高等数学--高阶导数

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高阶导数的常用求法

2021.13科学技术创新高阶导数的常用求法韩荣梅（内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014000）1用数学归纳法求高阶导数当高阶导数不能一下求出时，可以先求出前n 阶导数，总结归纳处其n 阶导数的表达式，然后用数学归纳法证明。

例1[1]证明[2]试证证[1]:（1）当n=1时，（2）当n=2时，即当n=1,2时，等式成立（3）设n=k-1,n=k 时成立，即①②则当n=k+1时，有③将①②带入③中整理得，即题得证。

[2]证当n=0时；左端==右端，即等式成立；设当n=m 时成立，即当n=m+1时，所以2用拆分法求高阶导数有些式子不易直接求高阶导数,当拆项以后,变成易于求高阶导数的一些基本形式之和,便立即可直接求导。

在这里要用到的基本形式主要有:并特别注意，因子a n 不要漏掉。

例2求下列函数的n 阶导数y（n ）解：（1）由于所以（2）由于所以摘要：介绍求高阶导数的常用方法，运用数学归纳法求高阶导数，拆分法求高阶导数，泰勒公式求高阶导数，Leibniz 公式求高阶导数，递推公式法求高阶导数等等。

关键词：高阶导数；莱布尼茨公式；泰勒公式；数学归纳法中图分类号：O17文献标识码：A 文章编号：2096-4390(2021)13-0035-02()1111)(1)(nn xn n xe x e x(41)241411cos2(cos sin)(41)!2n n n x x x x n1211())xx ee x、（1311())xxe e x、、（1(1)112)(1)(k k xkk x ex e x()1111(1)(kk xk k x e xe x()(1)()()(1)11))11121112((()()k k k k k k kx x k k xxk k k x x xe x e k x e x e x e x e()1111)(1)(nn xn n x e x e x21(cos 2)1sin 2(cos sin )2x x x x x (41)241411cos 2(cos sin)(41)!2m m m x x x x m(45)41451cos 2(45)!2m m m x x m(41)(41)2(4)454541411cos 2(45)!21cos 2(41)!2(cos sin )m m m m m m x x m x x m x x(41)241411cos 2(cos sin )(41)!2n n n x x x x n()()()()1()()(1)...(1)();;;(1)!;sin();2cos().2))(ln )()(ln )(1)(sin )(cos )n k nn xn nxn n nn n k k k k n n k x x n n x n x x x e e a a a x xx x（（ ()()()()n n nax b f ax b f a 211113)(2)3256y x x x x x x（()(()1111(1)!11()()32(3)(2)n n n nn n n y x x x x）44sin cos y x x2221222221122sin cos sin cos cos x x x x x2cos 2sin 2 sin 4y x x x35--科学技术创新2021.133用泰勒公式法求高阶导数例3（1）设。

高等数学-§2.3 高阶导数

n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x

2
2x x2

2x x
2

2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学第2章导数与微分
x
n
k
k n
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1

(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x

y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2

高等数学第二章导数知识总结

高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。

微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。

三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。

再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。

高阶导数

2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! = (1 + x ) 4
LL (n) n 1 ( n 1)! y = ( 1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ) = sin( x + 3 π ) 2 2 LL π (n) y = sin( x + n ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ) 2
x2 +1
【4】第10讲】讲
高阶导数
一,高阶导数的定义二, 高阶导数求法举例三,由参数方程所确定的函数的二阶导数
一,高阶导数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义
问题:变速直线运动的加速度问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
2x 2( 3 x 2 1) y ′′′ = ( )′ = 2 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 3 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
x=0
2( 3 x 2 1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3
x=0
= 2.
例2
设 y = x (α ∈ R ), 求y

高等数学第二章高阶导数

§2.3 高阶导数
高阶导数的定义几个基本初等函数的n阶导数莱布尼茨(Leibniz)公式小结思考题作业
1
第二章导数与微分
一、高阶导数的定义高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
y

