平面向量及其应用专题(有答案)
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库
24．在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 上的任一点，实数 ， 满足 ，设 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 ，记 （ ），则 取到最大值时， 的值为（）
A．－1B．1C． D．
25．在 中， ， ，且 ， ，则点P的轨迹一定通过 的（）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
26．在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，则 一定是（ ）
A．若 ，则 在 上的投影为
B．若 ，则
C．若 是不共线的四点，则 是四边形 是平行四边形的充要条件
D．若 ，则 与 的夹角为锐角；若 ，则 与 的夹角为钝角
18． 中，内角A，B，C所对的边分别为 .①若 ，则 ；②若 ，则 一定为等腰三角形；③若 ，则 一定为直角三角形；④若 ， ，且该三角形有两解，则 的范围是 .以上结论中正确的有（）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
7．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（）
A． B．
C． D．
9．在 中，设 ， ， ， ，则下列等式中成立的是（）
A． B． C． D．
10．已知正三角形 的边长为2，设 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．1
21．在三角形 中，若三个内角 的对边分别是 ， ， ， ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
22．在 中，设 ，则动点M的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D． 外心
23．在 中， 、 、 分别是 、 、 上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法单选题1、在△ABC 中，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1 答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.c故选：B.4、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确. 故选：A.5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、已知f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，则ω=（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22得到cos∠ACB =12，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=4，ω=π 由f (x )=√32sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π3)，∴g (x )=√3sin (12ωx +π3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅cos∠ACB =|AD |22∴cos∠ACB =12，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12ω=4πω=4，∴ω=π， 故选：C ．7、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km，即向东北走3√2km.故选：B.8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2bc 的取值范围为（）A．(4315,5915)B．[2√2,4315)C．[2√2,5915)D．[2√2,+∞)答案：C分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出bc =sinBsinC的取值范围，即可求出2b2+c2bc的取值范围．解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积S=12bcsinA，由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，又A∈(0,π2)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，解得或sinA=0（舍去），所以bc =sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35，因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π2，B=π−A−C<π2，所以π2−A<C<π2，所以tanC>tan(π2−A)=1tanA=34，所以1tanC∈(0,43)，所以bc∈(35,53)，设bc =t，其中t∈(35,53)，所以2b2+c2bc=2bc+cb=2t+1t=2(t+12t)，由对勾函数单调性知y=2t+1t 在(35,√22)上单调递减，在(√22,53)上单调递增，当t=√22时，y=2√2；当t=35时，y=4315；当t=53时，y=5915；所以y∈[2√2,5915)，即2b2+c2bc的取值范围是[2√2,5915)．故选：C.小提示：关键点点睛：由2b2+c2bc =2bc+cb，所以本题的解题关键点是根据已知及bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=4 sin5AsinAcosC+cosAsinCsinC=45tanC+35求出bc的取值范围.多选题9、等边三角形ABC 中，BD →=DC →,EC →=2AE →，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →=12(AB →+AC →)B ．BE →=23BC →+13BA →C ．AF →=12AD →D ．BF →=12BA →+13BC →答案：AC分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →=2AE →可得出AE →=13AC →，进而可得出BE →=13BC →+23BA →，从而得出选择B 错误；可设AF →=12AD →，进而得出AF →=λ2AB →+3λ2AE →，从而得出λ=12，进而得出选项C 正确；由AF →=12AD →即可得出BF →=12BA →+14BC →，从而得出选项D 错误． 如图，∵BD →=DC →，∴D 为BC 的中点，∴AD →=12(AB →+AC →)，∴A 正确； ∵EC →=2AE →，∴AE →=13AC →=13(BC →−BA →)，∴BE →=BA →+AE →=BA →+13(BC →−BA →)=13BC →+23BA →，∴ B 错误；设AF →=λAD →=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2AE →，且B ，F ，E 三点共线，∴λ2+3λ2=1，解得λ=12，∴AF →=12AD →，∴C 正确；BF →=BA →+AF →=BA →+12AD →=BA →+12(BD →−BA →)=BA →+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →，∴D 错误. 故选：AC10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗B ．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =12AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,√32)， 对于A ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,−√33)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23，故C 错误； 对于D ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,2√33)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+22=76，故D 正确.故选：BD.小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.12、下列说法错误的是（ ）A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b⃗ 共线且反向C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2=(|a |+|b⃗ |)2， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //cB ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−12a −12b⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −12b⃗ .所以答案是：−12a−12b⃗15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.16、在△ABC中，cos∠BAC=−13，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.设DC=x,AB=y，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD22AC⋅DC =4+x2−x24x=1x，在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB22AC⋅BC =4+9x2−y212x，于是有4+9x2−y212x =1x⇒9x2−y2=8(1)，在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB22AB⋅AC =y2+4−9x24y=−13，⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，所以答案是：3解答题17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2答案：(1)5π8；(2)证明见解析．分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．（2）由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当θ=π12时，求四边形ABCD的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.答案：（1）√6−√24+14；（2）5分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ2，转化为二次函数的最值问题，即得解.（1）连结，则∠COD=π12,∠AOD=5π6∴四边形ABCD的面积为2×12×1×1×sinπ12+12×1×1×sin5π6=√6−√24+14（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理BC sinθ=OBsin(π−θ2)=1cosθ2∴BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理DAsin(π−2θ)=ODsinθ∴DA=sin2θsinθ=2cosθ∴l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2OD令t =sin θ2(0<t <√22) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用
专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗． 在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确； 在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确； 在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误． 故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（ ） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确； 对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确； 对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ， 在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3， 所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3． （Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。
平面向量及其应用经典试题(含答案)百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 4．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<6．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-7．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）A ．B ．23C ．23-D ．38．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）A ．()10,0e =，()21,1=eB ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e10．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=12．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7217．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形20．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B．C ．4D ．1623．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-24．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能25．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +26．题目文件丢失！27．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．228．在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ）A ．0B C ．-4 D ．429．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．430．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8331．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤32．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ）A ．(-∞B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞33．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形34．题目文件丢失！35．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题.【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C .()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.5．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．6．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.7．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，.故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.8．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.9．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.10．ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查解析：ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.11．AB【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.12．AB 【分析】若，则反向，从而； 若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.13．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．14．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．15．无二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 18．C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．D 【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=，所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形.故选：D. 【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B 【分析】由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确；④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以sin A ⎫∈⎪⎪⎝⎭，即)b ∈，故④错误.故选：B 【点睛】本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 21．A 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<< 90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 22．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-, ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 23．B 【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 24．C 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
