2020中考数学 解题技巧专题：二次函数图像信息题归类
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数中考题型总结
二次函数常考知识点总结整理一、函数定义与表达式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bx a=-对称轴顶点式：x=h一般式：2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，顶点式：（h、k）顶点坐标y=-2x 2两根式：x=221x x +（3）对称轴位置一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a 与b 同号（即ab ＞0）对称轴在y 轴左侧a 与b 异号（即ab ＜0）对称轴在y 轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2-，2max 44ac b y a -=；（5）常数项c常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
初中数学二次函数题型答题技巧和方法
初中数学二次函数题型答题技巧和方法一、理论基础1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像是抛物线，开口朝上还是朝下取决于a的正负性；顶点的横坐标为-x=b/2a；若a>0,则二次函数的图像开口朝上，最小值为y轴的对称轴；若a<0,则二次函数的图像开口朝下，最大值为y 轴的对称轴。
3. 二次函数的零点和值域二次函数的零点即其图像与x轴的交点，可通过解二次方程求得；值域是二次函数在定义域内所有纵坐标的集合。
二、基本题型及解题技巧1. 求二次函数的图像特征首先计算顶点的坐标，并根据a的正负性判断开口方向；然后通过y=ax^2的形式，可知函数的对称轴为x=0，即y轴；进而可以根据a 的值判断最值是最大值还是最小值。
2. 求二次函数的零点通过解二次方程的方法，将二次函数与x轴相交的点作为函数的零点。
3. 求二次函数的值域首先求得函数的最值，然后根据a的正负性来确定值域的范围。
三、提高解题能力的方法1. 多练习经典题目通过练习一些经典的二次函数题目，可以加深对二次函数的理解，掌握基本的解题技巧。
2. 多思考图像特征在解题过程中，要多思考二次函数的图像特征，如顶点坐标、开口方向、对称轴等，这样可以帮助更快地理解题目并找到解题方法。
3. 注意解题方法和步骤解二次函数题目时，要注意分类讨论，分步解题，并注意逻辑推理的合理性。
四、常见错误与纠正1. 混淆二次函数的图像特征有些学生容易混淆二次函数图像的开口方向和对称轴位置，应该在理论学习和练习中多加注意，加深对二次函数图像特征的印象。
2. 解题步骤混乱有些学生在解题时，步骤混乱，缺乏逻辑性，应该在解题过程中多加练习，养成条理清晰的解题习惯。
五、案例分析及解决方案1. 案例：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+3，求解以下问题：（1）求f(x)的顶点坐标；（2）求f(x)的零点；（3）求f(x)的值域范围。
中考专题二次函数题型分类总结
一、二次函数的定义1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．练习：1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)xm －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．练习：1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
中考二次函数解题方法有哪些
中考二次函数解题方法有哪些中考数学二次函数是必考考点也是重要内容之一，掌握它的解题方法轻松拿分。
下面是由小编为大家整理的“中考二次函数解题方法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
中考二次函数解题方法有哪些一、把握要点(也是中考的考点及要求)1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。
2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。
3.含根据不同条件确定二次函数的'解析式。
4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。
二、要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运用，确定二次函数的解析式，适当做一些二次函数的实际应用问题，来提高分析和解决问题的能力。
三、二次函数是体现综合性的重点内容从容易题到较难题中都会出现，也就是说每年中考试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题，中考数学参考《中考数学辅导：二次函数复习重在把握》。
四、学习二次函数注意如下几点1.函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。
2.函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。
3.当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。
拓展阅读：中考数学复习的高效方法1、吃透考纲把握动向在复习中，很重要的一点是要有针对性，提高效率，避免做无用功。
在对基本的知识点融会贯通的基础上，认真研究考纲，不仅要明确考试的内容，更要对考纲对知识点的要求了然于心。
平时多关注近年中考试题的变化及其相应的评价报告，多层次、多方位地了解中考信息，使复习有的放矢，事半功倍。
2、围绕课本注重基础从近几年的上海中考数学卷来看，都很重视基础知识，突出教材的考查功能。
试题至少有一半以上来源于教材，强调对通性通法的考查。
山西省2020年九年级数学中考复习：二次函数考点总结
二次函数➢考情分析：重点：二次函数的概念；二次函数的图象及性质（顶点坐标，对称轴，与x、y 轴的交点，最大(小)值，增减性等）；二次函数解析式的三种形式；抛物线的平移规律；二次函数与一元二次方程的关系,用二次函数模型解决生活实际问题。
难点：中考压轴题二次函数与几何综合，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等，其综合性强，难度大，是“数”与“形”的相互结合，相互渗透.易错点：计算线段、面积时没有注意坐标的正负;分类讨论忽视条件漏算.中考命题：➢学情分析二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它承接一次函数、反比例函数，是对函数的延伸。
在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用；也是全国中考的重点及热点内容。
特别是二次函数和几何结合作为中考的压轴题，综合性高，难度大。
一、二次函数的概念（同步第一课时）➢学习目标：重点：理解二次函数得概念难点：从实际生活中建立二次函数模型易错点：没有化成一般形式；分母不能含有字母；a≠0中考考点：和知识点三结合求二次函数解析式（一）知识点y= ax2(a，b，c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数，1、一般地，形如+ bx+c其中，X是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）a ≠0，b 、c 可以为0（可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项）； （2）x 的最高次数是2；（3）代数式一定是整式（除数中不能含有字母）；（4）x 取全体实数，实际问题x 需要根据题意确定.（二）例题讲解1.下列函数，① 2-x y = ② 3222+x-x y= ③25100x -y = ④3-5x -2x y 32+=⑤223x ）（x y -+=⑥210r v ∏= 其中是y 关于x 的二次函数的有：_________________．2.二次函数7x -2x y 2+=的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A.3 B.5 C.-3和5 D.3和-5 3. 若函数-mm ）x -（m y 212=为二次函数，求m 的值.（三）方法总结判断一个函数是不是二次函数，先把它化为一般式，再根据定义判断二、二次函数的图象和性质 ➢ 考情分析：重点：二次函数的图象和性质；二次函数平移规律难点：选择合适的自变量画函数图象，运用合情推理探索二次函数的性质 易错点：平移没有化成顶点式中考考点：二次函数图象和性质的综合运用（一）知识点 2要点诠释：a 决定了函数的开口的方向和幅度，a 的绝对值越大开口越小。
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
4．[2018·安顺] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3－ ZT－5，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c
＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图3－ZT－5
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
0，所以 ac＞0，选项 A 错误；由对称轴直线 x＝－2ba>0，知 b＜0，选项 B 正确； 由抛物线与 x 轴有两个不同的交点，知 b2－4ac＞0，选项 C 错误；当 x＝1 时， y＞0，即 a＋b＋c＞0，选项 D 错误．
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
2．[2018·青岛] 已知一次函数 y＝bax＋c 的图象如图 3－ZT－2，则 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( A )
特殊 若a－b＋c>0，则x＝－1时，y>0
关系 当对称轴为直线x＝1时，2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1
时，2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
－1的位置关系
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
类型之一 利用二次函数图象考查以上表格中的问题
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
5．[2017·广安]如图3－ZT－6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶
点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，
以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a
＝3.其中正确结论的个数是( B )
2020年初升高数学衔接专题04 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(解析版)
初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质本专题在初中、高中扮演的角色确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解析】由图象可得，，，故错误，当时，，故正确，当时，，由得，，则，得，故正确，，得，故正确，故选：C．【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．故选C．【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【答案】A【解析】∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵，∴抛物线y=x 2，y=﹣3x 2，y=﹣x 2，y=2x 2的图象开口最大的是y=x 2， 故选A ． 高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2 （1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4（2）当m ＝3时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形 【解析】（1）∵抛物线C 1的顶点为（0，4）， ∴沿x 轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4）， ∴抛物线C 2的函数表达式为y ＝x 2﹣4；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），∴M，N关于原点O对称OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝22+42＝20，ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，若AM2+ME2＝AE2，∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，解得m＝3，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；(3)P(0，).【解析】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴，设AB直线解析式为y=kx+b，∵y=x2-4与相交于点A和B，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，∴a=1，∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，∴B'（-3，5），设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．【解析】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2+2x+3得y ＝﹣4﹣4+3＝﹣5， 点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1）， 所以需将抛物线向上平移4个单位．专题验收测试题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．9a+3b+c ＞0D ．c+8a ＜0【答案】D 【解析】根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y 轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a ＜0，c ＞0，b ＞0，所以abc ＜0，所以A 错误；因为抛物线与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，所以B 错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以930a b c ++=，所以C 错误；因为当x=-2时，42y a b c =-+＜0，又12bx a=-=，所以b=-2a ，所以42y a b c =-+8a c =+＜0，所以D 正确，故选D.2．将抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y ＝﹣(x +2)2+3，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣10 B ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣16 C ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0 D ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝6【答案】D 【解析】∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为（-2， 3），∵抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向下平移 3个单位长度得抛物线y ＝－(x ＋2)2＋3， -2+2=0，3+3=6，∴平移前抛物线顶点坐标为（0，6）， ∴平移前抛物线为y=-x 2+6，∴a ＝－1，b ＝0，c ＝6． 故选D.3．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；⑤2a ﹣b ＝0；⑥b 2﹣4ac ＞0．下列结论一定成立的是（ ）A ．①②④⑥B ．①②③⑥C ．②③④⑤⑥D ．