT k V K V K E D =⨯=⨯=+ (16.10) 把EBIT 代入公式（16.2）(()(1)d c e EBIT D K T K E E
π
-⨯-==)，得出（注意0c T =） ()()
eU L L d L eL L
L
eU eU d L k E D K D K E D K K K E +-⨯=
=+- （16.11） 此即命题中的（16.9）式。
命题II 说明，公司L 的资本加权平均成本与公司U 的权益成本相等：
L L a eL d eU L L E D K K K K V V =+= （16.12）。
MM定理
2.6
三、MM定理
一、财务学基本理论和MM条件
MM定理的基本条件 1、无摩擦环境假设：
• 企业不缴纳所得税 • 企业发行证券不需要交易成本 • 企业的生产经营信息对内外来说是一致的，即信息批露公正 • 与企业有关者可以无成本地解决彼此之间的利益冲突问题
2、企业发行的负债无风险，因此购买企业的负债（债 券或贷款） 的收益率是无风险利率。
但资本结构不同：公司A的资本全部由股权构成，共100万股；公司B的资本分别
由4000万元负债和60万股的股权构成。已知公司B发行的债券年利率为8%；社会 要求的无负债企业的权益资本化率为10%。在上述条件下，我们可以断定公司B 的股票价格是100元/股。 二、MM定理的基本分析过程
2.6
三、MM定理
三、MM定理
三、MM第二命题
rE rW ACC (rW ACC rf )(
D E
) (3)
有杠杆公司的权益资本成本等于同一风险等级 的无杠杆公司的权益资本成本加上风险补偿，风险 补偿的比例因子是负债权益比。 杠杆公司的权益资本成本随着公司财务杠杆的 上升而增加
2.6
三、MM定理
四、MM定理的涵义
2.6
三、MM定理
一、财务学基本理论和MM条件
财务恒等式：资产=负债+权益
企业的价值（总资产价值）是由其负债 和权益在金融市场的总市值来度量。
2.6
三、MM定理
企业的价值（总资产价值）是由其负 债和权益在金融市场的总市值来度量。
假设你拥有A企业100%权益，
A企业每年给你创造680万元 净利润，A企业没有负债。
（1）
2006年6月30日
……
$25000 （2）
mm(modigliani-miller)定理
mm(modigliani-miller)定理mm(modigliani-miller)定理是现代公司金融理论中的重要定理之一，它主要是由意大利经济学家弗兰科·莫迪利亚尼（Franco Modigliani）和美国经济学家墨顿·米勒（Merton Miller）于20世纪50年代初提出的。
这一定理对于企业的资本结构决策和企业价值的理论分析提供了重要的指导，也成为金融经济学和企业财务管理领域中的基本原理之一。
mm定理主要围绕着企业的价值、资本结构和股东财富三者之间的关系展开，其核心思想是企业的价值与其资本结构无关，即资本结构不会对企业价值产生影响。
下面我们将从几个方面简要介绍mm定理的核心内容及其在实际中的应用。
一、mm定理的基本假设1.平稳假设mm定理的核心假设之一是企业所经营的产业和市场是完全竞争的，不会发生市场垄断现象。
这一假设为mm定理的推导和结论提供了理论基础，也使得mm定理的结论能够在理论和实践中得到广泛的应用。
2.完美资本市场假设mm定理还假设资本市场是完美的，即在资本市场上不存在任何交易成本和信息不对称，投资者可以充分自由地买卖证券，并且可以获得有关企业的一切信息。
这一假设为mm定理提供了理论前提条件，并使得mm定理的结论更加具有普遍适用性。
3.纳税假设mm定理还假设企业所面临的纳税情况是一致的，即不考虑个人所得税、公司所得税和其他税收差异对企业的影响。
这一假设在一定程度上简化了mm定理的推导和分析，使得mm定理的结论更加清晰和易于应用。
二、mm定理的核心内容1.企业价值与资本结构无关mm定理的核心内容之一是企业的价值与其资本结构无关，即企业价值不会因为改变其资本结构而产生变化。
这一结论为企业在进行资本结构决策时提供了重要的指导，也为投资者和管理者在进行投资决策时提供了理论依据。
2.资本成本与债务成本mm定理还指出了资本成本与债务成本之间的关系，即企业的资本成本等于其债务成本与权益成本的加权平均。
公司金融mm定理
公司金融mm定理1. 什么是公司金融mm定理？公司金融mm定理是指在公司金融领域中，投资决策和资本结构决策是相互独立的。
公司金融mm定理的核心观点是，不考虑税收和破产成本的情况下，公司的价值与其投资决策和资本结构无关。
2. 投资决策与资本结构2.1 投资决策投资决策是指公司在有限的资源条件下，选择最有利于实现公司目标的投资项目。
投资决策会影响到公司的现金流量和未来的盈利能力。
根据公司金融mm定理，在不考虑税收和破产成本的情况下，公司的投资决策不会影响公司的价值。
2.2 资本结构资本结构是指公司通过不同的融资方式来筹集资金，并决定债务和股权的相对比例。
资本结构的决策会影响公司的成本、风险和价值。