高一数学(必修二)平面向量的概念及其应用练习题及答案
高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。
高中数学第六章平面向量及其应用必考考点训练(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用必考考点训练单选题1、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)，∴{x =2+λy =√3λ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33， 此时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题 2、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B3、在△ABC 中，已知a =2,b =3,B =30°，则此三角形（ ） A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．无法判断有几解 答案：A分析：根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答. 在△ABC 中，a =2,b =3,B =30°，由正弦定理得sinA =asinB b=2sin30∘3=13，而a <b ，有A <B =30∘，即A 为锐角，所以此三角形有一解． 故选：A4、已知平面向量a ＝(1，2)，b ⃗ ＝(－2，m )，且a ∥b ⃗ ，则2a ＋3b⃗ ＝( ) 34A．(－4，－8)B．(－8，－16)C．(4，8)D．(8，16)答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.∵a∥b⃗，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴b⃗＝(－2，－4)，∴2a＋3b⃗＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、a ,b⃗为非零向量，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则（）A．a //b⃗，且a与b⃗方向相同B．a ,b⃗是共线向量且方向相反C．a=b⃗D．a ,b⃗无论什么关系均可答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a ,b⃗不共线时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都不相同，且|a+b⃗|<|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗同向时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都相同，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗反向时且|a|<|b⃗|，a+b⃗的方向与b⃗的方向相同，且|a+b⃗|=|b⃗|−|a|，所以对于非零向量a ,b⃗，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则a //b⃗，且a与b⃗方向相同.故选：A.6、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.7、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=2√3，则c等于（）cA ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量a =(2，3)，b ⃗ =(3，2)，则|a –b ⃗ |= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a −b ⃗ ，再根据模的概念求出|a −b ⃗ |． 由已知，a −b ⃗ =(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a −b ⃗ |=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 多选题9、G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43D ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为-1 答案：AC分析：根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D.A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ .则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→，∴A 正确， B ：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=4×(−12)=−2， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 错误， C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =19[8+2×4×(−12)−16]=−43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−19(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−43，与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为−1矛盾 ∴D 错误， 故选：AC ．10、已知向量a ，b ⃗ ，c 满足|a |=2，|b ⃗ |=1，a ⋅b ⃗ =1，|c |2−2b ⃗ ⋅c +34=0，则下列说法正确的是（ ）A ．|c −b ⃗ |=1B ．若|c |=√32，则c ⊥(c −b⃗ ) C ．∀t ∈R ，有|b ⃗ +ta |≥√32D ．若c =λa +(1−λ)b ⃗ ，λ∈R ，则|a −c →|的值唯一 答案：BC分析：结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可 对于A ：∵|b →|=1，|c →|2−2b →⋅c →+34=0∴|c →−b →|2=(c →−b →)2=c →2−2c →⋅b →+b →2=−34+1=14，故A 错误；对于B ：∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2=2b →⋅c →−34， 当|c →|=√32，34=2b →⋅c →−34，得b →⋅c →=34∴c →⋅(c →−b →)=c →2−b →⋅c →=34−34=0， ∴c →⊥(c →−b →)，故B 正确；对于C ：∵|b →+ta →|2=(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2=1+2t +4t 2 =4(t +14)2+34≥34，∴|b →+ta →|≥√32恒成立，故C 正确；对于D ：∵c →=λa →+(1−λ)b →，∴c →2=[λa →+(1−λ)b →]2=λ2a →2+2λ(1−λ)a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4λ2+2λ(1−λ)+(1−λ)2=3λ2+1，b →⋅c →=b →⋅[λa →+(1−λ)b →]=λa →⋅b →+(1−λ)b →2=λ+(1−λ)=1， ∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2−2b →⋅c →+34=3λ2+1−2+34=3λ2−14=0， ∴λ2=112，∴λ=±√36∵a →−c →=a →−(λa →+(1−λ)b →)=(1−λ)a →−(1−λ)b →，∴|a →−c →|2=[(1−λ)a →−(1−λ)b →]2=(1−λ)2a →2−2(1−λ)2a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4(1−λ)2−2(1−λ)2+(1−λ)2=3(1−λ)2当λ=√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3−1)24，|a→−c→|=2√3−12；当λ=−√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3+1)24，|a→−c→|=2√3+12；故D错误；故选：BC11、甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（）A．甲楼的高度为20√3m B．甲楼的高度为10√3mC．乙楼的高度为40√33m D．乙楼的高度为10√3m答案：AC分析：根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.如图示，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=20m，∴AD=BDtan60°=20√3m,在△ABC中，设AC=BC=x，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC BC cos∠ACB，即1600=x2+x2+x2解得：x=40√33则乙楼的高度分别为40√33m.故选：AC小提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 12、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．C ．a +c =√3D ．a +c =3√2答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π)∴B =π3S △ABC =3√34,b =3 ∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 13、某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离cos 2B =sin 0A ≠8√3nmile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile ；B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16nmile ； C ．灯塔C 在D 处的西偏南60°；D ．D 在灯塔B 的北偏西30°． 答案：AC分析：根据题意作出图形，然后在△ABD 中，结合正弦定理得求出AD ，在△ACD 中，由余弦定理得CD ，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.由题意可知∠ADB =60∘,∠BAD =75∘,∠CAD =30∘，所以∠B =180∘−60∘−75∘=45∘，AB =12√6,AC =8√3,在△ABD 中，由正弦定理得ADsin∠B=AB sin∠ADB，所以AD =12√6×√22√32=24(nmile )，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD =√AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos∠CAD ， 即CD =(8√3)2+242−2×8√3×24×√32=8√3(nmile )，故B 错误；因为CD =AC ，所以∠CDA =∠CAD =30∘，所以灯塔C 在D 处的西偏南60∘，故C 正确； 由∠ADB =60∘，D 在灯塔B 的北偏西60∘处，故D 错误. 故选：AC 填空题14、△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A 1，B 1，C 1.则AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cosC 2sinA+sinB+sinC的值为_____________.答案：4分析：连BA1，由正弦定理得AA1=2Rsin(B+A2)，利用三角形内角和性质得AA1=4cos(B−C2)，进而利用积化和差公式、诱导公式得AA1cos A2=2(sinC+sinB)，同理求BB1cos B2、CC1cos C2，即可求值.连BA1，则AA1=2Rsin(B+A2)=4sin(A+B+C2+B2−C2)=4cos(B−C2)，∴AA1cos A2=4cos(B−C2)cos A2=2(cos A+B−C2+cos A+C−B2)=2(sinC+sinB)，同理可得：BB1cos B2=2(sinA+sinC)，CC1cos C2=2(sinA+sinB).∴AA1cos A2+BB1cos B2+CC1cos C2=4(sinA+sinB+sinC)，即AA1cosA2+BB1cos B2+CC1cos C2sinA+sinB+sinC=4.所以答案是：4小提示：关键点点睛：应用正弦定理、三角形内角和性质求得AA1=2Rsin(B+A2)=2Rcos(B−C2)，再由积化和差公式、诱导公式求AA1cos A2，同理求出BB1cos B2、CC1cos C2.15、三条直线l1、l2、l3两两平行，l1到l2的距离为1，l2到l3的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.答案：73√3或√3分析：分两种情况讨论：（1）l1、l3在l2的异侧；（2）l2、l3在l1的异侧.在两种情况下，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，根据已知条件建立关于a、θ的等式组，求出a的值，由此可求得等边三角形ABC的面积.分以下两种情况讨论：（1）若l1、l3在l2的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点B作直线l2的垂线分别交直线l1、l3于点E、F，则BE=1，BF=2，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3，由题意可得{BE=asinθ=1BF=asin(π3−θ)=20<θ<π3，解得{sinθ=√2114a=2√213，此时，该三角形的面积为S=12a2sinπ3=√34×283=7√33；（2）若l2、l3在l1的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点A 作直线l 1的垂线分别交直线l 2、l 3于点E 、F ，则AE =AF =1， 设等边三角形ABC 的边长为a ，设AB 与直线l 2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3， 由题意可得{AE =asinθ=1AF =asin (π3−θ)=10<θ<π3，解得{sinθ=12a =2， 此时，该三角形的面积为S =12a 2sin π3=√34×4=√3.综上所述，该等边三角形的面积为7√33或√3. 所以答案是：7√33或√3. 小提示：关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角θ，将问题中的边与相应的角用θ来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.16、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .若b =6,a =2c,B =π3，则△ABC 的面积为__________. 答案：6√3分析：本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用a,c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由余弦定理得，所以(2c)2+c 2−2×2c ×c ×12=62，即c 2=12解得c =2√3,c =−2√3（舍去） 所以a =2c =4√3，S ΔABC =12acsinB =12×4√3×2√3×√32=6√3.小提示：本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 解答题2222cos b a c ac B =+-17、如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ，b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ .答案：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −53b⃗ . 分析：利用向量的加、减运算即可求解. ∵AC =BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b⃗ . ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ −23b ⃗ =2a −53b ⃗ . 18、记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．答案：(1)√28 (2)12分析：（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得b 2sin 2B =acsinAsinC ，即可求解. （1）由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB =13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； （2）由正弦定理得：bsinB=a sinA=c sinC，则b 2sin 2B=a sinA⋅c sinC=acsinAsinC=3√24√23=94，则bsinB=32，b =32sinB =12.。
平面向量专题(优秀经典专题及答案详解).
