微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
《微分几何》知识点总结
《微分几何》知识点总结微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间中曲线和曲面的性质和变化规律。
在微分几何中，我们使用微积分的方法研究曲线和曲面上的切线、法线、曲率等概念，以及它们的几何性质。
下面是微分几何的一些重要知识点总结。
1.曲线的参数表示曲线是一些点的集合，我们可以用参数表示曲线上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
曲线的切向量是曲线上一点的导数。
2.曲线的切线和弧长曲线的切线是曲线在其中一点的切向量所确定的直线。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离。
我们可以通过弧长参数化来表示曲线。
3.曲线的速度和加速度曲线的速度是表示曲线上一点运动快慢和方向的向量，它的大小是曲线在这一点的切线向量的模，方向是切线的方向。
曲线的加速度是速度的导数。
4.曲线的曲率和挠率曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度，它是曲线的切线向量随曲长的变化率。
曲线的挠率描述了曲线的曲率随曲长的变化率，它是曲线的法向量随曲长的变化率。
5.曲率圆和曲率半径曲线的曲率圆是一条与曲线在其中一点相切且切向量方向相同的圆，曲率半径是曲率圆的半径。
6.空间曲线的切线、法线、副法线三向量空间曲线的切线是曲线上一点的速度向量，法线是曲线上一点的加速度向量的单位向量，副法线是切线和法线的叉积向量的单位向量。
7.曲面的参数表示曲面是三维空间中的二维平面，我们可以用参数表示曲面上的点。
常用的参数方程有笛卡尔参数方程和极坐标参数方程。
8.曲面的切平面和法线曲面的切平面是曲面在其中一点的切向量所确定的平面，法线是切平面的法线向量。
9.曲面的曲率和高斯曲率曲面的曲率描述了曲面特定点附近的曲率变化，高斯曲率描述了曲面在其中一点附近的整体几何性质。
10.高斯曲率和平均曲率的关系高斯曲率和平均曲率是曲面上两个重要的曲率指标，它们之间存在一定的关系。
11.第一基本形式和第二基本形式第一基本形式是描述曲面上两个切向量的内积，第二基本形式是描述曲面上一个切向量和一个法向量的内积。
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。
在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。
对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。
本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。
在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。
切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。
设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。
因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。
由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用函数方程或参数方程表示。
在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。
曲面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，在许多领域都有广泛的应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。
在二维平面上，我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。
在三维空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。
假设曲面的函数方程为z=f(x,y)，则其在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)其中fx和fy分别表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。
如果曲面的参数方程为：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)则其在点(P0)处的切平面方程可以表示为：r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0)其中r表示曲面的参数方程，r/u和r/v分别表示曲面在点P0处的偏导数。
二、曲面的法线方程曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
由于曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，因此曲面的法线方程也可以表示为：n(r-r0)=0其中r表示曲面上的任意一点，r0表示曲面上的某一点。
三、曲面的切线和法线方向曲面的切线和法线方向在曲面上的任意一点处是唯一的。
曲面的切线方向垂直于曲面的法线方向，因此我们可以通过曲面的法线方程来确定曲面的切线方向。
对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。
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曲面的参数方程简写成
x x u , v ,y y u , v ,z z u , v , u , v G
曲面的向量函数的形式：
r ru ,v , u ,v G
Zz0.
