高等数学第十节 二元函数及其极限与连续
二元函数的极限与连续精品文档5页
§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当(即)时,都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P以什么方向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A接近到预先任意指定的程度。
注意:点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图8-7)。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求(a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知.例7研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时,我们研究函数,沿x→0,y=kx→0这一方式趋于(0,0)的极限,有,。
很显然,对于不同的k 值,可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意:的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限;同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等(证明略)。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。
高等数学第10章:多元函数的概念、极限与连续
z
x x0 y y0
,z
( x0 , y 0 )或
f ( x0 , y0 )
例3 设 z ln e x sin( y x)求 f (0, ), f ( y, x) 2
2
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
解
1 1 2 f (0, ) ln e 0 sin( 0) 1 2 2 2 2
不存在,所以函数f ( x, y )
在点 (0,0)处不连续,即原点 (0,0)是函数的间 断点.
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
3.有界闭区域上连续函数的性质
性质1(最值定理) 在有界闭区域上连续的二元
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
函数,在该区域上一定有最大值和最小值.
性质2(介值定理) 在有界闭区域上连续的二元 函数,必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值.
3
x y lim 6 2 x 0 x y y 0
x kx k lim 6 2 6 , 2 x 0 x k x 1 k 3 y kx
3 3
3
故极限不存在. 其值随k的不同而变化,
却未 在与 枝群 头芳 独同 欢温 笑暖
确定极限不存在的方法:
(1)令点 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ,若
如果函数 z
f ( x, y) 在区域 D 内每一点都连续,则
称函数 f ( x, y )在区域 D 内连续. 如果函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )不连续,则称点
f ( x, y )的间断点. P 0 ( x0 , y0 ) 是函数
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号,那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说,如果存在一个正数r和实 数a,使得对于所有满足|x - a| < r的x,有f(x, y) > 0,那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数,通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念,它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ,其中f是函数符号,x和y是自变量,z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在,且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数,其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在,并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说, 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值,而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为,即当自变量靠近这一点时,函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值,即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数的概念二元函数的极限和连续性
性质 1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数, 在 D 上一定有最小值和最大值。
性质 2(介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数,如果在 D 上取得两个不同的函数值,则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何 值至少一次。
证明 要证f (x, y)在点(x0, y0 )连续,就是要证
lim f
x0
( x0
x,
y0
y)
f
( x0 ,
y0 )
0
y0
已知z f (x, y)在点(x0, y0 )可微,因而当
(x)2 (y)2 0
时有 z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
从而有
lim z 0
定理 7.5 如果函数 u (x, y)及v (x, y)都在点(x, y)可微,
函数z f (u, v)在对应于(x, y)的点(u, v)处函数z f (u, v)可微,
