2018年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
云南省昆明市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题含解析
云南省昆明市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．5D ．32．已知圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．5 D ．543．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．4．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种5．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2106．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )7．已知函数()(N)kf x kx+=∈，ln1()1xg xx+=-，若对任意的1c>，存在实数,a b满足0a b c<<<，使得()()()g a f b g c==，则k的最大值是( )A．3 B．2 C．4 D．58．等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD⊥；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAEθ≥∠；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数2sin()1xf xx=+．下列命题：①函数()f x的图象关于原点对称；②函数()f x是周期函数；③当2xπ=时，函数()f x取最大值；④函数()f x的图象与函数1yx=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④10．已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，则椭圆C的离心率为A．23B．34C15D10511．已知数列{}n a中，12a=，111nnaa-=-(2n≥)，则2018a等于（）A．12B．12-C．1-D．212．若复数z满足(2)(1)z i i=+-（i是虚数单位），则||z=（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷(四)文数-答案
2
2
2
又 S2017 1007 b， a1 b 1(a1b 0) ，
2b 3a1 时等号成立，故选 D． a1 b
2 3 2 3 2b 3a (a1 b) 5 1 ≥ 5 2 6 ， a1 b a1 b a1 b
当且仅当
2
1 4 p 2 p 8， p 2 ，所以抛物线的方程为 2
216 3 6 ， π， R 169 13
3 a 3 6 3 6 6 a a， O1O ， ， 2r r a， 棱 锥 的 高 h a2 a sin 60 3 3 13 3 3
3．由已知
| sin C | sin A sin B
2 2
1， sin 2 C sin 2 A sin 2 B， c 2 a 2 b 2 ，故三角形为直角三角形，
故选 A．
2 AO OD ，故选 B． 4． 因为 D 为 BC 边的中点， OB OC 2OD 3OA， 3 5 ． 由 f ( x 2) f ( x 2) 知 f ( x) 的 周 期 为 4 ， 又 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 故 1 1 f (4) f (0) 0，f (1) f (1) ， f (1) f (4) ，故选 B． 2 2 6． n 1 时 a a
21 63 ，b 6 ，不满足 a ≤ b ； n 2 时 a ，b 12 ，不满足 a ≤ b ； n 3 时 2 4
189 ，b 24 ，满足 a ≤ b ，输出 n 3 ，故选 D． 8
7 ． 函 数 f ( x) 3x log 3 x 在 (0， ) 是 增 函 数 ， 故 零 点 是 唯 一 的 ， 又 0 m x0 ， 则
2018年云南省高考数学一模试卷
2018年云南省高考数学一模试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}{}22|lg 1,|21xxA x y xB x -==-=<，则A B =A.{}|1x x >B. {}|0x x >C. {}|02x x <<D.{}|12x x <<2.已知复数z 满足()11z i i ⋅-=+，则z 的共轭复数的虚部为 A. 1 B. i - C. i D.-13.已知向量()()1,2,,2a b x ==-，若a b +与a b -垂直，则实数x 的值是 A. 1± B. 1 C. -1 D.-44.设，则“()0a a b -<”是“a b <”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,m n 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是 A. 若//,//m m n α，则//n α B. 若,m n αα⊥⊥，则//m n C. 若//,m m n α⊥，则//n α D. 若,m m n α⊥⊥，则//n α6.已知等比数列{}n a 为递增数列，若10,a >且()2123n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q = A. 2或12 B. 2 C. 12D.-2 7.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为A.118 B. 118- C. 1718 D.1718-8.图1中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,,a b i 的值分别为8,10,0，则输出的a 和i 的值分别为A. 2,5B. 2,4C. 0,4D. 0,59.函数()2x f x xe x =--的零点的个数为A.0B. 1C. 2D. 3 10.某四棱锥的三视图如图2所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A. 3πB. 4πC. 12πD.8π11.已知函数()243,1ln ,1x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若()f x a a x +≥，则a的取值范围是A. [)2,0-B. []0,1C. (]0,1D.[]2,0-12.已知P 是椭圆()2211221110x y a b a b +=>>和双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，123F PF π∠，则12b b 的值是 A. 3 B. 3-C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若实数x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值为．14．已知函数f （x ）=axlnx +b （a ，b ∈R ），若f （x ）的图象在x=1处的切线方程为2x ﹣y=0，则a +b= ．15．设P ，Q 分别为圆x 2+y 2﹣8x +15=0和抛物线y 2=4x 上的点．则P ，Q 两点间的最小距离是 ．16．已知y=f （x ）是R 上的偶函数，对于任意的x ∈R ，均有f （x ）=f （2﹣x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=（x ﹣1）2，则函数g （x ）=f （x ）﹣log 2017|x ﹣1|的所有零点之和为 ．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}中，a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）某校开展“翻转合作学习法”教学实验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表．（Ⅰ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；（Ⅱ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽3名出来交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生交流的概率．2=：附：K（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面PAC；（Ⅱ）求点E到平面PBC的距离．20．（12分）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M在线段DP上，满足=，当点P在圆上运动时，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若直线y=m（x+5）上存在点Q，使过点Q作曲线C的两条切线互相垂直，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e2x+ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣4时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈R，f（x）≥a2x恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．2017年云南省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若实数x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线找出最优解可得结论．【解答】解：作出，所对应可行域（如图△ABC），变形目标函数z=2x﹣y可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可得当直线经过点A（1，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．14．已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R），若f（x）的图象在x=1处的切线方程为2x﹣y=0，则a+b=4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，由题意可得f（1）=2，f′（1）=2，计算即可得到所求．【解答】解：f（x）=axlnx+b的导数为f′（x）=a（1+lnx），由f（x）的图象在x=1处的切线方程为2x﹣y=0，易知f（1）=2，即b=2，f′（1）=2，即a=2，则a+b=4．故答案为：4．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15．设P，Q分别为圆x2+y2﹣8x+15=0和抛物线y2=4x上的点．则P，Q两点间的最小距离是2﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减半径即可．【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+15=0可化为（x﹣4）2+y2=1，∴圆的圆心为（4，0），半径为1，设P（x0，y0）为抛物线y2=4x上的任意一点，∴y02=4x0，∴P与（4，0）的距离d==，∴由二次函数可知当x0=2时，d取最小值2，∴所求最小值为：2﹣1．故答案为：2﹣1．【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及抛物线和圆的知识，属中档题．16．已知y=f（x）是R上的偶函数，对于任意的x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=（x﹣1）2，则函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和为2016．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和．【解答】解：由题意可得函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），f （2﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（2﹣x），即f（x）=f（x﹣2），即函数的周期是2，y=log2017|x﹣1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=2018时，log2017|x﹣1|=1，∴当x＞2018时，y=log2017|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．根据周期性，利用y=log5|x﹣1|的图象和f（x）的图象都关于直线x=1对称，则函数g（x）=f（x）﹣log2017|x﹣1|的所有零点之和为﹣2015﹣2013﹣ (3)1+3+5…+2017=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•云南一模）已知数列{a n}中，a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．），可得（a n﹣n）（a n﹣n+2）=0．即可【分析】（I）a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+解出．（II）利用等差数列的求和公式即可得出．），∴（a n﹣n）（a n﹣n+2）=0．【解答】解：（I）∵a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+∴a n=n，或a n=n﹣2．（II）a n=n时，S n=．a n=n﹣2时，S n==．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南一模）某校开展“翻转合作学习法”教学实验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的全部220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表．（Ⅰ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；（Ⅱ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽3名出来交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生交流的概率．2=：附：K【分析】（Ⅰ）根据列联表中的数据计算K2，对照临界值表得出结论；（Ⅱ）求出用分层抽样方法抽出6人，对照班2人，翻转班4人，用列举法计算基本事件数，求出概率直．【解答】解：（Ⅰ）根据列联表中的数据，计算K2=≈9.167＜10.828，对照临界值表知，不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；（Ⅱ）这次测试数学成绩优秀的学生中，对照班有20人，翻转班有40人，用分层抽样方法抽出6人，对照班抽2人，记为A、B，翻转班抽4人记为c、d、e、f；再从这6人中抽3人，基本事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20种不同取法；至少抽到一名“对照班”学生的基本事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16种，故所求的概率为P==．【点评】本题考查了独立性检验与列举法求概率的计算问题，是基础题目．19．（12分）（2017•云南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=BC=2a，AC=2a，E的PA的中点．（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面PAC；（Ⅱ）求点E到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BED，即可证明平面BED⊥平面PAC；（Ⅱ）点E到平面PBC的距离=点O到平面PBC的距离，作OF⊥BC，垂足为F，证明OF⊥平面PBC，即可求出求点E到平面PBC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，则EO∥AC，AC⊥BD，∵PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵AC⊥平面ABCD，∴AC⊥EO，∵BD∩EO=O，∴AC⊥平面BED，∵AC⊂平面PAC，∴平面BED⊥平面PAC；（Ⅱ）解：点E到平面PBC的距离=点O到平面PBC的距离，作OF⊥BC，垂足为F，∵PC⊥平面ABCD，OF⊂平面ABCD，∴PC⊥OF，∵BC∩PC=C，∴OF⊥平面PBC∵AB=BC=2a，AC=2a，∴∠ABC=120°，∴O到BC的距离为OF=a，即点E到平面PBC的距离为a．