①②③④【答案】B 【解析】①由图象可得，a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①正确，②方程当y=0时，代入y=ax 2+bx+c ，求得根是x 1=-1，x 2=3，故②正确， ③当x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确， ④∵该抛物线的对称轴是直线x=1312-+= ∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故④错误， ⑤12ba-=则2a=-b,那么2a+b=0，故⑤错误， ⑥∵抛物线与x 轴两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故⑥正确， 故正确的为. ①②③⑥选：B ．4．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ，∵a≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b ＜0，两者相符，故C 正确；D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．故选C ．5．在下列函数图象上任取不同两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，一定能使2121y y x x --＜0成立的是( ) A ．y =3x ﹣1(x ＜0)B ．y =﹣x 2+2x ﹣1(x ＞0)C ．y =﹣3x(x ＞0) D ．y =x 2﹣4x +1(x ＜0) 【答案】D【解析】A 、∵k =3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2∴当x ＜0时，2121y y x x --＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x =1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小，∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0， 故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0， 故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x =2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小，即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时2121y y x x --＜0， 故D 选项符合；故选：D ．6．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3【答案】D【解析】∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选D ．7．下列关于二次函数y =x 2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是( )A ．该函数图象的开口向上B ．函数值y 随着自变量x 的值的增大而增大C ．该函数图象关于y 轴对称D ．该函数图象可由函数y =x 2的图象平移得到【答案】B【解析】A ．由a =1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；B ．∵抛物线的开口向上且对称轴为y 轴，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而证得：故此选项描述错误； 由y =﹣x 2+2x =﹣(x ﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；C ．∵抛物线的对称轴为y 轴，∴该函数图象关于y 轴对称，此选项描述正确；D ．该函数图象可由函数y =x 2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．故选：B ．8．对于抛物线y =ax 2+2ax ，当x =1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】把x=1，y>0，代入解析式可得，a+2a>0，解得a>0， 对称轴：2b x a=-=-1<0， y=4?4ac b a -=04?4a a -=-a<0， ∴这条抛物线的顶点一定在第三象限故选C ．9．如图，若抛物线y ＝﹣12x 2+3与x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k ，则反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线y＝﹣12x2+3，当y＝0时，x＝±6；当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝﹣12x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1）；共有8个，∴k＝8；故选：C．10．关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【答案】C【解析】A 、△＝24k ﹣4（k ﹣1）＝22k 1（﹣）+3＞0，抛物线与x 轴有两个交点，所以A 选项错误； B 、k （2x+1）＝y+1﹣2x ，k 为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣2x ＝0，所以抛物线经过定点（﹣12，﹣34），所以B 选项错误； C 、y ＝2x k +（）﹣2k +k ﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k ，﹣2k +k ﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y ＝﹣2x ﹣x ﹣1上运动，所以C 选项正确；D 、抛物线的对称轴为直线x ＝﹣22k ＝﹣k ，抛物线开口向上，则x ＞﹣k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，所以D 选项错误．故选：C ．11．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】 ∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a ->，∴a 83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选：C ．12．二次函数y=3（x ﹣h ）2+k 的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＞0，k ＜0C ．h ＜0，k ＞0D ．h ＜0，k ＜0【答案】B【解析】观察函数图象可知：顶点（h ，k ）在第四象限，∴h ＞0，k ＜0，故选B ．13．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是()A ．bc 0<B ．a b c 0++>C ．2a b 0+=D ．24ac b >【答案】C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 和b 异号，∴b ＜0，∵抛物线与x 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴bc ＞0，所以A 选项错误；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，所以B 选项错误；∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x=1， 即-b 2a=1， ∴2a+b=0，所以C 选项正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即4ac ＜b 2，所以D 选项错误．故选：C ．14．如图，抛物线y ＝2ax ＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＞0；③2a －b ＞0；④3a ＋c ＞0.其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵点C 在y 轴左边，∴02b a-<，即b<0 ,∴abc ＞0，故①正确；当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故②正确；对称轴在-1右侧，∴12b a->- ∴b>2a,即2a-b<0，故③错误；当x=1时，抛物线过x 轴，即a+b+c=0，∴-b=a+c ，又2a-b<0，∴2a+a+c<0，即3a+c<0，故④错误；故答案选：B ．15．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①abc>0；②4a +2b+c<0；③9a-b+c=0；④若方程a （x+5）（x-1）=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 函数的顶点坐标为(-2，-9a )则22b a -=- ，2494ac b a a-=- 则b=4a ，c=-5a函数开口向上，a ＞0，则b ＞0，c ＜0则abc ＜0,①错误把x=2代入二次函数表达式，则42y a b c =++=7a ＞0，②错误9y a b c =-+=0，③正确a （x+5）（x-1）=-1展开后得24510ax ax a +-+=函数2y ax bx c =++向上平移一个单位变成21y ax bx c =+++=2451ax ax a +-+其与x 轴的两个交点的横坐标1x 和2x 就是方程24510ax ax a +-+=的两个解而2y ax bx c =++与x 轴的交点的坐标为(-5，0)，(1，0)因为y=2451ax ax a +-+在2y ax bx c =++的上方，所以-5＜1x ＜2x ＜1，④正确21ax bx c ++= 化简为21ax bx c ++=或21ax bx c ++=-21ax bx c ++=的两解为1x 和2x由韦达定理1x +2x =b a-=-4 21ax bx c ++=-的两个解设为3x 和4x由韦达定理3x +4x =b a-=-4 故1x +2x +3x +4x =-8，⑤正确故本题答案为B ．16．从﹣2，0，1，32，52，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的二次函数y ＝x 2+（3﹣a ）x ﹣1在x ＜﹣1的范围内y 随x 的增大而减小，且使关于x 的分式方程2﹣3x a x --＝3a x -的解为正数的a 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】A【解析】 ∵关于x 的二次函数y ＝x 2+（3﹣a ）x ﹣1在x ＜﹣1的范围内y 随x 的增大而减小，∴抛物线对称轴方程x ＝32a -， 即32a -＜﹣1， 解得a ＜1，∵关于x 的分式方程2﹣3x a x --＝3a x -的解为正数， ∴x ＞0，解分式方程，得x ＝2a+6，∴2a+6＞0，解得a ＞﹣3，∴﹣3＜a ＜1，∵从﹣2，0，1，32，52，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ， ∴符合条件的正数a 共有2个，为﹣2，0．故选：A ．17．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A、()4,5B ，那么此抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线2x =【解析】∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同， ∴抛物线的对称轴为直线0422x +==． 故答案为：直线2x =．18．如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2，2)，那么平移后的抛物线的表达使为_____________【答案】()2322y x =-+【解析】∵原抛物线解析式为y=3x 2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x-2）2+2．故答案为：y=3（x-2）2+2．19．抛物线y ＝x 2﹣4x+2m 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是______．【答案】（3，0）【解析】把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+2m 中，得m=6， 所以，原方程为y=x 2-4x+3，令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为（3，0）. 20．对于每个非零自然数n ，抛物线y ＝x 2﹣21(1)n n n ++﹣111n n ++与x 轴交于A n ，B n 两点，以A n B n 表示这两点之间的距离，则A 2B 2+…+A 2019B 2019的值是_____． 【答案】10092020【解析】 ∵22211111111(1)11(1)1n y x x x x x x n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-- ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线与x 轴的交点A n 、B n 坐标为（11n +，0），（1n，0）， ∴A n B n ＝111n n -+， ∴A 2B 2＝1231-， A 3B 3＝1341-， …A 2019B 2019＝1120192020-， ∴A 2B 2+…+A 2019B 2019＝111111233420192020-+-+⋯+-＝11 22020＝1009 2020．故答案为：1009 2020．21．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是_____．【答案】﹣1＜x1＜3．【解析】∵y1＞y2，∴ax12﹣2ax1+c＞9a﹣6a+c，∴ax12﹣2ax1﹣3a＞0，∵a＜0，∴函数y＝ax12﹣2ax1﹣3a开口向下，令ax12﹣2ax1﹣3a＝0，解得x1＝﹣1或3，画出函数图象示意图：由图象可得，当﹣1＜x＜3时，ax12﹣2ax1﹣3a＞0，∴x1的取值范围是﹣1＜x1＜3，故答案为：﹣1＜x1＜3．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①2a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣23；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的序号是_____．【答案】②③．如图，∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称性为直线x＝﹣b2a＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以①错误；∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣23，所以②正确；∵当x＝1时，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．故答案为②③．23．如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆=_．【答案】125． 【解析】联立得2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩， 解得，12x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩，∴点A 的坐标为()1,2，点B 的坐标为()4,5，∴()()22524132AB =-+-=作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B 与y 轴的交于P ，则此时PAB ∆的周长最小，点'A 的坐标为()1,2-，点B 的坐标为()4,5，设直线'A B 的函数解析式为y kx b =+，245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，得35135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线'A B 的函数解析式为31355y x =+， 当0x =时，135y =， 即点P 的坐标为130,5⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将0x =代入直线1y x =+中，得1y =，∵直线1y x =+与y 轴的夹角是45︒，∴点P 到直线AB 的距离是：1382421sin 455525⎛⎫-⨯︒=⨯= ⎪⎝⎭， ∴PAB ∆的面积是：423212525⨯=， 故答案为125．24．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣2，0）和B （4，0）、与y 轴交于点C ．点M ，Q 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．当t ＝_____时，△APQ 的面积S 有最大值，为_____．【答案】83；253．