rr
⑤不正确；考虑 b = 0 这种特殊情况；⑦中两个向量的模相等，只能说明它们的长度相
等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；⑧中两个向量平行，只说明这两个向量的方向
相同或相反，对向量的模没有要求；故只有⑥⑨正确．
综上所述，正确命题的序号是②③⑥⑨。
→ 2、D 是△ABC 的边 BA 上的中点，则向量CD等于
S 1 ab sin C 1 4 sin 3
2
2
3
→→ （用BC和BA.表示）
2、解析：如图，C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋1B→A＝－B→C＋1B→A.
2
2
3、已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m＝( ) n
A．－2
B．2
C．－1
D.1
2
2
3、解析：由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因 为 ma＋nb 与 a－2b 共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得m＝－1.
平面向量专题（1）
一、基本概念：
①平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相 反的向量，称
为平行向量，记作 a ∥ b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线
上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量 ，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共
x1,
y1
r ,b
x2
,
y2
，则
ar
r b
x1
x2
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
专题01 平面向量及其应用【知识梳理】(原卷版)
专题01 平面向量及其应用【知识梳理】姓名__________ 班级____________一、平面向量的概念1.向量的有关概念2.典型例题【例题1】下列命题正确的是（）A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．单位向量都相等C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．共线向量一定在同一直线上【答案】C【详解】对于A中，当0b 时，a与c不一定共线，故A错误；对于B中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B错误；对于C 中，由零向量与任意向量都共线，得到向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故C 正确； 对于D 中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故D 错误. 【例题2】已知向量(3,4)a =-，则与a 方向相反的单位向量是（ ） A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】C 【详解】由题意2(3)5a =-=，34,55aa ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 【变式训练1】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是（ ） A ．AB →与CD →共线B ．AC →与BD →共线C ．AD →与CB →模相等，方向相反D ．AB →与CD →模相等【变式训练2】在平行四边形ABCD 中，||3AB =，若BA BC BD BABCBD+=，则||AC =（ ）A ．B ．C ．D ．3【变式训练3】下列结论中正确的是（ ） ①若//a b 且||||a b =，则a b =； ②若a b =，则//a b 且||||a b =；③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =； ④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④二、平面向量的线性运算1.向量的线性运算加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a －b ＝a ＋(－b ) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb2.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .3. 典型例题【例题1】若O 为ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B 【详解】ABC 中，|||2||||()()|OB OC OB OC OA CB OB OA OC OA -=+-⇔=-+-22||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC ⇔-=+⇔-=+22222240AB AB AC AC AB AB AC AC AB AC ⇔-⋅+=+⋅+⇔⋅=因AB 与AC 均为非零向量，则AB AC ⊥，即90BAC ∠=，ABC 是直角三角形. 故选：B【例题2】如图所示，已知在ABC 中，O 是重心，则AO =（ ）A ．13BC BA -B ．1233BC BA - C ．2133BC BA -D ．13BC BA +【答案】B 【详解】连接BO 并延长交AC 于点M ，因为O 是重心，则M 是AC 的中点. ()12BM BA BC =+， 所以()2211233233AO BO BA BM BA BA BC BA BC BA =-=-=⨯+-=-. 故选：B.【变式训练1】在ABC 中，点D 满足3BC BD =，点E 为线段AD 的中点，则向量CE =（ ）A ．1136AB AC + B ．1163AB AC + C ．1263AB AC -D ．1536AB AC -【变式训练2】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB a =，AC b =，则AD 等于（ ）A ．12a b -B ．12a b - C ．12a b +D ．12a b + 【变式训练3】我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,a BA b BE BC →→→→→===3EF →，则BF →=（ ）A ．1292525a b →→+ B ．16122525a b →→+ C ．4355a b →→+D ．3455a b →→+三、向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.4. 典型例题【例题1】已知(0,1),(1,3)A B --，则||AB =（ ）A B ．17C ．5D【答案】A 【详解】解：因为(0,1),(1,3)A B --，所以()()()1,30,11,4AB =---=-，所以(AB =-=故选：A【例题2】已知()()1,2,3,OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m 的值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．4【答案】B 【详解】 解：OA OB ⊥，∴320OA OB m =-+=，32m ∴=． 故选：B ．【变式训练1】已知在ABC 中，点M 为AC 上的点，且13AM MC =，若(),BM BA BC R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ） A ．1B ．12C ．13D ．12-【变式训练2】如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则（ ）A ．2313x =+，233y =B ．233x =，2313y =+ C ．23x =+，3y = D ．312x =+，32y =【变式训练3】若向量(1,2),(0,1)a b ==，且ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为（ ） A ．1-B ．12-C ．1D ．2四、平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. ⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.4.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).5.1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .6.典型例题【例题1】如图Rt ABC 中，,22,2ABC AC AB BAC π∠===∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，则AD BC ⋅=（ ）A ．32-B ．32C ．32-D ．32【答案】D 【详解】连接BO 、DO 、BD ，如图所示：由题意得：,222ABC AC AB π∠===，AD 为BAC ∠的平分线，所以四边形ABDO 为菱形，即1AO OD AB BD ====， 又1cos 2AB BAC AC ∠==，所以60BAC ∠=︒， 所以60BOA BOD DOC ∠=∠=∠=︒， 又,AD AO OD BC OC OB =+=-，所以()()AD BC AO OD OC OB AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅-⋅ =cos0cos120cos60cos60AO OC AO OB OD OC OD OB ⋅-⋅︒+⋅︒-⋅︒ =111312222⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭. 故选：D【例题2】在ABC 中，已知45B =︒，D 是BC 边上一点，如图，75,1,7BAD DC AC ∠=︒==，则AB =（ ）A ．5B ．6C ．2D ．3【答案】B 【详解】04575120ADC ∠=︒+︒= ，根据余弦定理22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，260AD AD +-=，2AD =，060ADB ∠=，根据正弦定理00sin 60sin 45AB AD=，则032sin 6026sin 4522AD AB ⨯===． 故选：B【变式训练1】如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，D 为BC 边上一点，已知2BD =且45ADC ∠=︒，则AC =（ ）A 62B 62C 31D 31【变式训练2】如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是（）A．12B．23C．－12D．14【变式训练3】如图，ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，23 Aπ∠=，23AC=，32CD=，则BC=（）A．33B．4C．42D．6。
2022年高一下《第六章 平面向量及其应用》测试卷及答案解析
2022年高一下《第六章 平面向量及其应用》测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设a →，b →是不共线的两个平面向量，已知AB →=a →−2b →，BC →=3a →+kb →(k ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣62．（5分）在△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=（ ） A ．56AC →+23AB →B ．−16AC →+23AB →C ．56AC →+AB →D ．−56AC →+43AB →3．（5分）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →+FC →=（ ） A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →4．（5分）已知向量a →=(32，cosα)，b →=(cosα，16)，若a →∥b →，则锐角α为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°5．（5分）已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →=a →，BE →=b →，则BC →为（ ） A ．43a →+23b → B ．23a →+43b →C ．23a →−23b →D ．23b →−43a →6．（5分）在△ABC 中，BD →=DC →，AP →=PD →，且BP →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝（ ） A ．1B ．12C ．−12D ．147．（5分）已知A （7，1），B （1，4），直线y =12ax 与线段AB 交于C ，且AC →=2CB →，则实数a 等于（ ） A ．2B ．1C ．45D ．538．（5分）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →=λAB →+μAC →，则λ+μ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用全部重要知识点(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用全部重要知识点单选题1、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.2、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3、在△ABC中，sin2A=sinBsinC，若∠A=π3，则∠B的大小是（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC的形状，即可判断选项. 因为sin2A=sinBsinC，所以a2=bc，由余弦定理可知a2=b2+c2−2bccosπ3=b2+c2−bc=bc，即(b−c)2=0，得b=c，所以△ABC是等边三角形，∠B=π.3故选：C4、设a⃗,b⃑⃗均为单位向量，且|a⃗−b⃑⃗|=1，则|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．√3B．√7C．3D．7答案：A分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得a⃗⋅b⃑⃗=1，又|a⃗−2b⃑⃗|2=a⃗2−4a⃗⋅b⃑⃗+4b⃑⃗2即可求|a⃗−2b⃑⃗|.2由题设，|a⃗−b⃑⃗|2=a⃗2−2a⃗⋅b⃑⃗+b⃑⃗2=1，又a⃗,b⃑⃗均为单位向量，∴a⃗⋅b⃑⃗=1，2∴|a⃗−2b⃑⃗|2=a⃗2−4a⃗⋅b⃑⃗+4b⃑⃗2=3，则|a⃗−2b⃑⃗|=√3.