根据公司金融mm定理，在不考虑税收和破产成本的情况下，公司的资本结构不会影响公司的价值。
3. 公司金融mm定理的证明3.1 定理假设公司金融mm定理的证明建立在以下假设的基础上：•市场完全有效：市场对公司信息的反应迅速准确，投资者没有产生任何交易成本。
•资本市场完全竞争：投资者可以无限制地借贷，并以无风险利率借入借出资金。
•无税收和破产成本：不考虑公司的所得税、个人所得税和破产成本。
3.2 证明过程根据上述假设，我们可以推导得到以下结论：1.在不考虑税收和破产成本的情况下，公司的投资决策不会影响公司的价值。
因为市场完全有效，投资者可以及时准确地获取到信息，并作出相应的调整。
2.在不考虑税收和破产成本的情况下，公司的资本结构不会影响公司的价值。
因为市场完全竞争，投资者可以根据自己的偏好选择适合自己的融资方式。
3.公司金融mm定理的核心观点是公司的价值与投资决策和资本结构无关，只与公司的经营性质和资产有关。
通过以上证明，可以得出公司金融mm定理成立的结论。
4. 公司金融mm定理的局限性公司金融mm定理在实际应用中存在一定的局限性。
主要体现在以下几个方面：4.1 税收影响在现实情况下，公司的所得税和个人所得税会对公司的投资决策和资本结构产生影响。
MM定理的深入解读
2022年
2022/3/21
MM定理
一、财务杠杆效应 二、无公司所得税时的MM定理 三、有公司所得税时的MM定理
MM定理
一、财务杠杆效应 假设TA公司当前的资本结构中没有负债。公司正在
考虑发行债务以赎回部分权益。公司的资产是800 万元，发行在外的股份是40万股，每股市场价值 是20元。公司计划发行债务400万元，利息率是 10%。公司目前的及计划的资本结构如下表7-1：
MM第二定理得证。
MM定理
下面我们来分析有负债公司的平均资本成本。
根据平均资本成本的计算公式，有:
KA
K EL
E V
KD
D V
由于
K EL
K EU
(K EU
KD )
D EL
所以，
KA
[K EU
(K EU
K
D
)
D EL
] EL V
KD
D V
K EU
EL V
(K EU
D KD)V
20% 4
扩张
25% 2000000
400000 1600000
40% 8
MM定理
通过前面的分析可以看出：
（1）在无负债情况下，EPS随EBIT的变化而同比 例变化。EBIT由40万元增加到120万元时，即增 长率为200%，EPS由1元增加到3元，增长率为 200%；EBIT由120万元增加到200万元时，即增 长率为66.67%，EPS由3元增加到5元，增长率为 66.67%。
MM定理
表7-1 AT公司当前和计划的资本结构（单位：元）
资产 债务 权益 债务权益比 流通股数 股价 利率
目前
8000000 0
mm定理 命题
mm定理命题MM定理是一条在离散数学中被广泛应用的重要命题。
它是基于对多重集合的分析而得出的结论，可以用来计算多重集合的组合数。
在组合计数中，常常需要计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
而多重集合是一个元素可以重复出现的集合，因此在计算多重集合的组合数时，需要考虑元素的重复出现次数。
具体地说，MM定理指出，对于一个多重集合，其包含n个不同元素，其中第i个元素在集合中重复出现mi次。
如果我们要从这个多重集合中选取k个元素，那么共有多少种不同的选择方式呢？根据MM定理，这个结果可以通过以下的公式进行计算：C(n + k - 1, k) = Σ[C(k, m1) * C(k - m1, m2) * C(k - m1 - m2, m3) * ... * C(k - m1 - m2 - ... - m_(n-1), mn)]其中，C(a, b)表示将a个物品中选择b个物品的组合数，Σ表示对所有满足条件的mi进行求和。
这个公式的推导思路是先将n个不同元素排成一列，然后在每个元素之间插入k-1个划分符号，将这k-1个划分符号分隔成k个区域。
接下来，我们需要将这k个区域与第1到第n个元素进行匹配，使得每个区域与一个元素对应。
首先考虑第1个区域，这个区域对应的元素可以是第1个到第n个元素之中的任意一个。
假设我们选择了第i个元素，那么这个区域前面的划分符号会将前面的k-1个区域分为k - 1个子区域。
而在这k - 1个子区域中，我们需要依次选择相应的元素与第2到第n个区域进行匹配。
通过这样的递归过程，我们可以得到一个求和的式子，其中每个项表示具体的选择方式。
而每个项中的乘法项 C(k - m1 - m2 - ... - m_(n-1), mn) 则表示了每个子区域的选择方式。
通过MM定理，我们可以更容易地计算多重集合的组合数。
这个定理不仅在计算组合数领域发挥重要作用，还有许多其他应用。
例如，在计算机科学中，可以将它应用到排列组合问题，优化算法等方面。
MM定理介绍
定理一： 定理一：M&M Proposition Ⅰ
