高等数学--高阶导数

ea(x asibn x bco b)s x eax a2b2sib n x () ( arb c)tan
a y a 2 b 2 [ a a s x e b i n ) x b ( a c x e b o ) x s ](
a 2 b 2 e ax a 2 b 2 sb i n 2 x )(
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
莱布尼兹公式
例6 设 yx 2 e2 x,求 y (2).0
解 设ue2x,vx2,则由莱布尼兹公式
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2) 2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
x a xa lxima fx(xa) l x a i[2 m g (x ) (x a )g (x )] 2g(a)
练习题
一、 填空题：
1 、 设 y sin t 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . et
2 、 设 y tan x , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 、 设 y (1 x 2 ) arctan x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ . 4 、 设 y xe x 2 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 、 设 y f ( x 2 ) , f ( x ) 存 在 ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 6 、 设 f ( x ) ( x 10 ) 6 , 则 f ( 2 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7、 设 x n a1 x n1 a 2 x n2 a n1 x a n (a1 ,a2 , ,an 都 是 常 数 )， 则 y (n) =___________.
8 、 设 f ( x ) x ( x 1)( x 2 ) ( x n ) , 则 f (n1)( x)=____________.
(1)n
n! xn1
例7 设y 1 ,求 y(5). x21
解 y 1 1( 11) x21 2x1 x1
y(5) 1[ 5! 5! ] 2(x1)6 (x1)6
1
1
6[0
]
(x1)6 (x1)6
例8 设 y s6 i x n c6 o x ,求 y s ( n ).
解 y(s2x i)n 3(c2x o )3s
五 、下 列 函 数 的 n阶 导 数 ：
1、 yexcox； s
2、 y1x； 1x
3、 yx2x 33x2; 4、 ysix n si2n xsi3n x.
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
8
2
三、小结
高阶导数的定义及物理意义;
高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);
n阶导数的求法;
1.直接法;
2.间接法.
思考题
设 g(x) 连续，且 f(x)(xa)2g(x)， 求 f(a) .
思考题解答
g(x)可导 f ( x ) 2 ( x a ) g ( x ) ( x a ) 2 g ( x ) g(x)不一定存在 故用定义求 f(a) f(a)lim f(x)f(a) f(a)0
例4 设 ysixn ,求 y(n ).
解 ycoxssin(x) 2
ycosx() sinx()sinx(2)
2
22
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
例5 设 y eas x ibn (a x ,b 为)常 求 ,y(n ).数 解 y aae s x ibn x bae c x b ox s
二、求下列函数的二阶导数：
1、y2x3 x4； x
2、y co2s xlnx；
3、yln(x 1x2).
三、试从dx 1，导出： dy y
1、d2x dy2
(yy)3
；
2、d3x dy3
3(y()y2)5yy.
四 、 验 证 函 数 y c 1 e x c 2 e x( , c 1 , c 2 是 常 数 ） 满 足 关 系 式 y 2 y 0 .
n
y(n ) (a 2 b 2)2eas x ib n x n ( )
(arctabn) a
2. 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
(2 )(ski)(n n x ) k nsik n x n ( ) 2
(3 )(cko )(n x ) sk nco k s x n ( ) 2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!(1x)(n)
(2 s x c i 2 x n ) o 4 ( x s s s 2 x i c i2 n n x o c 4 x s ) o
(s 2 x ic n 2 x o ) 2 3 s s2 i x c n 2 x os
13sin2 2x131co4sx
4
42Fra Baidu bibliotek
53
cos4x
88
y(n)34nco 4x sn ().
高
等
数
学
-
-
高
阶
导
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln 1 x ()求 ,y(n ).
解 y 1
1 x
y (11x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n