空间点线面位置关系(一)PPT精选文档
合集下载
《空间点、直线、平面之间的位置关系》ppt高中人教版1
思考4:我们不可能把一条直线或一个平 面全部画在纸上，在作图时通常用一条 线段表示直线，你认为用一个什么图形 表示平面比较合适？
*
思考5:我们常常用平行四边形表示平 面，当平面水平放置时，平行四边形 的锐角通常画成45º，且横边长等于其 邻边长的2倍.下列平行四边形表示的 平面的大致位置如何？
*
思考6:当两个平面相交时，你认为下列 哪个图形的立体感强？你能指出其画法 要点吗？
B
AA
．
α
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2. 1.1平 面PPT名师课件
*
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时， A l,B l,且 A ,B l 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平 面PPT名师课件
直线l上其余各点与平面α的位置关系
如何？由此可得什么结论？
2．1 空间点、直线、平面之间 的位置关系
2.1.1 平 面
*
问题提出
t
p
1 2
5730
1.点、直线、平面是构成空间图形的
三个基本元素，在长方体中，顶点，
棱所在的直线，以及侧面、底面之间存
在哪些位置关系？
D′
A′
C′ B′
D
C
A
B
2.空间中，点、直线、平面之间有哪些
基本位置关系？我们将从理论进行分析
*
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2. 1.1平 面PPT名师课件
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
*
思考5:我们常常用平行四边形表示平 面，当平面水平放置时，平行四边形 的锐角通常画成45º，且横边长等于其 邻边长的2倍.下列平行四边形表示的 平面的大致位置如何？
*
思考6:当两个平面相交时，你认为下列 哪个图形的立体感强？你能指出其画法 要点吗？
B
AA
．
α
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2. 1.1平 面PPT名师课件
*
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时， A l,B l,且 A ,B l 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平 面PPT名师课件
直线l上其余各点与平面α的位置关系
如何？由此可得什么结论？
2．1 空间点、直线、平面之间 的位置关系
2.1.1 平 面
*
问题提出
t
p
1 2
5730
1.点、直线、平面是构成空间图形的
三个基本元素，在长方体中，顶点，
棱所在的直线，以及侧面、底面之间存
在哪些位置关系？
D′
A′
C′ B′
D
C
A
B
2.空间中，点、直线、平面之间有哪些
基本位置关系？我们将从理论进行分析
*
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2. 1.1平 面PPT名师课件
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT新教材1
公 理
文字语言
过不在一 公 条直线上 理 的三点， 2 有且只有
一个平面
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
图形语言 符号语言
A，B，C三 点不共线 ⇒有且只 有一个平 面α，使 得_A_∈__α__，_ _B_∈__α__，__ _C_∈__α__
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
主题2 平面的性质 1.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边 缘上的其余点和桌面有何关系？ 提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
主题1 点、线、面及位置关系的表示 1.生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、 海平面都给我们以平面的形象，请问:生活中的平面有 大小之分吗？ 几何中的“平面”呢？如何表示平面？
提示:生活中的平面有大小之分.而几何中的“平面” 是从生活中的物体抽象出来的，是平的，无限延展的， 且无大小之分;平面可用α，β，γ等表示，也可用 表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点 的字母表示.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
3.观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，平面AB1D1与 平面BCC1B1只有公共点B1吗？
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：2. 1空间点 、直线 、平面 之间的 位置关 系
人教A版《空间点、直线、平面之间的位置关系》ppt1
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
分别在两个平面内ห้องสมุดไป่ตู้两条直线是否一定异面？
合作探究一
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。
共面直线
相交直线
平行直线
异面直线
在同一个平面内,有且只有一个公共点:
无公共点
空间中直线与直线之间的位置关系
在同一个平面内,没有公共点:
不同在任何一个平面内,没有公共点:
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图：
(1)
(3)
(2)
巩固练习
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
图形
文字语言(读法)
符号语言
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
（1）空间中点与线、点与面的位置关系
归纳总结
图形
文字语言(读法)
符号语言
a∥b
（2）空间中线与线的位置关系
两直线不共面且无公共点两直线异面
两直线共面且有一个公共点两直线相交
两直线共面且无公共点两直线平行
(1)若直线l上有无数个点不在平面a内，则l // a
×
×
(4)若l // a ，则直线l 与平面a内任意一条直线都没有公共点
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
√
×
例2、若直线a不平行平面 ，且
则下列结论成立的是（ ）
空间点线面位置关系整理(ppt)
详细描述
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
在二维平面中，一个点可以确定一条 直线，但直线本身不能确定一个具体 的点。同样，在三维空间中，一个点 也可以确定一个平面，但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的，一个点可以位于一个平面上，但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中，一个点可以位于一个平面上，但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中，一个点也可以位于一个曲面上，但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化，例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外，这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义，如果一个点在直线上 ，则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程，可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似，点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化，例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
空间点线面位置关系一.完整版PPT资料
推论3 经过两条来自行直线，有且只有一个平面.a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
a 或称平面α通过直线a.记为： 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
求证：P、Q、R共线.
公理1
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.
用(找平两②行个四面直边的形交线顶线点只a字要与母找或出平者两其个面相面对的α两两有字个母公且表共示点只.即可有) 一个公共点，称直线a与平面α相交.
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
C
观察下列问题，你能得到什么结论？ 注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合.
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a ③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；
(2)点与平面的位置关系：
直线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母 (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
a 或称平面α通过直线a.记为： 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
求证：P、Q、R共线.
公理1
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.
用(找平两②行个四面直边的形交线顶线点只a字要与母找或出平者两其个面相面对的α两两有字个母公且表共示点只.即可有) 一个公共点，称直线a与平面α相交.
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
C
观察下列问题，你能得到什么结论？ 注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合.