【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•云南一模）在圆x2+y2=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M在线段DP上，满足=，当点P在圆上运动时，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若直线y=m（x+5）上存在点Q，使过点Q作曲线C的两条切线互相垂直，求实数m的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设出P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），由点M在线段PD 上，且满足DM=DP，M的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程得答案；（Ⅱ）设过点Q（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由y=kx﹣kx0+y0，，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36=0，由△=324k2（﹣kx+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]=0，整理得：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0．由k1k2=⇒，点Q是圆x2+y2=9与y=m（x+5）的公共点，∴O（0，0）到直线y=m（x+5）的距离d即可．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），∵点M在线段PD上，且满足满足=，∴x0=x，y0=y，又P在圆x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+y2=9，曲线C的方程为：．（2）假设在直线y=m（x+5）上存在点Q（x0，y0），设过点Q（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），即y=kx﹣kx0+y0．由y=kx﹣kx0+y0，，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36=0，由△=324k2（﹣kx0+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]=0，整理得：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0．故过点Q（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是：（9﹣）k2+2kx0y0+4﹣=0的两解故k1k2=⇒，∴点Q是圆x2+y2=9与y=m（x+5）的公共点，∴O（0，0）到直线y=m（x+5）的距离d即可．解得12m2≤13，即﹣，实数m的取值范围：[]．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，椭圆的切线问题，属于难题．21．（12分）（2017•云南一模）设函数f（x）=e2x+ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣4时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈R，f（x）≥a2x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当a=﹣4时，f′（x）=2e x（e x﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）单调区间．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立⇔e2x+ae x﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+ae x﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立⇔g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+ae x﹣a2=2 [e x﹣（﹣a）]，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（I）当a=﹣4时，函数f（x）=e2x﹣4e x，f′（x）=2e2x﹣4e x=2e x（e x﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间为：[ln2，+∞）时，单调递减区间为（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立⇔e2x+ae x﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+ae x﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立⇔g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+ae x﹣a2=2 [e x﹣（﹣a）]，①a=0时，g′（x）=2e2x＞0，此时函数g（x）在R上单调递增，g（x）=e2x＞0恒成立，满足条件．②a＞0时，令g′（x）=0，解得x=ln，则x＞ln时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln）=a2（1﹣ln）≥0，解得0＜a≤2e．③a＜0时，令g′（x）=0，解得x=ln（﹣a），则x＞ln（﹣a）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln（﹣a）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln（﹣a）时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln（﹣a））=﹣a2ln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得：a的求值范围是[﹣1，2e]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•云南一模）已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，利用正弦函数的单调性即可得出最值．【解答】解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y ﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•云南一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．。
2018年云南省玉溪市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
20． （12 分）已知圆 C：x2+（y+
）2＝16，点 A（0，
） ，P 是圆上任意一点，
线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q， 当点 P 在圆上运动时， 点 Q 的轨迹为曲 线 E，直线 l：y＝kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点， 且 ＝λ ．
11． （5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AD 上，且 AM＝AN（M，N 不与点 A 重合） ，给出下列结论： （1）MN∥B1D1； （2）直线 MN 与 BC1 所成的角为 （3）MN⊥CB1； （4）BD 与平面 ACD1 所成角的正切值为 其中正确结论的个数是（ ）
2018 年云南省玉溪市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1． （5 分）已知集合 A＝{1，3，5，7}，B＝{4，5，6，7}，则 A∪B 中元素个数 为（ A．2 ） B．4 C．6 D．8 ）
2． （5 分）设复数 z 的共轭复数为 ，若（3+i）z＝2﹣i，则| |＝（ A． B． C． D．1
A．4 和 7
B．5 和 8
C．5 和 7
D．4 和 8
9． （5 分）三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，已知 PA，PB，PC 两 两垂直， PA＝1， PB+PC＝4， 当三棱锥的体积最大时， 球 O 的体积为 （ A．36π B．9π C． π D． π ） ）
10． （5 分）设 a＝2﹣0.3，b＝log34，c＝log23，则 a，b，c 的大小关系为（ A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
云南省2018届高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
云南省2018届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜05．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．306．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．57．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．二、填空题设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．18．（12分）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O是AB中点，E是PB 中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．20．（12分）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN ⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l 交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．云南省2018届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={0}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则z的虚部为：．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：∵；∴；∴x=2；∴；∴；∴．故选D．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求长度的方法．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜0【考点】2J：命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x2﹣x+1≤0，故选：C．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．30【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式、单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=11，a5=﹣1，∴11+4d=﹣1，解得d=﹣3．∴a=11﹣3（n﹣1）=14﹣3n，n=14﹣3n≥0，解得n≤，令an∴n=4时，{a}的前4项和取得最大值： =26．n故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，k的值，当S=30，T=39时，满足条件退出循环可得输出的k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=0，k=1执行循环体，S=5，T=3，k=2不满足条件T＞S，执行循环体，S=15，T=12，k=3不满足条件T＞S，执行循环体，S=30，T=39，k=4满足条件T＞S，退出循环，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，T，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】直接由题意作出图形，利用面积比得答案．【解答】解：设事件A：x2+y2＜1，作出图形如图：∴满足x2+y2＜1的概率为P=．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是对随机数的理解，是基础题．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．），利用中点坐标公式，列方程，即可求得p的值．【分析】求得F（，0），M（，y1），【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），设M（，y1由中点坐标公式可知： +=2×2，y=2×2，1解得：p=4，p的值为4，故选D．【点评】本题考查抛物线的方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于基础题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V=+=．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是基础题．11．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的最小值．【解答】解：函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到y=sin （2x﹣2φ+）的图象，根据所得函数为奇函数，则﹣2φ+=kπ，k∈Z，∴φ的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】对分段函数分类讨论，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，分别求解，得出f（x）的最小值是；做出函数y=2x，y=x2，y=4﹣7.5x的图象，利用数学结合得出当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数范围．【解答】解：由题意，f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，令（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x）（4﹣7.5x﹣2x）=0，若2x=x2，则x=2或4，若x2=4﹣7.5x，则x=﹣8（舍去）或，若2x=4﹣7.5x，令g（x）=2x﹣4+7.5x，∵g（0）=1﹣4+0=﹣3＜0，g（）=﹣4+3.75＞0，∴x∈（0，）；∴（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，由右侧图象可知：中位数都大于，故选A．【点评】本题考查了新定义函数和分段函数的处理．难点是利用数学结合解决实际问题．二、填空题（2017•云南二模）设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是﹣4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z=﹣2x+3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ﹣8 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列可求得an+1+2an=0，即=﹣2，从而可判定数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，继而可得答案．