初三数学方程和方程组的解法

初三数学方程和方程组的解法

一. 本周教学内容：

方程和方程组的解法

方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。同学们要灵活掌握方程解法的多样性。

【典型例题】

例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。

分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。

例2. ()

()求关于的一元一次方程的解。x k x k x k 211180-+--=-

分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：

（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；

（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。

答：x ＝2或x ＝－4

例3. 填空： 当，时，方程有唯一解。当，时，方程无解。当，时，方程有无穷多解。a

b ax x b a b

ax x b a

b ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1

()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11

此方程分三种情况解：

（）当，即时，原方程有唯一解。

（）当，，即，时，原方程无解。（）当，，即，时，原方程有无穷多解。110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()

通过此题，总结出一般规律：

方程ax ＝b 的解

（）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。

10200300a x b a

a b a b ≠=

=≠==

例4. ()已知，求的值。x y x y x y --+++=+233202

分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。

所以解方程组求出、，再计算的值。x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320

解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨

⎩230

13202 由得：，<>-<>+=∴=-215501y y

()将代入得：y x =-<>---=112130

得：x ＝1

∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110

例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502 根。

分析一：本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转化。由条件“x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根”可知x 2－kx －k －5＝0是以x 为未知数，k 为参数的方程，但把x ＝2代入方程后，x 由未知数转化为已知数，方程则转化为以k 为未知数的方程了，实际上将通过解关于k 的方程来求k 的值。

解法一：由于x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根，所以把x ＝2代入方程，得： 2250132---=∴=-k k k ，

∴--⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭

⎪-=原方程为x x 2131350 即31402x x +-=

()()左边因式分解：3720x x +-=

∴=-=x x 1273

2， ∴=-

方程另一根为x 73 说明：求出方程3x 2＋x －14＝0后，也可利用“根系关系”来求另一根。

方法二：本题求k 和“另一根”两个未知数，可通过列二元方程组求解。

解：设另一个根为β

∴---==--+=⎧⎨⎩22502522k k k k ββ（或）（这是根据根系关系）

解得：k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1

373

β 说明：本题如果把“求k 的值”一问去掉，直接求“另一个根”，那么“求k 的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。

例6. 从下列四个选项中选出合适的一项，将题目补充完整后再解答。

如果a 是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，并且a ≠0，求________的值。 A ab B b

a C a

b D a b ....+-

解析：解答这类“完善试题”的问题应着眼于题设条件，看从中能推出何种结果。 由是方程的根，得：a a ab a 20++=

a a

b a b ≠∴++=+=-0101，，即

应选C 。

例7. ()()解方程：2353x x x -=-

分析：本题应该用因式分解方法来解。注意在方程变形过程不能用含未知数的代数式去除方程两边，这道题不能用（x －3）除方程两边，否则可能导致丢根。

解：()() 2353x x x -=-

()()∴---=23530x x x

()()即2530x x --=

∴=

=x x 12523，

例8. 解方程：1

23812022x x --+=

分析：若按一般解分式方程的方法解，去分母后，将出现关于x 的4次方程，计算较难。观察－8x 2＋12，有因式2x 2－3，所以可使用换元法解方程。本题不能很明显地看出使用换元法。需先进行变形，这是对学生主动使用数学方法能力的考查，也是对能力水平的较高要求。

解：()方程变形为：

123423022x x ---= 设，原方程化为：y x y

y =--=231402

∴-=4102y

y =±12

经检验：都是的根。y y

y =±-=12140 由可得：，y x x =-=∴=±12231272

2 由可得：，y x x =--=-∴=±12231252

2 ∴=±

=±原方程的根为或x x 7252

例9. 用配方法解方程：37402x x -+=

分析：配方法作为一种重要的数学方法，同学们要掌握。

解：移项，得：3742x x -=-

方程各项都除以，得：373432x x -

=- 配方，得：x x 22

273764376-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭

⎪ x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=76136

2

x -

=±7616

∴==x x 12431， 例10. 若关于的方程有增根，求的值。x x x a x a 2413

0-+--= 分析：分式方程有增根，则分母为0；又因为分式值为0，所以分子必为0。注意，，不能把x ＝3代入原分式方程求a 的值。

解：由题意得：x x a x 241030-+-=-=⎧⎨⎩