• 公司不管有無使用負債，公司的價值都等於其預期息前稅 前盈餘（EBIT）除以適用於其預期風險等級的報酬率。有 負債公司價值和無負債公司的價值是相同的。
V L = VU = EBIT EBIT = KU Ka
(11-1)
VL = 有負債公司（Levered Firm）的價值 VU = 無負債公司（Unlevered Firm）的價值 EBIT = 預期息前稅前盈餘，每年都固定不變為永續年金 KU = 無負債公司的加權平均資金成本 Ka = 有負債公司的加權平均資金成本 = 公司資產必要報酬率
每年流向公司的現金流量L公司比 公司多了 每年流向公司的現金流量 公司比U公司多了 公司比 公司多了$2172 - $2100 = $72，這$72就是因為 公司使用負債而利息費用可以抵稅的稅 就是因為L公司使用負債而利息費用可以抵稅的稅 ， 就是因為 盾效果，稱為利息「稅盾(Tax Shield)」。 盾效果，稱為利息「稅盾 」。
M&M資本結構無關論的假設 資本結構無關論的假設
3.公司事業風險的高低是利用每家公司未來所能產生的「息前 稅前盈餘」的標準差來衡量。如果公司的事業風險相同，則 它們所屬的風險等級也相同。 4.投資人對於每家公司在未來所能產生的息前稅前盈餘以及這 些盈餘的風險都有相同的預期。 5.「息前稅前盈餘」不受舉債的影響，且息前稅前盈餘每年均 不變，且全部發放給股東。股票為零成長股，具有永續年金 的性質。 6.負債的增加不會改變公司的事業風險。 7.沒有破產成本和其他代理成本。
• 定理一表示有負債公司的價值等於無負債公司的價值，都 是預期息前稅前盈餘除以適用公司風險等級的加權平均資 金成本。從這個式子中，也隱含了KU = Ka。
MM的资本结构理论的证明
一、无公司所得税时MM定理假定：1)投资者在投资时不存在交易成本2）投资者，包括个人与机构，都可以以同一利率借入或者贷出资金3）不管企业和个人负债多少，上述（2）的利率都是无风险利率4）不存在个人所得税5）企业的经营风险相同6）企业投资者与经理层具有有关企业的完全相同的信息7）公司只有两项长期资本：无风险负债与风险股权8）没有公司所得税，以及没有财务危机成本9）公司预期EBIT为等额永续年金另外：1）公司资产总额相同。
公司可以通过发行债券以回收股权从而使公司从无负债公司变为有负债公司。
或者通过发行股票以回收债券将有负债公司变成无负债公司。
2）公司增长率为0，全部利润用于发放股利1、公司价值相等的证明设公司A为无负债公司，其价值为V U。
并且可以通过发行债券以回收股权从而使公司变成有负债公司B，设负债为B，利率为K b.，其价值为V l此二公司唯一的差别在于资本结构不同。
你可以有二个投资方案A、购买有负债公司B的股权，设为y-(V l-B)*y= y*B-V U*y- V l*y+ B*y= y*B-V U*y所以V l= V U2、负债公司的权益成本（利用杠杆增加股东收益？）V l=S+B= V U，所以：（EBIT-I）/K sl +I/ K b=EBIT/ K SuK sl= （EBIT-I）/(EBIT/ K Su-I/ K b)= K Su* K b（EBIT-I）/(EBIT*K b-I* K su)= K Su* K b*EBIT/(EBIT*K b-I* K su) - K Su* K b*I/(EBIT*K b-I* K su)= K Su*(K b*EBIT- I* K su) /(EBIT*K b-I* K su)+ K Su*I* K su /(EBIT*K b-I* K su)- K Su* K b*I/(EBIT*K b-I* K su)= K Su + K Su*I*( K su- K b)/ (EBIT*K b-I* K su)= K Su + ( K su- K b)/[ (EBIT*K b-I* K su)/ (K Su*I)]= K Su + ( K su- K b)/ [ (EBIT*K b/ (K Su*I) -1)]= K Su + ( K su- K b)/[V u/B-1]= K Su + ( K su- K b)/[( S+B)/B-1]= K Su + ( K su- K b)*B/SK w= K sl*S/(B+S)+ K b * B/(B+S)= [K Su + ( K su- K b)*B/S] *S/(B+S) + K b * B/(B+S)= K Su*S/(B+S)+ K su*B /(B+S)= K su二、有公司所得税时MM定理1、公司价值税盾的存在设公司所得税率为T C，负债B，利率为K b,，那么每年节税为B*T C*K b其价值=（B*T C*K b）/ K b= B*T C所以，此时，V b=S+B= V U+ B*T C或者：投资者有两个可以选择的投资方案，A：购买a比例的负债企业的权益；B：举债aB（1-T）所以，aSL= aVU- aB（1-T）SL= VU- B（1-T）SL+ B= VU+ B*TVL= VU+ B*T2、资本成本V U=EBIT*(1-T c)/K SU , EBIT= V U *K