谢谢！
经过曲面上每一点有惟一的一条 u-曲线 和惟一的一条 v-曲线，而且这两族曲线彼 此不相切．
这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐 标网．
命题1 曲面在正常点的邻域 U 中总可以有
zzx,y
形式的参数表示．
证明：由于在正常点的邻域 U 内 rurv 0 ，
即矩阵 的秩为2．
x y z
u u u
x v
y v
z v
即三个行列式
x y
y z
z x
u x,,vy u x
u y, u y,,vz u y
u z, u z,,v x u z
u x
v v
v v
v v
共面．
由此得出曲面点的切平面的方程为：
R r u 0 ,v 0 ,r u u 0 ,v 0 ,r v u 0 ,v 0 0
写成坐标的形式
Xxu0,v0 Yyu0,v0 Zzu0,v0 xuu0,v0 yuu0,v0 zuu0,v0 0 xvu0,v0 yvu0,v0 zvu0,v0
其中 R 是球面 的半径．
例3 旋转面：考虑 xOz 平面上的曲线（C）：
x t 0 ,z t , t
把此曲线绕 z 轴旋转，则得一曲面，称为旋转 面．它的 G 是一长方形：
微分几何答案(第二章)
第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。
3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。
cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。
—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念
rv
S P(u 0 , v0 )r u
X x( u0 , v0 ) Y y( u0 , v0 ) Z z( u0 , v0 ) xu ( u0 , v0 ) xv ( u0 , v0 ) yu ( u0 , v0 ) yv ( u0 , v0 ) z u ( u0 , v0 ) 0 zv ( u0 , v0 )
y z z x x y u u u u u u 即ru rv , , 0, ( u, v ) U . y z z x x y v v v v v v x y x x(u, v ) u u () 不妨设 0, 对于方程组 x y y y(u, v ) v v 满足： (i ) x(u, v )，y(u, v )至少有一阶连续偏微商 ； x0 x( u0 , v0 ) ( ii ) x y y0 y( u0 , v0 ) ( x, y) u u ( iii ) Jocbi 行列式 0, ( u0 ,v 0 ) x y ( u, v ) v v ( u0 ,v0 )
注 z z( x, y )是曲面的一种特殊的参 数表示， 即r r { x , y, z( x , y )}， ( x, y是参数).
2.曲面的切平面和法线
v
(u0 , v0 )
G
v坐标直线
v坐标曲线
z
.
f
P (u0 , v0 ) S : r r ( u, v )
O
y
du r t0 ru ( u0 , v0 ) dt
曲面论知识点总结
曲面论知识点总结曲面是三维空间中的一个特殊的几何概念，它在数学中有着重要的地位。
曲面理论研究曲面的性质、形状以及与其他几何概念之间的关系，广泛应用于物理学、计算机图形学、工程等领域。
本文将就曲面的定义、参数化、曲面的性质等知识点进行总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一种二维对象，可以用各种数学方法描述，常见的方法有参数方程和隐式方程。
常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等。
曲面的定义可以用数学语言描述为：在三维空间中，一般点(x, y, z)可以用参数形式描述为：P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v分别表示曲面上的两个参数。
根据参数的不同取值，曲面上的点可以覆盖整个曲面。
二、曲面的参数化曲面的参数化是指用参数的方法来描述曲面上的点。
参数化的目的是将曲面上的点与参数空间中的点建立起一一对应的关系，以方便对曲面上的点进行计算和研究。
不同的曲面可以采取不同的参数化方法，一般来说，可以采用自然参数化、球坐标参数化等方法来描述曲面。
例如，球面可以用球坐标参数化描述为：P(u, v) = (r * sinu * cosv, r * sinu * sinv, r * cosu)，其中u和v分别表示极角和方位角，r表示球的半径。