故选：A5、已知向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，那么|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．5B．5√2C．8D．√74答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，所以a⃗−2b⃑⃗=(5,−5)|a⃗−2b⃑⃗|=√52+(−5)2=5√2.故选：B.6、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.7、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．8、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D. 多选题9、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a ⃑//b ⃑⃑,b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑ B ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC=1:6C ．两个非零向量a ⃑，b ⃑⃑，若|a ⃑−b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则a ⃑与b ⃑⃑共线且反向D ．若a ⃑//b ⃑⃑，则存在唯一实数λ使得a ⃑=λb ⃑⃑ 答案：AD分析：对每一个选项逐一分析判断得解.A. 若a ⃑//b ⃑⃑,b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑，如果a ⃑，c ⃑都是非零向量，b ⃑⃑=0⃑⃑，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑，∴2（OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑）+（OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑）=0⃑⃑，∴4OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑,∴OE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 所以OD =16AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；C. 两个非零向量a ⃑，b ⃑⃑，若|a ⃑−b ⃑⃑|=|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则a ⃑与b ⃑⃑共线且反向，所以该选项是正确的；D. 若a ⃑//b ⃑⃑，如果a ⃑是非零向量，b ⃑⃑=0⃑⃑，则不存在实数λ使得a ⃑=λb ⃑⃑，所以该选项是错误的. 故选A,D小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2D ．若a +b =2c ，则C >π2答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可； 解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误； 故选：AC.11、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有 （ ）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9）， 即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40， 故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4， 由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题. 填空题12、已知|a ⃗|=|b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，作OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=a ⃗,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=a ⃗+b ⃑⃗，则∠AOB =___________. 答案：30°##π6分析：由题设可得<a ⃗,b ⃑⃗>=π3，再根据向量夹角公式及数量积运算律可得cos∠AOB =a⃑⃗2+a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||a ⃑⃗+b ⃑⃗|、|a ⃗+b⃑⃗|=√(a ⃗−b ⃑⃗)2+4a ⃗⋅b ⃑⃗，结合已知即可求角的大小. 由|a ⃗|=|b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|知：<a ⃗,b⃑⃗>=π3， 而cos∠AOB =OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗||OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=a⃑⃗2+a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||a ⃑⃗+b ⃑⃗|，|a ⃗+b ⃑⃗|=√(a ⃗−b ⃑⃗)2+4a ⃗⋅b⃑⃗， 所以cos∠AOB =32a ⃑⃗2√3a⃑⃗2=√32，又∠AOB ∈[0,π]，则∠AOB =π6.所以答案是：π613、a →，b →为不共线的向量，设条件M:b →⊥(a →−b →)；条件N:对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立．则M 是N 的__________条件． 答案：充要分析：由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0；不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2≥0．由于对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立，所以可得Δ≤0，化简即可得出．由条件M:b →⊥(a →−b →)，可得b ⃑⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0； 不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2≥0， ∵对一切x ∈R ，不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|恒成立， ∴Δ=4(a ⃑⋅b ⃑⃑)2−4(2a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2)b ⃑⃑2≤0， 化为(a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2)2≤0， ∴a ⃑⋅b ⃑⃑−b ⃑⃑2=0，所以M ⇔N ． 所以答案是：充要．小提示：关键点睛：本题的解题关键是由不等式|a →−xb →|≥|a →−b →|化为x 2b ⃑⃑2−2xa ⃑⋅b ⃑⃑+2a ⃑⋅b⃑⃑−b ⃑⃑2≥0后由一元二次不等式的知识得出Δ=4(a ⃑b ⃑⃑)2−4(2a ⃑b ⃑⃑−b ⃑⃑2)b ⃑⃑2≤0，从而得解. 14、已知△ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）①|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；②|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；③|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|；④|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|.答案：①②③分析：设D,E,F 分别为AB,BC,AC 的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案. 对于①，|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故①成立； 对于②，设D,E,F 分别为AB,BC,AC 的中点， 则AE =CD =BF =√32AB ， |AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|， |BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2BF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|， 所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故②成立； 对于③，|CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|2CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√3|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|， 所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故③正确； 对于④，|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≠|CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，故④不成立. 所以答案是：①②③.解答题15、已知函数f (x )=2cosxsin (x +π6).（1）求f (x )的最小正周期及f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值（2）在锐角△ABC 中，f （A 2）=32，且a =√3，求b +c 取值范围.答案：（1）最小正周期为π，最大值32；（2）(3,2√3].分析：（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.（1）f(x)=2cosx⋅(sinx⋅√32+cosx⋅12)=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12，所以f(x)的最小正周期为π.因为−π6≤x≤π4，所以−π6≤2x+π6≤2π3于是，当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值32（2）在△ABC中，A+B+C=πf(A2)=sin(A+π6)+12=32，∴sin(A+π6)=1，A∈(0,π2),∴A+π6∈(π6,23π)，∴A+π6=π2,∴A=π3.由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2，∴b=2sinB,c=2sinC，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sin(π3+B)=2sinB+√3cosB+sinB=3sinB+√3cosB=2√3sin(B+π6)，∵{0<B<π20<C<π2⇒{0<B<π20<23π−B<π2⇒π6<B<π2，∴B+π6∈(π3,2π3)，∴sin(B+π6)∈(√32,1]，∴b+c=2√3sin(B+π6)∈(3,2√3].。
平面向量及其应用单元测试题含答案(1)
一、多选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<7．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒9．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)14．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形17．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ）A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．1620．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +23．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =C ．若,,,A B CD 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角25．已知向量()22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 26．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-29．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A 239B 263C 83D ．2330．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A 15B ．14C 3D 331．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）．A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不确定32．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．3B ．22C ．31- D ．21- 34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．10【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【 解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．2．BCD 【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得73R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.5．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．BC 【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.9．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.10．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD解析：ABD 【分析】首先理解aa表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，aa a=不正确， cos 0a a aa a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.13．ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得解析：ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.14．AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB 【解析】 【分析】根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0ABBA AB AB，正确；AB BCAC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B . 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.15．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则22sin aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．B 【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b cB C =求解. 【详解】在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b cB C=，所以2sin 42sin 55c BC b===， 故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 23．D 【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．C 【分析】根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 25．D 【详解】()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 26．A 【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】 如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+，2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.27．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AMmAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.28．A【分析】利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.【详解】E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.29．A【分析】根据面积公式得到4c =，再利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理得到答案.【详解】1sin 42ABC S bc A c ∆====利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴= 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 30．B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =， ∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 31．B【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得BC =-，在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒，sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=cos θ∴= 故选：C ．【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ， ∴22222a a c b c ac+-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．35．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，AC=3x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD =可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB的高是米；故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．。
平面向量及其应用经典试题(含答案)
一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=4．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+7．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒9．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-11．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 12．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 13．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 14．（多选题）下列命题中，正确的是（ ）A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+；B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或；C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34 B ．58C ．38D ．2317．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ）A ．12πB ．6π C ．4πD ．3π 21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b cA B B===，则ABC ∆的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．2222．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．123．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-24．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能25．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）A 3B ．1C ．12D 326．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 30．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形31．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心32．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤33．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式ac bd T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ）A ．(-∞B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞34．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．435．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.3．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-，则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．4．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.5．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.7．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错； ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin sin 603a R A ===︒，3R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．8．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 1b A B a ===，由于21b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.9．ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三解析：ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.10．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.11．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.12．AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.13．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.14．ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当时，，故选项B 错误； 因为，故选项C 正确； 当共线同向时，， 当共线反解析：ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误；因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确； 当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.15．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．A 【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得ADDE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2||b ta -的最小值也为1，即222min244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．D 【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101kk k =-，解得3k =， ∴tan 3B k ==B ＝3π．故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键21．A 【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b cr A B C===已知sin cos sin a b cA B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABCS=⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 22．C 【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 23．B 【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 24．C 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．表高×表距表目距的差+表高B．表高×表距表目距的差−表高C．表高×表距表目距的差+表距D．表高×表距表目距的差−表距答案：A分析：利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．如图所示：由平面相似可知，DEAB =EHAH,FGAB=CGAC，而DE=FG，所以DE AB =EHAH=CGAC=CG−EHAC−AH=CG−EHCH，而CH=CE−EH=CG−EH+EG，即AB =CG−EH+EG CG−EH ×DE =EG×DE CG−EH +DE ＝ 表高×表距表目距的差+表高．故选：A.小提示：本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．2、已知单位向量a ⃗，b⃗⃗，则下列说法正确的是（ ） A ．a ⃗=b ⃗⃗B ．a ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗C ．|a ⃗|=|b ⃗⃗|D ．a ⃗//b⃗⃗ 答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，向量a ⃗，b⃗⃗的方向不一定相同，A 错误； 对于B ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，但向量a ⃗， b⃗⃗不一定为相反向量，B 错误； 对于C ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，则|a ⃗|=|b⃗⃗|=1，C 正确； 对于D ，向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，向量a ⃗，b ⃗⃗的方向不一定相同或相反，即a ⃗与b⃗⃗不一定平行，D 错误. 故选：C.3、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃗⃑=(2,4)，若a ⃑与b⃗⃑共线，则m =（ ） A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案：C分析：根据平面向量共线坐标表示可得答案.由题意得2m =−4，即m =−2.故选：C4、某人先向东走3km ，位移记为a →，接着再向北走3km ，位移记为b →，则a →+b →表示（ ）A ．向东南走3√2kmB ．