【解答】解：∵Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，∴2Sn﹣1=Sn+1+Sn（n≥2），即an+1+2an=0，∴=﹣2，∴数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，又a2=﹣2，∴a4=﹣2×22=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查数列递推式，利用Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列求得an+1+2an=0，即=﹣2是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是y=x，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵△FAB为正三角形，∴|AB|=4，将（﹣，2）代入双曲线=1可得=1，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴ =，∴a=1，b=，∴双曲线C的方程为．2故答案为．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为18π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，过P点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为6，∴正方体的棱长为6．可得外接球半径R满足2R=6．PP为棱BC的中点，过P作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==3，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=18故答案为：18π【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•云南二模）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；（2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°=21，解得．由正弦定理得，．（2）设CD=x，则BD=5﹣x，AD=5﹣x，∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=∠CAB﹣∠B=θ．∵，∴．∴，即，解得x=2．∴BD=AD=3．∵，∴．∴．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2017•云南二模）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）先求出分数在110﹣120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120﹣125内的学生的频率，由此能求出分数在120﹣125内的人数．（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．（3）由题意分数在115﹣120内有学生6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．【解答】解：（1）分数在110﹣120内的学生的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，所以该班总人数为．分数在120﹣125内的学生的频率为：P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.10，分数在120﹣125内的人数为n=40×0.10=4．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为．设中位数为a，∵0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，∴a=110．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115﹣120内有学生40×（0.03×5）=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B1），（A4，B1），（A3，B1），（A4，B2），（A3，B1），（B1，B2），共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为．【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关键是正确理解获奖的情形，解题时要要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．19．（12分）（2017•云南二模）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O 是AB中点，E是PB中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结PO，推导出PO⊥AB，AC⊥BC，PO⊥OC．从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．（2）推导出，OC⊥AB，从而OC⊥平面PAB，进而OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，由VB﹣OEC =VE﹣OBC，能求出点B到平面OEC的距离．【解答】证明：（1）连结PO，在△PAB中，PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴．∵PA=PB=BC=3，∴，PC2=PO2+OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC=O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）∵OE是△PAB的中位线，∴．∵O是AB中点，AC=BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE⊂平面PAB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则VB﹣OEC =VE﹣OBC，∴，∴点B到平面OEC的距离：．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•云南二模）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，设P（x0，y），由P的坐标表示直线AP与直线BP的斜率，求其积可得，由椭圆的性质即可得证明；（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，进而可得直线AP的方程，分析可得，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，由向量的数乘运算的意义分析可得证明．【解答】解：（1）证明：设P（x0，y）（x≠±a），由已知A（﹣a，0），B（a，0），∴．①∵点P在椭圆上，∴．②由①②得（定值）．∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值．（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，由已知F（﹣c，0），直线AP的方程为y=k1（x+a），直线l：x=a，则M（a，2ak1）．∵MN⊥BP，∴kMN •k2=﹣1．由（1）知，故，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，得2b2=a（a+c）．∵b2=a2﹣c2，∴2（a2﹣c2）=a2+ac，2c2+ac﹣a2=0，，解得或（舍去）．∴a=2c．由已知，得（a﹣c，0）=λ（a+c，0），将a=2c代入，得（c，0）=λ（3c，0），故．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键要熟悉椭圆的几何性质．21．（12分）（2017•云南二模）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣3时，求导数，分类讨论，即可求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，，求出右边的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．当a=﹣3时，，．①当x∈（0，1）或x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．②当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）由g（x）＜f（x），得，整理得k（x﹣1）＜xlnx+x，∵x＞1，∴．令，则．令h（x）=x﹣lnx﹣2，∵x＞1，∴．∴h（x）在（1，+∞）上递增，h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴h（x）存在唯一的零点x∈（3，4）．∴h（x0）=x﹣lnx﹣2=0，得lnx=x﹣2．当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x）=0，Q'（x）＜0，∴Q（x）在（1，x）上递减；当x∈（x，+∞）时，Q'（x）＞0，∴Q（x）在（x，+∞）上递增．∴，要使对任意x＞1恒成立，只需k＜[Q（x）]min =x．又3＜x＜4，且k∈Z，∴k的最大值为3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•云南二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数，得l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程，由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出直线l的参数方程，并代入y2=2x，得，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数和，得l的普通方程为x﹣y﹣2=0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2=0．∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）∵直线l：x﹣y﹣2=0经过点P（﹣2，﹣4），∴直线l的参数方程为（T为参数）．将直线l的参数方程为代入y2=2x，化简得，∴|PA|•|PB|=|T1T2|=40．【点评】本题考查直线的极坐标方程和曲线直角坐标方程的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•云南二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质，证明f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，分类讨论，当且仅当时，f（x）=2．，即可求实数x的取值范围．【解答】（1）证明：∵|2x+1|+|2x﹣1|=|2x+1|+|1﹣2x|≥|（2x+1）+1﹣2x|=2，∴f（x）≥2．当且仅当（2x+1）（1﹣2x）≥0时“=”成立，即当且仅当时，f（x）=2．∴f（x）的最小值等于2．（2）解：当a+b=0即a=﹣b时，可转化为2|b|﹣0•f（x）≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．当a+b≠0时，∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|﹣a|≥|（2a+b）﹣a|=|a+b|，当且仅当（2a+b）（﹣a）≥0时“=”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“=”成立，∴，且当（2a+b）a≤0时，，∴的最小值等于1，∵，，∴，即f（x）≤2．由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．由（1）知当且仅当时，f（x）=2．综上所述，x的取值范围是．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2018届云南省弥勒市高三模拟测试(一)文科数学试题 及答案 精品
云南省弥勒市2018届高三模拟测试（一）文科数学试题卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数1z i =-,则1z z+对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合{}{}22|228,|20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->,则R C B A （）所含的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若,a R ∈则“3a >”是“方程22(9)y a x =-表示开口向右的抛物线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双曲线的标准方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221916y x -=D ．221169y x -=5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为( )A ．2B ．5C ．11D ．236．已知等比数列{}n a ,且482,a a +=则62610(2)a a a a ++的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 7．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.758．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）A ．12B ．13C ．1D ．29．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题： ①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若m ∥l ，则αβ⊥。
云南省曲靖一中2018届高三4月高考复习质量监测卷(七)数学(文)试卷(扫描版)
（Ⅱ）∵ 与 ，
∴ ，即 ．………………………………………（9分）
（Ⅲ）将 代入 有 ，
所以到2020年底，该地储蓄存款额大约可达13.2亿元．…………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图2，连接 ∵ ， 都是正三角形，
6． ，故选C．
7．由三视图可知该几何体是一个三棱柱，∴ ，故选D．
8．∵ 平分圆 ，∴ 过圆心 ，∴ ，
，当且仅当 时取“=”，故选C．
9．∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
，∴ ，故选B．
10．作出不等式组所表示的平面区域，如图1，由 得 ∴ ，
∵ 在直线 的下方，∴ ，
∴ ， ，由
∴ ，同理 ，
，∴ ，
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ ，
当 时，
当 时， ，∴
时也满足 =1，
∴ ．……………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
∵ ，∴
∴ ，∵ ，
∴ ．………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ， ， ， ，
∵ ∴ ，
∵ ，∴ ，
（Ⅱ）证明：设 ，
由（Ⅰ）得 ∴ ，
由已知直线 的斜率必存在，设 的方程为 ，
由 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
由 在直线 上可得 ，
则 方程为 ，即 ，
∴直线 过定点(1，2)．………………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）已知函数定义域为 ，
，
已知 ，令 ， ， ，
