平行线的判定和性质讲义

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质）确定其他角的关系.2．由线定线已知两直线平行→（性质)角的关系行→（判定)确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（１） 同位角 相等，两直线平行。

.(2) 内错角相等,两直线平行。

（3） 同旁内角互补，两直线平行。

(４） 垂直于同一直线的两直线平行（5) 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。

平行线的性质：（1)两直线平行,同位角相等。

(２) 两直线平行,内错角相等。

(3） 两直线平行， 同旁内角互补。

【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )(1)两条直线被第三条直线所截,一定有同位角,所以这两条直线一定平行.(2)两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1＋∠2=１８０°.(4）如图,ＡＤ∥BC ,则∠B +∠C =１80°．(５）平行线的同位角的平分线互相平行.2．下列说法正确的是( ）A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行Ｄ.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与ＣD 没有交点,则AB ∥C Ｄ；④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个 Ｂ．2个 C .3个 D ．4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A ４.已知：如图,∠ＢA Ｅ+∠ＡE Ｄ＝１８0°，∠1=∠2.求证:∠Ｍ=∠N ．证明：∵∠BAE ＋∠A ＥＤ=1８0°( )，∴ ∥ ( ).∴∠B ＡＥ= .又∵∠1=∠２(已知 ）,∴∠BA Ｅ-∠1= － ( ).即∠M ＡＥ= ．∴ ∥ ( ）. ∴∠M =∠N ( ).５如图,一张长方形纸条ＡB ＣD 沿MN 折叠后形成的图形，∠ＤMN =80°，求∠BNC 的度数.６.已知：如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,ＡE 、ＢＥ分别平分DAB ∠、ABC ∠. 请求出E ∠的度数.7.如下图,已知A Ｄ⊥ＢC ，NE ⊥BC ,∠E ＝∠EFA ，求证：A Ｄ平分∠ＢAC .8．如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系，并予以说明.G EB D 321FCA９.如图,︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ，︒=∠10E .求证: ＡB ∥E Ｆ.【例1】如图，AB ∥CD,A Ｃ⊥BC ，图中与∠C ＡB互余的角有个. (安徽省中考题）思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成,往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质),或由预设结论去猜想条件,再运用演绎推理方法加以证明.在学习完相交线、平行线内容后,平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段,需注意以下几点：（1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析.【例2】 如图，平行直线AB 、C Ｄ与相交直线ＥF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) .Ａ．4对 B.8对 Ｃ．12对 Ｄ.16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手.【例3】如图,已知∠B ＝2５°，∠BC Ｄ＝４5°，∠CDE=３0°，∠Ｅ=10°求征:AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或ＣD 平行的直线．【例４】 如图，在ΔAB Ｃ中,CE ⊥A Ｂ于E ，DF ⊥AB 于F,ＡＣ∥ＥD ，C Ｅ是∠ACB 的平分线．求证：∠ＥDF ＝∠ＢＤＦ.（天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂,故需恰当分解图形．【例５】探究:（１)如图ａ,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗?(２）反之,若∠B＋∠Ｄ=∠Ｅ,直线AＢ与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图ｃ所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CＤ,∠Ｅ+∠Ｇ与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？思路点拨已知AB∥CＤ，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间,解题的关键是过E点作AＢ(或ＣD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形.注: 分析主要从以下两个方面进行:(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论.(2）执果溯因(分析法),即要得到结论需具备什么条件.解题时,我们既要抓住条件,又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通.探索性问题一般具有以下特点:(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2）给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件,（3)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳、猜测和确定一般结论;(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究,再探讨改变条件时其结论相应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新.“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力,发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会,再进而作一题多解，一题多问,一题多变的思考,挖掘题目的深度和广度,扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图,已知AE∥CＤ，EF交AB于Ｍ，MN⊥EＦ于M,NN交CD于N,若∠ＢＭE=１10°，则∠MＮD= .(湖北成宁市中者题)2．如图,若直线a，ｂ分别与直线ｃ,d相交，且∠１+∠３=90°，∠2一∠3＝90°，∠４=11５°,那么∠3= ．3．如图,已知AB∥CD，∠１=100°,∠2＝120°，则∠α＝ .(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥ｌ2的是( )．A.∠l=∠3 Ｂ．∠2=∠3C．∠4＝∠5 D.∠2+∠４=180°(南通市中考题)6..已知线段AB的长为１0ｃm,点A、B到直线Ｌ的距离分别为６cm和4cm，符合条件ｌ的条数为( ).A．1 B.2 C.3D．4(安徽省中考题)7．如图,直线a、ｂ都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2;(２)∠3=∠6;(３)∠4+∠7=１80°;(4)∠5＋∠８＝1８0°，其中能判断a∥ｂ的是（)．A.(１)、（3)B.(２)、（4) C．(1)、(３)、(4）D．（1)、(２)、（３)、(4)(江苏盐城市中考题)８.如图,AB∥EF∥DC,EＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外)共有( ）.A．6个D．５个C．4个Ｄ．3个(湖北省荆门市中考题）9．如图,已知∠l＋∠2＝１８０°,∠3=∠Ｂ，试判断∠AＥD与∠ACB的大小关系,并对结论进行证明.1０.如图,已知∠1十∠2=１80°，∠A＝∠C,AD平分∠BDF．求证：BC平分∠ＤＢE. 15.如图，D、Ｇ是ΔABC中AB边上的任意两点,DE∥ＢC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）．A,4对Ｂ．5对 C ．６对D．７对１6．如图,若ＡB∥CD，则( )．A.∠1=∠2+∠3 B．∠1＝∠３一∠２C.∠１+∠２+∠3＝１8０°∠l一∠２十∠3＝180°１７.如图,AB∥CD∥EF,ＥH⊥ＣD于Ｈ,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( ）．A．１８０° B.270° C. 360°D．450°１8．如图，AＢ∥EF，∠C=90°，则α、β和γ的关系是()．A．β＝α＋γＢ.α+β＋γ＝１8０°C．α+β-γ＝18０°Ｄ．β＋γ-α＝180°19.如图,已知AB∥ＣD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问：∠HOP、∠ＡGＦ、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明.20.如图,已知ＡB∥ＣD，α=∠A＋∠E,β=∠B+∠C＋∠D，证明:β=2α．2２.如图，已知射线CB∥OＡ,∠C＝∠OAB＝10０°,Ｅ、F在CB上，且满足∠ＦOＢ＝∠AOB,OE平分∠CＯＦ．（1)求∠ＥOＢ的度数.（2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OＦC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律;若不变,求出这个比值．(３）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OＥＣ=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．。