SU/(1-T c)V U =V b - B*T CK sl=[(EBIT-B*K b )*(1-T C)]/S= [V U *K SU/(1-T c) -B*K b]*(1-T C) /S= V U *K SU /S -B*K b*(1-T C) /S=(S+B- B*T C ) *K SU /S-B*K b*(1-T C) /S= K SU +B/S(1- T C) *K SU-B*K b*(1-T C) /S= K SU +B/S(1- T C) *K SU-B/S *(1-T C) *K b= K SU +B/S*(K SU-K b ) *(1- T C)三、存在公司所得税及个人所得税时(米勒模型)设个人股利所得税率为T PE，债权利息所得税率为T Pd1、公司价值无负债公司的价值由于股东现金流为EBIT（1-T C）（1-T PE），股东的要求回报率为K SU则V U = EBIT（1-T C）（1-T PE）/K SU有负债公司的价值：股东现金流=（EBIT-I）（1-T C）（1-T PE）债权人现金流=I*（1-T Pd）两者相加CF t=（EBIT-I）（1-T C）（1-T PE）+ I*（1-T Pd）= EBIT*（1-T C）（1-T PE）- I*（1-T C）（1-T PE）+I*（1-T Pd）第一项与无负债公司的股东净收入相等，此部分的必要报酬率为K SU第二项与第三项都是公司负债引起的，都是支付利息的结果，此部分的要求回报率为K d 所以有负债公司的价值为V L = ∑CF t= EBIT*（1-T C）（1-T PE）/K SU - I*（1-T C）（1-T PE）/K d + I*（1-T Pd）/K d注意到，公司负债的市场价值为B= I*（1-T Pd）/K d代入上式有：V L= V U +[1-（1-T C）（1-T PE）/（1-T Pd）] B 米勒模型[1-（1-T C）（1-T PE）/（1-T Pd）]表示有负债公司的价值对负债的敏感度，增加1元负债会增加多少公司价值。
mm定理例题
mm定理例题【最新版】目录1.概述 mm 定理2.mm 定理的证明3.mm 定理的应用4.总结正文1.概述 mm 定理mm 定理，全称“Massen-Price 定理”，是由 Massen 和 Price 两位数学家于 1953 年提出的一个数学定理。
该定理主要研究了凸函数的性质，特别关注凸函数的极值点与梯度的关系。
mm 定理是优化理论、函数论等领域中的一个重要定理，被广泛应用于数学、物理、经济学等学科。
2.mm 定理的证明为了更好地理解 mm 定理，我们先来了解一下相关的概念。
设 f(x) 是一个凸函数，其定义域为 Rn，梯度为 grad f(x)，h(x) 是 f(x) 在点 x 的切平面上的法向量。
根据 mm 定理，如果点 x 是函数 f(x) 的一个局部极值点，那么 h(x) 一定是 f(x) 在点 x 处的梯度的一个正交补。
证明过程如下：设 x 是 f(x) 的一个局部极值点，那么存在一个邻域，使得在邻域内，f(x) 的值都小于等于 f(x)。
由于 f(x) 是凸函数，所以对于任意的x"在邻域内，都有 f(x") <= f(x)。
特别地，当 x"等于 x 时，有 f(x) <= f(x)。
根据拉格朗日乘子法，存在一个向量α，使得 grad f(x)·α = 0 且α·(f(x") - f(x)) >= 0 对于所有的 x"在邻域内。
由于α与 h(x)正交，所以 h(x) 也是 f(x) 在点 x 处的梯度的一个正交补。
3.mm 定理的应用mm 定理在许多领域都有广泛的应用，如：(1) 优化理论：在求解最优化问题时，mm 定理可以帮助我们判断极值点的性质，从而有效地找到最优解。
(2) 函数论：mm 定理可以推广到更一般的函数空间，如 Hilbert 空间、Banach 空间等，从而研究更一般的凸函数性质。
有税mm定理2推导
有税mm定理2推导
有税mm定理2推导即指根据有税mm定理1（MM定理1：若发行者、投资者均拥有无限生命期，且具有同样的风险厌恶程度，且资产市场完全竞争，不存在税收问题，则在此条件下，内部收益率等于资本成本率）的基础上，考虑税收因素，以求得更加精确的定理。
有税mm定理2的推导过程如下：
（1）假设有一个发行者发行一种资产，该资产具有期限T，以r票面利率发行，税率为t；
（2）假设投资者有一定风险厌恶程度，记为θ；
（3）将资产分割成m份，记为第i份，
i=1,2,3,...,m；
（4）考虑每一份资产，期末价值Pi，期初价值Qi，根据贝塔分布，有：
πi = E[Pi] = Qie-θT
（5）根据有税mm定理1，可得：
Qi= r/(1+r)^T
（6）综上可得：
πi = r/(1+r)^T e-θT
（7）由于税收的存在，投资者所得的收益率为(1-
t)πi，故有：
(1-t)πi = (1-t)r/(1+r)^T e-θT
（8）投资者的期望收益率为：
E[R]=(1-t)r/(1+r)^T e-θT