2018年云南省曲靖市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝x}，那么A ∩（∁U B）＝（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）3．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的．二进制即“缝二进一”，表示二进制数，将它转化成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×如1101（2）20＝13，那么将二进制数1010（2）转化成十进制形式是（）A．13B．10C．15D．184．（5分）已知向量＝（，0），＝（0，﹣1），＝（k，），若（）⊥，则k＝（）A．2B．﹣2C．D．﹣5．（5分）若a＝（），b＝（），c＝log23，则a，b，c大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 6．（5分）若在区间[﹣3，3]内任取一个实数m，则使直线x﹣y+m＝0与圆（x ﹣1）2+（y+2）2＝4有公共点的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是计算+…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≥8B．i＞8C．i＞9D．i≤98．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．12C．4D．49．（5分）递增的等比数列{a n}的每一项都是正数，设其前n项的和为S n，若a2+a4＝30，a1a5＝81，则S6＝（）A．121B．﹣364C．364D．﹣121 10．（5分）sin（﹣2055°）＝（）A．B．﹣C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，b＝3a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的不等式x2+kx﹣1＞0在[1，2]区间上有解，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，0）C．[﹣，+∞）D．（﹣，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若“x＞a”是“x2﹣5x+6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，且截面面积是3，则四面体外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若数列{a n}是递增的等差数列，它的前n项和为T n，其中T3＝9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求S n．18．（12分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”．（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点．（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D∥平面PQB1（2）若AB＝2，AC＝AA1＝AC1＝4，∠AA1B1＝60°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，求三棱锥P﹣QA1B1的体积．20．（12分）如图，已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（12分）函数f（x）＝xe x﹣ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y＝﹣x+1．（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥x2+m，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2（0≤θ≤π），射线l的极坐标方程为θ＝a0（a0∈[0，]）（1）写出曲线C的极坐标方程和曲线C1的直角坐标方程；（2）若射线l与曲线C1、C分别相交于A、B两点，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）＜5；（2）若不等式f（x）﹣t＜0的解集为空集，记实数t的最大值为a，求实数a 的值．2018年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：∵z＝＝，∴，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝x}，那么A ∩（∁U B）＝（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【解答】解：解lnx≥0得x≥1；∴A＝[1，+∞），B＝[0，+∞）；∴∁U B＝（﹣∞，0）；∴A∩（∁U B）＝∅．故选：A．3．（5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的．二进制即“缝二进一”，表示二进制数，将它转化成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×如1101（2）20＝13，那么将二进制数1010（2）转化成十进制形式是（）A．13B．10C．15D．18【解答】解：根据题意得：1×23+0×22+1×21+0×20＝8+0+2+0＝10，故选：B．4．（5分）已知向量＝（，0），＝（0，﹣1），＝（k，），若（）⊥，则k＝（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵＝（，0），＝（0，﹣1），∴，又＝（k，），且（）⊥，∴，即k＝﹣2．故选：B．5．（5分）若a＝（），b＝（），c＝log23，则a，b，c大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：∵a＝（）＜＜b＝（），c＝log23＞1，则a＜b＜c，故选：A．6．（5分）若在区间[﹣3，3]内任取一个实数m，则使直线x﹣y+m＝0与圆（x ﹣1）2+（y+2）2＝4有公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线x﹣y+m＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4有公共点，∴≤2，解得﹣1≤m≤3，∴在区间[﹣3，3]内任取一个实数m，使直线x﹣y+m＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4有公共点的概率为＝．故选：C．7．（5分）如图是计算+…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≥8B．i＞8C．i＞9D．i≤9【解答】解：框图首先给累加变量S赋值为0，给循环变量i赋值1．执行S＝0+，i＝1+1＝2，判断，判断框中的条件不满足，执行S＝0++，i＝2+1＝3，判断，判断框中的条件不满足，执行S＝0+++，i＝3+1＝4，判断，判断框中的条件不满足，…执行S＝+…+，i＝8+1＝9，此时，由题意，应该满足判断框内的条件，跳出循环，输出S的值为S＝+…+，可得判断框内应填入的一个条件为i＞8？故选：B．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．12C．4D．4【解答】解：根据三视图，复原后的几何体为：底面为四边形ABCD，AE⊥底面ABCD，所以：V＝＝4．故选：D．9．（5分）递增的等比数列{a n}的每一项都是正数，设其前n项的和为S n，若a2+a4＝30，a1a5＝81，则S6＝（）A．121B．﹣364C．364D．﹣121【解答】解：设每一项都是正数的递增的等比数列{a n}的公比为q＞1，∵a2+a4＝30，a1a5＝81＝a2a4，联立解得a4＝27，a2＝3．∴3q2＝27，解得q＝3．∴a1×3＝3，解得a1＝1．则S6＝＝364．故选：C．10．（5分）sin（﹣2055°）＝（）A．B．﹣C．D．【解答】解：sin（﹣2055°）＝sin（﹣6×360°+105°）＝sin105°＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝+＝，故选：C．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，b＝3a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵C＝，c＝，b＝3a，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：7＝a2+b2﹣ab＝a2+9a2﹣3a2＝7a2，解得：a＝1，b＝3，∴S＝ab sin C＝＝．△ABC故选：A．12．（5分）若关于x的不等式x2+kx﹣1＞0在[1，2]区间上有解，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，0）C．[﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：关于x的不等式x2+kx﹣1＞0在区间[1，2]上有解，∴kx＞1﹣x2在x∈[1，2]上有解，即k＞﹣x在x∈[1，2]上成立；设函数f（x）＝﹣x，x∈[1，2]，∴f′（x）＝﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣，0]，要k＞﹣x在x∈[1，2]上有解，则k＞﹣，即实数k的取值范围为（﹣，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若“x＞a”是“x2﹣5x+6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：由x2﹣5x+6≥0得x≥3或x≤2，若“x＞a”是“x2﹣5x+6≥0”成立的充分不必要条件，则a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）14．（5分）实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为6．【解答】解：画实数x，y满足约束条件可行域如图，满足约束条件的是图中阴影部分，其中A（2，2）．z为目标函数z＝x+2y，画直线0＝x+2y，平移直线过A（2，2）点时z有最大值6．故答案为：6．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，且截面面积是3，则四面体外接球的表面积是18π．【解答】解：过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，可得ABE是等腰三角形，∵AB＝a，EB＝EA＝，可得截面面积是3＝，解得：a＝．由正四面体外接球半径为．即外接球半径R＝．外接球的表面积S＝4πR2＝18π．故答案为：18π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若数列{a n}是递增的等差数列，它的前n项和为T n，其中T3＝9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）数列{a n}是递增的等差数列，公差设为d（d＞0），T3＝9，即a1+a2+a3＝9，即有3a1+3d＝9，即a1+d＝3，又a1，a2，a5成等比数列，可得a22＝a1a5，即有（a1+d）2＝a1（a1+4d），解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n＝＝＝（﹣），前n项和为S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．（12分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”．（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是P＝＝；∴选中的“朗读爱好者”有12×＝2人，记为B、C，“非朗读爱好者”有18×＝3人，记为1、2、3；记A：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3，12，13，23共10个；满足事件A的有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3共7个，∴则P（A）＝；（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40，41，现要各抽一名，则有：（41、40），（41、41），（42、40），（42、40），（44、40），（44、41），（47、40），（47、41），（51、40），（51、41）共10种情况．收视时间相差5分钟以上的有：（47、40），（47、41），（51、40），（51、41）共4种情况．故收视时间相差5分钟以上的概率P＝＝．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点．（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D∥平面PQB1（2）若AB＝2，AC＝AA1＝AC1＝4，∠AA1B1＝60°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，求三棱锥P﹣QA1B1的体积．【解答】（1）证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP∥DB1，且AP＝DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形．∴AD∥PB1．∵P、Q分别是AA1、A1C1的中点．∴AC1∥PQ．∴平面AC1D∥平面PQB1．∴C1D∥平面PQB1；（2）解：在面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴QM＝．∵A1P＝A1B1＝2，∠AA1B1＝60°，∴△P A1B1是边长为2的正三角形．∴．∴＝．20．（12分）如图，已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知c＝1，令x＝﹣c，代入椭圆可得，所以，又a2﹣b2＝1，两式联立解得：a2＝4，b2＝3，∴；（2）由（1）可知，F（﹣1，0），代入椭圆可得，所以，因为直线AM，AN的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数；可设直线AM方程为：，代入得：（3+4k2）x2+4k（3+2k）x+4k2+12k﹣3＝0，设M（x M，y M），N（x N，y N），因为点在椭圆上，所以，，，又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代替k，可得，所以直线MN的斜率，即直线MN的斜率为定值，其值为．21．（12分）函数f（x）＝xe x﹣ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y＝﹣x+1．（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥x2+m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y ＝﹣x+1，∴f′（x）＝（x+1）e x﹣a，∴，解得a＝2，b＝1．（2）∵f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥x2+m，∴m≤xe x﹣x2﹣2x+1，令g（x）＝xe x﹣x2﹣2x+1，x＞0，则g′（x）＝（x+1）e x﹣2x﹣2＝（x+1）（e x﹣2），设g′（x）＝0，x＞0，则e x＝2，从而x＝ln2，当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0；∴函数g（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴g（x）min＝g（ln2）＝1﹣ln22，∵m≤xe x﹣x2﹣2x+1恒成立，∴m≤g（x）min＝1﹣ln22，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，1﹣ln22]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2（0≤θ≤π），射线l的极坐标方程为θ＝a0（a0∈[0，]）（1）写出曲线C的极坐标方程和曲线C1的直角坐标方程；（2）若射线l与曲线C1、C分别相交于A、B两点，求|AB|的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C：（α为参数），∴消去参数α得曲线C的直角坐标方程为＝1．∴C的极坐标方程为：ρ2＝．∵曲线C1的极坐标方程为ρ＝2（0≤θ≤π），∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2＝4（y≥0）．（2）将θ＝a0（a0∈[0，]）与曲线C、C1的方程分别联立，可得ρ1＝，ρ2＝2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|2﹣，∵a0∈[0，]，∴|AB|的取值范围是[2﹣，1]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）＜5；（2）若不等式f（x）﹣t＜0的解集为空集，记实数t的最大值为a，求实数a 的值．【解答】解：（1）；∴由f（x）＜5得，，或，或；解得：；∴原不等式的解集为：；（2）由f（x）﹣t＜0的解集为∅知，t≤f（x）min；由（1）知f（x）的最小值为4；∴t≤4，且a是t的最大值；∴a＝4．。