【解析】把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：424016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：121ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是：y＝﹣12x2+x+4，∴C（0，4），对称轴为x＝1，∴AO＝2，CO＝BO＝4，AB＝AO+BO＝6，①当0＜t≤2时，∵MP∥CO，∴△AMP∽△AOC，∴PM AMCO AO=，∴PM＝AM COAO⨯＝2t，又AQ＝6﹣t，∴S＝12PM•AQ＝12×2t（6﹣t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，当t＝2时，S取最大值，最大值为8；②当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则FP∥BO，∴△COB∽△CFP，∵CO＝OB，∴FP＝FC＝t﹣2，∴PM＝OF=4﹣（t﹣2）＝6﹣t，又AQ＝4+32（t﹣2）＝32t+1，∴S＝12PM•AQ＝12（6﹣t）（32t+1）＝﹣34t2+4t+3＝﹣34（t﹣83）2+253，当t＝83时，S取最大值，最大值为253，综上所述，当t＝83时，S取最大值，最大值为253．故答案为：83；253．25．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2顶点D的坐标为(, -).（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）.【解析】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上∴×(-1 )2 +b×(-1) –2 = 0解得b =∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,∴顶点D的坐标为(, -).（2）当x = 0时y = -2,∴C（0，-2），OC = 2．当y = 0时，x2-x-2 = 0，∴x1 = -1,x2 = 4∴B (4,0)∴OA =1, OB = 4, AB = 5.∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,∴AC2 +BC2 =AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，，∴. 26．如图，抛物线23y ax bx =+-过A （－1，0）、B （3，0），直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为2，点P （m ，n ）是线段AD 上的动点．（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点H ，①求线段PH 的长度l 与m 的关系式；②当PH ＝2时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；1y x =--；（2）①22l m m ；②(0,1),12，－P 【解析】（1）把（-1，0），（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝ ， 解得12a b ⎧⎨-⎩＝＝， 抛物线的解析式为y=x 2-2x-3；当x=2时，y=22-2×2-3，解得y=-3，即D （2，-3）．设AD 的解析式为y=kx+n ，将A （-1，0），D （2，-3）代入，得023k n k n -+⎧⎨+-⎩＝＝，解得11k n -⎧⎨-⎩＝＝，直线AD 的解析式为y=-x-1；（2）①设P 点坐标为（m ，-m-1），H （m ，m 2-2m-3），l=（-m-1）-（m 2-2m-3）化简，得l=-m 2+m+2；②∵l=2，∴-m 2+m+2=2，解得m=0或m=1，∴P 的坐标为（0，-1）或（1，-2）．27．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （n ，b ），B （m ，a ）且m+n=1． （1）当b=a 时，直接写出函数图象的对称轴；（2）求b 和c （用只含字母a 、n 的代数式表示）：（3）当a<0时，函数有最大值－1，b ＋c≥a ，n≤13，求a 的取值范围． 【答案】（1）12x =-；（2）b na =-，c na =-；（3）3611- ≤a≤167-． 【解析】（1）由题意可得 抛物线的对称轴为：直线1222b b x a b =-=-=- （2）因为二次函数2y ax bxc =++经过A （n ，b ），B （m ，a ），所以22am bm c a an bn c b ⎧++=⎨++=⎩①②方程组①-②，得22()()a m n b m n a b -+-=-，()[()]m n a m n b a b -++=-，∵m-n=1， a ()m n b a b ++=-，∴(21)a n b a b ++=-，得b na =-，把b na =-代入方程组中②，得c na =-，（3）由（2）可知：+2b c na =- 又b c +≥a2na -≥a ，当a ＜0时，n≥12-， 由n≤13-得，12-≤n≤13-， ∵224()24b ac b y a x a a-=++，a ＜0 24=14ac b a-- 24=4ac b a --，且b c na ==-，得24()()4a na na a ---=-，化简得，244na n a +=，∴211(2)14n a =+-， 配方得211(2)14n a =+-， ∵1a 在12-≤n≤13-时随n 的增大而增大 当n=12-时，1716a =-，当n=13-时，11136a =- 3611- ≤a≤167-． 28．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），点B 在x 轴的负半轴上，且OA 3OB =.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）在线段OC 上是否存在一点M ，使2BM 2+的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）ACP 的面积的最大值为278，此时315(,)24P -；（3）当(0,1)M 时，2BM 2+的最小值为22【解析】（1）∵(3,0)A ，OA 3OB =∴OA=3，OB=1∴(1,0)B -∴设抛物线的交点式为(1)(3)y a x x =+-，将(0,3)C 代入得31(3)a =⋅⋅-，解得1a =-∴21(1)(3)23y x x x x =-+-=-++，即该抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++.（2）作PD ⊥x 轴，与线段AC 相交于D.设直线AC ：y=kx+d将(0,3)C ,(3,0)A 分别代入得303d k d =⎧⎨=+⎩，解得31d k =⎧⎨=-⎩， 所以y=-x+3.设2(,23)P n n n -++，则(,3)D n n -+，2223(3)3DP n n n n n =-++--+=-+设△DCP 以PD 为底时高为h 1，△DAP 以PD 为底时高为h 2，则221212111139()(3)3222222APC DPC DPA S S S PD h PD h PD h h n n n n ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=-+⋅=-+因为302-<，所以923232()2n =-=⨯-时取得最大值为278.22331523()23224n n -++=-+⨯+=. 故ACP 的面积的最大值为278，此时315(,)24P -. （3）存在，如下图，作以CM 为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N 点，∵△MCN 为等腰直角三角形，∴MN=22MC ,即要使2BM 2+最短，只需要BM MN +最短为BN 即可， 设(0,)M m 则33,2m MC m EM EN -=-==，33(,)22m m N -+∴222233117(1)()2222m m BN m m -+=++=-+ 当12112m -==-⨯时，2BN 取得最小值为8，即22BN =. 当(0,1)M 时，2BM CM 2+的最小值为22. 29．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【答案】（1）2114,33y x x =-++（2）存在，点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522，8522-）；（3）P N 2（m ﹣2）222，当m ＝2时，PN 22． 【解析】（1） 抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，设2(3)(4)12,y a x x ax ax a =+-=--即：﹣12a ＝4，解得：1,3a =-则抛物线的表达式为2114,33y x x =-++ （2）存在，理由：2114,33y x x =-++ ∴ 点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝42，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 并解得：y ＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， ①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：222(7)5,n n -+=解得：n ＝3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC ＝CQ 时，如图1，CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝25, 则QM ＝MB ＝8522-， 故点Q （522，8522-）； ③当CQ ＝AQ 时，则Q 在AC 的垂直平分线上，设直线AC 的中点为K （32-，2）， 过点Q 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34QK k =-， 直线QK 的表达式为：3748y x =-+ ②， 联立①②并解得：252x =（舍去）； 故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522，852-）； （3）设点21)1,433(P m m m -++，则点Q （m ，﹣m+4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQsin ∠PQN ＝22211222(44)(2),33m m m m -+++-=--+ ∵20,6-＜ ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为：223． 30．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝3cm ，BC ＝4cm ，连接BD ，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，直线l 垂直BC ，分别交BD 、BC 于点P 、Q ．直线l 从AB 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向匀速运动到CD 为止；点M 沿线段DA 以每秒1cm 的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，直线1与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）线段CN ＝ ；（2）连接PM 和QN ，当四边形MPQN 为平行四边形时，求t 的值；（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？【答案】（1）125；（2）t＝3625；（3）t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为5425．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，∴BD22BC CD+5cm，∵S△BCD＝12BC CD＝12BD CN∴CN＝12 5故答案为：12 5（2）在Rt△CDN中，DN22CD CN-9 5∵四边形MPQN为平行四边形时∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC ∴MN⊥AD∴MN∥AB∴△DMN∽△DAB∴DM DN AD BD=即95 45 DM=∴DM＝3625cm∴t＝36 25（3）∵BD＝5，DN＝9 5∴BN＝9 5如图，过点M作MH⊥BD于点H，∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝AB MH BD MD=∴35MDt =∴MH＝3 5 t当0＜t＜64 25∵BQ＝t，∴BP＝45t，∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣95﹣45t＝165﹣54t∴S△PMN＝12×PN×MH＝12×35t×（165﹣54t）＝﹣38t2+2425t∴当t＝3225s时，S△PMN有最大值，且最大值为384625，当t＝6425s时，点P与点N重合，点P，点N，点M不构成三角形；当6425＜t≤4时，如图，∴PN＝BP﹣BN＝54t﹣165∴S△PMN＝12×PN×MH＝12×35t×（54t﹣165）＝38t2﹣2425t当6425＜t≤4时，S△PMN随t的增大而增大，∴当t＝4时，S△PMN最大值为54 25，∵5425＞384625∴综上所述：t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为54 25．。
中考数学复习之二次函数常考66种题型专题7 与二次函数图象有关的八种考法(含答案及解析)
专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|＞|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝ax2﹣bx与一次函数y2＝ax﹣b的大致图象不大可能的是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下【例6】列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【题型8 由动点问题的函数图象获取信息】【例8】（2021春•西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24√5B．16√5C．12√5D．36【变式8-1】（2021•花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E 是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．7√3B．6√3+3C．8√3D．3√3+6【变式8-2】（2021春•郑州期末）如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B 出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2B．34cm2C．36cm2D．38cm2【变式8-3】（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B 运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【解题思路】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答过程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=−22a=−1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．【解答过程】解：∵a＞0∴抛物线开口向上，∵对称轴直线x=−22a=−1a＜0，∴对称轴在y轴的左侧，由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），故选：D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答过程】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【解题思路】当y＞0时，−12＜x＜13，所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m＞0，根据二次函数图象当x＝a时，y ＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根据一次函数的性质，可得答案．【解答过程】解：把x＝a代入函数y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a时，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a时，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象过一二四象限，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．