向东北走3√2kmC ．向东南走3√3kmD ．向东北走3√3km答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得a →+b →表示先向东走3km ，再向北走3km ，即向东北走3√2km .故选：B.5、已知向量a ⃑,b ⃗⃑满足|a ⃑|=2,|b ⃗⃑|=1,a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃗⃑)=2，则a ⃑与b⃗⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：B分析：由题意，先求出a ⃑⋅b⃗⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⃑⋅(a ⃑−2b ⃗⃑)=a ⃑2−2a ⃑⋅b ⃗⃑=|a ⃑|2−2a ⃑⋅b ⃗⃑=4−2a ⃑⋅b ⃗⃑=2，所以a ⃑⋅b⃗⃑=1， 设a ⃑与b ⃗⃑的夹角为θ，则cosθ=a ⃗⃑⋅b ⃗⃑|a ⃗⃑||b ⃗⃑|=12， 因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.6、已知非零平面向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃗⃗；（2）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则a ⃗//b⃗⃗ （3）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗−b ⃗⃗|，则a ⃗⊥b ⃗⃗（4）若(a ⃗+b ⃗⃗)⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=0，则a ⃗=b ⃗⃗或a ⃗=−b⃗⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃗⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃗⃗或(a ⃗−b ⃗⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则a ⃗与b ⃗⃗同向，所以a ⃗//b⃗⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗−b ⃗⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2+2a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2−2a ⃗⋅b ⃗⃗，所以2a ⃗⋅b ⃗⃗=0，则a ⃗⊥b⃗⃗；即（3）正确； （4）若(a ⃗+b ⃗⃗)⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃗⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃗⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C =30∘，c =10.如果△ABC 有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．[10,20]B ．[10,10√3]C ．(10,10√3)D ．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a 的不等式，由此可解得a 的取值范围.如下图所示：因为△ABC 有两解，所以asinC =12a <c =10<a ，解得10<a <20.故选：D.8、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑C ．CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑，所以12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑. 故选：D.9、向量a ⃗，b ⃗⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃗⃗|=1，|a ⃗+b ⃗⃗|=√3，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影为（ ）A ．-1B ．−12C ．12D ．1 答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b⃗⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 因为向量a ⃗，b ⃗⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃗⃗|=1，|a ⃗+b⃗⃗|=√3， 所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃗⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃗⃗=−1， 所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →|=−12. 故选：B.10、如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，动点M 从顶点B 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F ，若FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑的最大值和最小值分别是m ，n ，则m +n =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12答案：D分析：连接AC ，根据正六边形的特征可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，从而可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩，再根据当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐减小，即可求得m ，n ，从而得出答案.解：连接AC ，在正六边形ABCDEF 中，FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃑，∴FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩，∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃑|=2√3， 因为当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩均逐渐减小，所以当M 在CD 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩取得最大值，为2√3，当M 移动到点F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑⟩取得最小值，为0．∴m =2√3×2√3=12，n =2√3×0=0，∴m +n =12．故选：D.小提示：填空题11、已知△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=1，O 为△ABC 所在平面内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑，则AO⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑的值为___________ 答案：−1分析：在OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑中，将OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑代入，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑表示AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，可得AO⃗⃗⃗⃗⃗⃑=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，故AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)，展开根据已知条件代入数据计算即可. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=0⃗⃑，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)+3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=0⃗⃑，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑)=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑2−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=−1.所以答案是：−1.小提示：关键点点睛：解答本题的关键点在于将AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑用AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑线性表示，将AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃑⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑之间的数量积运算问题来求解.12、若OA →=a →，OB →=b →，则∠AOB 平分线上的向量OM →可以表示为________．答案：λ(a →|a →|+b →|b →|)，λ∈R分析：根据题意，以OA →|OA →|，OB →|OB →|为邻边作平行四边形OACB 则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得OC →=OA→|OA →|+OB →|OB →|=a →|a →|+b →|b →|，由OM →，OC →共线，最后根据向量共线定理得OM →=λOC →，从而得出答案.解：∵ OA →=a →，OB →=b →，∴ OA→|OA →|=a→|a →|，OB →|OB →|=b →|b →|，∴以OA →|OA →|，OB →|OB →|为邻边作平行四边形OACB 则为菱形，∴OC 平分∠AOB ，∴根据向量加法的平行四边形法则可得：OC →=OA→|OA →|+OB→|OB →|=a →|a →|+b→|b →|，∵ OM →，OC →共线，∴由共线定理可得存在唯一的实数λ使得：OM →=λOC →=λ(a →|a →|+b →|b →|).所以答案是：λ(a →|a →|+b →|b →|)，λ∈R .小提示：本题考查平面向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，解题的关键是利用菱形的对角线平分对角这一重要性质.13、点A (−1,0)，B(5，−4)，AP⃗⃗⃗⃗⃗⃑=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑，点P 的坐标为______． 答案：(2,−2)分析：设P(x,y),由已知条件，利用向量的坐标运算求解即可.由已知得，设P (x,y ),由已知得(x,y )−(−1,0)=(5,−4)−(x,y ),∴(x,y )=(2,−2),所以答案是：(2,−2).小提示：本题考查平面向量的坐标运算，属基础题.关键掌握向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.14、已知向量a ⃑、b ⃗⃗、c ⃑，且|a ⃑|=3，|b ⃗⃗|=5，|c ⃑|=1，a ⃑⋅b ⃗⃗=0，则|a ⃑+b ⃗⃗−c ⃑|的最小值为______．答案：√34−1##−1+√34分析：根据题意，建立直角坐标系，写出a ⃗、b ⃗⃗、a ⃗+b ⃗⃗坐标，求出c ⃑终点轨迹，数形结合即可求解.不妨设a ⃗=(3,0)，b ⃗⃗=(0,5)，a ⃗+b⃗⃗=(3,5)， |c ⃑|=1，则c ⃑起点在原点，终点轨迹为单位圆x 2+y 2=1，∴当a ⃗+b ⃗⃗与c ⃑同向时，|a ⃑+b ⃗⃗−c ⃑|最小，为√32+52−1= √34−1.所以答案是：√34−1.15、已知a ⃑､b ⃗⃑是平面内两个互相垂直的单位向量，若c ⃑满足(a ⃑−c ⃑)⋅(b ⃗⃑−c ⃑)=0，则|c ⃑|的最大值为___________.答案：√2分析：首先根据数量积公式展开，再化简|c⃑|=√2cosα，利用三角函数的有界性求最值.(a⃗−c⃗)⋅(b⃗⃗−c⃗)=0⇔a⃑⋅b⃗⃑−(a⃑+b⃗⃑)⋅c⃑+c⃑2=0，∴|c⃗|2=(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=|a⃗+b⃗⃗||c⃗|cosα=√2|c⃑|cosα，即|c⃑|=√2cosα，|c⃑|max=√2.所以答案是：√2解答题16、已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的，且在△ABC中，2AB−BC=AC2+AB2−BC2AB．(1)求角B的大小；(2)若∠BAD=π3，∠ADC=5π6，AD=1，BC=2．求AB的长．答案：(1)B=π3 (2)AB＝3分析：（1）由余弦定理结合2AB−BC=AC 2+AB2−BC2AB，即可求出角B的大小.（2）设AC＝x，∠CAB＝α，在△ABC中，由正弦定理可得√3=x sinα①，在△ADC中，由正弦定理可得x= 12sin(α−π6)②，联立①②，可得tanα=√32，在△ABC中，由正弦定理可求出AC，再由余弦定理即可求出AB的长.（1）∵2AB−BC=AC 2+AB2−BC2AB，∴整理可得，BC2+AB2﹣AC2＝BC•AB，∴在△ABC中，由余弦定理可得cos B=BC2+AB2−AC22AB⋅BC =12，0＜B＜π，∴B=π3．（2）∵B=π3，∠BAD=π3，∠ADC=5π6，AD=1，BC=2，∴设AC＝x，∠CAB＝α，则在△ABC中，由正弦定理BCsin∠CAB =ACsinB，可得2sinα=xsinπ3，可得√3=x sinα，①在△ADC中，由正弦定理ACsinD =ADsin(π−∠D−∠DAC)，可得xsin5π6=1sin[π6−(π3−α)]，可得x=12sin(α−π6)，②，∴联立①②，可得sinα＝2√3sin（α−π6），可得tanα=√32，可得cosα=√11+tan2α=2√77，sinα=√217，∴在△ABC中，由正弦定理BCsinα=ACsinB，可得AC=2×sinπ3√217=√7，∵由余弦定理AC2＝BC2+AB2﹣2AB•BC•cos B，可得7＝4+AB2﹣2×2×AB×12，可得AB2﹣2AB﹣3＝0，∴解得AB＝3，（负值舍去）．17、在锐角△ABC中，已知m⃗⃗⃑=(2sin(A+C),√3)，n⃗⃑=(cos2B,2cos2B2−1)，且m⃗⃗⃑//n⃗⃑．