二阶及高阶导数的概念及计算
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。
特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。
二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
2-3 高阶导数(高等数学)
§2.3 高阶导数教学内容： 一．高阶导数二阶导数的定义：0(+)()()limx f x x f x f x x∆→''∆-''=∆.高阶导数：(1)(1)()0(+)()()lim n n n x f x x f x f x x--∆→∆-=∆二．高阶导数的运算法则（1）若函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数，则()()±u x v x 、()(Cu x C 为常数)在点x 点处具有n 阶导数，且()()()()±=±n n n u v u v ，()()()=n n Cu Cu .（2）函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数, ()()()()1C nn k n k k n k uv u v -==∑，此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设3π()4cos 3sin sin 2f x x x x =-+-，求()f x '，(0)f '．例2.设2e sin x y x x +，求y '．例3.设x y tan =，求y '．同理可推得 ()x x 2csc cot -='．例4.设x y sec =，求y '．同理可推得 ()x x x cot csc csc -='．例5.证明(arcsin )'x =．例6.证明 ()ln x xa a a '=．特别地，当e a =时， (e )e x x'=．例7.求下列函数的导数．（1）3cos y x =； （2）1e xy =； （3）y =； （4）arcsin y =.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦 e e sh 2x x x -- =；（2）双曲余弦 e e ch 2x x x -+ =； （3）双曲正切 e e th e +e x xx xx --- = ．例9.求下列函数的导数． （1）3sin ln x y =； （2）1tan2xy =； （3）2sin (34)y x =-.例10.求下列函数的导数．（1）221cos sin y x x=⋅； （2）ln(y x =．例11.已知()f u 可导，求下列函数的导数．（1）3f y =； （2）(ln )ln ()y f x f x =+．例14.设324e 5ln xy x x =-+，求y ''．例15.求下列函数的n 阶导数．（1）xa y =； （2）x y sin =.例16.求函数11=+y x的n 阶导数.例17.已知214=-y x ，求(100)y .例18.已知2sin 3=y x x ，求(20)y .。
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)]
同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
Байду номын сангаас
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情 形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合 偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续
偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
高阶导数的运算法则
应用
高阶微分方程在描述复杂系统的行为和解决某些数学问题中有重要应用。
05
高阶导数的物理应用
速度与加速度的关系
总结词
描述速度和加速度之间的数学关系
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的两 个重要物理量。速度是描述物体位置变化的量，而加 速度是描述物体速度变化快慢的量。通过高阶导数， 我们可以更精确地描述速度和加速度之间的关系。例 如，物体的运动方程可以表示为速度关于时间的导数 （即加速度），而加速度关于时间的导数则表示加加 速度（即物体速度变化的速率）。
举例
$y'' = f(x, y, y', y'')$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变量。
应用
二阶微分方程在振动、波动和曲率等领域有广泛应 用。
高阶微分方程
定义
高阶微分方程是包含一个未知函数及其高阶导 数的方程。
举例
$y^{(n)} = f(x, y, y', ldots, y^{(n)})$，其中 $f$ 是可微函数，$y$ 是未知函数，$x$ 是自变 量。
幂的导数法则
总结词
幂的导数法则是计算幂函数的高阶导数的规 则。
详细描述
幂的导数法则是说，如果幂函数y=x^n对x有 n阶导数，则其高阶导数的形式为 d^ny/dx^n=(n!)*x^(n-1)/[(n-
1)!]+...+2*x/1+0*1/x，其中n为非负整数。
03
高阶导数的应用
求极值
极值判定定理
04
高阶导数在微分方程中的应 用
一阶微分方程
定义
01
一阶微分方程是包含一个未知函数及其导数的方程。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
§3. 高阶导数