【解答过程】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置．【解答过程】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限，∴两个交点的横坐标都是负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，故选：D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：ba＜0、c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−b2a，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，对称轴为直线x =−b 2a ，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意； 故选：A ．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a ，b 是非零实数，|b |＞|a |，在同一平面直角坐标系xOy 中，二次函数y 1＝ax 2﹣bx 与一次函数y 2＝ax ﹣b 的大致图象不大可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【解答过程】解：{y =ax 2−bx y =ax −b 解得{x =b a y =0或{x =1y =a −b ．故二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（ba ，0）或点（1，a ﹣b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，ba＜0，a﹣b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＜0，故选项B 不可能；在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＞0，故选项C 有可能；在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＞0，ba ＜0，a﹣b ＜0，故选项D 有可能；故选：B．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故选：C．【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【解题思路】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．【解答过程】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【解题思路】由对称轴公式得直线x=−b2a=2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，∴−b2a=2，b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵与x轴右交点为(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，当x2﹣4x﹣21＝0时，（x﹣7)(x+3)＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故选：C．【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解题思路】联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，进而求解．【解答过程】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，故选：D．【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故选：B．【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．【解答过程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x＝﹣1或x＝2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象的交点A、B的横坐标分别为﹣1，2，∴当x＝﹣1或x＝2时，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣1，x2＝2．故选：C．【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解题思路】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．【解答过程】解：①∵对称轴为直线x =−b2a =1， 则：2a +b ＝0正确；②∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴的一个交点是B （4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）， 故②正确；③将抛物线y 1=ax 2+bx +c 向下平移3个单位，得到y ＝ax 2+bx +c ﹣3， ∴顶点坐标变为（1，0），∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根正确； ④当1＜x ＜4时，有图象可知y 2＜y 1正确； ⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2， 则ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c ， 即y 1＝y 2，∴x 1、x 2关于函数的对称轴对称， 由①知函数对称轴为直线x =−b2a =1， 故12（x 1+x 2）＝1，∴⑤不正确， 故选：B ．【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．【解答过程】解：∵函数开口方向向上，a＞0，∵对称轴为x＝1，则−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；对称轴为x＝1，则−b2a=1，即b＝﹣2a，由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正确；由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．综上，正确的个数有三个．故选：B．【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答过程】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，∴4a﹣b＝0，所以②正确；∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，∴小涛得到了70分，故选：B．【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由a x12+bx1＝a x22+bx2得出x1，x2关于对称轴x ＝2对称，则可对④进行判断．【解答过程】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正确；②∵顶点M（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x =−b 2a=2， ∴4a +b ＝0，所以②不正确； ③∵抛物线的顶点M 的坐标为（2，0），∴4a +2b +c ＝0，又∵4a +b ＝0，∴b +c ＝0，即b ＝﹣c ，4a ＝c ，∵关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4a （c ﹣t ）＞0，即c 2﹣c （c ﹣t ）＞0，得ct ＞0，∵c ＞0，∴t ＞0，所以③正确；④∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则a x 12+bx 1+c ＝a x 22+bx 2+c ，∵当x ＝x 1与x ＝x 2时，y 值相同，∴x 1，x 2关于对称轴x ＝2对称，则x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4，所以④正确．故选：B ．【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1； ⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−b 2a =−2，4ac−b 24a=−9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则x 3+x 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB 与CD 之间的距离为4，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝45°，点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ⊥AB ，已知点P 的移动速度为每秒1个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【解题思路】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．【解答过程】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CF A＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=√AD2−DE2=√25−16=3，∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y=12×x×43x=23x2，当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y=12×x×4＝2x，当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，如图，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=−12x2+5x，故选：B．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．【解答过程】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥AB交AB于点E，则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×(5−x)×√22x=−√24x2+5√24x（0＜x≤5），∴此时图象为抛物线开口方向向下；（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5√2，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥BC交BC于点E，则有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×（x﹣5）×√22x=√24x2−5√24x（5＜x≤5√2），∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；综上，只有选项B的图象符合，故选：B．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答过程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，∴△ABC的底边AB边上的高为：AC•sin45°=2√2×√22=2．①当0＜x≤2时，y=12x2，故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项A、D；②当2＜x≤4时，FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(2√2)2−12(x−2)2−12(4−x)2=−x2+6x﹣6，故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线，可排除选项B；③当4＜x＜6时，y=12(6−x)2，故第二段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项C符合题意．故选：C．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解答过程】解：①当0≤x≤1时，如图1，设平移后的正方形交直线a于点G、H，则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，则y＝S△HGC=12×EC•GH=12•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；②当1＜x≤2时，如图2，。
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
二次函数图像要领：所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
二次函数图像
1. 本身图像，旁边注明函数。
2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 (X= -b/2a)
3. 与X轴交点坐标 (x1,0);(x2,0)，交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
知识总结：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
2020年中考数学专题复习：图形中的二次函数解析式与复杂图象变换
1二次函数的三种解析式示例剖析 一般式 ()20y ax bx c a =++≠223y x x =-- 顶点式 ()2y a x h k =-+或()224024b ac b y a x a a a -⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭()2214y x =-+交点式()()12y a x x x x =--()0a ≠其中12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根．()()323y x x =--【引例】 如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若3OB OC OA ==,则抛物线的解析式为 .例题精讲思路导航知识互联网题型一：二次函数的解析式yxOC B A图形中的二次函数解析式与复杂图象变换2【解析】 当0x =时，3y =-，∴23y ax bx =+-与y 轴交于()03C -，，∵3OB OC OA ==，∴点A 的坐标为()10-，，点B 的坐标为()30， 把点()10-，和()30，代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--.【例1】 根据给定条件求出下列二次函数解析式．⑴ 抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负；⑵ 抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点恰好是点M ；⑶ 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 在x 轴上，点A ，E 在y 轴上，OB ︰OC =1︰3，AE =7，且tan ∠OCE =3，tan ∠ABO =2，抛物线经过A ，B ，C .【解析】 ⑴265y x x =-+-．⑵ 抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M ()3 0-m ，．抛物线与x 轴的交点为()0 1，和()0 3，-m ，它们关于直线y x =-的对称点分别为()1 0-，和()m -3 0，.由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3.⑶224233y x x =-++．【例2】 ⑴ 抛物线()()224323m m x m x m y -+-+-=的最低点A 的纵坐标是3；则抛物线的解析式为 .(2013房山二模)⑵如图，抛物线223y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．则抛物线的解析式为 .⑶设抛物线2(4)4y x m x m =-++-，其中04m <<，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的 左侧），若点D 的坐标为()02-，，且10AD BD ⋅=，求抛物线的解析式.典题精练MOCBAxy O CEA Bxy3【解析】 ⑴ 224y x x =-+.