微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线

3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z ( x, y)} z z rx {1,0, } {1,0, p} , ry {0,1, } {0,1,百度文库q} x y
X x0 Y y0 1 0 0 1 Z z0 p0 q0 0
dv du du dv rv ) rv 或 r (t ) (ru 它平行于 r (t ) ru dt dv dt dt 其中 ru , rv 分别是在(u ,v )点处的两条坐标曲线的切向量。
0 0
以下切方向三种表示通用：du : dv 、 (d) 和 r (t ) 。
rv
由 r (t ) ru
( x, y ) (u , v)

x u x v
y u y v
由隐函数定理， x = x (u ,v) ,
y = y (u ,v)
在 U 中存在
唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,
代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
内 容 提 要
2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）
二、曲面的切平面
1、切平面的定义 设曲面曲线为 (c)：
rv
(u0 ,v0 )
C
ru
u = u (t) , v = v (t) ,
或
r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
这条曲线在曲面上(u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的
切方向或方向，
切方向仅与 du : dv 有关(P63)
法线的方程为 用坐标表示为
R r (u, v) (ru rv )
X x(u, v) Y y (u, v) Z z (u, v) yu zu zu xu xu yu yv z v zv xv xv yv
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z ( x, y)}
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
z z rx {1,0, } {1,0, p} , ry {0,1, } {0,1, q} x y
则有
X x Y y Z z ( x, y ) p q 1
例题P65， 求切平面和法线.
四、参数变换 如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 (u , v ) ：
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 由定义，曲面的法方向为 N ru rv
ru rv 单位法向量为 n ru rv
r u× r v rv
r0
ru
2、法线的方程 设法线上任一点R (u,v) rv
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
给定曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 可得如下命题： 命题1
或 r = r (u,v)
曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ).
证： 事实上，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则由上面论述，总存 在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0， 不妨设第一个不为0，即
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
u u (u , v ) , v v(u , v ) r r (u (u , v ), v(u , v ))
则得到曲面关于新曲纹坐标 (u , v ) 的方程 r r (u , v ) 对 u,v 因此 （1） （2）
个方向为曲面的正向。
u v u v rv , rv ru rv 求导：ru ru u u v v (u, v) u v u v N ru rv ru rv ( )N u v v u (u , v ) (u, v) 0 ， 则两个法向量平行。 (u , v ) (u, v) 0 ，所有参数法向量的正向保持不变，称这 (u , v )
数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 c k 类曲面。
c 1 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) 该点处这两条坐标曲线的切向量为：
r0
rv
(u0 ,v0 )
S
ru
r ru (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) u
r0
R – r0 R
r u× r v R - r0 =(ru×rv)t
ru
//ru×rv
则法线的方程为 用坐标表示为
R r (u, v) (ru rv )
X x(u, v) Y y (u, v) Z z (u, v) yu zu zu xu xu yu yv z v zv xv xv yv