2018届云南师大附中高三第四次月考文科数学试卷及答案
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（四）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.教材中定义函数：“设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称f ：A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈”；对于函数：||,{1,1}y x x =∈-，有A B 为（ ） A ．{1} B ．{-1} C ．{-1,1} D ．{1}或{-1,1}2.设0x >，若2()x i -是纯虚数（其中i 为虚数单位）则2()x i -的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i C ．2 D ．-23.由圆222x y +=与平面区域0y x y x -≥⎧⎨+≤⎩所围成的图形（包括边界）的面积为（ ） A ．2π B ．3π C ．4πD ．π 4.图1是计算函数2,10,12,2x x y x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在○1、○2、○3处应分别填入的是（ ）A ．2,,0y x y x y =-== B ．2,0,y x y y x =-== C ．20,,y y x y x ===- D ．20,,y y x y x ==-=5.若某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）6.已知向量a b 、的模都是2，其夹角是60︒，又=32,3OP a b OQ a b +=+，则P 、Q 两点间的距离为（A ．．7.已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B +，且sin cos B B =，则ABC ∆是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形或等腰直角三角形8.点D 是ABC ∆的BC 边上不与B 、C 重合的某一点，数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若22013(3)AD a AB a AC =-+，则2014S =（ ）A ．1007B ．2013C ．2014D ．40289.对于01a <<，给出下列四个不等式：○11log (1)log (1)a a a a +<+；○21log (1)log (1)a aa a+>+； ○3111aaa a ++<；○4111aaa a++>。
云南省曲靖市达标名校2018年高考四月质量检测数学试题含解析
云南省曲靖市达标名校2018年高考四月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2B ．2C ．10D ．103．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．4．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±9．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）A ．1234B ．1114C ．1054D ．117412．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
云南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合，，则= （）A . {1，2}B . {5}C . {1，2，3}D . {3，4，6}2. （2分） (2019高二上·衡阳月考) 是虚数单位，复数的虚部（）A . 2B . -2C .D .3. （2分）已知函数，，则函数在上递增是在上递增的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件4. （2分） (2016高一上·曲靖期中) 函数y=（）的值域为（）A . [ ）B . （﹣∞，2]C . （0， ]D . （0，2]5. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 在△ABC中，（）⊥ ，则角A的最大值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·莆田模拟) 直线与圆相交于两点。
若，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·山西模拟) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3= ，S3= ，则公比q=（）A .B .C . 1或﹣D . 1或10. （2分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A . 关于原点对称B . 关于轴对称C . 关于轴对称D . 关于直线对称11. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知抛物线C：y2=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若2 = ，则直线PQ的斜率是（）A .B . 1C .D . 212. （2分） (2016高二下·上饶期中) 函数f（x）=x3﹣12x在区间[﹣4，4]上的最小值是（）A . ﹣9B . ﹣16C . ﹣12D . ﹣11二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一下·合肥期末) 如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．14. （1分） (2018高二上·福建期中) 若变量满足约束条件则的最小值为________.15. （1分）(2017·南通模拟) 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________cm．16. （2分）(2017·浙江模拟) 已知数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，若a1=1，则a3=________，前60项的和为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2018高一下·黑龙江期末) 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，1 求C的大小；18. （10分） (2020高二下·南宁期末) 如图，三棱柱中，D是的中点.（1）证明：平面；（2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面，求三棱锥的体积.19. （5分）(2018·辽宁模拟) 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在，，，，，单位：克中，其频率分布直方图如图所示．Ⅰ 按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；Ⅱ 以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元千克收购；B.低于2250克的蜜柚以60元个收购，高于或等于2250克的以80元个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．20. （15分） (2019高二上·牡丹江月考) 已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为。
2018年云南省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（）A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学试卷(四)精品解析含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin 13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．3B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线：250x y --=的距离的最小值是（ ） A ．B ．C 1D 19．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－811．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） AB．2C ．2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年云南省曲靖市高考数学一模试卷(文科)
2018年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z =5i i−1（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限2. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|y =√lnx}，集合B ＝{y|y =x 12}，那么A ∩(∁U B)＝（ ）A.⌀B.(0, 1]C.(0, 1)D.(1, +∞)3. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的．二进制即“缝二进一”，如${1101_{（2）}}表示二进制数,将它转化成十进制形式是{1\times 2^{3}+ 1\times 2^{2}+ 0\times 2^{1}+ 1\times 2^{0}}{13},那么将二进制数{1010_{（2）}}$转化成十进制形式是（ ） A.13 B.10 C.15 D.184. 已知向量a →=(√3, 0)，b →=(0, −1)，c →=(k, √3)，若(a →−2b →)⊥c →，则k ＝（ ）A.2B.−2C.32D.−325. 若a ＝(12)34，b ＝(34)12，c ＝log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <b <a6. 若在区间[−3, 3]内任取一个实数m ，则使直线x −y +m ＝0与圆(x −1)2+(y +2)2＝4有公共点的概率为（ ） A.13 B.35C.√23D.2√237. 如图是计算13+15+17+⋯+117的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A.i ≥8B.i >8C.i >9D.i ≤98. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.6+4√2B.12C.4+4√2D.49. 递增的等比数列{a n }的每一项都是正数，设其前n 项的和为S n ，若a 2+a 4＝30，a 1a 5＝81，则S 6＝（ ） A.121 B.−364 C.364 D.−12110. sin(−2055∘)＝（ ） A.√6−√24B.−√2+√64C.√2+√64D.√2−√6411. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若C =π3，c =√7，b ＝3a ，则△ABC 的面积为（ ） A.3√34B.2−√34C.√2D.2+√3412. 若关于x 的不等式x 2+kx −1>0在[1, 2]区间上有解，则k 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)B.(−32, 0) C.[−32, +∞)D.(−32, +∞)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）若“x >a ”是“x 2−5x +6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．实数x ，y 满足约束条件{x ≤√2yy ≤2√2≤x ≤2√2，则z ＝x +2√2y 的最大值为________．抛物线y 2=2ax(a >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 24−x 29=1相交于M ，N 两点，若∠MFN =120∘，则a =________．棱长为a 的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB 作四面体的截面，交棱CD 的中点于E ，且截面面积是3√2，则四面体外接球的表面积是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）若数列{a n}是递增的等差数列，它的前n项和为T n，其中T3＝9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，求S n．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”．（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点．（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D // 平面PQB1（2）若AB＝2，AC＝AA1＝AC1＝4，∠AA1B1＝60∘，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，求三棱锥P−QA1B1的体积．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1, 0)，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．函数f(x)＝xe x−ax+b的图象在x＝0处的切线方程为：y＝−x+1．（1）求a和b的值；（2）若f(x)满足：当x>0时，f(x)≥x2+m，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:{x=√3cosαy=sinα（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π)，射线l的极坐标方程为θ＝a0（a0∈[0, π2]）（1）写出曲线C的极坐标方程和曲线C1的直角坐标方程；（2）若射线l与曲线C1、C分别相交于A、B两点，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x−1|+|2x+3|．（1）解不等式f(x)<5；（2）若不等式f(x)−t<0的解集为空集，记实数t的最大值为a，求实数a的值．参考答案与试题解析2018年云南省曲靖市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】∵z=5ii−1=5i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=52−52i，∴z=52+52i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(52,52)，位于第一象限．2.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A＝[1, +∞)，B＝[0, +∞)，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解lnx≥0得x≥1；∴A＝[1, +∞)，B＝[0, +∞)；∴∁U B＝(−∞, 0)；∴A∩(∁U B)＝⌀．3.【答案】B【考点】进位制【解析】根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可．