⑵由题意可知：C 点坐标()03，，抛物线对称轴212ax a-=-=， ∵BC x ∥轴，∴B 点坐标()23，，∴2BC =，则2AC =． 在Rt AOC △中，90AOC ∠=︒，23AC OC ==，， ∴221OA AC OC =-=，∴A 点坐标为()10-，， 代入抛物线解析式得230a a ++=，解得33a =-． ∴抛物线解析式为2323333y x x =-++． ⑶ 当0y =时，得2(4)40x m x m -++=，222[(4)]4(4)816(4)0m m m m m ∆=-+-⨯=-+=->∵04m <<,∴(4)(4)2m m x +±-=．∴x m =或4x =．抛物线2(4)4y x m x m =-++-与x 轴的交点分别为()0m ，、()40，， ∵A 在B 的左侧，04m <<．∴()0A m ，，()40B ，． 则22222224AD OA OD m m =+=+=+，222224220BD OB OD =+=+=．∵10AD BD ⋅=， ∴22100AD BD ⋅=． ∴220(4)100m +=． 解得1m =±． ∵04m <<， ∴1m =．∴抛物线的解析式为254y x x =-+-．平移“左加右减，上加下减”．对称关于x 轴对称2y ax bx c =++的图象关于x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---． 关于y 轴对称 2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+． 关于原点对称2y ax bx c =++的图象关于原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-．思路导航题型二：二次函数的图象变换4旋转主要旋转180︒和90︒.【引例】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．⑴求该二次函数的解析式；⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．【解析】 ⑴ 设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，∵二次函数图象过点(30)B ，， ∴044a =-，得1a =．∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．⑵ 令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，．【例3】 ⑴ 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值． ⑵ 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，向下平移2个单位后，所得抛物线为2y ax =，其图象经过点112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，求原解析式．【解析】 ⑴ 把22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，得到的抛物线为()22y x p q =++．于是，由题设得()()22321924p q p q ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，，解得21p q =-⎧⎨=⎩，， 即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．⑵ 首先，抛物线2y ax =经过点112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求得12a =-，设原来的二次函数为()212y x h k =--+，可得3020h k -+=⎧⎨-=⎩，，解得32h k =⎧⎨=⎩，，所以原二次函数为()21322y x =--+， 即215322y x x =-+-．典题精练例题精讲5说明：将抛物线2y ax bx c =++向右平移p 个单位，得到的抛物线是()()2y a x p b x p c =-+-+；向左平移p 个单位得到()()2y a x p b x p c =++++；向上平移q 个单位，得到2y ax bx c q =+++；向下平移q 个单位得到2y ax bx c q =++-．【例4】 ⑴在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）A ．22(1)1y x =+-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．2112y x =- ⑵将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180︒，所得抛物线的解析式是（ ） A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-⑶已知抛物线2y x mx n =-+-的对称轴为2x =-，且与x 轴只有一个交点. ①求m n ，的值；②把抛物线沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C ，求新抛物线C 的解析式.【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ①∵抛物线的对称轴为2x =-， ∴4m =-．∵抛物线与x 轴只有一个交点 ， ∴240m n ∆=-= ． ∴4n =．②∵4m =- ，4n =， ∴244y x x =---．∴2(2)y x =-+．沿x 轴翻折后得到2(2)y x =+，向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线C 的解析式为()222211y x x =+--=-．【引例】 已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，若DPQ △是等边三角形，求DPQ △的边长．【分析】 要注意等边三角形和抛物线具有轴对称这一特性．【解析】 点D 的坐标为()14-，，不妨设点Q 在对称轴的右侧， 设抛物线的对称轴为1x =与PQ 交于点H 在Rt DHQ △中，设HQ t =，3DH t =∴()143Q t t +-+，把()143Q t t +-+，代入223y xx =--例题精讲题型三：二次函数中的特殊三角形HQPDO yx6()()2431213t t t -+=+-+-10t =（舍），23t = ∴23PQ =.【点评】 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得等边三角形的边长为23a．【例5】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数()220my ax a a=+≠的图象经过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则m 的值为 ．【解析】 连接BC 交OA 于点D ，（图略）首先由22(0)m y ax a a =+≠可得点20m A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又根据正方形的性质可得2mBC OA a ==，所以有m DC OD a==， ∴点m m C a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入抛物线解析式可得：22()m m ma a a a=+， 解得1m =-．【例6】 已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，点C 为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ 是正方形，求正方形DPCQ 的面积．【分析】 要注意正方形DPCQ 和抛物线具有轴对称这一特性． 【解析】 点D 的坐标为()14-，，不妨设点Q 在对称轴的右侧， 设抛物线的对称轴1x =交PQ 于点H在 Rt DHQ △中，设HQ t =，则DH t = ∴()14Q t t +-+，把()14Q t t +-+，代入223y x x =--得 ()()241213t t t -+=+-+-解得10t =（舍），21t =∴22PQ QH ==∴正方形DPCQ 的面积为122PQ CD ⋅=典题精练CxyOD PQHOCBAyx7【点评】 其实抛物线定了，相对应的正方形DPCQ 就定了．任意抛物线都可以通过平移为2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得正方形DPCQ 的对角线为2a ．【例7】 若如图，抛物线m ：()k h x y ++-=241与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为M （3，425），将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为D ； ⑴ 求抛物线n 的解析式；⑵ 设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重 合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．如果P 点的坐标为（x ，y ），△PEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值．【解析】⑴ ∵抛物线m 的顶点为)425,3(M ， ∴m 的解析式为425)3(412+--=x y =)2)(8(41+--x x ，∴)0,8(),0,2(B A -.∵抛物线n 是由抛物线m 绕点B 旋转ο180得到， ∴D 的坐标为)425,13(-， ∴抛物线n 的解析式为：425)13(412--=x y ，即36213412+-=x x y .⑵ ∵点E 与点A 关于点B 中心对称，∴E )0,18(.设直线ED 的解析式为b kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+42513018b k b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==49045b k∴49045-=x y .又点P 坐标为),(y x ，∴S xy y x FP OF 212121-=⋅=⋅= =)49045(21--x x =)1813(890852<<+-x x x ，∴当9)85(2890=-⨯-=x 时，S 有最大值，8但1318x <<,所以PEF ∆的面积S 没有最大值．精讲：抛物线的内接特殊三角形探究【探究对象】抛物线的内接特殊三角形【探究过程】【探究1】以抛物线顶点为顶点的对称图形变式1．已知抛物线223y x x =--的顶点为D ，点P 、Q 是抛物线上的动点，若DPQ △是等边三角形，求DPQ △的边长． 变式2．变式1中，如果把223y x x =--换成c bx ax y ++=2，若DPQ △是等边三角形时，则DPQ △的边长会发生怎样的变化？ 变式2．前面的问题的ABM ∆换成等腰直角三角形或正方形时，它们的边长又会发生怎样的变化？总结：(1) 抛物线定了，相对应的等边三角形就定了．任意抛物线都可以通过平移得到2y ax =(2) 其实抛物线定了，相对应的正方形DPCQ 就定了．任意抛物线都可以通过平移为2y ax =．通过设点坐标代入解析式可得正方形DPCQ 的对角线为2a ．【探究2】抛物线与x 轴两个交点和顶点确定的三角形变式1．已知，二次函数12++=kx x y 与x 轴的两个交点A 、B 都在原点右侧，顶点为M 。
解题技巧专题：二次函数图像信息题归类
解题技巧专题：二次函数图像信息题归类◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( )A ．a<0，b<0，c<0B ．a<0，b>0，c<0C ．a>0，b>0，c<0D ．a>0，b<0，c<0第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点⎝⎛⎭⎫b ，c a 在第________象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第3题图 第4题图4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a ＋b________0.◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式5．已知函数y ＝x 2－2x －2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．－1≤x ≤3B ．－3≤x ≤1C ．x ≥－3D ．x ≤－1或x ≥3第5题图 第6题图 第7题图6．已知 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为________________．【方法13】7．★如图是函数y ＝x 2＋bx －1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y ≤2的自变量x 的取值范围是________________.◆类型三 根据抛物线的特征确定其他函数的图像8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是()第8题图第10题图9．二次函数y＝ax2＋b(b＞0)与反比例函数y＝ax在同一坐标系中的图像可能是【方法8】()10．如图，一次函数y1＝x的图像与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像可能是()参考答案与解析1．D 2.D3．B 解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y 轴左边，∴b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在(0，2)上方，∴c ＋2＞2，∴c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即b 2－4a (c ＋2)＝0，∴b 2－4ac ＝8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1，∴b ＝2a .∵b 2－4ac ＝8a ，∴4a 2－4ac ＝8a ，∴a ＝c ＋2.∵c ＞0，∴a ＞2，∴结论③正确；∵对称轴是直线x ＝－1，而且当x ＝0时，y ＞2，∴x ＝－2时，y ＞2，∴4a －2b ＋c ＋2＞2，∴4a －2b ＋c ＞0，∴结论④正确．综上所述，可知正确结论的个数是2个．故选B.4．< > < 解析：当x ＝1时，对应抛物线上的点在x 轴的下方，故a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，对应抛物线上的点在x 轴的上方，故a －b ＋c >0；因为图像开口向下，所以a <0，又因为对称轴在y 轴的左侧，所以－b 2a<1，所以2a ＋b <0. 5．D6．x 1＝3，x 2＝－17．－1≤x ≤0或2≤x ≤3 解析：∵y ＝x 2＋bx －1经过点(3，2)，∴2＝9＋3b －1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2.当y ＝2时，即(x －1)2－2＝2，解得x ＝3或x ＝－1.当y ＝－1时，即(x －1)2－2＝－1，解得x ＝2或x ＝0.根据图像可得当－1≤y ≤2时，x 的取值范围是－1≤x ≤0或2≤x ≤3.8．B 9.B10．A 解析：∵一次函数y 1＝x 的图像与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图像相交于P ，Q 两点，∴方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的根，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像与x 轴有两个交点．∵方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，∴x 1＋x 2＝－b －1a ＞0，∴－b －12a ＞0，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像的对称轴直线x ＝－b －12a ＞0.∴选项A 符合条件．故选A.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
中考复习 二次函数图像中的信息
经典题型题型1 从二次函数的图像中获取信息神归纳：1、根的判别式：△=ac b 42-△0>，一元二次方程有2个不相等的实数根，二次函数图像与x 轴有两个交点。
△0=，一元二次方程有2个相等的实数根，二次函数图像与x 轴有一个交点。
△0<.一元二次方程没有实数根，二次函数图像与x 轴没有交点。
二次函数的对称轴与顶点坐标：对称轴:ab x 2-=，顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- a 决定二次函数图像的开口：0>a ，图像开口向上，a 0<，图像开口向下。
c 决定二次函数图像与纵坐标的交点：0>c ，与y 轴上半轴相交，0=c ，与原点相交，0<c ，与y 轴下半轴相交。