通过参数化，我们可以方便地对球面上的点进行计算和研究。
三、曲面的性质曲面有许多重要的性质，包括曲率、法线、切平面等。
这些性质可以帮助我们更好地理解曲面的形状和结构，从而在实际问题中应用。
以下就曲面的性质进行详细介绍：1. 曲率：曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念，可以分为高斯曲率、平均曲率等多种类型。
曲率的计算可以通过偏微分方程或直接计算曲面上某点的曲率向量而得到。
2. 法线：曲面上的每一点都有一个与曲面垂直的法线，它可以用来描述曲面的方向。
法线在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来进行阴影计算、光照计算等。
3. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面在该点的切线垂直。
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
微分几何中的曲线与曲面理论
微分几何中的曲线与曲面理论微分几何是研究曲线与曲面的数学分支，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍微分几何中的曲线与曲面理论，并讨论其基本概念、性质和应用。
一、曲线理论1. 曲线的定义在微分几何中，曲线是指由一组点按照一定的方式连接形成的线状对象。
曲线可以是直线、圆、椭圆等各种形状，其性质由曲线的参数化方程来描述。
2. 参数化方程参数化方程是描述曲线运动的一种方式，通过引入参数t，可以用函数形式表示曲线上的每一个点的坐标。
曲线的参数化方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)3. 弧长和切向量在曲线理论中，弧长是曲线上两个点之间的距离。
切向量是描述曲线在某一点上的方向的矢量。
通过参数化方程，可以求得曲线上任意一点的切向量，并计算出曲线的曲率和挠率等性质。
二、曲面理论1. 曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维对象，可以看作是曲线在平面上的推广。
曲面有着平面没有的曲率和法向量等性质。
2. 参数化曲面和曲线类似，曲面也可以通过参数化方程来描述。
参数化曲面是指通过引入两个参数u和v，可以用函数形式表示曲面上的每一个点的坐标。
曲面的参数化方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)3. 第一基本形式和第二基本形式在曲面理论中，第一基本形式描述了曲面的度量性质，包括曲面的长度和角度等信息。
第二基本形式描述了曲面的曲率性质，包括法向量的旋转和曲面的高斯曲率等性质。
三、应用微分几何中的曲线与曲面理论在多个领域有着广泛的应用，下面以几个典型应用为例进行介绍：1. 物理学中的路径与表面积在物理学中，曲线与曲面理论可以描述粒子在空间中的路径和表面积。
这对于研究物体运动、力学和电磁学等领域具有重要意义。
2. 工程学中的曲线设计曲线与曲面理论在工程学中广泛用于曲线的设计和表达。
例如，在汽车造型设计中，可以利用曲线与曲面理论来构建具有流线型外观的车身曲线。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
求曲面在某点的切平面和法线方程
求曲面在某点的切平面和法线方程曲面的切平面和法线方程是微积分中的重要概念，它们可以帮助我们研究曲面在某一点的性质和特征。
本文将从以下几个方面展开讨论：曲面的定义、切平面的定义和求解方法、法线方程的定义和求解方法、实例分析和总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维曲面，它可以用一个或多个参数方程来表示。
一般来说，曲面可以分为解析曲面和隐式曲面两种类型。
解析曲面是指可以用一个或多个参数方程明确地表示出来的曲面，例如球面、圆锥面、双曲面等。
隐式曲面是指不能用参数方程明确地表示出来的曲面，例如平面、柱面、锥面等。
二、切平面的定义和求解方法切平面是指曲面在某一点处的切线所在的平面，它与曲面在该点处的切线垂直。
求解曲面在某一点处的切平面，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的切向量。