x2

1 3x

2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!
( x
1 2)n1

(x
1

1)
n1

18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作

2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2

高等数学3-3高阶导数

(uv) uv 2uv uv.
20-14
利用高阶导数运算法则，以及常用高阶导数公式，通过
适当的函数变形，求出函数n 阶导数的方法称为间接法。
例 3.3.6 设 y ln
1 x 1 x ，则 y(99) (0)
．
解由于 y 1 [ln(1 x) ln(1 x)]，所以 2
y(99) 1 {[ln(1 x)](99) [ln(1 x)](99)} 2
1 [ 2
98! (1 x)99
(1)98
98! (1 x)99
]
98![ 1 2 (1 x)99
1 (1 x)99
]
，
所以
y(99) (0)
98![ 2
(1
1 0)99
1 (1 0)99
]
98! 。
20-15
例 3.3.7
求
y
x x2 1
的n
阶导数， n
1, 2,
。
解
由于 y
x
x
x2 1 (x 1)(x 1)
如果为正整数，则情形如同例 3.3.2；
如果
1，则 (
x
1 )(n) C
(1)n n! (x C)n1
.
20-10
记住
由于[ln(1 x)] 1 (1 x)1 ，则 1 x
[ln(1
x)](n)
[(1
x) 1 ]( n 1)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
,n
1,2,.
同理可得
2
20-9
同理有
(cosx)(n) n cos(x n ), n 0,1, 2, .
2
例 3.3.5 求 y (x C) 的 n 阶导数（其中 C，为常数）.

高等数学：第十二讲高阶导数

2
2
2
y(n) 3n sin(3x n )
2
归纳法:逐阶求出若干阶导数后,再归纳出 n 阶导数的一般表达式.
谢谢
仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 f (x)的二阶导数，记作
y，f
(x)
或
d2 y d x2
,
则
y
( y)，
f
(x)
f
(
x)，d
d
2y x2
d dx
(dy) dx
高阶导数的定义
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f (x),
y, d3 y . dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,记作
f
(4)
( x),
y
(4)
,
d4 y dx 4
.
一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，记作
f
(n)
( x),
y
(n)
,
dn y dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
例1：
已知y=2x4-3x2+x-1 ，求 y.
解 y=8x3-6x+1 y =(8x3-6x+1)'=24x2-6 y=(24x2-6)'=48x
逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导.
例2：
设y=sin3x，求y(n).
cosx sin(x )
2
解 y 3cos3x 3sin(3x )
y [3sincos(3x
)
32
sin(3x
2)
2
2
2
y [32 sin(3x 2)] 33 cos(3x 2) 33 sin(3x 3)

高等数学导数的四则运算

课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。

本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。

二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则：（1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='，推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）；推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形．例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ，三、例题分析例：求的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例：解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5）（6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出：，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='，简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数

复杂函数求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数

大一高数知识点归纳

大一高数知识点归纳一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义与性质- 函数极限的定义与性质- 无穷小与无穷大的概念- 极限的四则运算法则2. 极限的计算- 极限的代入法- 极限的因式分解法- 洛必达法则- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理）二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义- 可导与连续的关系2. 常见函数的导数- 基本初等函数的导数- 导数的运算法则- 高阶导数3. 微分- 微分的定义- 微分的运算法则- 隐函数的微分法三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 曲线的凹凸性与拐点- 函数的渐近线四、不定积分1. 不定积分的概念- 原函数与不定积分的定义 - 不定积分的基本性质2. 常见函数的积分方法- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分五、定积分1. 定积分的概念- 定积分的定义- 定积分的性质2. 定积分的计算- 微积分基本定理- 定积分的换元法与分部积分法3. 定积分的应用- 平面图形的面积- 曲线的长度- 旋转体的体积六、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义与分类- 收敛级数与发散级数2. 级数的收敛性判别- 正项级数的比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 交错级数的收敛性判别3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间 - 泰勒级数与麦克劳林级数七、空间解析几何1. 向量与直线- 向量的运算与性质- 直线的方程与性质2. 平面与曲线- 平面的方程- 空间曲线的方程3. 多元函数的微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的链式法则八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义与性质 - 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义与性质 - 三重积分的计算方法九、曲线积分与格林公式1. 曲线积分- 曲线积分的定义与性质 - 曲线积分的计算2. 格林公式- 格林公式的表述- 应用格林公式计算曲线积分以上是大一高数的主要知识点归纳，每个部分都包含了关键的概念、定义、性质和计算方法。

高阶导数

x xydx x 2 dy ydx xdy 0 （其中 y 用xy 来代） e y
x y
∴
y( x y) dy dx x( x y )
24
三、微分近似计算应用近似公式,当 x 很小时,有
sin x x
e 1 x
x
tan x x
arc sin x x
（x为弧度）
ln 2 0.998 ln(1 0.002) 0.002
例10根据近似公式，计算下列各式的近似值：
1.05 1
2 4.01
n
1 1 x 1 x n
26
1 解： 1.05 1 0.05 1 (0.05) 1.025 2
解： 2 4.01 4(1 1 ) 2 1 1 ＝ 400 400
12
A ( x0 x) x 2 x0 x (x)
2 2 0
2
（1）
（2)
从上式可以看出,A可分成两部分: (1)—— x 的线性函数 , 是x 0 时，与x 同阶的无穷小；（2）——是 x 0 时，与x高阶的无穷小；这表明，当x很小时，(2)的绝对值要比 (1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 A 的近似值： A 2 x0 x
导数——一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限. 微分——函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.
那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？
15
函数 f (x)在(a, b) 内任意一点 x 处的微分记为 d y，即
d y f (x) d x
物体运动的加速度为
a=s=-A co s t+