(1)求角B的大小；(2)若AC=1，求△ABC面积的最大值．答案：(1)π6(2)2+√34分析：（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得ac最大值，代入面积公式，即可得答案. (1)因为m⃗⃗⃑//n⃗⃑，所以2sin(A+C)(2cos2B2−1)=√3cos2B，因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，所以2sinBcosB=sin2B=√3cos2B，所以tan2B=sin2Bcos2B=√3，因为锐角三角形，B∈(0,π2)，所以2B∈(0,π)，所以2B=π3，B=π6.(2)设角A、B、C所对的边为a,b,c，则AC=b=1，由余弦定理得cosB=a 2+c2−b22ac=√32，所以a2+c2−1=√3ac，即a2+c2=√3ac+1，又a2+c2≥2ac，所以√3ac+1≥2ac，解得ac≤2+√3，当且仅当a=c时等号成立，所以△ABC面积的最大值S max=12acsinB=12×(2+√3)×12=2+√34.18、已知向量a⃑=(1,1)，b⃗⃑=(0,−2)，在下列条件下分别求k的值：(1)a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑平行；(2)a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑的夹角为2π3．答案：(1)−1(2)−1±√3分析：（1）首先求出a⃑+b⃗⃑与ka⃑−b⃗⃑，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；（1）解：因为a⃑=(1,1)，b⃗⃑=(0,−2)，所以a⃗+b⃗⃗=(1,−1)，ka⃗−b⃗⃗=(k,k+2)，又a⃗+b⃗⃗与ka⃗−b⃗⃗平行，所以−k=k+2，解得k=−1；（2）解：因为a⃗+b⃗⃗=(1,−1)，ka⃗−b⃗⃗=(k,k+2)，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)=1×k+(−1)×(k+2)=−2，因为a⃗+b⃗⃗与ka⃗−b⃗⃗夹角为2π3，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅(ka⃗−b⃗⃗)=|a⃗+b⃗⃗||a⃗−b⃗⃗|cos2π3，即−2=−√2×√k2+(k+2)2×12，解得k=−1±√3．19、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=π3，a=3.(1)若A=π4，求b.(2)若______，求c的值及△ABC的面积.请从①b=√13，②sinC=2sinA，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.答案：(1)3√62；(2)选①c=4，S△ABC=3√3；选②c=6，S△ABC=9√32分析：(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可.(1)B=π3，a=3，A=π4，由正弦定理，得bsinB=asinA，所以b=asinA ×sinB=√22√32=3√62；(2)选①：由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB，即13=c2+9−2×3c×12，整理，得c2−3c−4=0，由c>0，得c=4，所以S△ABC=12acsinB=12×3×4×√32=3√3；选②：因为sinC=2sinA，由正弦定理，得c=2a，所以c=6，所以S△ABC=12acsinB=12×6×3×√32=9√32.。
高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m →，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =n →，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．3m →−2n →B ．−2m →+3n →C ．3m →+2n →D ．2m →+3n →答案：B分析：根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗ =−2m →+3n →．故选：B ．2、已知单位向量a →，b →，则下列说法正确的是（ ）A ．a →=b →B ．a →+b →=0→C ．|a →|=|b →|D ．a →//b →答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同，A 错误；对于B ，向量a →，b →为单位向量，但向量a →， b →不一定为相反向量，B 错误；对于C ，向量a →，b →为单位向量，则|a →|=|b →|=1，C 正确；对于D ，向量a →，b →为单位向量，向量a →，b →的方向不一定相同或相反，即a →与b →不一定平行，D 错误. 故选：C.3、向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,k)．若A,B,C 三点共线，则k 的值为（ ） A ．−2B ．1C ．−2或11D ．2或−11答案：C分析：求得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，，利用向量共线的充要条件，可得关于k 的方程，求解即可. 解：由题可得：BA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(4,5)=(k −4,7)， CA u u u rCA⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)−(10,k )=(k −10,12−k ). 因为A,B,C 三点共线，所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(k −4)(12−k )−7(k −10)=0，整理得k 2−9k −22=0，解得k =−2或k =11.故选：C.4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD的中点，与BF 交于点O ，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417D ．56答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得AO⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅(2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −y 2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −xBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅43BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4y 3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0，解得x =817,y =617，所以x +y =1417. 故选：C.5、若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13) AE答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围. 因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以，||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即3≤|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13. 故选：C.6、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D7、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0→ 所以3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD⃗⃗⃗⃗⃗ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +518AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．−1118AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +119AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B 分析：以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1318AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +118AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：B多选题9、在△ABC 中，若(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，则角B 的值可以为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：BC分析：利用余弦定理边化角可整理得到sinB ，结合B ∈(0,π)可得结果.∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴a 2+c 2−b 22ac ⋅tanB =cosB ⋅sinB cosB =sinB =√32， 又B ∈(0,π)，∴B =π3或2π3.故选：BC.10、下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }中，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量.B ．在平面向量基本定理中，若a =0⃗ ，则λ1=λ2=0.C ．若单位向量e 1⃗⃗⃗ ､e 2⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，则e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量是−12e 2⃗⃗⃗ .D ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.答案：ABC分析：由平面向量基本定理，依次判定即可选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 一定都是非零向量，故A 正确； 选项B ：a =0⃗ =0⋅e 1⃗⃗⃗ +0⋅e 2⃗⃗⃗ ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B 正确；选项C ：e 1⃗⃗⃗ 在e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为：e 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗⃗ |e 2⃗⃗⃗ =−12e 2⃗⃗⃗ ，故C 正确； 选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC11、如图，B 是AC 的中点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则下列结论正确的为（ ）A ．当x =0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x =−12，y =52C ．若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x −y 的最大值为−1答案：BCD解析：利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可判断出D 正确. 当x =0时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +52OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 对 x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作PM//AO ，交OE 于M ，作PN//OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；又OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴x ⩽0，y ⩾1； 由图形看出，当P 与B 重合时：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ； 此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x −y 取最大值−1，故D 正确故选：BCD小提示：名师点评若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A,B,C 三点共线⇔x +y =1. 12、下列说法正确的有（ ）A ．若|a →+b →|=|b →|且b →≠0，则a →=0→B ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →C ．若a →b →=a →c →且a →≠0，则b →=c →D ．设a →,b →是非零向量，若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ，使得a →=λb → 答案：BD分析：A. 举反例说明该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 分析得a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．A. 若a →=−2b →≠0→也满足已知，但是a →≠0→，所以该命题错误；B.若|a →+b →|=|a →−b →|，所以a →2+b →2+2a →⋅b →=a →2+b →2−2a →⋅b →,∴a →⋅b →=0，则a →⊥b →，所以该命题正确；C. 若a →b →=a →c →=0且a →≠0，则a →⊥b →，a →⊥c →，所以b →,c →不一定相等，所以该命题错误；D. 若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则|a →|2+|b →|2+2a →b →=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|，得a →b →=−|a →||b →|，则a →,b →的夹角的余弦cosθ=−1，则a →与b →反向，因此存在实数λ，使得b →=λa →，所以该命题正确．