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(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定： 莱布尼兹(Leibniz) 公式 莱布尼兹
10
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例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 定义 函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数 二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数 三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数 阶导数. 阶导数
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13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a
求导法则与高阶导数计算
求导法则与高阶导数计算导数是微积分中一个重要的概念，求导法则是用来计算函数导数的一系列规则。
无论是简单的一次导数还是更高阶的导数，掌握这些求导法则对于解决实际问题和理解函数的性质都具有重要意义。
一、基本导数法则1. 变量的导数对于自变量是单个变量的函数，导数的计算方法如下：- 若函数是常数：导数为零。
- 若函数是自变量的线性函数：导数为常数。
- 若函数是自变量的幂函数（幂指数是常数）：导数为幂函数的幂指数乘以常数。
- 若函数是自变量的指数函数（底数是常数）：导数为指数函数的自然对数乘以常数。
2. 和差的导数法则对于函数的和差，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的和：导数等于两个函数各自的导数之和。
- 若函数为两个函数的差：导数等于两个函数各自的导数之差。
3. 乘法的导数法则对于函数的乘法，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的乘积：导数等于一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以一个函数。
4. 商的导数法则对于函数的商，导数的计算方法如下：- 若函数为两个函数的商：导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数除以分母的平方。
二、高阶导数计算高阶导数是指导函数的导数再次求导的结果。
高阶导数的计算可以使用以下方法：1. 一次求导后再次求导。
2. 利用高阶导数的公式，如幂函数和指数函数的高阶导数规律。
3. 利用递推法则，将高阶导数表示为一阶导数的形式。
三、实例分析下面通过几个实例来说明求导法则和高阶导数的计算方法：例1：求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数和二阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = 6x + 4然后求二阶导数：f''(x) = 6例2：求函数f(x) = e^x / x的导数和三阶导数。
解：首先求一阶导数：f'(x) = (e^x * x - e^x) / x^2然后求二阶导数：f''(x) = (2e^x - e^x * x + e^x) / x^3最后求三阶导数：f'''(x) = (6e^x - 6e^x * x + 3e^x * x^2 - e^x) / x^4通过这些例子可以看出，求导法则和高阶导数的计算非常有用，可以帮助我们快速准确地获得函数的导数信息，并进一步分析函数的性质、变化趋势等。
高数(上)第二章第三节高阶导数
f '"( x ) 2 3[ f ( x )]2 f '( x ) 3![ f ( x )]4 ,
故 f ( n) ( x ) n![ f ( x )]n1
已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) 0, y ln[ f ( x )],
d2 y 求 . 2 dx
v ' 2 x , v '' 2 , v ( n) 0(n 3)
由莱布尼兹公式
0 (10) (0) 1 (9) ' 2 (8) '' y (10) C10 u v C10 u v C10 u v 10 9 2 x sin( x 10 ) 10 2 x sin( x 9 ) 2 sin( x 8 ) 2 2 2 2
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y, f ( x ), d3 y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
(4)
,
f
(4)
( x ),
d4 y , 4 dx
d4 f dx 4
f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
( n)
= (-1)
n-1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n1 x x
( n 1)! (6) (ln （ 1 x ） ) (-1) n （ 1 x ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n1 1 x （1 x）
1 ( n) n! ( ) = n 1 1 x （1 x）
高数上第二章-高阶导数
5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 )； 6、207360；
7、n ! ；
8、(n 1)! .
二、1、4
3
5
x2
8 x 3 ；
4
2、
2cos 2x
ln
x
2sin 2x x
cos 2 x2
x
；
3、
x.
