高等数学第十节 二元函数及其极限与连续

x y2 0
2 x2 y2 4
x

y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
四、小结 1、本节基本要求
理解二元函数的概念，了解二元函数的极限与 连续性 .
2、本节重点、难点 重点：二元函数的概念. 难点：二元函数的定义域.
邻域内P 有 0(x0定 ,y0)处 义可 （以没 ,A为 有
常 . 如 数果 P (x ,y 当 )无点 限P 地 0(x 0,y 接 0) 时，恒有
f(x,y)A.
其是 中任意 . 则 小称 的 P (x 当 ,正 y)趋 点 数 向
P 0 ( x 0 ,y 0 ) 时 z ， f ( x ,y ) 以 A 为 函 .记 极 数
f (2, y2 ).
解 f(1,1) 11 1 . 11 2
2(1) f(2,1)
2.
2(1)
f (2, y2) 2y2 . 2 y2
例2 求函 zR 数 2x2y2的定R 义 为域 大 0
的常数）.
y
解 定义域为
R
R2x2y20,
R o
Rx
即
x2y2R2.
又
f(t,x t) y (t) x 4 (t) y 4 2 (t) x t( ) y
(tx )4(ty )42t2x.y 从而 f(tx ,ty )t2f(x,y).
思考题
求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域， xy2
并画出该区域．
解
3 x2 y2 1
二元函数 的图形通 常是一张 曲面.
点 P 0(x0,y0)处z的 值记为 z 0 f ( x 0 , y 0 )或 f ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) .
类似地可以定义三元函数、四元函数等等，多于一
个自变量的函数称为多元函数．
例1 设f 函 (x )x 数 .y 试 f(1 求 ,1 )f ,(2 , 1 ), x y
3、本节知识结构
极 限 与 连 续
二 元 函 数 及 其
二元函数
二元函数的 极限与连续
定义1
定义2、 定义3 、定义4
最值定理
(1)在 D 上至少(1 存 ,1)， 在恒 一有 点
f(x ,y )f(1 ,1)；
(2)在 D 上至少 (2 存 ,2)， 在恒 一有 点
f(x ,y ) f(2 ,2 ).
f(1 ,1 )f,(2 ,2 )分别 z 称 f(x ,y )在 为
区域D上的最大值和最小值.
R
例3 求函 zl数 n xlny的定. 义y域
解 定义域为
x0, y0.
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o
x
即第一象限内的平面区域, 但不包括 x 轴与 y 轴上的点.
y
R
R o
R x 包括边界的平面区域称为闭区域.
R
y
不包括边界的平面区域称为开区域.
o
x
二、二元函数的极限与连续
定义二 设 z f ( x , y 函 ) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的 数 ( 0 )
域内有定义，如果
lim z 0,
x0
y0
则z 称 f(x ,y 函 ) 在 (x 0 ,数 y 点 0 ) 处 . 连续
如果函数 f ( x , y )在区域 D 上每一点都连续，则函数 f ( x , y )在区域 D 上连续.
定理(最大值和最小值定理) 如果函数 f (x, y) 在有 界闭区域 D 上连续，则
组数 (x, y) （或称点 P (x, y) ）,变量 z 按一定规则 f ，
都对应着唯一一个确定的值，则称变量 z 是变量 x, y
的二元函数，或称为点P (x, y) 的函数，记作
z f ( x ,y ) 或 z f ( P ).
x, y称为自变量，z称为因变量，D称为函数的定义域.
空间 {x ( ,y ,z ) 点 z f(x ,集 y )(x ,,y ) D } 称为 函z数 f(x,y)的图 . 形
所谓有界域 D 是指：总存在一个圆，使 D 在圆内.
三、拓展与思考
例4 若 f(x,y) x4y42x， y 求证 f(tx ,ty )t2f(x,y).
证明 因f( 为 x,y)x4y4 2x， y
因此
t2f(x ,y) t2 x 4 y4 2 x y (tx )4(ty )42t2xy
第二章 函数 极限 连续
§10 二元函数及其极限与连续
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、拓展与思考 四、小结
一、二元函数
设有两个非空实数集合D，B，如果对于D 中
回忆
的每一个数x ，按照确定的规则f 对应着B中唯
一的一个数y ，则称f 是定义在D上的函数，即一元函数.
定义一 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每一
(x0,y0)
o
x
定义三 如果 (1)zf(x,y)在(点 x0,y0)的一个邻域内 (2) limf (x,y)存在；
xx0 yy0
(3)lim f(x,y)f(x0,y 0),
x x0 y y0
则z 称 f(x ,y 函 ) 在 (x 0 ,数 y 点 0 ) 处 . 连续
令 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) z 称z 为 f ( x ,y ) 在 函 ( x 0 ,y 0 点 ) 处 数 全增量.的
lim f(x ,y ) A或 lim f(P ) A .
x x 0 y y 0
P P 0
所谓 P 0(x0点 ,y0)的 邻域 : 是y指
以 P 0(x 0,y0)为圆 为 心 半 ， 径
的圆的开区. 域 即
(x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 2 .
相当于 即
lim f(x,y)f(x0,y0),
x x0 y y0
li[m f(x 0 x ,y 0 y ) f(x 0 ,y 0 )] 0,
x 0 y 0
lim z 0.
x0 y0
定义四 若z 函 f(x ,数 y )在 (x 0 点 ,y 0)的一