高等数学第二章极限和导数2-12高阶导数

(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导则称记作或的导数为 f (x)的二阶导函)数 , 二阶导(函数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数及都有 n 阶导数 , 则 (C为常数为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时从求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数其中为常数) n+1 (其中为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法常用高阶导数公式：常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (

高等数学(第四版) 上、下册(同济大学天津大学等编) 电子教案-2_5 高阶导数-电子课件

(x 1)(n 1, 2,...).
注 0! 1,因此，这个结果n 1 时也成立.
例5
求函数 f (x)
1 x2 6x 5
(x 1,5)的 n 阶导数.
解
f
(x)
x2
1 6x 5
1 (x 1)(x 5)
1 4
1 x 5
1 x 1
f
( x)
1 4
(x
1 5)2
1 (x 1)2
例如，自由落体的位置函数 s(t) 1 gt2 ，一阶导数 2
v(t) s(t) gt 是瞬时速度， Biblioteka (t) (gt) g 是加速度 .
例 1 设 f (x) x5 4x2 3x, 求 f (x)及 f (1).
解因为 f (x) 5x4 8x 3, 则 f (x) (5x4 8x 3) 20x3 8
所以 f (1) (20x3 8) |x1 12.
例 2 证明： y exsinx满足关系式 y 2 y 2 y 0.
证明因为 y exsinx excosx ex (sinx cosx),
y ex sin x cos x ex cos x sin x 2ex sin x
一般地， f (x)的 n-1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数.
三阶导数的记号是
y,
f
( x),
d3 y dx3
或d3 f dx3
.
n
4时的
n
阶导数
的记号是
y(n) ,
f
(n) (x),
dn y dxn
或dn f dxn
.二阶或二阶以上的导数统
称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义.变速直线运动的位置函数s s(t)时，s(t)为瞬时速度v(t)，加速度是速度v(t)的变化率，等于v(t) ，即位置函数 s(t)的二阶导数 s(t)为变速直线运动的加速度 a(t ).

高等数学常用导数公式大全

高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。

导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。

本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。

常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。

2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。

3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。

4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。

5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。

6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。

复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。

高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。

隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。

常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。

高等数学-高阶导数

高階導數
一、高階導數的定義
問題:變速直線運動的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定義如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
3.間接法:利用已知的高階導數公式, 通過四則
運算, 變數代換等方法, 求出n階導數. 常用高階導數公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0)
(e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin(kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
例9 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二階和二階以上的導數統稱為高階導數.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、高階導數求法舉例
1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
n
C u v k (nk ) ( k ) n

高等数学---高阶导数

内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
1
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x
解:
1 x
y(n)
2 (1)n
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2)ຫໍສະໝຸດ sin(x22
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数), 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cos bx)
eax a2 b2 sin(bx ) ( arctan b)
a y a2 b2
a2 b2 eax a2 b2 sin(bx 2)
a
2
b2 (

高等数学-参数方程求导与高阶导数

6
本节内容
01 参数方程求导
02 高阶导数
7
02 高阶导数
1.二阶导数、三阶导数
定义2.4 一般地，如果函数 = ()的导数 ′ ()在
点处可导，那么称 ′ ()在点的导数为函数()在点
处的二阶导数，记作
″ (),
″
或
2
.
2
类似地，二阶导数 ″ () 的导数称为 = () 的三阶导数，
′ () ≠ 0， = ()具有单调连续的反函数 = −1 ()，
则参数方程确定的函数可以看成由 = ()与 = −1 ()
复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有

′ ()

.
=
⋅
= = ′
()

‴ = (−1)(−2)(−3)(1 + )−4 ，
(4) = (−1)(−2)(−3)(−4)(1 + )−5 ，
⋯，

()

= (−1) ∙ ! ∙ (1 + )
−(+1)
=
(−1) !
.
(1+)+1
11
4
01 参数方程求导
=

例1 已知椭圆的参数方程为 = ，求其在 = 6
处的切线方程．
解
当 =

时，椭圆上相应点的坐标是
6
即
3
,
2
2
．
由于

=
( )′
( )′
=

−
=

,
6

大学高等数学公式大全

大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。

在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。

本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。

一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。

高等数学--高阶导数

高阶导数的常用求法

高等数学-§2.3 高阶导数

高等数学第二章导数知识总结

高阶导数

高等数学第二章高阶导数

高等数学3-3高阶导数

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