3
(1 x 2 )2
六、1、( 2)n e x cos(x n )；
例4 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
2. 高阶导数的运算法则:
1、 y e x cos x；
2、y 1 x ； 1 x
3、 y
x2
x3 3x
; 2
4、y sin x sin 2x sin 3x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ；
2、2 sec2 x tan x ；
3、2arctan x 2x ； 1 x2
4、2 xe x2 (3 2 x 2 ) ；
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an
二阶导数表达(3篇)
第1篇一、二阶导数的概念1. 定义二阶导数，也称为函数的二阶导数，是导数的导数。
对于一元函数y=f(x)，其导数f'(x)表示函数在某一点的瞬时变化率。
而二阶导数f''(x)则表示导数f'(x)在某一点的瞬时变化率，即函数的曲率。
2. 计算公式对于一元函数y=f(x)，其二阶导数的计算公式为：f''(x) = lim（h→0）[f'(x+h) - f'(x)] / h或者：f''(x) = d/dx[f'(x)]二、二阶导数的性质1. 可导性若函数y=f(x)在点x处可导，则其导数f'(x)在点x处也可导，即f'(x)在x处存在二阶导数。
2. 连续性若函数y=f(x)及其一阶导数f'(x)在区间[a, b]上连续，则f''(x)也在区间[a, b]上连续。
3. 非负性对于函数y=f(x)，若f''(x)≥0，则函数图像在对应区间上为凸函数；若f''(x)≤0，则函数图像在对应区间上为凹函数。
4. 凸凹性若函数y=f(x)及其二阶导数f''(x)在区间[a, b]上连续，则：（1）若f''(x) > 0，则函数在区间[a, b]上为凸函数；（2）若f''(x) < 0，则函数在区间[a, b]上为凹函数。
三、二阶导数的应用1. 曲率分析通过计算函数的二阶导数，可以判断函数图像的凸凹性，进而分析曲线的曲率。
2. 最值问题在求解函数最值问题时，可以通过分析函数的二阶导数，判断函数的极值类型。
3. 函数图像分析通过分析函数的二阶导数，可以了解函数图像的形状，如拐点、极值点等。
4. 工程应用在工程领域，二阶导数常用于描述物理量变化的趋势，如速度、加速度等。
四、二阶导数在实际问题中的重要性1. 描述物理现象在物理学中，二阶导数常用于描述物体的运动规律，如速度、加速度等。
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
03
二阶导数的几何意义可以用于判断函数的单调性、极值点 和拐点等性质。
二阶导数的物理意义
在物理问题中，二阶导数常常用来描述物体的振动、波动和曲率等物理量。
二阶导数的物理意义与一阶导数不同，一阶导数描述的是物体的速度和加 速度，而二阶导数描述的是物体的加速度的变化率。
在弹性力学中，二阶导数可以用来描述物体的应力分布和应变状态。
二阶导数的求导法则
链式法则
对于复合函数f(g(x))，其二阶导数为f'[g(x)]*g'(x)'。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其二阶导数为(uv)'=u'v+uv'，其中u'和v'分别为u和v的一阶导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其二阶导数为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
高阶导数法则
02
(f(x) = e^x) 的二阶导数： (f''(x) = e^x)
03
(f(x) = sin x) 的二阶导数： (f''(x) = cos x)
05
二阶及高阶导数的应用
在函数极值问题中的应用
判断极值点
通过求函数的二阶导数，可以判断一阶导数等于零的点是否为极值点。如果二阶导数大 于零，则一阶导数等于零的点是极小值点；如果二阶导数小于零，则一阶导数等于零的
高阶导数的物理意义
速度和加速度
在物理中，一阶导数通常用来描述速 度，二阶导数描述加速度。例如，一 个物体在直线运动中的速度和加速度 可以通过其位置函数的导数来描述。
振动和波动
在振动和波动的研究中，高阶导数也 有重要的应用。例如，弹簧振动的频 率和振幅可以通过其振动函数的导数 来描述。
二阶及高阶导数的概念及计算
其中Rn(x)＝
(n + 1)!