记做几组特殊值：1=x 时，c b a y ++= 或 1-=x 时，c b a y +-=2=x 时，c b a y ++=24或2-=x 时，c b a y +-=243=x 时，c b a y ++=39或3-=x 时，c b a y +-=39二次函数的图象与各项系数之间的关系（1） 二次项系数a二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．⑴ 当a 0>时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a 0<时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．（2）一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0>的前提下，当0>b 时，02<-ab ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0=b 时，02=-a b ，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0<b 时，02>-ab ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在a 0<的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0>时，02>-ab ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当b 0=时，02=-ab ，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当b 0<时，02<-a b ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则ab 0>，在y 轴的右侧则ab 0<， 概括的说就是“左同右异”总结：（3） 常数项c⑴ 当c 0>时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c 0<时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a 、b 、c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，给出下列四个结论：①042>-ac b ；②024<+-c b a ；③02=-b a ；④)1(2-≠-<+m b a bm am ，其中正确结论的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，给出下列四个结论：①042<-b ac ； ②b c a 24<+； ③023<+c b ； ④)1()(-≠<++m a b b am m ，其中正确结论的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，给出下列四个结论：①042<-b ac ； ②当2-<x 时，y 随x 的减小而减小； ③0<c ； ④a b 2=.其中正确结论的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个2、已知：如图，关于x 的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为直线1=x 1=x ，点B 坐标为)0,1(-．则下面的四个结论：①02=+b a ；②024<+-c b a ；③0>ac ；④是关于x 的方程)0(2≠++a c bx ax 的一个根．其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个3、如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标)0,1(-，且对称轴是1=x ．下面的四个结论：①3=OA ；②0<++c b a ；③0>ac ；④042>-ac b ．其中正确的结论是（ ）。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
2020年中考数学必考考点专题12二次函数含解析
所以抛物线开口向上．
因为当 x 1 时， y 0 ，
所以12 (m 1) 1 m 0 ①，
因为当 x 2 时， y 的值随 x 值的增大而减小，
A． x1 1 2 x2
B． 1 x1 2 x2
C． 1 x1 x2 2 D． x1 1 x2 2
【答案】A
【解析】关于 x 的一元二次方程 (x 1)(x 2) m 0 的解为 x1 ，x2 ，可以看作二次函数 m (x 1)(x 2) 与 x
轴交点的横坐标，
二次函数 m (x 1)(x 2) 与 x 轴交点坐标为 (1, 0) ， (2,0) ，如图：
．
7
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【答案】8 【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y 有最大值， 当 x＝6 时，y 有最大值 8．故答案为 8． 9. (2019 黑龙江大庆)如图抛物线 y＝ 1 x2 (p>0),点 F(0,p),直线 l:y＝－p,已知抛物线上的点到点 F 的距
4p 离与到直线 l 的距离相等,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为 A1,B1,连接 A1F,B1F,A1O,B1O,若 A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1 的面积＝______(只用 a,b 表示).
C． 1 m 3欢迎下载！
【答案】C
【解析】根据“当 x 1 时， y 0 ”，得到一个关于 m 不等式，在根据抛物线 y x2 (m 1)x m ，可知 抛物线开口向上，再在根据“当 x 2 时，y 的值随 x 值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线 x 2
2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析
二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题1．（2020·衢州）二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 {答案}C{解析}由于 A 选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 2．（2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ） A ．y ＝(x ＋2)2＋2 B ．y ＝(x －1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－1 D ．y ＝(x －1)2＋5{答案}D{解析}将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y ＝(x －1)2＋2＋3，即y ＝(x －1)2＋5，故选D ．3.(2020·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是 A ．abc <0 B ．4ac －b 2>0 C ．c －a >0 D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y ≥c {答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a ＞0，∵二次函数图象的对称轴为x ＝－1，所以－2ba ＝－1，所以b ＝2a>0，∵抛物线与y 轴正半轴交于点C ，所以c ＞0，所以abc>0，A 错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac －b2<0，B 错误；∵b ＝2a ，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝c －a ＜0，∴C 错误；当x ＝－n2－2(n 为实数)时，y ＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c ＝a(－n2－2)2＋2a(－n2－2)＋c ＝a(n2＋1)2－a ＋c ，∵n 为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a ＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c ＞0，∴y≥c ，∴D 正确，因此本题选D ．4．（2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y{答案}{解析}本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B ．5．（2020·杭州）设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象，因为在2()y a x h k =-+中，当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，所以抛物线2()y a x h k =-+经过点A （1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A 作AC6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =∴tan ∠ABC ≥0，∴n ﹣m ≥0，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C ，D 都错误； ②当n ﹣m ＝1时，如图2，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b a-≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．图1 图28．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D的右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16{答案}D{解析}本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝52，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0）.因为对称轴为直线x＝52，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝16-，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．9．（2020·新疆）二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数y ax b=+与反比例函数cyx=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ···························································（）{答案}D{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以2ba-＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数y ax b=+经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数cyx=经过第一、三象限，因此本题选D．10．（2020·遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a－b＝0;②c≤3a;③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根;④b2＋2b> 4ac．xyba（b，m）(a，n）CEDOABxy(a，m）（b，n）a bHP QOMN240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1{答案} B{解析}本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =， 0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.EF)＝－CE ＋2EF ＝4－x ，易知△BFH 是等边三角形，∴y ＝S △BFH ＝12·(4－x)·()342x -＝34(4－x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x ＝2时，y ＝3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A 符合.图1图213．（2020·哈尔滨）将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．()532++=x yB ．()532+-=x yC ．()352++=x yD ．()352+-=x y{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为()352+-=x y ，因此本题选D ．14．(2020·绥化)将抛物线y ＝2(x －3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A ．y ＝2(x －6)2B ．y ＝2(x －6)2＋4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2＋4{答案}C{解析}原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y ＝2x2．故选C ． 15．（2020·枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ∴ac ＜0；∴b 2－4ac ＞0；∴2a －b ＝0；∴a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}C{解析}根据抛物线与系数a ，b ，c 的关系特征判断各结论正确与否．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2－4ac ＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴12b a -=，∴－b ＝2a ，∴2a+b ＝0，故③错误；抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3，0）关于直线x ＝1的对称点为（－1，0），即抛物线又经过点（－1，0），即x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故④正确． 综上可知，正确的结论有①②④，共3个． 16．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m －3沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限GABCDE F FE DC BA HO 1 yx3{答案}D{解析}平移后的抛物线的表达式为y ＝x2－(m －1)x ＋m －3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为()2341,24m m ⎛⎫-+- ⎪-⎪⎝⎭，由于m ＞1，所以12m -＞0，2312x x x --=-＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点在第四象限．17．（2020·贵阳）（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A ．﹣2或0 B ．﹣4或2 C ．﹣5或3 D ．﹣6或4{答案} B ．{解析}解：∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y ＝0时，0＝ax2+bx+c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣1， 又∴关于x 的方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴关于x 的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2， 故选：B ．18．(2020自贡)函数y =kx 与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．{答案} D ．{解析}本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象确知a ＜0，b ＜0，∴函数y ＝kx ﹣b 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选D ．19．（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． {答案} C{解析}本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＜0、b=0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．