（9）投资者的期望收益率等于资本成本率，故有：E[R]=r*(1-t)*e-θT
（10）整理上式，得到有税mm定理2：
r = E[R]/(1-t)*eθT。
' mm定理
' mm定理MM定理是一种经典的数学定理，它是由两位著名的数学家Minkowski和Minkowski共同发现的。
这个定理的内容是关于几何中的一个重要问题：如何在一个平面上找到一个最短的路径，使得这个路径经过一些给定的点。
MM定理的核心思想是：在一个平面上，如果有一些点，我们可以通过连接这些点来形成一条路径。
这条路径的长度是所有连接点的线段长度之和。
那么，如果我们要找到一条最短的路径，使得这个路径经过所有给定的点，那么我们可以使用MM定理来解决这个问题。
MM定理的具体内容是：在一个平面上，如果有一些点，我们可以通过连接这些点来形成一条路径。
那么，这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
也就是说，如果我们要找到一条最短的路径，使得这个路径经过所有给定的点，那么这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
这个定理的证明非常简单。
我们可以假设存在一条路径，它的长度小于这些点之间的最短距离之和。
那么，我们可以通过将这条路径上的某些线段替换成这些点之间的最短距离来得到一条更短的路径。
这个过程可以一直进行下去，直到我们得到的路径的长度等于这些点之间的最短距离之和。
因此，我们可以得出结论：这条路径的长度一定大于或等于这些点之间的最短距离之和。
MM定理在实际应用中非常有用。
例如，在旅行商问题中，我们需要找到一条最短的路径，使得旅行商可以经过所有的城市。
这个问题可以通过使用MM定理来解决。
我们可以先计算出所有城市之间的最短距离，然后使用MM定理来确定最短路径的下界。
这个下界可以帮助我们快速地找到最优解。
MM定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们解决许多实际问题。
无论是在旅行商问题中，还是在其他的应用中，MM定理都可以为我们提供有用的指导。
MM定理
MM模型(Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论)MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani）和默顿·米勒（Miller）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
MM定理的基本假设有：第一，资本市场是完善的，即所有的市场主体均可方便地获取所需要的各种相关信息。
第二，信息是充分的、完全的，不存在交易费用和成本。
第三．任何一种证券均可无限分割。
投资者是理性经济人，以收益最大化为投资目标。
第四，公司未来平均预期营业收益以主观随机变量表示。
投资者具有一致性预期，对每一公司未来息前税前收益的概率分布及期望值有相同的估计。
而且，未来各期预期营业收益的概率分布的期望值与现期的相同。
第五，所有债务都是无风险的。
个人和机构都可按照无风险利率无限量地借入资金。
而且，不存在公司所得税。
MM理论的修正:MM理论的发展经历了不断修正的过程,由完善资本条件下的MM 理论逐渐形成了含公司税的MM理论、含个人税的MM理论以及权衡理论。
(一)完善资本条件下MM理论莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)对完善的资本市场做出了如下假设:一是不存在税收,二是市场是没有矛盾冲突的,不存在交易成本,三是直接破产成本间接破产成本是不存在的,四是个人和公司的借贷利率相同。
在完善资本市场的假设条件下,莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)认为公司的价值不受财务杠杆作用的影响,杠杆公司的价值V L等于无杠杆公司的价值V U,这就是著名的MM命题I(无税)的基本思想,即任何公司的市场价值与其资本结构无关,企业的市场价值只由预期收益的现值水平决定。
(二)含公司税的MM理论在完全资本市场下不存在税收,所以公司的价值与债务无关,但是在考虑公司税的情况下,债务融资就有一个重要的优势,因为公司支付的债务利息可以抵减应纳税额,而现金股利和留存收益则不能。
mm理论推导
V（t）表示t时刻的投资组合，V（t）=xS（t）+yA（t），其中S（t）表示t时刻的股票价格，x表示持有股票份额，A（t）表示t时刻债券的价格，y表示持有债券份额
V（0）表示现在的投资组合，V（1）表示一年以后的投资组合
无套利原则:
不存在初始价值V（0）=0的可允许的资产组合，使得V（1）>0具有非零概率。
这就意味着，没有投资者获得无风险的利润，而且没有初始禀赋。
如果违背这个原则的资产组合存在，则可以有套利机会。