故选：BD13、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，∠C =45°,c =√2,a =x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的值可能为（ ）A ．1B ．1.5C ．1.8D ．2答案：BC分析：利用正弦定理求得sinA =12x ，再根据三角形有两解的条件可得A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，由此求出x 的范围即可得解.在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinC c =∘√2=12x ， 因满足条件的三角形有两个，则必有A ∈(45∘,135∘)，且A ≠90∘，即√22<sinA <1， 于是得√22<12x <1，解得√2<x <2，显然x 可取1.5，1.8. 故选：BC填空题14、给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；③若向量a 与向量b ⃗ 的模相等，则a ，b⃗ 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确命题的序号是________.答案：①②分析：根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.①正确；②正确，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向均相同；③|a|=|b ⃗ |，不能确定其方向，所以a 与b ⃗ 的方向不能确定；④只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ .综上可知，正确命题为①②. 故答案为:①②15、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝√2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________. 答案：329 sin sin a c A C分析：由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A 为原点， AB 所在直线为x 轴的平面直角坐标系，分别写出A 、B 、E 的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积.解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB ＝√2，BC ＝2，∴A (0，0)，B (√2，0)，C (√2，2)，D (0，2)，∵点E 在边CD 上，且DE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E (2√23,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2√23,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−√23,2)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−49+4=329. 16、设a →,b →为单位向量，且|a →+b →|=1，则|a →−b →|=______________.答案：√3分析：整理已知可得：|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2，再利用a ,b ⃗ 为单位向量即可求得2a ⋅b ⃗ =−1，对|a −b⃗ |变形可得：|a −b ⃗ |=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2，问题得解. 因为a ,b ⃗ 为单位向量，所以|a |=|b⃗ |=1 所以|a +b ⃗ |=√(a +b ⃗ )2=√|a |2+2a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=√2+2a ⋅b⃗ =1 解得：2a ⋅b⃗ =−1 所以|a −b ⃗ |=√(a −b ⃗ )2=√|a |2−2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=√3 所以答案是：√3小提示：本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.解答题17、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为8米，在地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM中，利用正弦定理求得CM，然后在Rt△CDM中，由CD=CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=30°，由正弦定理AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，得CM=sin∠CAMsin∠ACM ⋅AM=√2ABsin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.18、如图，在直角梯形OABC中，OA//CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点．（1）用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）求OD DM ；（3）设OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ⋅μ的取值范围． 答案：(1)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)3；(3)[0,34]. 分析：(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 将由这一组基向量的唯一表示出而得解； (3)由动点P 设出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)，结合平面向量基本定理，λ⋅μ建立为x 的函数求解. (1)依题意CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2t 3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，2t 3+2t 3=1，则t =34，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3； (3)由已知OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因P 是线段BC 上动点，则令CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤x ≤12)， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ+μx)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(μ−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则有{μ−λ=1λ+μx =12⇒{λ=μ−1μ=32+2x， 0≤x ≤12⇒1≤x +1≤32⇒1≤μ≤32， λ⋅μ=μ(μ−1)=(μ−12)2−14在μ∈[1,32]上递增，所以μ=1,(λ⋅μ)min =0,μ=32,(λ⋅μ)max =34，故λ⋅μ的取值范围是[0,34].小提示：由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．。
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34．设 中 边上的中线为 ，点 满足 ，则 （）
A． B．
C． D．
35．在 中，设 ，则动点M的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D． 外心
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题
1．无
2．BD
【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】
A选项，若与共线，与，都
解析：BD
【分析】
假设 与 共线， 与 ， 都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】
A选项，若 与 共线， 与 ， 都不共线，则 与 不可能共线，故A错；
B选项，因为 ， , 是非零平面向量,若 ，则 ， ，所以 ，即B正确；
A． B． C． D．
28．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
29．如图，在 中，点D在线段BC上，且满足 ，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若 ， ，则（）
A． 是定值，定值为2B． 是定值，定值为3
C． 是定值，定值为2D． 是定值，定值为3
一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知非零平面向量 ， , ,则（）
A．存在唯一的实数对 ，使 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．已知 的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则该三角形的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
4．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 .下列 有关的结论，正确的是（）
A．
B．若 ，则
C． ，其中 为 外接圆的半径
D．若 为非直角三角形，则
5．已知点 ， ，与向量 平行的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．(7，9)
6．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． 与 的夹角为45°D．
7．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）
30．在梯形 中， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
31．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝ ，点P满足 ＝λ ，λ∈R，若 · ＝－3，则λ的值为()
A． B．－ C． D．－
32．在 中， ，则 的形状为（）．
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．不确定
33．在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，则 一定是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
21．三角形 所在平面内一点P满足 ，那么点P是三角形 的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
22．已知在四边形 中， ，则四边形 的形状是( )
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．以上都不对
23．如图，测量河对岸的塔高 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 ， ， ，并在点C测得塔顶A的仰角为 ，则塔高 为( )
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则 是钝角三角形
14．已知 的面积为 ,且 ,则 ( )
A．30°B．60°C．150°D．120°
15．某人在A处向正东方向走 后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好 ,那么x的值为( )
A． B． C． D．3
C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由 不能推出 ；如 与 同向， 与 反向，且 ，则 ，故C错；
D选项，若 ，则 ，
，所以 ，即D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．D
【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.
A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．2∶1∶1D．1∶1∶2
19． 中，内角A，B，C所对的边分别为 .①若 ，则 ；②若 ，则 一定为等腰三角形；③若 ，则 一定为直角三角形；④若 ， ，且该三角形有两解，则 的范围是 .以上结论中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 的形状是
A． B．
C． D．
8．下列各式中，结果为零向量的是（）
A． B．
C． D．
9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ，其中 ，则下列结论正确的有（）
A．
B．
C．
D． 在 向量上的投影为
10．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（）
二、平面向量及其应用选择题
16．已知 的面积为30，且 ，则 等于（）
A．72B．144C．150D．300
17．下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 在 上的投影为
B．若 ，则
C．若 是不共线的四点，则 是四边形 是平行四边形的充要条件
D．若 ，则 与 的夹角为锐角；若 ，则 与 的夹角为钝角
18．已知 所在平面内的一点 满足 ，则 （）
A． B． C．60mD．20m
24．若向量 ，满足条件 ， ，则 的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定
25．在 中， 、 、 分别是 、 、 上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）
A． B．
C． D． 26．题目文件丢失！
27．中华人民共和国国歌有 个字， 小节，奏唱需要 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A． B．
Cห้องสมุดไป่ตู้ D．
11．下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则A､B､C､D四点共线；
D．在四边形 中，若 ， ，则四边形 为菱形.
12．已知正三角形 的边长为2，设 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
13．对于 ，有如下判断，其中正确的判断是（）
A．若 ，则 为等腰三角形