x
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
x2 xn e x = 1 + x + + L + + O( x n ) 2! n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
1 1 e = 1+1+ +L + 2! n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。 例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2 ∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
高阶导数
高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dx yd =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00''0'0'0220''00x x x f x f x x f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆= 一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n 阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x fn ，0x x nn dxy d =，…，即：.)()(lim )()(lim )(00)1()1(0)1(0)'1(00)(00x x x f x f x x f x x f dxdy x fn n x x n n x x x nnn --=∆-∆+==--→--→∆= 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(n nn dxdy x f。
二、高阶导数的计算：函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可。
除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式。
1．)()()(][n n n v u v u ±=±。
2．设uv y =，则'''uv v u y +=；()'''''''''''2uv v u v u uv v u y ++=+=；()''''''''''''''''''''''332uv vu v u v u uv v u v u y +++=++=；依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式()nv u +展开式极为相似）：+++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++---∑=-=NK k k n knv u C)()(， 其中u u =)0(，v v =)0(。
高阶导数的常用公式
高阶导数的常用公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
而高阶导数则是导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。
在实际应用中，高阶导数在多个领域都有重要的作用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍几个高阶导数的常用公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 一阶导数的计算公式一阶导数即函数的导数，它描述了函数在某一点的切线斜率。
一阶导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 二阶导数的计算公式二阶导数是一阶导数的导数，它描述了函数切线的变化率。
二阶导数的计算公式如下：f''(x) = (d/dx)[f'(x)]3. 高阶导数的计算公式高阶导数是指二阶导数及以上的导数。
高阶导数的计算可以通过递归地应用一阶导数的计算公式来实现。
例如，三阶导数可以通过以下公式计算：f'''(x) = (d/dx)[f''(x)]4. 高阶导数的物理意义高阶导数在物理学中有广泛的应用，特别是描述物体的运动和变化。
例如，加速度是速度的一阶导数，描述了物体速度的变化率；而位移是速度的一阶导数，描述了物体位置的变化率。
高阶导数可以进一步描述这些变化率的变化率，从而提供更详细的物理信息。
5. 高阶导数在工程学中的应用在工程学中，高阶导数有助于分析和优化系统的性能。
例如，在信号处理中，高阶导数可以用于提取信号的特征，如边缘检测和图像增强。
在控制系统中，高阶导数可以用于设计和调整控制器的响应特性，以实现更好的控制效果。
6. 高阶导数在经济学中的应用高阶导数在经济学中也有重要的应用。
例如，在经济学中，边际效用是总效用的一阶导数，描述了消费者对某种商品的满足程度。
高阶导数可以用于分析消费者对多个商品的替代和互补关系，从而为市场调节提供参考。
7. 求解高阶导数的技巧在实际计算中，求解高阶导数可以使用多种技巧。
隐函数求导法高阶导数
隐函数求导法的注意事项
02
01
03
确保隐函数是可微的，否则无法使用隐函数求导法。
解出关于$y'$的方程，得到$y'$的表达式。
4. 代入原方程
将求得的$y'$代入原隐函数关系式中，得到关于$x$的一阶导数表达式。
一阶隐函数求导的实例
假设有隐函数关系式$x^2 + y^2 = 1$，对$x$ 求导得到
01
解得 03
02
$frac{d}{dx}(x^2) + frac{d}{dx}(y^2) = 0$
3. 注意符号和变量的使用
在求导过程中，需要正确使用符号和变量， 避免混淆和错误。
03
二阶隐函数求导
二阶隐函数求导的步骤
1. 确定函数关系
首先需要确定隐函数的关系式，即$F(x, y) = 0$。
2. 对$y$求一阶导数
使用隐函数求导法则，将$F(x, y)$对$y$求一阶导数，得到$dy/dx$。
隐函数求导法的步骤
确定函数关系
首先需要确定自变量和因变量之间的函数关 系，通常表示为一个方程。
对方程两边同时求导
使用适当的求导法则对函数关系式进行求导。
解出因变量的导数
将求导后的方程解出因变量的导数表达式。
继续求导
重复上述步骤，直到求出所需的高阶导数。
隐函数求导法的实例
假设有隐函数 $F(x,y) = 0$，其中 $F(x,y)$ 是可 微的。
函数的导数与高阶导数
函数的导数与高阶导数函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数随着自变量的变化而变化的速率。
在这篇文章中，我们将探讨函数的导数以及高阶导数的概念和性质。
一、函数的导数在数学中，函数的导数代表了函数在某一点上的瞬时变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下符号表示：f'(x) 或 df(x)/dx 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f(x)的导数，df(x)/dx表示函数f(x)对x的变化率，dy/dx表示函数f(x)对x的变化率。
函数的导数可以通过求取函数在某一点上的极限来计算，其定义如下：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个极限表示了当自变量x的微小变化h趋近于0时，函数f(x)的变化量与x的变化量之比的极限。