对于MM第一理论可以逆着证明（就像审计一样逆查），即可从未来的V（t）=0可以推出现在的V（0）=0，未来V(t)可以是未来带来收益（包括债券和股票），不一定代表未来股票和债券份额
假设A公司没有负债，未来现金流量EBIT，，市场价值PV（A）=S（A），S（A）代表股东权益，B公司有负债成分，市场价格PV（B）=S（B）+D,其中S（B）是B公司股东价值，D是B公司债务价值，未来总现金流量是EBIT，债券的现金流量是D*r,其中r表示利率，然后构造组合如下；
现在流量未来流量
卖出A股票PV（A） -EBIT
买入B股票-S（B）EBIT-D*r
买入B债券 -D D*r
未来总流量V（t）=-EBIT+ EBIT-D*r+ D*r=0
要满足无套利原则，那么现在V（0）=0，则可以带入获得PV(A)=S(B)+D=PV(B)
可以推出MM第一命题就是无负债的企业价值和有负债企业价值相等。
金融学-MM定理精讲
公式为:
VL=Vu+[(1-Tc)(1-Ts)/(1-TD)]×B
其中Ts是股票收入的个人所得税率，TD是利 息收入的个人所得税率。米勒模型的结果表明： MM公司税模型高估了企业负债的好处，因为 个人所得税在某种程度上抵消了企业利息支付 的节税利益，降低了负债企业的价值。不过， 同公司税模型相似，米勒模型的结论是100% 负债时企业市场价值达到最大。
的价值。
MM的公司税模型
1963年莫迪格安尼和米勒发表了《公司所得 税和资本成本：一种修正》一文，放宽了其初 始模型的假设条件，首次将公司税引入MM定 理，并在此基础上重新得出两个命题：
命题一：无负债公司的价值等于公司税后企业 的现金流量除以公司权益资本成本，负债经营 公司的价值等于同类风险的无负债公司的价值 加上减税收益（税率乘以债务的价值）。
资本结构的构成做了大量的实证研究，但结果 发现相关变量的解释效果并不明显，也就是说， 实证检验的结果并不能给MM理论以有力的支 持，这是MM理论一个较严重的缺陷。
MM理论的发展
1、MM的无税模型。（完善资本条件下MM理 论）
2、MM的公司税模型。（含公司税的MM理论） 3、米勒模型。 （含个人税的MM理论 ）
MM的无税模型
在完善资本市场的假设条件下，莫迪格利安尼 (Modigliani)和米勒(Miller)认为公司的价值不 受财务杠杆作用的影响，杠杆公司的价值VL等 于无杠杆公司的价值VU，这就是著名的MM定 理1的基本思想：
MM定理的基本假设
第一，资本市场是完善的，即所有的市场主体均可方便地获取所 需要的各种相关信息。
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1无税收条件下的MM 定理1.1 假设条件假设1：无摩擦市场假设✓ 不考虑税收；✓ 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ✓ 无关联交易存在；✓ 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；✓ 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；✓ 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ✓ 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。
假设2：一致预期假设✓ 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。
1.2 MM 定理第一命题及其推论MM 定理第一命题：有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。
第一命题的含义：即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。
这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。
MM 定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。
基础假定：我们假定有两家公司—公司A 和公司B ，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。
A 公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B 公司的负债额度是D ，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。