【解答】根据题意得：1×23+0×22+1×21+0×20＝8+0+2+0＝10，4.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知向量的坐标求得a→−2b→的坐标，再由向量垂直与数量积的关系列式求得k值．【解答】∵a→=(√3, 0)，b→=(0, −1)，∴a→−2b→=(√3,2)，又c→=(k, √3)，且(a→−2b→)⊥c→，∴√3k+2√3=0，即k＝−2．5.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】∵a＝(12)34<(12)12<b＝(34)12，c＝log23>1，则a<b<c，6.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）直线与圆的位置关系【解析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的m，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】∵直线x−y+m＝0与圆(x−1)2+(y+2)2＝4有公共点，∴√2≤2，解得−1≤m≤3，∴在区间[−3, 3]内任取一个实数m，使直线x−y+m＝0与圆(x−1)2+(y+2)2＝4有公共点的概率为−3+2√2−(−3)6=√23．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得框图中i的值为9时判断框中的条件应该满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．【解答】框图首先给累加变量S赋值为0，给循环变量i赋值1．执行S＝0+13，i＝1+1＝2，判断，判断框中的条件不满足，执行S＝0+13+15，i＝2+1＝3，判断，判断框中的条件不满足，执行S＝0+13+15+17，i＝3+1＝4，判断，判断框中的条件不满足，…执行S=13+15+17+⋯+117，i＝8+1＝9，此时，由题意，应该满足判断框内的条件，跳出循环，输出S的值为S=13+15+17+⋯+117，可得判断框内应填入的一个条件为i>8？8.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】首先根据三视图，把几何体进行复原，最后求出几何体的体积．【解答】根据三视图，复原后的几何体为：底面为四边形ABCD，AE⊥底面ABCD，所以：V=13∗12(2+4)∗2∗2=4．9.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】设每一项都是正数的递增的等比数列{a n}的公比为q>1，由a2+a4＝30，a1a5＝81＝a2a4，联立解出，再利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】设每一项都是正数的递增的等比数列{a n}的公比为q>1，∵a2+a4＝30，a1a5＝81＝a2a4，联立解得a4＝27，a2＝3．∴3q2＝27，解得q＝3．∴a1×3＝3，解得a1＝1．则S6=36−13−1=364．10.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用利用诱导公式，化简所给的式子，可的结果．【解答】sin(−2055∘)＝sin(−6×360∘+105∘)＝sin105∘＝cos15∘＝cos(45∘−30∘)＝cos45∘cos30∘−sin45∘sin30∘=√22∗√32+√22∗12=√6+√24，11.【答案】A【考点】余弦定理【解析】由已知及余弦定理可求a，b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】∵C=π3，c=√7，b＝3a，∴由余弦定理c2＝a2+b2−2abcosC，可得：7＝a2+b2−ab＝a2+9a2−3a2＝7a2，解得：a＝1，b＝3，∴S△ABC=12absinC=12×1×3×√32=3√34．12.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性【解析】用分离常数法得出不等式k>1x−x在x∈[1, 2]上成立，根据函数f(x)=1x−x在x∈[1, 2]上的单调性，即可求出k的取值范围．【解答】关于x的不等式x2+kx−1>0在区间[1, 2]上有解，∴kx>1−x2在x∈[1, 2]上有解，即k>1x−x在x∈[1, 2]上成立；设函数f(x)=1x−x，x∈[1, 2]，∴f′(x)=−1x2−1<0恒成立，∴f(x)在x∈[1, 2]上是单调减函数，且f(x)的值域为[−32, 0]，要k>1x−x在x∈[1, 2]上有解，则k>−32，即实数k的取值范围为(−32, +∞)．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 [3, +∞) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【解答】由x 2−5x +6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x >a ”是“x 2−5x +6≥0”成立的充分不必要条件， 则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3, +∞)， 【答案】 6√2【考点】 简单线性规划 【解析】画可行域，判断z 为目标函数的几何意义，平移直线过A 时z 有最大值． 【解答】画实数x ，y 满足约束条件{x ≤√2yy ≤2√2≤x ≤2√2可行域如图， 满足约束条件的是图中阴影部分，其中A(2√2, 2)． z 为目标函数z ＝x +2√2y ，画直线0＝x +2√2y ， 平移直线过A(2√2, 2)点时z 有最大值6√2． 【答案】3√2613【考点】 双曲线的特性 【解析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M ，利用∠MFN =120∘，转化求解即可． 【解答】抛物线y 2=2ax(a >0)的焦点为F(a2, 0)， 准线方程为x =−a2，代入双曲线的方程可得y 2=4(1+a 236)=4+a 29，可设M(−a 2, √4+a 29)，∠MFN =120∘， 可得tan ∠MFN 2=tan60∘=√4+a29a=√3，解得a =3√2613， 【答案】 18π【考点】球的体积和表面积 【解析】棱长为a 的正四面体，其正四面体外接球半径为√64a ．过棱AB 作四面体的截面，交棱CD 的中点于E ，可得ABE 是等腰三角形，AB ＝a ，EB ＝EA =√32a ，可得截面面积是3√2=12a ×√22a ，解得a ，从而求解外接球的表面积．【解答】过棱AB 作四面体的截面，交棱CD 的中点于E ，可得ABE 是等腰三角形， ∵ AB ＝a ，EB ＝EA =√32a ，可得截面面积是3√2=12a ×√22a ，解得：a =2√3．由正四面体外接球半径为√64a ．即外接球半径R =3√22． 外接球的表面积S ＝4πR 2＝18π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】数列{a n }是递增的等差数列，公差设为d(d >0)， T 3＝9，即a 1+a 2+a 3＝9，即有3a 1+3d ＝9，即a 1+d ＝3， 又a 1，a 2，a 5成等比数列，可得a 22＝a 1a 5，即有(a 1+d)2＝a 1(a 1+4d)， 解得a 1＝1，d ＝2，则a n ＝1+2(n −1)＝2n −1；b n =1a n a n+1=1(2n −1)(2n +1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和为S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】（1）公差设为d(d >0)，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】数列{a n}是递增的等差数列，公差设为d(d>0)，T3＝9，即a1+a2+a3＝9，即有3a1+3d＝9，即a1+d＝3，又a1，a2，a5成等比数列，可得a22＝a1a5，即有(a1+d)2＝a1(a1+4d)，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n项和为S n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是P=530=16；∴选中的“朗读爱好者”有12×16=2人，记为B、C，“非朗读爱好者”有18×16=3人，记为1、2、3；记A：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3，12，13，23共10个；满足事件A的有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3共7个，∴则P(A)=710；收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40，41，现要各抽一名，则有：(41、40)，(41、41)，(42、40)，(42、40)，(44、40)，(44、41)，(47、40)，(47、41)，(51、40)，(51、41)共10种情况．收视时间相差5分钟以上的有：(47、40)，(47、41)，(51、40)，(51、41)共4种情况．故收视时间相差5分钟以上的概率P=410=25．【考点】茎叶图【解析】（1）根据茎叶图，用分层抽样法求得所抽到的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）用列举法计算所求的基本事件数，求对应的概率值．【解答】根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是P=530=16；∴选中的“朗读爱好者”有12×16=2人，记为B、C，“非朗读爱好者”有18×16=3人，记为1、2、3；记A：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3，12，13，23共10个；满足事件A的有BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3共7个，∴则P(A)=710；收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40，41，现要各抽一名，则有：(41、40)，(41、41)，(42、40)，(42、40)，(44、40)，(44、41)，(47、40)，(47、41)，(51、40)，(51、41)共10种情况．收视时间相差5分钟以上的有：(47、40)，(47、41)，(51、40)，(51、41)共4种情况．故收视时间相差5分钟以上的概率P=410=25．【答案】证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP // DB1，且AP＝DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形．∴AD // PB1．∵P、Q分别是AA1、A1C1的中点．∴AC1 // PQ．∴平面AC1D // 平面PQB1．∴C1D // 平面PQB1；在面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴QM=√3．∵A1P＝A1B1＝2，∠AA1B1＝60∘，∴△PA1B1是边长为2的正三角形．∴S△PA1B1=√3．∴V P−QA1B1=13S△PA1B1∗QM=13×√3×√3=1．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）连接AD，可得AP // DB1，且AP＝DB1，四边形ADB1P是平行四边形，进一步得到AC1 // PQ，从而平面AC1D // 平面PQB1，可得C1D // 平面PQB1；（2）在面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，结合已知可得QM⊥平面AA1B1B，求出QM，进一步求出△PA1B1是边长为2的正三角形．再由体积公式计算得答案．【解答】证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP // DB1，且AP＝DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形．∴AD // PB1．∵P、Q分别是AA1、A1C1的中点．∴AC1 // PQ．∴平面AC1D // 平面PQB1．∴C1D // 平面PQB1；在面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴QM=√3．∵A1P＝A1B1＝2，∠AA1B1＝60∘，∴△PA1B1是边长为2的正三角形．∴S△PA1B1=√3．∴V P−QA1B1=13S△PA1B1∗QM=13×√3×√3=1．【答案】由题意可知c＝1，令x＝−c，代入椭圆可得y=±b2a，所以2b2a=3，又a2−b2＝1，两式联立解得：a2＝4，b2＝3，∴x24+y23=1；由（1）可知，F(−1, 0)，代入椭圆可得y=±32，所以A(−1,32)，因为直线AM，AN的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数；可设直线AM方程为：y=k(x+1)+32，代入x24+y23=1得：(3+4k2)x2+4k(3+2k)x+4k2+12k−3＝0，设M(x M, y M)，N(x N, y N)，因为点A(−1,32)在椭圆上，所以−1⋅x M=4k2+12k−33+4k2，x M=−4k2+12k−33+4k2，y M=kx M+k+32，又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以−k代替k，可得x N=−4k2−12k−33+4k2，y N=−kx N−k+32所以直线MN的斜率k MN=y M−y Nx M−x N=k(x M+x N)+2kx M−x N=−12，即直线MN的斜率为定值，其值为−12．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）根据题意，分析可得c的值，进而分析可得2b2a=3，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，设直线AM方程为：y=k(x+1)+32，M(x M, y M)，N(x N, y N)，将直线AM的方程与椭圆联立，分析可得(3+4k2)x2+4k(3+2k)x+4k2+12k−3＝0，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】由题意可知c＝1，令x＝−c，代入椭圆可得y=±b2a，所以2b2a=3，又a2−b2＝1，两式联立解得：a2＝4，b2＝3，∴x 24+y 23=1；由（1）可知，F(−1, 0)，代入椭圆可得y =±32，所以A(−1,32)，因为直线AM ，AN 的倾斜角互补，所以直线AM 的斜率与AN 的斜率互为相反数； 可设直线AM 方程为：y =k(x +1)+32，代入x 24+y 23=1得：(3+4k 2)x 2+4k(3+2k)x +4k 2+12k −3＝0，设M(x M , y M )，N(x N , y N )，因为点A(−1,32)在椭圆上， 所以−1⋅x M =4k 2+12k−33+4k 2，x M =−4k 2+12k−33+4k 2，y M =kx M +k +32，又直线AM 的斜率与AN 的斜率互为相反数，在上式中以−k 代替k ，可得x N =−4k 2−12k−33+4k 2，y N =−kx N −k +32所以直线MN 的斜率k MN =y M −yNx M−x N=k(x M +x N )+2kx M −x N =−12，即直线MN 的斜率为定值，其值为−12．【答案】∵ 函数f(x)＝xe x −ax +b 的图象在x ＝0处的切线方程为：y ＝−x +1， ∴ f′(x)＝(x +1)e x −a ， ∴ {f(0)=b =1f ′(0)=1−a =−1，解得a ＝2，b ＝1．∵ f(x)满足：当x >0时，f(x)≥x 2+m ， ∴ m ≤xe x −x 2−2x +1，令g(x)＝xe x −x 2−2x +1，x >0，则g′(x)＝(x +1)e x −2x −2＝(x +1)(e x −2)， 设g′(x)＝0，x >0，则e x ＝2，从而x ＝ln2， 当x ∈(0, ln2)时，g′(x)<0， 当x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0；∴ 函数g(x)在(0, ln2)上单调递减，在(ln2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)min ＝g(ln2)＝1−ln 22， ∵ m ≤xe x −x 2−2x +1恒成立， ∴ m ≤g(x)min ＝1−ln 22，∴ 实数m 的取值范围是：(−∞, 1−ln 22]． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）由函数f(x)＝xe x −ax +b 的图象在x ＝0处的切线方程为：y ＝−x +1，利用导数的几何意义列出方程组，能求出a ，b ．（2）推导出m ≤xe x −x 2−2x +1，令g(x)＝xe x −x 2−2x +1，x >0，则g′(x)＝(x +1)(e x −2)，利用导数性质求出g(x)min ＝g(ln2)＝1−ln 22，由m ≤xe x −x 2−2x +1恒成立，得到m ≤g(x)min ，由此能求出实数m 的取值范围．【解答】∵ 函数f(x)＝xe x −ax +b 的图象在x ＝0处的切线方程为：y ＝−x +1， ∴ f′(x)＝(x +1)e x −a ， ∴ {f(0)=b =1f ′(0)=1−a =−1，解得a ＝2，b ＝1．∵ f(x)满足：当x >0时，f(x)≥x 2+m ， ∴ m ≤xe x −x 2−2x +1，令g(x)＝xe x −x 2−2x +1，x >0，则g′(x)＝(x +1)e x −2x −2＝(x +1)(e x −2)， 设g′(x)＝0，x >0，则e x ＝2，从而x ＝ln2， 当x ∈(0, ln2)时，g′(x)<0， 当x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0；∴ 函数g(x)在(0, ln2)上单调递减，在(ln2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)min ＝g(ln2)＝1−ln 22， ∵ m ≤xe x −x 2−2x +1恒成立， ∴ m ≤g(x)min ＝1−ln 22，∴ 实数m 的取值范围是：(−∞, 1−ln 22]． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】∵ 曲线C:{x =√3cosαy =sinα （α为参数），∴ 消去参数α得曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．∴ C 的极坐标方程为：ρ2=31+2sin 2θ．∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π)，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2＝4(y ≥0)． 将θ＝a 0（a 0∈[0, π2]）与曲线C 、C 1的方程分别联立， 可得ρ1=√31+2sin 2a 0，ρ2＝2，∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝|2−√31+2sin 2a 0，∵ a 0∈[0, π2]，∴ |AB|的取值范围是[2−√3, 1]． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）曲线C 消去参数α得曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．由此能求出C 的极坐标方程；由曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π)，能求出曲线C 1的直角坐标方程．（2）将θ＝a 0（a 0∈[0, π2]）与曲线C 、C 1的方程分别联立，求出ρ1=√31+2sin 2a 0，ρ2＝2，从而|AB|＝|ρ1−ρ2|＝|2−√31+2sin 2a 0，由a 0∈[0, π2]，能求出|AB|的取值范围．【解答】∵ 曲线C:{x =√3cosαy =sinα （α为参数），∴ 消去参数α得曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．∴ C 的极坐标方程为：ρ2=31+2sin 2θ．∵ 曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ≤π)，∴ 曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2＝4(y ≥0)． 将θ＝a 0（a 0∈[0, π2]）与曲线C 、C 1的方程分别联立， 可得ρ1=√31+2sin a 0，ρ2＝2，∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝|2−√31+2sin 2a 0，∵ a 0∈[0, π2]，∴ |AB|的取值范围是[2−√3, 1]． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】f(x)={ −4x −2x ≤−324−32<x <124x +2x ≥12 ； ∴ 由f(x)<5得，{x ≤−32−4x −2<5，或{−32<x <124<5，或{x ≥124x +2<5；解得：−74<x <34；∴ 原不等式的解集为：(−74,34)；由f(x)−t <0的解集为⌀知，t ≤f(x)min ； 由（1）知f(x)的最小值为4； ∴ t ≤4，且a 是t 的最大值； ∴ a ＝4． 【考点】函数的最值及其几何意义 绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）讨论x 的取值，去绝对值号得出f(x)={−4x −2x ≤−324−32<x <124x +2x ≥12 ，从而可由f(x)<5得到三个不等式组，解不等式组即可得出f(x)<5的解集；（2）据题意可得到t ≤f(x)min ，而由|2x −1|+|2x +3|≥4即得出f(x)的最小值为4，从而得出a ＝4． 【解答】f(x)={−4x −2x ≤−324−32<x <124x +2x ≥12 ；∴ 由f(x)<5得，{x ≤−32−4x −2<5，或{−32<x <124<5，或{x ≥124x +2<5；解得：−74<x <34；∴ 原不等式的解集为：(−74,34)；由f(x)−t <0的解集为⌀知，t ≤f(x)min ； 由（1）知f(x)的最小值为4； ∴ t ≤4，且a 是t 的最大值； ∴ a ＝4．。
2018届昆明市高考文科数学模拟试卷及答案
2018 届昆明市高考文科数学模拟试卷及答案高中文科数学的备考，文科生们可以通过做高考文科数学模拟试题来巩固数学知识。
以下是为你的2018 届昆明市高考文科数学模拟试卷，希望能帮到你。
一、选择题1. 设集合A={x € Z|x > 2} , B={x|0 < xA.{x|2 <x<6}B.{x|0 <x<6}C.{0 , 1, 2, 3, 4, 5}D.{2 , 3, 4,5}2. =（）A. - iB.iC.1D. - 13. 一个四棱柱的三视图如图所示,若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为（）A.25 nB.50 nC.100 nD.200 n4. AQI（Air Quality Index ,空气质量指数）是报告每日空气质量的参数,描述了空气清洁或者污染的程度.AQI 共分六级,从一级优（0〜50），二级良（51〜100,），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染,六级严重污染（大于300）. 下面是昆明市xx 年 4 月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4 月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A.3B.4C.12D.215. 已知非零向量,满足?=0, ||=3 ,且与+的夹角为,则||=（）A.6B.3C.2D.36. 若tan 0 二—2,贝卩sin2 0 +cos2 0 =()A.B. —C.D.-7. 已知F1、F2为双曲线C: —=1(a>0, b>0)的左、右焦点，点P 在C的渐进线上，PF1丄x轴，若△ PF1F2为等腰直角三角形，则 C 的离心率为( )A.B.C.+1D.8. 在厶ABC中，已知AB= AC= tan / BAC- 3,贝S BC边上的高等于( )A.1B.C.D.29. 定义n!=1 x 2X 3X-X n,例如1!=1 , 2!=1 X2=2,执行右边的程序框图，若输入？=0.01，则输出的e精确到e的近似值为()A.2.69B.2.70C.2.71D.2.7210. 我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出了下面的体积计算的原理(祖暅原理) ：“幂势既同，贝积不容异” . “势”是几何体的高，“幂”是截面面积. 意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，贝这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D,它是由抛物线y=x2(x >0), 直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体(如图2所示)贝旋转体D的体积是()A.B.6 n C.8 n D.16 n11. 已知函数f(x)二，若方程f(x) - ax=O恰有两个不同的根,则实数 a 的取值范围是( )A.(0 , )B.[ , )C.( , ]D.(-汽0] U [ , +乂)12. 设F为抛物线C: y2=8x,曲线y=(k>0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y=(k>0)相切于点A,直线FA于C的准线交于点B,贝席于( )A.B.C.D.二、填空题13. 已知实数x，y 满足，贝z=x+y 的最大值为.14. 已知函数f(x)=sin( 3 x+)( 3 >0), A、B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f(1)=.15. 已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且an=4n,若不等式Sn+8》入n对任意的n € N*都成立，贝卩实数入的取值范围为.16. 若关于x的不等式a< x2 - 3x+4< b的解集恰好为[a , b], 那么b- a= .三、解答题17. 已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=2an+2n+1.(I) 证明数列｛｝是等差数列；(II) 求数列｛｝的前n项和.18. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了 1 00名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0 , 0.5) , [0.5 , 1)，…，[4 , 4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(I) 求图中a的值；(II) 估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；( 皿)在[1 , 1.5) , [1.5 , 2)这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率.19. 如图，已知三棱锥P- ABC BC! AC BC二AC=2 PA二PB 平面PABL平面ABC D E、F分别是AB PB PC的中点.(I )证明：PDL平面ABC;( I)若M为BC中点，且PM!平面EFD 求三棱锥P- ABC的体积.20. 已知动点M(x, y)满足：+=2, M的轨迹为曲线E.(I )求E的方程；( I)过点F(1 , 0)作直线I交曲线E于P, Q两点，交y轴于R 点，若二入1,二入2,求证：入1+入2为定值.21. 已知函数f(x)=(2x2+x)lnx - (2a+1)x2 - (a+1)x+b(a , b€R).( I )当a=1 时，求函数f(x) 的单调区间；( I)若f(x) > 0恒成立，求b - a的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x - 2)2+y2=4 , 直线I的方程为x+y - 12=0,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I) 分别写出曲线C与直线I的极坐标方程；(II) 在极坐标中，极角为B ( 0€ (0 ,))的射线m与曲线C,直线I分别交于A、B两点(A异于极点0),求的最大值.[ 选修4-5 ：不等式选讲]23. 已知a, b, c, m n, p都是实数，且a2+b2+c2=1, m2+n2+p2=1.( I)证明|am+bn+cp| < 1;(I)若abc z 0,证明++> 1.一、选择题1. 设集合A={x € Z|x > 2} , B={x|0 < xA.{x|2 < x<6}B.{x|0 < x<6}C.{0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}D.{2 , 3 ,4 ,5}【考点】1E:交集及其运算.【分析】由A与B ,求出两集合的交集即可.【解答】解：T 集合A={x€ Z|x > 2}, B={x|0 < x<6},••• A A B={2 , 3 , 4 , 5},故选： D2. =( )A. - iB.iC.1D. - 1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：=，故选： A.3. 一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（）A.25 nB.50 nC.100 nD.200 n【考点】LR:球内接多面体；LG :球的体积和表面积.【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积.【解答】解:由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，二球的半径为，二这个球的表面积为=50n,故选: B.4. AQI（Air Quality Index ，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度.AQI 共分六级，从一级优（0〜50），二级良（51〜100,），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）. 下面是昆明市xx 年 4 月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4 月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A.3B.4C.12D.21【考点】BA茎叶图.【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30 天空气质量是优的天数即可.【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，即空气优的概率是p==，故30天中有x 30=12天是优，故选： C.5. 已知非零向量，满足?=0，||=3 ，且与+的夹角为，则||=( )A.6B.3C.2D.3【考点】9V:向量在几何中的应用；9S :数量积表示两个向量的夹角.【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.【解答】解:非零向量，满足?=0，可知两个向量垂直，||=3 ，且与+的夹角为，说明以向量，为邻边，+为对角线的平行四边形是正方形，所以则||=3.故选: D.6. 若tan 0 二—2,贝卩sin2 0 +cos2 0 =()A.B. —C.D.-【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【解答】解：sin2 0 +cos2 0 ====-,故选： D.7. 已知F1、F2为双曲线C: - =1(a>0, b>0)的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1丄x轴，若△ PF1F2为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A.B.C.+1D.【考点】KC双曲线的简单性质.【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可.【解答】解：F1、F2为双曲线C：- =1(a>0, b>0)的左、右焦点，点P在C的渐近线上，PF1丄x轴，若△ PF1F2为等腰直角三角形，可得：，即：b=2a,可得c2 -a2=4a2,即e2=5，e>1，解得e=，则C的离心率为.故选： A.8. 