20.（2020·四川甘孜州）10．如图，二次函数y ＝a (x ＋1) 2＋k 的图象与x 轴交于A (－3，0)， B 两点，下列说法错误的是( )A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2，0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．21.．（2020·福建）10.已知()111,P x y，()222,P x y是抛物线22=-y ax ax上的点，下列命题正确的是（）A.若12|1||1|->-x x，则12>y y B.若12|1||1|->-x x，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x，则12=y y D.若12=y y，则12=x x{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax=a（x-1）2-a，∴抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x，则12=y y，因此本题选C．22．（2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个{答案}B{解析}（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x＝1，得－2ba＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x 的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B．23.(2020·南充）10.关于二次函数)0(542≠--=aaxaxy的三个结论：①对任意实数m，都有mx+=21与mx-=22对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则134-≤<-a或341<≤a；第10题图1-1OyxA.①②B.①③C.②③D.①②③{答案}D2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整以③正确.故选D.24．（2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个{答案} C{解析}根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．25.（2020·德州）11.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2 B. 30a c +=C. 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根D. 当0x ≥时，y 随x 的增大而减小{答案}D{解析}∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2本选项正确； ∵对称轴x ＝﹣＝1，∴b ＝﹣2a . 由函数的图象知：当x ＝﹣1时，y =0；即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，故本选项正确；∵抛物线2y ax bx c =++与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故本选项正确；∵抛物线在对称轴x ＝1的左侧或左侧，y 随着x 的增大而增大（或减小），故本选项错误.26． （2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点. 若关于x 的二次函数()0102≠+--=m m x x y 有两个不相等的零点()212,1x x x x <，关于x 的方程02102=--+m x x 有两个不相等的非零实数根()434,3x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）A ． 1310<<x x B ．131>x x C ．1420<<x x D ．142>x x{答案}A{解析}∵关于x 的方程02102=--+m x x 可变形为02102=++--m x x ，∴关于x 的方程02102=++--m x x 有两个不相等的非零实数根()4343,x x x x <，∴二次函数()02102≠++--=m m x x y 有两个不相等的零点()4343,x x x x <，二次函数()02102≠++--=m m x x y 的图象由()0102≠+--=m m x x y 的图象向上平移两个单位而得．对称轴都为直线52102-=---=-=a b x ，画出草图，由图可知：013<<x x ，两边都除以3x 得，1031<<x x ，故选A ．27.（2020·湖北孝感）将抛物线C 1：y=x 2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为( )A.y=-x 2-2B.y=-x 2+2C.y=x 2-2D.y=x 2+2 {答案}A{解析}利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线C 2得解析式：y=(x +1)2-2(x+1)+3，整理得y=x 2+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y=-x 2-2.故选A.28.（2020·达州）如图，直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y = ax 2+（b -k ）x +c 的图象可能是（ ）{答案}B{解析}由直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 的图象可知k ＞0，a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2﹣4ac ＞0，所以b ﹣k ＜0，（b -k ）2﹣4ac= b 2﹣2bk ＋k 2－4ac ＞0，即y= ax 2+（b -k ）x+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴的左侧且与x 轴有两个交点．29．（2020·菏泽）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）{答案}B{解析}根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解．A、∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax＋b 的图象应过第一、三、四象限，故A错误；B、∴抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴直线应过第一、二、三象限，故B正确；C、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴直线应过第一、二、四象限，故C错误；D、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴直线应过第二、三、四象限，故D错误．30．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax 2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根{答案}C{解析}依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝ca＋ba＋1＝1a(a＋b＋c)＝－1a＜0．∴x1－1与x2－1异号，这说明x1，x2中一个大于1，另一个小于1．故选C．31．（2020·随州）如图所示，已知二次函数c+bx+ax=y2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，22-=a.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个{答案}B{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：O xyAO xyBO xyCO xyD∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a-b+c=0.A ．154 B ．4 C ．−154 D ．−174直角坐标系中的图象大致是（ ）{答案}B{解析}由二次函数的图象确定a 、b 、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开34．（2020·深圳）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，n )，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（ ）A ．abc ＞0B ．4ac －b 2＜0C ．3a ＋c ＞0D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根{答案}C{解析}根据抛物线开口向下，得到a ＜0，对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，知b ＝2a ＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 正确；根据抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0，故选项B 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，又∵b ＝2a ，∴3a ＋c ＜0，∴选项C 错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n ），∴函数有最大值n ，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝n ＋1无交点，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根，选项D 正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C ．35．（2020·鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 {答案}B{解析}此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x ＝﹣2时，y ＞0可判断③；由x ＝-1和2a 与b 的关系可判断④． ∵抛物线开口向上， ∴a >0， ∴0abc >，故①错误；∴-b <2a ，即2a ＋b >0，故②错误； 当x ＝-2时，y ＝4a -2b ＋c >0，故③正确； 当x ＝-1时，抛物线过x 轴，即a -b ＋c ＝0， ∴b ＝a ＋c ， 又2a ＋b >0，∴2a ＋a ＋c >0，即3a ＋c >0，故④正确； 故答案选：B ．36.（2020•湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）（第10题图）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤{答案}D{解析}本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＜0，即b ﹣2a ＞2c>0，故此选项错误；③当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确．⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x 2b a =-=1，即a 2b =-，代入得9（2b-）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．因此本题选 D ．37.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ） A. 12y y =-B. 12y y >C. 12y y <D. 1y 、2y 的大小无法确定 {答案}B {解析}首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小. ∵20a b ->，b 2≥0, ∴a>0.又∵0ab <， ∴b<0∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+. ∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2.故选：B.38．（2020·天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①；②关于x 的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即.2y ax bx c =++,,a b c 0,1a c ≠>()2,012x =0abc >2ax bx c a ++=12a <-ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a ，即可判断③．∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的，∵，而 ∴关于x 的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C.39．(2020·成都)关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8） C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D ．y 的最小值为﹣9{答案}D{解析}根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∴二次函数y ＝x2+2x ﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x ﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误； 当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x ＝﹣1时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 正确；故选：D ． 40．（2020·河北）如图9，现要在抛物线y =x （4-x ）上找点P （a ,b ）.针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲:若b =5，则点P 的个数为0； 乙:若b =4，则点P 的个数为1； 丙:若b =3，则点P 的个数为1. 下列判断正确的是A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对240b ac ->1c >2y ax bx c =++()2,012x =(1,0)-222224=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>0a ≠2ax bx c a ++=1c >12a <-{答案}C{解析}∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P 的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P 的个数为0；当b=4时，点P 的个数为1；当b=3时，点P 的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C.41．（2020·广东）把函数212y x 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22yx B ．211y x C ．222yx D ．213y x{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2），向右平移1个单位后变成（2，2），所以新函数为222y x ，也可用规律“左加右减”得222y x ，因此本题选C ．42．（2020·广东）如题10图，抛物线2yax bx c 的对称轴是x ＝1.下列结论：∴0abc ；∴240b ac ；∴80a c ；∴520a b c ，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个{答案}B{解析}本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得0a和0c ，再通过对称轴1x，可得2b a和12b a，所以0b 和2b a ，所以：（1）0abc ，故∴错误；（2）由于抛物线与x 轴有两个交点，因此所对应的一元二次方程20ax bx c有两个不相等的实数根，即240b ac，因此∴正确；（3）将2b a 代入原抛物线解析式，得：22y ax axc ，由图象可知，当4x时，0y，因此1680aa c，即80a c，故∴正确；（4）由于当1x 和2x时，都有0y ，所以有：0a b c和420ab c，两式相加得：520ab c，故∴正确综上所述，共有3个正确结论，因此本题选B ．