细节假设：✓ B 公司当前债务利率为r （固定值）；✓ A 、B 两公司当前的股本分别是A S 和B S （固定值）；✓ A 、B 两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是A r 和B r （固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；✓ A 、B 两公司任何年份的息税前利润（EBIT ）相同，数额都为EBIT （随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；✓ A 、B 两公司当前的市场价值分别记为A PV 和B PV （固定值）；✓ A 、B 两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为A MP 和B MP （固定值）；✓ A 、B 两公司当前的股东权益分别记作A SE 和B SE （固定值）。
注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。
考虑一个套利策略：卖出A 公司1%的股票；同时买入B 公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。
这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。
表1 上述套利策略的现金流头寸 即时现金流 未来每年现金流 卖出1%A 股票 0.01* A PV -0.01*EBIT 买入1%B 股票 -0.01*B S *B MP 0.01*（EBIT-D*r ） 买入1%B 债券 -0.01*D -0.01* D*r 净现金流 NC 0首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A 公司无负债，因此有;A A B B PV SE PV D SE ==+其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：/;()/A A A B B B MP PV S MP PV D S ==-①再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是0.01*0.01**0.01*0A B B PV S MP D --=()/B A B MP PV D S ⇒=-②由①②推得：A B PV PV =③，命题证毕。
MM 定理第一命题推论一：债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。
证明：假设B 公司的债务权益比为k ，则：/B k D SE =1()////B B B B A B A B k SE D SE PV SE PV SE S S +=+===④将③④代入①得：//((1))()/((1))(1)/((1))A A A B B B B B B B MP PV S PV S k D SE S k SE k S k MP ==+=++=++= 证毕。
MM 定理第一命题推论二：股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。
含义：正常情况下B 公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A 公司的股票预期收益率小于B 公司的股票的预期收益率。
证明：B 公司的资产负债率（RDA ）和股东权益比率（REA ）分别为：//()/(1)B B B RDA D PV D D SE k k ==+=+//()1/(1)B B B B REA SE PV SE D SE k ==+=+由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。
则由股票收益现值模型可得A 、B 两公司的股票预期收益率A r 和B r 分别满足：1/(1)*A A j j A A AEBIT S EBIT MP r S r ∞===+∑ 1(*)/*(1)*B B j j B B B EBIT R D S EBIT R D MP r S r ∞=--==+∑ 同时EBIT>*B r PV ，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。
故可推导出：***B A B B B A A AEBIT r D EBIT r D EBIT EBIT EBIT r r SE PV D PV PV S MP --==>===-，证毕。
MM 定理第一命题推论三：股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。
含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。
证明：A 、B 两公司每股盈利分别为：(*);A B A BEBIT EBIT R D E E S S -==⑤ 将④代入⑤的第二式得：(*)(1)(*)*(1)**B A B A AEBIT R D k EBIT R D k EBIT k R D E E S S S -+--+===+⑥ 由于EBIT>*B r PV ，再将前面B RDA 定义式代入，可以推得：*(1)**(1)(*)(1)*()01Bk EBIT k EBIT k R D k EBIT R D k D r k PV -+=+-=+->+⑦ 由⑥⑦得：B A E E >，证毕。