fxx 2z, fxz 2x, f yz 2z fzz 2 y, fzzx 0 所以 fxx(0,0,1) 2, f (1,0,2) 2
f yz (0,1,0) 0, fzzx (2,0,1) 0
§7.3 全微分及其在近似计算中的应用 教学目的:理解全 微 分 的 概 念 , 了 解 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条
z
y
解
x 2xy x2
z
x
x1 2 1 1
y 1
z x2 1
y
x
因此
z y
x1 11 2
y 1
dz x1 dx 2dy
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§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当(即)时,都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向。
只要P与充分接近, 就能使与A 接近到预先任意指定的程度。
注意:点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图8-7)。
图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。
这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。
例4 求。
解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求(a≠0)。
解。
例6求。
解由于且,所以根据夹逼定理知. 例7 研究函数在点处极限是否存在。
解当x2+y2≠0时,我们研究函数,沿x→0,y=kx→0这一方式趋于(0,0)的极限,有,。
很显然,对于不同的k值,可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。
注意:的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。
它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限;同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等(证明略)。
推论若存在但不相等,则二重极限不存在。
定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。
二元函数的极限与连续
应用举例
极限与连续在工程中的应用
探索极限和连续在工程领域中的实际应用,如电路 学中的重要性,如边际效益 和最优化问题。
总结与要点
掌握二元函数极限的定义和计算方法
深入理解极限的性质和连续性的概念
应用极限和连续性解决实际问题
了解极限和连续在不同领域的应用
二元函数的极限与连续
本节将介绍二元函数的极限和连续的概念,以及如何计算和判断二元函数的 极限和连续性。还将探讨极限和连续在工程和经济学中的应用。
函数的极限概念
1 一元函数的极限
了解一元函数的极限概念是理解二元函数极限的基础。
2 二元函数的极限
探索如何定义和计算二元函数的极限,包括极限的性质。
函数的连续性
1 一元函数的连续性概念
学习一元函数连续性的定义和特征,为后续 探讨二元函数连续性做准备。
2 二元函数的连续性概念
了解二元函数连续性的定义和特点,以及与 一元函数连续性的比较。
判断二元函数的连续性
1 连续的充分条件
学习如何判断二元函数连续的充分条件,以 便在实际问题中应用。
2 不连续的充分条件
了解导致二元函数不连续的充分条件,帮助 识别和解决连续性问题。
二元函数极限存在和连续的关系
二元函数极限存在与连续的重要关系
二元函数极限是数学分析中的基本概念之一。
在计算二元函数极限时,往往需要先判断函数值在极限点处是否存在。
如果函数值在极限点处存在,并且极限值等于函数值,那么函数在此点处连续。
进一步地,若一个二元函数在某个点处连续,那么在这个点的一个领域内,其函数值和极限值的距离可以尽量小地变小,也就是说,这个领域内函数值和极限值十分接近。
这个概念叫做“函数的ε-δ连续性”。
换言之,二元函数极限的存在与连续是密不可分的,有了二元函数极限存在,才能推导出连续的性质。
在实际中,我们可以通过计算二元函数化简,利用极限的四则运算法则计算极限,进而判断函数值在极限点处是否存在,然后验算连续性。
总之,对于任何一道二元函数极限的计算题,正确判断函数值是否存在于极限点,判断函数是否连续,都是非常关键的。
只有确保二元函数极限存在,函数连续才能够更好地发挥其重要作用。
二元函数的极限及其连续性
y2 )sin
x2
1
y2
0
y0
证
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
x2
y2
sin
x
2
1
y2
x2
y2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时,
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立.
例3
总存在正数使得对于适合不等式时的极限记为1二元函数的极限其实一说到传统很多人想到落后其实我告诉你我们餐饮现在已经不落后了因为我们现在有了很时髦的武器
§9.2 二元函数的极限及其连续性
1、二元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点,如果对于任意给定的正
lim
x0
x
2
xy
y2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化, 极限不存在.
故函数在(0,0)处不连续.
多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
二元函数极限的连续性与间断性分析
二元函数极限的连续性与间断性分析在数学中,函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时,函数值的趋近情况。
而对于二元函数,也可以进行极限的研究。
本文将重点讨论二元函数的极限的连续性与间断性。
一、极限的连续性1.1 连续性的定义在介绍极限的连续性之前,我们先回顾一下函数连续的概念。
对于函数f(x),若其在某一点x₀的附近,当自变量x趋近于x₀时,函数值f(x)也趋近于f(x₀),则称函数f(x)在点x₀处连续。
1.2 二元函数的连续性定义对于二元函数f(x, y),若其在某一点P(x₀, y₀)的某邻域内,当自变量(x, y)趋近于P时,函数值f(x, y)也趋近于f(x₀, y₀),则称函数f(x, y)在点P处连续。