题10图43.（2020·牡丹江）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝21，且经过点（2，0). 下列说法：∴abc ＜0；∴ -2b+c ＝0；∴4a+2b+c ＜0；∴若15()2y -，，25()2y ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；∴41b ＞m(am+b) (其中m≠21). 其中说法正确的是（ ）A. ∴∴∴∴B. ∴∴∴C. ∴∴∴D. ∴∴∴{答案}A{解析}根据抛物线开口方向得到a ＜0，根据抛物线的对称轴得b ＝﹣a ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c ＝﹣2a ，则得到﹣2b+c ＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c ＝0，则可对③进行判断；通过点（25-，y1）和点（25，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x ＝21，开口向下，得到当x ＝21时，y 有最大值，所以41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21），由a ＝﹣b 代入则可对⑤进行判断．具体判断过程如下： ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝21，∴b ＝﹣a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确； ∵对称轴为x ＝21，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ac＝﹣1×2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b+c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x ＝2时，y ＝0，∴4a+2b+c ＝0，所以③错误；∵点（25-，y1）离对称轴要比点（25，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝21，∴当x ＝21时，y 有最大值，∴41a+21b+c ＞am2+bm+c （其中m≠21），∴41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21）， ∵a ＝﹣b ，∴﹣41b+21b ＞m （am+b ），∴41b ＞m （am+b ），所以⑤正确；故选A.44．（2020·咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A.y x =-B. 2y x =+C. 2y x= D. 22y x x =-（第12题图）x=2 Oyx{答案}B{解析}本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：2x =±，经检验2x =±是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本题选B ． 45．（2020·凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有如下结论：∴abc ＞0；∴2a ＋b ＝0；∴3b －2c ＜0；∴am 2＋bm ≥a ＋b （m 为实数）．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}D{解析}（1）由图可知抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，从而∴正确；（2）∴12b a -=，∴b ＝－2a ．∴2a ＋b ＝0，从而∴正确；（3）∴b ＝－2a ，∴3b－2c ＝－2a ＋2b －2c ＝－2(a －b ＋c)．而由图象可知，当x ＝－1时，y ＞0，从而a －b ＋c ＞0，于是－2(a －b ＋c)＜0，从而3b －2c ＜0．故∴正确；（4）由图可知，当x ＝1，ymin ＝a ＋b ＋c ，∴当x ＝m 时，am2＋bm ＋c≥a ＋b ＋c ，即am2＋bm≥a ＋b （m 为实数），从而∴正确．故选D ． 46．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，CD ∴AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ∴AC 于点E ，作PF ∴BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A.B.C.D.{答案}A{解析}根据三个角是直角，得出四边形CEPF 为矩形，再结合△APE 是等腰直角三角形，用含x 的代数式表示矩形的边PE 与EC 的长，求出矩形CEPF 的面积，再利用二次函数图像性质即可求解． Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，则AD ＝DC ＝2．∵PE ⊥AC ， PF ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∴四边形CEPF 为矩形．当点P 在AD 上时，即0≤x≤2，∵在等腰直角△APE中，AE ＝PE ＝22x ，∴EC ＝AC －AE ＝22－22x ，∴矩形CEPF 的面积y ＝PE·EC ＝22x ×(22A BCEDP F124321xy O O y x123421Oy x123421124321xy O 第12题图321-1O x =1y x－2)＝－12x2＋2x ；如图，当点P 在CD 上时，即2≤x≤4，由题意可知四边形CEPF 为正方形，此时CP ＝4－x ，∴四边形形CEPF 的面积y ＝12CP2＝12 (4－x)2．结合所求的函数关系式，及二次函数图像性质，可知选项A 正确．故选择A ．47.（2020·安顺）已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是 3.则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ）A.2-或0B.4-或2C.5-或3D.6-或4{答案}B{解析} ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线1,x =-又∵关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3，∴另一个根为－5.∵0n m <<，且方程20ax bx c n +++=有两个整数根，∴20ax bx c n +++=的根的范围分别是12533x x <<<<－－，１，∴方程的两个整数根分别为－4或2.48．（2020·滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，(且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：∴abc ＜0，∴b 2＞4ac ，∴4a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞0，ya ＋b ≤m (am ＋b )（m 为任意实数），∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 {答案}A{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∵2ba -=1，∴b=-2a ＜0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac ＞0，∴b2＞4ac ，故②正确；③当x=2，y=4a+2b+c ＜0，故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴3a+c ＞0，故④正确；⑤当x=1时，y 的值最小，此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am2+bm+c ，所以a+b+c≤am2+bm+c ，故a+b≤am2+bm ，即a+b≤m （am+b ），故⑤正确，⑥当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误，因此本题选A ．DAB C EFP49．（2020·宜宾）函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0．以下结论正确的是（ ） ∴abc ＞0；∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在x ＝1和x ＝﹣2处的函数值相等；∴函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象总有两个不同交点； ∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在﹣3≤x ≤3内既有最大值又有最小值． A ．∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴∴∴ {答案} C{解析}①由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0，可得出顶点在第二象限，b ＝2a ，且图象与x 轴交于点（2，0），得出抛物线的开口方向向下，∴a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①正确； ②由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），得出函数图象的对称轴为直线x ＝﹣1，函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝1和x ＝﹣3处的函数值相等，或函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝0和x ＝﹣2处的函数值相等，∴结论②错误；③由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），与x 轴交于点（2，0），可得b ＝2a ，c ＝－8a ，∴y ＝ax2+2a x －8a ，将y ＝kx+1与y ＝ax2+2a x －8a 联立方程组，得到方程ax2+（2a －k ）x －8a －1＝0，Δ=（2a －k ）2－4a （－8a －1），无法判断Δ是否大于0，∴函数y ＝kx+1的图象与y ＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象的交点情况无法确定，∴结论③错误；④由③可得y ＝ax2+2a x －8a ，在﹣3≤x≤3内，当x ＝﹣1时，y 有最大值n ＝－9a ，当x ＝﹣3时，y ＝7a ，当x ＝3时，y ＝－5a ，由①可知a ＜0，－9a ＞－5a ＞7a ，∴函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．∴结论④正确．50．（2020·恩施）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()2,0A -、()10B ,两点．则以下结论：∴0ac >；∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；∴20a c +=；∴0a b c -+>．其中正确的有（ ）个．A. 0B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}根据二次函数的图像性质逐个进行分析：∴：二次函数开口向下，故a <0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c >0，故ac <0，故∴错误； ∴：二次函数的图像与x 轴相交于()2,0A -、()1,0B ，由对称性可知，其对称轴为：21122x -+==-，故∴错误；。
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解题技巧专题：二次函数图像信息题归类
◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( )
A ．a<0，b<0，c<0
B ．a<0，b>0，c<0
C ．a>0，b>0，c<0
D ．a>0，b<0，c<0
第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点⎝⎛⎭
⎫b ，c a 在第________象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四
3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第3题图 第4题图
4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a ＋b________0. ◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式
5．已知函数y ＝x 2－2x －2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )
A ．－1≤x ≤3
B ．－3≤x ≤1
C ．x ≥－3
D ．x ≤－1或x ≥3
第5题图 第6题图 第7题图
6．已知 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为________________．【方法13】
7．★如图是函数y ＝x 2＋bx －1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y ≤2的自变量x 的取值范围是________________.
◆类型三 根据抛物线的特征确定其他函数的图像
8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )
第8题图第10题图
9．二次函数y＝ax2＋b(b＞0)与反比例函数y＝a
x在同一坐标系中的图像可能是【方法8】()
10．如图，一次函数y1＝x的图像与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像可能是()
参考答案与解析
1．D 2.D
3．B 解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵对称轴在y 轴左边，∴b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在(0，
2)上方，∴c ＋2＞2，∴c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像与x 轴只
有一个交点，∴Δ＝0，即b 2－4a (c ＋2)＝0，∴b 2－4ac ＝8a ＞0，∴结论②不正确；∵对称轴为直线x ＝－b 2a
＝－1，∴b ＝2a .∵b 2－4ac ＝8a ，∴4a 2－4ac ＝8a ，∴a ＝c ＋2.∵c ＞0，∴a ＞2，∴结论③正确；∵对称轴是直线x ＝－1，而且当x ＝0时，y ＞2，∴x ＝－2时，y ＞2，∴4a －2b ＋c ＋2＞2，∴4a －2b ＋c ＞0，∴结论④正确．综上所述，可知正确结论的个数是2个．故选B.
4．< > < 解析：当x ＝1时，对应抛物线上的点在x 轴的下方，故a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，对应抛物线上的点在x 轴的上方，故a －b ＋c >0；因为图像开口向下，所以a <0，又因为对称轴在y 轴的左侧，
所以－b 2a
<1，所以2a ＋b <0. 5．D
6．x 1＝3，x 2＝－1
7．－1≤x ≤0或2≤x ≤3 解析：∵y ＝x 2＋bx －1经过点(3，2)，∴2＝9＋3b －1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2.当y ＝2时，即(x －1)2－2＝2，解得x ＝3或x ＝－1.当y ＝－1时，即(x －1)2－2＝－1，解得x ＝2或x ＝0.根据图像可得当－1≤y ≤2时，x 的取值范围是－1≤x ≤0或2≤x ≤3.
8．B 9.B
10．A 解析：∵一次函数y 1＝x 的图像与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图像相交于P ，Q 两点，∴方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的根，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像与x 轴有两个交点．∵方程ax 2
＋(b －1)x ＋c ＝0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，∴x 1＋x 2＝－b －1a ＞0，∴－b －12a
＞0，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图像的对称轴直线x ＝－b －12a
＞0.∴选项A 符合条件．故选A.。