2. 将切向量作为法向量，建立以该点为原点的平面方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的切向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的切向量为：T=(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)×(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)其中×表示向量叉乘。
然后，以该点为原点，以切向量为法向量，建立平面方程即可得到切平面的方程。
三、法线方程的定义和求解方法法线方程是指曲面在某一点处的法向量所在的直线方程。
求解曲面在某一点处的法线方程，可以按照以下步骤进行：1. 求出曲面在该点处的法向量。
2. 将法向量作为方向向量，建立以该点为原点的直线方程。
具体来说，如果曲面可以用参数方程表示，那么曲面在某一点处的法向量可以通过求参数方程在该点处的偏导数得到。
例如，对于参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，曲面在点P(x0,y0,z0)处的法向量为：N=(∂h/∂u,∂h/∂v,-1)×(∂f/∂u,∂f/∂v,∂g/∂u,∂g/∂v)其中×表示向量叉乘。
微分几何的基础知识及其应用
微分几何的基础知识及其应用微分几何是数学中的一个分支，研究的是空间和曲面的性质。
通过微积分和线性代数的工具，微分几何揭示了物理和几何之间的联系，成为了现代数学和理论物理的基石。
一、微分几何的基础知识1. 曲线和曲面的概念在微分几何中，曲线指的是一条连续的线，可以用线性代数中的向量表示。
曲面指的是一个无限的平滑表面，可以用局部坐标系来刻画。
曲线和曲面是微分几何研究的基本对象。
2. 切向量和法向量曲线和曲面上的每一点都有一个切向量和一个法向量。
切向量是指与相邻点连线的方向相同的向量，而法向量是与曲面垂直的向量。
切向量和法向量在微分几何的研究中起着重要的作用。
3. 曲率和高斯曲率曲面的曲率是指曲面局部形状的弯曲程度。
曲率越大，曲面就越弯曲。
高斯曲率是曲面上每一点的曲率的乘积。
高斯曲率可以用来刻画曲面的形状，是微分几何中的一个重要指标。
二、微分几何的应用1. 电磁场的描述微分几何可以用来描述电磁场中的电磁波传播、电场分布、磁场分布等现象。
通过微分几何的理论，可以对电磁场进行分析和计算，为电磁学的研究提供了一个重要的数学工具。
2. 物理学模型的建立微分几何可以用来建立物理学模型，从而推导出物理学的定律和规律。
例如，在相对论中，微分几何可以帮助建立物理学模型，从而得出爱因斯坦场方程，解释了引力的本质。
3. 计算机视觉的研究微分几何可以用来研究计算机视觉中的几何形状。
通过微分几何的理论，可以对计算机图像进行三维形状建模、目标检测和形状识别，为计算机视觉的发展提供了一个新的方法。
总之，微分几何是数学中非常重要的一个分支，对于物理学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过对微分几何的研究，我们可以更加深入地理解空间和曲面的性质，为更广泛的研究提供一个坚实的理论基础。
曲面的概念
§2.1 曲面（Surface）的概念
2.1.1 简单曲面及其参数表示 定义1 平面上不自交的闭曲线称为约当（Jordan）曲 线． 换句话说，简单曲线自身不相交．
若当定理：平面上一条闭合（首尾相接）的 若当曲线，把平面分成2个区域．如果在这 两个区域内分别取一点，再用一条曲线将其 相连，则这条连线必定和原来的闭合若当曲 线相交． 它的证明需要用到拓扑学的知识．
共面．
由此得出曲面点的切平面的方程为：
R r u0 , v0 , ru u0 , v0 , rv u0 , v0 0
写成坐标的形式
X xu0 , v0 Y y u0 , v0 Z z u0 , v0 xu u0 , v0 xv u0 , v0 yu u0 , v0 yv u0 , v0 zu u0 , v0 0 zv u0 , v0
即
z z x, y
命题2 曲面上正常点处的所有切方向都在过该 点的坐标曲线的切向量 ru , rv 所决定的平面 上． 证明：若曲面上点的曲纹坐标由下列方程来确 定：
u ut , v vt
其中 t 是自变量．
把它们代入曲面的参数方程中，则这种点的向 径可以用复合函数来表示：
这样 r t 所决定的曲面的切方向，完全依 赖于 du dv
dt , dt
的比值
du : dv
曲面上一点 P0 u0 , v0 的切平面的方程
设
Rx, y, z
R r u0 , v0 , ru u0 , v0 , rv u0 , v0
表示切平面上的任意点 M 的向径，则
旋转面的参数方程为
x t cos ,
y t sin , z t .