1.3 连续函数的性质连续函数具有以下性质:- 连续函数在定义域的任意一点都连续。
- 两个连续函数的和、差、积以及商(除去分母为零的点)仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数也是连续函数。
二、极限的间断性2.1 第一类间断点对于二元函数,第一类间断点是指函数在该点处的极限存在,但函数值与极限值不相等的点。
可以继续分为左极限和右极限不等的间断点和左、右极限均等的间断点。
2.2 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点处的极限不存在的点。
也可以分为左极限和右极限均不存在的间断点和只有左或右极限不存在的间断点。
2.3 间断点的分类对于二元函数,间断点可以进一步分类为:- 可去间断点:函数在该点的极限存在,但函数值与极限值不相等。
这种间断点可以通过修改函数在该点的定义,让函数在这个点处连续。
- 跳跃间断点:函数在该点的左右极限存在,但左右极限值不相等。
- 无穷间断点:函数在该点的极限不存在。
三、举例分析假设有一个二元函数f(x, y)=xy/(x^2+y^2),我们来分析它的连续性与间断性。
3.1 连续性分析任意取P(x₀, y₀),对于该点处的函数值f(x₀, y₀),我们需要证明当(x, y)趋近于P时,函数f(x, y)的极限也趋近于f(x₀, y₀)。
二元函数求极限的连续性理论应用
二元函数求极限的连续性理论应用在数学中,二元函数是指以两个自变量为输入、将其映射到一个数域的实函数。
在分析数学中,研究二元函数的性质与极限是一个重要的课题。
本文将探讨二元函数求极限的连续性理论应用。
一、二元函数的极限定义在讨论二元函数的极限时,我们首先需要明确其极限的定义。
设有二元函数 f(x,y),当 (x,y) 趋近于某一点 (x₀, y₀) 时,如果对于任意给定的正实数ε,总存在另一正实数δ,使得当满足条件0 < √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ 时,都有 |f(x, y) - L| < ε 成立,则称数 L 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 处的极限。
二、二元函数求极限的基本思路在计算二元函数的极限时,通常可以通过代入法、夹逼准则和极限运算法则来进行分析。
接下来,我们将分别讨论这三种方法的具体应用。
1. 代入法代入法是二元函数求极限中最基本的方法。
当二元函数在某一点(x₀, y₀) 处连续时,可以通过代入点的方法直接求出该点处的极限值。
例如,对于函数 f(x, y) = x² + y²,在点 (1, 2) 处的极限可以直接代入得到 f(1, 2) = 1² + 2² = 5。
2. 夹逼准则夹逼准则在二元函数求极限中经常用到。
当我们难以直接代入点进行计算时,可以通过构造夹逼函数来确定极限的存在性。
夹逼准则主要基于以下原理:若存在两个二元函数 g(x, y) 和 h(x, y),使得对于所有点 (x, y) 来说,g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y) 成立,且 g(x, y) 和 h(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限都存在且相等,则函数 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限也存在且等于 g(x₀, y₀) = h(x₀, y₀)。
3. 极限运算法则极限运算法则是二元函数求极限中的重要工具。
6.2二元函数的极限与连续
lim
f ( x, y) = A?
思考题解答
不能. 不能
x3 y2 例 f ( x , y ) = 2 4 2 , ( x , y ) → ( 0, 0 ) (x + y )
取 y = kx , 但是
x3 ⋅ k 2 x2 → f ( x , kx ) = 2 4 4 2 x→ 0 0 ( x +k x )
2 2 例如,{( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4} 例如,
有界闭区域; 有界闭区域; 有界开区域; 有界开区域; y
o y x
{( x , y ) | 1 < x + y < 4}. y
2 2
o
x
{( x , y ) | x + y > 0}
无界开区域. 无界开区域.
o
x
二、二元函数的定义
类似地可定义三元及三元以上函数. 类似地可定义三元及三元以上函数.
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时, n 元函数统称为多元函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 因变量等概念
arcsin( 3 − x − y ) 的定义域. 例1 求 f ( x , y ) = 的定义域. 2 x− y
) 找两种不同趋近方式, 存在, (2) 找两种不同趋近方式,使 lim f ( x , y )存在,
x → x0 y → y0
但两者不相等, 但两者不相等,此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在. 处极限不存在.
例 讨论函数
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解 f(1,1) 11 1 . 11 2
2(1) f(2,1)
2.
2(1)
f (2, y2) 2y2 . 2 y2
例2 求函 zR 数 2x2y2的定R 义 为域 大 0
的常数).
y
解 定义域为
R
R2x2y20,
R o
Rx
即
x2y2R2.
(x0,y0)
o
x
定义三 如果 (1)zf(x,y)在(点 x0,y0)的一个邻域内 (2) limf (x,y)存在;
xx0 yy0
(3)lim f(x,y)f(x0,y 0),
x x0 y y0
则z 称 f(x ,y 函 ) 在 (x 0 ,数 y 点 0 ) 处 . 连续
令 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) z 称z 为 f ( x ,y ) 在 函 ( x 0 ,y 0 点 ) 处 数 全增量.的
(1)在 D 上至少(1 存 ,1), 在恒 一有 点
f(x ,y )f(1 ,1);
(2)在 D 上至少 (2 存 ,2), 在恒 一有 点
f(x ,y ) f(2 ,2 ).
f(1 ,1 )f,(2 ,2 )分别 z 称 f(x ,y )在 为
区域D上的最大值和最小值.