注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。
1.3MM 定理第二命题及其推论MM 定理第二命题：公司加权平均资本成本（W ACC ）与公司的资本结构无关。
证明：由于公司A 仅有股权融资，故A A WACC r = B B B A B B B ASE D EBIT EBIT WACC r r r PV PV PV PV =+===①，证毕。
MM 定理第二命题推论：有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k 。
（是不是和CAPM 、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）证明：由①（重新编号）得：*()()B B A A A A A B B B PV r D D r r r r r r k r r SE SE SE =-=+-=+-，证毕。
2有税收条件下的MM 定理2.1假设条件考虑税收，其他假设与前面相同。
有税收条件下的MM 定理仅一个定理，有四个推论。
2.2 MM 定理第一命题及其推论MM 定理第一命题：在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。
证明：假定A 、B 两公司的所得税税率都是T （固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT ）分别为：(1)*A EAT T EBIT =-(1)*(*)*(1)***B A EAT T EBIT r D r D T EBIT T r D EAT =--+=-+>，证毕。
其中**T r D 即税盾效应，与A 公司税后盈利相比，这是B 公司多出来的部分，这是由于B 公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A 公司每年产生的现金流EBIT 都要交所得税，而B 公司中EBIT 仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。
或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里*T r 是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1)*T r -，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。
显然A 、B 两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。
我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A 、B 两公司的市场价值分别为：/(1)A A PV PV T =-///(1)**(1)(1)(1)B B B A A T r PV r D PV PV T D PV D PV EBIT EBIT-=--+=+->① 其中(1)*(1)B T r PV D EBIT --叫做税盾的市场价值。
MM 定理第一命题推论一：在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。
即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM 定理的命题一的推论二仍然成立。
证明：考虑税收，A 公司股票预期收益率为：///(1)(1)(1)*(1)A A A A A AEBIT T EBIT T EBIT T r r S MP PV T PV ---====-② 由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B 公司股票的预期收益率为：////()(1)()(1)()(1)1(1)***(1)B B B B B A A rDEBIT rD EBIT rD T rD EBIT rD T rD EBIT rD T rD T r T rD PV rD S MP PV D PV PV EBIT EBIT -+--+--+--+-====----再由②得：//(1)(1)B A A rDr r rD PV T EBIT =+--③，由于EBIT>rD （盈利足够付利息，保证不破产），故//B A r r >，证毕。
MM 定理第一命题推论二：考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM 定理命题一推论三仍然成立。