如果这个极限存在，那么函数在该点处有导数。
函数的导数有一些基本性质，包括加法法则、乘法法则和链式法则，这些法则可以用来计算复杂函数的导数。
二、高阶导数除了一阶导数（即函数的导数），我们还可以定义更高阶的导数。
高阶导数描述了函数变化率的变化率。
如果函数的导数f'(x)也可导，那么它的导数就是f''(x)，称为函数f(x)的二阶导数。
同样地，我们可以定义三阶导数、四阶导数，以及更高阶的导数。
高阶导数可以通过对函数的导数再次求导来计算。
例如，函数f(x)的二阶导数可以通过以下方式计算：f''(x) = (d/dx) [f'(x)]其中d/dx表示对x求导。
高阶导数在数学和物理等领域中具有重要的应用，例如在描述曲线的凹凸性、求解微分方程等问题中起到关键作用。
三、导数的应用函数的导数在数学和其他学科的应用非常广泛。
下面列举了一些常见的应用：1. 切线和法线：函数的导数可以用来求解曲线在某一点的切线和法线。
切线是曲线在该点处的切线，而法线是与切线垂直的线。
2. 斜率和速率：导数可以用来计算曲线的斜率，从而得到曲线在某一点的斜率。
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例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点
解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0
因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的，
点(0,－1)不是拐点。 a
8
4.7 函数图象的描绘
利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。
一般步骤为：
2
2
( ,2π)内为凸的。
a
6
2. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0
的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))
是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
a
7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为 曲 线上的拐点。
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
a
4
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
a
5
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
a
2
例4.11 求下列函数的极值
⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，
得驻点为x1＝
4
，x2＝5
4
，又f"(x)＝－sinx－cosx，
f " () s ic n o 2 s 0f " ( 5 ) s5 i c n 5 o 2 s 0
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
a
10
[定理4.8]
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函
数图象和两坐标轴的交点；
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极 值
点和增减区间；
⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹 凸
区间；Biblioteka ⑷ 计算驻点、拐点处的函a 数值；
9
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
1. 曲线的凹凸性
设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的 曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在 (a,b)内是凹的，
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方， 则称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段 向下弯曲是凸的。
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的。
4 把x1＝4 4 ，4 x2＝ 54
44
代入原函数计算得
4
f( )＝
4
2
、f( 5 )＝－
4
2
。所以当x＝
4
时，
y极大＝
2 ，x＝ 5
4
时，y极小＝－
2
[注意]
如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本
定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判
定是否为函数的极值点。
a
3
4.6 函数的凹凸性和拐点
示为：
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" ( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n O (x n )
2 !
n !
一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) f" 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2 f( n n ) ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n O ( x x 0 ) n
a
12
4.9 几个初等函数的泰勒公式
例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式
其中Rn(x)＝
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展
开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
a
11
当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。
O(xn)称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表
a
1
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0
解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx，
令y"＝0，得x1＝
2
，x2＝
3
2
∴当x∈(0, 2 )时，f”(x)＜0，曲线在(02, )内
为凸的，
当x∈( , 3 )时，f”(x)＞0，曲线在( , 3 )
22
22
内是凹的，
当 x∈(3 ,2π) 时 ， f”(x) ＜ 0 ， 曲3 线 在