第二章 函数 极限 连续
§10 二元函数及其极限与连续
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、拓展与思考 四、小结
一、二元函数
设有两个非空实数集合D,B,如果对于D 中
回忆
的每一个数x ,按照确定的规则f 对应着B中唯
一的一个数y ,则称f 是定义在D上的函数,即一元函数.
定义一 设 D 是平面上的一个点集,如果对于每一
lim f(x ,y ) A或 lim f(P ) A .
x x 0 y y 0
P P 0
所谓 P 0(x0点 ,y0)的 邻域 : 是y指
以 P 0(x 0,y0)为圆 为 心 半 , 径
的圆的开区. 域 即
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 2 .
邻域内P 有 0(x0定 ,y0)处 义可 (以没 ,A为 有
常 . 如 数果 P (x ,y 当 )无点 限P 地 0(x 0,y 接 0) 时,恒有
f(x,y)A.
其是 中任意 . 则 小称 的 P (x 当 ,正 y)趋 点 数 向
P 0 ( x 0 ,y 0 ) 时 z , f ( x ,y ) 以 A 为 函 .记 极 数
二元函数 的图形通 常是一张 曲面.
点 P 0(x0,y0)处z的 值记为 z 0 f ( x 0 , y 0 )或 f ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) .
类似地可以定义三元函数、四元函数等等,多于一
个自变量的函数称为多元函数.
例1 设f 函 (x )x 数 .y 试 f(1 求 ,1 )f ,(2 , 1 ), x y
所谓有界域 D 是指:总存在一个圆,使 D 在圆内.
三、拓展与思考
例4 若 f(x,y) x4y42x, y 求证 f(tx ,ty )t2f(x,y).
证明 因f( 为 x,y)x4y4 2x, y
因此
t2f(x ,y) t2 x 4 y4 2 x y (tx )4(ty )42t2xy
相当于 即
lim f(x,y)f(x0,y0),
x x0 y y0
li[m f(x 0 x ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 )] 0,
x 0 y 0
lim z 0.
x0 y0
定义四 若z 函 f(x ,数 y )在 (x 0 点 ,y 0)的一
域内有定义,如果
lim z 0,
x0
y0
则z 称 f(x ,y 函 ) 在 (x 0 ,数 y 点 0 ) 处 . 连续
如果函数 f ( x , y )在区域 D 上每一点都连续,则函数 f ( x , y )在区域 D 上连续.
定理(最大值和最小值定理) 如果函数 f (x, y) 在有 界闭区域 D 上连续,则
R
例3 求函 zl数 n xlny的定. 义y域
解 定义域为
x0, y0.
o
x
即第一象限内的平面区域, 但不包括 x 轴与 y 轴上的点.
y
R
R o
R x 包括边界的平面区域称为闭区域.
R
y
不包括边界的平面区域称为开区域.
o
x
二、二元函数的极限与连续
定义二 设 z f ( x , y 函 ) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的 数 ( 0 )
组数 (x, y) (或称点 P (x, y) ),变量 z 按一定规则 f ,
都对应着唯一一个确定的值,则称变量 z 是变量 x, y
的二元函数,或称为点P (x, y) 的函数,记作
z f ( x ,y ) 或 z f ( P ).
x, y称为自变量,z称为因变量,D称为函数的定义域.
空间 {x ( ,y ,z ) 点 z f(x ,集 y )(x ,,y ) D } 称为 函z数 f(x,y)的图 . 形
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
四、小结 1、本节基本要求
理解二元函数的概念,了解二元函数的极限与 连续性 .
2、本节重点、难点 重点:二元函数的概念. 难点:二元函数的定义域.
又
f(t,x t) y (t) x 4 (t) y 4 2 (t) x t( ) y
(tx )4(ty )42t2x.y 从而 f(tx ,ty )t2f(y).
思考题
求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域, xy2
并画出该区域.
解
3 x2 y2 1
3、本节知识结构
极 限 与 连 续
二 元 函 数 及 其
二元函数
二元函数的 极限与连续
定义1
定义2、 定义3 、定义4
最值定理