曲面论(二)
ry {0,1, z y ( x0 , y0 )} ,在 P0 点的切平面为
即
z z 0 z x ( x 0 , y 0 )( x x 0 ) z y ( x 0 , y 0 )( y y 0 )
切平面方程用行列式表示为：
x x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y y (u0 , v0 ) z z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) 对于曲面 z = z(x,y) , r {x, y , z ( x, y )}, rx {1, 0, z x ( x0 , y0 )},
u u (u , v ), v v(u , v ) ， 则 得 到 曲 面 关 于 新 坐 标 的 方 程 r r (u (u , v ), v (u , v )) ， 上 式 称 为 曲 纹 坐 标 变 换 。
u ru ru u rv u r r r v u v v
因为曲面是光滑的 , 所以 ru , rv 都连续 , 故在曲面 S 的正常点
4
微分几何教案（十）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 1.3 曲面上的曲线族和曲线网
x 证明 因在正常点的邻域内 ru rv 0 ，所以 u
x v
y u y v
为曲面的正侧。 1.3 曲面上的曲线族和曲线网 1 曲面 S 上一条曲线的方程 如果曲面 S： r r (u, v) 上一条曲线 是由方程 u=u(t),v=v(t)确定 的，则将其带入曲面 S 的方程得曲线 的向径表示
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3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
r0
R – r0 R
r u× r v R - r0 =(ru×rv)t
ru
//ru×rv
则法线的方程为 用坐标表示为
R r (u, v) (ru rv )
X x(u, v) Y y (u, v) Z z (u, v) yu zu zu xu xu yu yv z v zv xv xv yv
z z rx {1,0, } {1,0, p} , ry {0,1, } {0,1, q} x y
则有
X x Y y Z z ( x, y ) p q 1
例题P65， 求切平面和法线.
四、参数变换 如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标 (u , v ) ：
( x, y ) (u , v)
x u x v
y u y v
由隐函数定理， x = x (u ,v) ,
y = y (u ,v)
在 U 中存在
唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) ,
代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
内 容 提 要
2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）
二、曲面的切平面
1、切平面的定义 设曲面曲线为 (c)：
rv
(u0 ,v0 )
C
ru
u = u (t) , v = v (t) ,
或
r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
这条曲线在曲面上(u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的
切方向或方向，
切方向仅与 du : dv 有关(P63)
数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 c k 类曲面。
c 1 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) 该点处这两条坐标曲线的切向量为：
r0
rv
(u0 ,v0 )
S
ru
r ru (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) u
u u (u , v ) , v v(u , v ) r r (u (u , v ), v(u , v ))
则得到曲面关于新曲纹坐标 (u , v ) 的方程 r r (u , v ) 对 u,v 因此 （1） （2）
个方向为曲面的正向。
u v u v rv , rv ru rv 求导：ru ru u u v v (u, v) u v u v N ru rv ru rv ( )N u v v u (u , v ) (u, v) 0 ， 则两个法向量平行。 (u , v ) (u, v) 0 ，所有参数法向量的正向保持不变，称这 (u , v )
dv du du dv rv ) rv 或 r (t ) (ru 它平行于 r (t ) ru dt dv dt dt 其中 ru , rv 分别是在(u ,v )点处的两条坐标曲线的切向量。
0 0
以下切方向三种表示通用：du : dv 、 (d) 和 r (t ) 。
rv
由 r (t ) ru
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z ( x, y)} z z rx {1,0, } {1,0, p} , ry {0,1, } {0,1, q} x y
X x0 Y y0 1 0 0 1 Z z0 p0 q0 0
给定曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 可得如下命题： 命题1
或 r = r (u,v)
曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ).
证： 事实上，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则由上面论述，总存 在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0， 不妨设第一个不为0，即
三法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 由定义，曲面的法方向为 N ru rv
ru rv 单位法向量为 n ru rv
r u× r v rv
r0
ru
2、法线的方程 设法线上任一点R (u,v) rv
法线的方程为 用坐标表示为
R r (u, v) (ru rv )
X x(u, v) Y y (u, v) Z z (u, v) yu zu zu xu xu yu yv z v zv xv xv yv
如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r {x, y, z ( x, y)}