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a ③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；
(2)点与平面的位置关系：
直线(点的集合):小写英文字母 或者两个大写英文字母 (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
空间点线面位置关系整理演示文稿
第20页，共34页。
高考真题 1．(2011·高考全国卷)已知直二面角 α-l-β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l，D 为垂足．若 AB＝2，AC＝BD＝1， 则 CD＝( )． A．2 B. 3 C. 2 D．1
第21页，共34页。
解析 如图，连接 BC，在直二面角 α-l-β 中， AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC. ∴△ABC 为直角三角形， ∴BC＝ 22－12＝ 3. 在 Rt△BCD 中，BC＝ 3，BD＝1， ∴CD＝ 32－1＝ 2. 答案 C
第5页，①线面垂直的定义； ②判定定理 1： ml⊥，mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
第6页，共34页。
空间点线面位置关系整理演示 文稿
第1页，共34页。
（优选）空间点线面位置关系 整理
第2页，共34页。
要点归纳 1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两 直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
第11页，共34页。
2．平行关系的转化
第12页，共34页。
专题三 垂直问题 1．空间垂直关系的判定方法 (1)线线垂直的判定方法： ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②利用线面垂直的性质(a⊥α，b⊂α⇒a⊥b)； ③利用面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交所成的 二面角的平面角为 90°
高考真题 1．(2011·高考全国卷)已知直二面角 α-l-β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点 B∈β，BD⊥l，D 为垂足．若 AB＝2，AC＝BD＝1， 则 CD＝( )． A．2 B. 3 C. 2 D．1
第21页，共34页。
解析 如图，连接 BC，在直二面角 α-l-β 中， AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC. ∴△ABC 为直角三角形， ∴BC＝ 22－12＝ 3. 在 Rt△BCD 中，BC＝ 3，BD＝1， ∴CD＝ 32－1＝ 2. 答案 C
第5页，①线面垂直的定义； ②判定定理 1： ml⊥，mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
第6页，共34页。
空间点线面位置关系整理演示 文稿
第1页，共34页。
（优选）空间点线面位置关系 整理
第2页，共34页。
要点归纳 1．线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．两 直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法 ①线线平行的定义； ②公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b； ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
第11页，共34页。
2．平行关系的转化
第12页，共34页。
专题三 垂直问题 1．空间垂直关系的判定方法 (1)线线垂直的判定方法： ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②利用线面垂直的性质(a⊥α，b⊂α⇒a⊥b)； ③利用面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交所成的 二面角的平面角为 90°
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言：P I I l 且 P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个
公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.
5
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D……
直线(点的集合):小写英文字母 a,b或,c者L两个大写英文字母
平面(点的集合):用希腊字母表示 ,；,L
用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号
元素与集合关系： ,
集合与集合关系：,;I
6
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上，记作 A a
点B不在直线a上，记作 B a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上，记作 A
点B不在平面α上，记作 B
a ABBα NhomakorabeaA
7
2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
11
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
12
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.
14
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直
线a，称平面α与平面β相交.记作： I a 公理3
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记
作： //或 I
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
3
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
4
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D
C
A
B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 .
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线
是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
17
4.点线共面问题
例 1 已 知 A , B , C l , D l , 求 证 : 直 线 A D , B D , C D 共 面 .
D
证 明 :Q D l . l 与 D 确 定 平 面 . A l B C
2.1 空间点、线、平面之间的位置关系
1
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
15
练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
公理2
β
a
α
α
β
β
α
9
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a I
bIA 或 a //
β
a
α
α
β
β
α
I a
//或 I平面α与平面β重合
1练0 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
2
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß
画平面水平放置时，
水平放置
常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮
挡的部分用虚线画出来.
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.
记为： aIA
③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
记为：a//或 aI
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a
a
a
a
A
α
α
α
8
2.点、直线、平面的位置关系
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
13
3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
又QA,B,Cl,l A,B,C.
又 Q D B D ,C D ,A D ,即 A D ,B D ,C D 共 面 .
18
5.证明三点共线、三线共点的问题
例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、
R.求证：P、Q、R共线.
A
要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言：P I I l 且 P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个
公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.
5
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D……
直线(点的集合):小写英文字母 a,b或,c者L两个大写英文字母
平面(点的集合):用希腊字母表示 ,；,L
用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号
元素与集合关系： ,
集合与集合关系：,;I
6
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上，记作 A a
点B不在直线a上，记作 B a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上，记作 A
点B不在平面α上，记作 B
a ABBα NhomakorabeaA
7
2.点、直线、平面的位置关系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
11
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
12
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.
14
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直
线a，称平面α与平面β相交.记作： I a 公理3
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记
作： //或 I
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
3
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
4
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D
C
A
B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 .
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线
是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
17
4.点线共面问题
例 1 已 知 A , B , C l , D l , 求 证 : 直 线 A D , B D , C D 共 面 .
D
证 明 :Q D l . l 与 D 确 定 平 面 . A l B C
2.1 空间点、线、平面之间的位置关系
1
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
15
练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
公理2
β
a
α
α
β
β
α
9
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a I
bIA 或 a //
β
a
α
α
β
β
α
I a
//或 I平面α与平面β重合
1练0 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
2
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß
画平面水平放置时，
水平放置
常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮
挡的部分用虚线画出来.
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.
记为： aIA
③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
记为：a//或 aI
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a
a
a
a
A
α
α
α
8
2.点、直线、平面的位置关系
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
13
3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
又QA,B,Cl,l A,B,C.
又 Q D B D ,C D ,A D ,即 A D ,B D ,C D 共 面 .
18
5.证明三点共线、三线共点的问题
例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、
R.求证：P、Q、R共线.
A
要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.