逻辑推理讲义

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逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．

“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．

这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．

这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证

知识点1.命题的概念

命题的概念：可以判断真假的陈述句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题

注意：1.初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的

2.要判断句子是否是命题，首先看句子的句型。一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次看能不能判断其真假，也就是判断是否成立。

3.开语句. 语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．例如，x<2，5=3，()()=0.

4.一个命题，一般可用一个小写字母表示，如：p 、q 、r …… 例 ①11>5 ②3是15的约数 ③0.7是整数 ①②是真命题，③是假命题

反例：④3是15的约数吗？ ⑤ x>8 都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假

“这是一棵大树”； “x ＜2”． 都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x 是未知数，也不能判断“x ＜2”是否成立．

知识点2.量 词

1.全称量词与全称命题

2.存在量词与存在性命题 知识点3．基本逻辑联结词

逻辑联结词 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 知识点4．简单命题与复合命题

简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题

复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 其实，有些概念前面已遇到过

如：或：不等式 2

x 6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }

且：不等式 2

x 6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 } 知识点5 复合命题的构成形式

如果用 p, q, r, s ……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种： 即：p 或q 记作 p ∨q p 且q 记作 p ∧q 非p (命题的否定) 记作 ┑p

释义：“p 或q ”是指中的任何一个或两者.例如，“∈或∈”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的

“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即

∈ ）；又如在“p

真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能都为真.

“p 且q ”是指中的两者.例如，“∈且∈”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即∈

）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“∈”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈

A

C U ）.

开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．

知识点6 判断复合命题真假的方法

1．“非p”形式的复合命题

例(1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.

(2) 如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.

解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.

(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.

小结：非p复合命题判断真假的方法

当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示

2．“p且q”形式的复合命题

例．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.

解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；

p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）

小结：“p且q”形式的复合命题真假判断

当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假

3．“p或q

例．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.

p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；

p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）

小结：“p或q”形式的复合命题真假判断

当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真. 可用下表表示.