在厶ABC中，已知AB= AC= tan / BAC- 3,贝S BC边上的高等于( )A.1B.C.D.2【考点】HS余弦定理的应用；HT:三角形中的几何计算【分析】求出/ BAC勺余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可.【解答】解：在△ ABC中，已知AB= AC= tan / BAC=- 3, 可得cos/ BAC=- =-, sin / BAC=.由余弦定理可得：BC===3，设BC边上的高为h,三角形面积为：=BC?h，h==1.故选： A.9. 定义n!=1 x 2X 3X-X n,例如1!=1 , 2!=1 x2=2,执行右边的程序框图，若输入？=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（）A.2.69B.2.70C.2.71D.2.72【考点】EF:程序框图.【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e,n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解.【解答】解：模拟程序的运行,可得？=0.01 , e=1, n=1执行循环体, e=2, n=2不满足条件不满足条件不满足条件由于~ 0.008故选： C.10. 我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出了下面的体积计算的原理( 祖暅原理) ：“幂势既同，则积不容异” . “势”是几何体的高，“幂”是截面面积. 意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D,它是由抛物线y=x2(x >0), 直线y=4及y 轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体(如图2所示)则旋转体D的体积是()A.B.6 n C.8 n D.16 n【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】由题意，4x= n ?22,求出x= n，再求出长方体的一半的体积即可.【解答】解：由题意，4x= n ?22,二x= n,•••旋转体D的体积是=8n,故选 C.11. 已知函数f(x)=，若方程f(x) - ax=0恰有两个不同的根，则实数 a 的取值范围是( )A.(0 , )B.[ , )C.( , ]D.(-汽0] U [ , +乂)【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程；54 :根的存在性及根的个数判断.【分析】由题意，方程f(x)=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围.【解答】解：•••方程f(x) - ax=0恰有两个不同实数根，二y=f(x)与y=ax有2个交点，又T a表示直线y=ax的斜率，二x>1 时，y，=,设切点为(x0 , y0), k=,二切线方程为y- yO=(x - x0),而切线过原点，二y0=1, x0=e, k=,二直线11的斜率为，又T直线12与y=x+1平行，•••直线12的斜率为，二实数a的取值范围是［,)故选： B.12. 设F为抛物线C: y2=8x,曲线y=(k>0)与C交于点A,直线FA恰与曲线y=(k>0)相切于点A,直线FA于C的准线交于点B,则等于( )A.B.C.D.【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A(x0,y0) ，根据题意可求出A(1 ，2) ，继而求出答案.【解答】解：F为抛物线C: y2=8x的焦点，贝S F（2 , 0），其准线方程为x二-2,设A（x0，y0）T y二，k=x0y0=2x0・ /…y =-,二直线AF的斜率为-二-t kAF==，. ・解得x0=1，・A（1，2），・AC=1+2=3，FD=4，・==，・=，・AB=3，・=，故选： B.二、填空题13. 已知实数x，y 满足，贝z=x+y 的最大值为3 .【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A(0 ，3) ，化目标函数z=x+y为y= - x+z,由图可知，当直线y=- x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z 有最大值为3.故答案为： 3.14. 已知函数f(x)=sin( 3 x+)( 3 >0), A B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f(1)=.【考点】HW三角函数的最值. 【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出3，可得函数的解析式，即可求出f(1).【解答】解：由题意可得=2,二3 =,二函数f(x)=sin(x+),•-f(1)=,故答案为：.15. 已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且an=4n,若不等式Sn+8 》入n对任意的n€N*都成立，贝卩实数入的取值范围为(-汽10].【考点】8I ：数列与函数的综合.【分析】先根据an=4n得到数列｛an｝是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2原不等式转化为入w 2(n+)+2，根据基本不等式即可求出答案.【解答】解：丁数列｛an｝的前n项和为Sn,且an=4n,当n=1 时，a1=4，T an —an —1=4n— 4(n - 1)=4 ,二数列｛an｝是以4为首项，以4为公差的等差数列，Sn==2n+2n2T不等式Sn+8>^ n对任意的n€ N*都成立，二2n+2n2+8>入n对任意的n € N*都成立，即入w 2(n+)+2 ,T n+》2=4,当且仅当n=2时取等号，入w 2X4+2=10,故实数入的取值范围为(-=,10],故答案为：(-=,10].16. 若关于x 的不等式a w x2—3x+4w b 的解集恰好为[a ，b] ，那么b—a= 4 .【考点】74：一元二次不等式的解法.【分析】画出函数f(x)=x2 —3x+4的图象，可知f(x)min=1;分类讨论：a>1 时，不等式a w x2—3x+4w b 的解集分为两段区域，不符合题意;有a w 1【解答】解：画出函数f(x)=x2 - 3x+4=(x - 2)2+1的图象，可得f(x)min=f(2)=1 ，由图象可知：若a>1，则不等式a< x2 - 3x+4< b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a< 1，此时a< x2 - 3x+4恒成立；又T不等式a<x2 - 3x+4< b的解集为[a , b],a w 1由b2 - 3b+4二b,化为3b2 - 16b+16=0,解得b二或b=4;当b二时，由a2 - 3a+4- =0,解得a二或a=,不符合题意，舍去;二b=4,此时a=0;二b- a=4.故答案为： 4.三、解答题17. 已知数列｛an｝满足a1=2, an+1=2an+2n+1.(I) 证明数列｛｝是等差数列；(II) 求数列｛｝的前n项和.【考点】8H:数列递推式;8E :数列的求和.【分析】(I )根据数列的递推公式可得数列｛｝是首项为1,公差为 1 的等差数列,(I)由(I )可得数列｛｝是首项为2,公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可.【解答】解：(1) T a1=2, an+1=2an+2n+1二一=+1- =1,T =1,二数列｛｝是首项为1 ,公差为1的等差数列，(II)由(I)可得二n,=2n,•••数列｛｝是首项为2,公比为2的等比数列，故数列｛｝的前n 项和Sn==2n+1- 218. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”,从高一年级中随机调查了 1 00名学生进行调查,获得了每人的周末“阅读时间” (单位：小时)，按照［0 , 0.5) , ［0.5 , 1)，…，［4 , 4.5］分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.( I ) 求图中a 的值;( I ) 估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;( 皿)在［1 , 1.5) , ［1.5 , 2)这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率.【考点】B3:分层抽样方法；CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】( I ) 求出高一学生周末“阅读时间”在［0 ，0.5) ，［0.5 ，1)，…，［4 , 4.5］的概率，即可求图中a的值；(I)确定2< m(皿)确定基本事件的个数，即可得出结论.【解答】解：(I)由题意，高一学生周末“阅读时间”在［0,0.5) ,［0.5 ,1)，…，［4 ,4.5］的概率分别为0.04 ,0.08,0.20.0.25.0.07 0.04.0.02，由 1 - (0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a ,二a=0.30;(II)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5 前4 组频率和为0.47<0.5 ，所以2< m<2.5,由0.50(m- 2)=0.5 - 0.47，得m=2.06;( 皿)在［1 , 1.5) , ［1.5 , 2)这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7 人分别为 3 人、 4 人再从7 人中随机抽取 2 人有=21 种抽取的两人恰好都在一组有=9 种故所求概率为.19. 如图，已知三棱锥P- ABC BC!AC BC二AC=2PA二PB 平面PABL平面ABC D E、F分别是AB PB PC的中点.(I )证明：PDL平面ABC;( I)若M为BC中点，且PM!平面EFD 求三棱锥P- ABC勺体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LW:直线与平面垂直的判定.【分析】(I )由PA=PB D为AB中点，可得PDL AB再由面面垂直的性质可得PDL平面ABC;(n )设PM交EF于N,连接DM DN由线面垂直的性质得到PM 丄DN 由已知可得DN垂直平分PM故PD=DM求出DM进一步求得PD.即三棱锥P- ABC勺高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P- ABC 的体积.【解答】(I )证明：T PA=PB D为AB中点，二PDL AB 又平面PABL平面ABC 交线为AB PD?平面PAB••• PDL平面ABC;( n )解：设PM交EF于N,连接DM DNT PML平面EFD DN平面DEF•PML DN又E , F分别是PB, PC的中点，•N为EF的中点，也是PM的中点，•DN垂直平分PM 故PD=DM又DM fe^ ABC的中位线,贝S DM==1 • PD=1.T BC L AC 则.•三棱锥P- ABC的体积20. 已知动点M(x , y)满足：+=2 , M的轨迹为曲线E.(I )求E的方程；( n )过点F(1 , 0)作直线I交曲线E于P , Q两点，交y轴于R 点，若二入1,二入2,求证：入1+入2为定值.【考点】KQ圆锥曲线的定值问题;J3 :轨迹方程.【分析】(I )由已知，可得动点N的轨迹是以C( - 1,0) , A(1 , 0)为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c,可得曲线E的方程；(II)设P(x1 , y1) , Q(x2, y2) , R(0, y0)，由二入1,,点P 在曲线E上可得…①，同理可得：…②由①②可得入1、入2是方程x2+4x+2 - 2y02=0的两个根，入1 + 入2为定值-4.【解答】解：(I )由+=2,可得点M(x, y)到定点A( - 1, 0), B(1 , 0) 的距离等于之和等于2.且AB,所以动点N的轨迹是以C(- 1, 0), A(1 , 0)为焦点的椭圆，且长轴长为2,焦距2c=2，所以，c=1, b=1, 曲线E的方程为：；(I)设P(x1 , y1) , Q(x2, y2) , R(0 , y0), 由二入1 , (x1 , y1 -y0)=入1(1 - x1 , - y1)，二，T过点F(1 , 0)作直线I交曲线E于P, •••,二…①同理可得：…②由①②可得入1、入2是方程x2+4x+2 - 2y02=0的两个根，•••入1+入2为定值-4.21. 已知函数f(x)=(2x2+x)lnx - (2a+1)x2 - (a+1)x+b(a , b€R).(I)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(II)若f(x) > 0恒成立，求b - a的最小值.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6D :利用导数研究函数的极值.【分析】(I)当a=1 时，f' (x)=(4x+1)(lnx - 1)=0，得x=e.x € (0 , e)时，f' (x)0.即可得函数f(x)的单调区间；(I)由题意得f‘ (x)=(4x+1)(lnx - a) , (x>0).可得函数f(x) 的单调增区间为(ea , )，减区间为(0 , ea)即f(x) >0恒成立，b>e2a+ea.即 b - a>e2a+ea- a,构造函数g(t)=t2+t - lnt , (t>0), g‘ (t)=.可得g(t)min=g()=.即可得b- a的最小值.【解答】解: ( I ) 当a=1 时, f(x)=(2x2+x)lnx - 3x2-2x+b(x>0).f ' (x)=(4x+1)(lnx - 1)，令f' (x)=0，得x=e.x € (0 , e)时，f‘ (x)0.函数f(x)的单调增区间为(e , )，减区间为(0 , e);( I)由题意得f‘ (x)=(4x+1)(lnx - a) , (x>0).令 f ' (x)=0，得x=ea.x € (0 , ea)时，f‘ (x)0.函数f(x)的单调增区间为(ea , )，减区间为(0 , ea)f(x)min二f(ea)= - e2a - ea+b,T f(x) >0 恒成立，二f(ea)= - e2a- ea+b> 0,贝U b>e2a+ea.b- a>e2a+ea— a令ea=t, (t>0)，二e2a+ea- a=t2+t - lnt ,设g(t)=t2+t - lnt , (t>0) , g‘ (t)=.当t € (0 ,)时，g，(t)0.••• g(t)在(0 ,)上递减，在(，+乂)递增.••• g(t)min=g()=.f(x) >0恒成立，b- a的最小值为.请考生在22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x - 2)2+y2=4 , 直线I的方程为x+y - 12=0,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I) 分别写出曲线C与直线I的极坐标方程；(II) 在极坐标中，极角为B ( 0€ (0 ,))的射线m与曲线C,直线I分别交于A、B两点(A异于极点0),求的最大值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;H9:余弦函数的定义域和值域.【分析】( I )利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法,分别写出曲线C与直线I的极坐标方程；(I)由题意|OA|=4cos 0, |OB|=，利用三角函数知识，可得结论.【解答】解：(I )曲线C的方程为(x - 2)2+y2=4,即x2+y2=4x,极坐标方程为p =4cos 0 ;直线I的方程为x+y - 12=0,极坐标方程为p cos 0 + p sin 0-12=0;(II)由题意|OA|=4cos 0, |OB|=,二==+sin(2 0 +),T0€(0 ,)，二20+€(，兀),••• sin(2 0 +) € ( - 1],•••的最大值为，此时.[ 选修4-5 ：不等式选讲]23. 已知a , b , c , m n , p 都是实数，且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.( I)证明|am+bn+cp| < 1;(I)若abc z 0,证明++> 1.【考点】R6:不等式的证明.【分析】利用柯西不等式即可证明结论.【解答】证明：(I)由柯西不等式，可得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2) > (am+b n+cp)2,T a2+b2+c2=1, m2+n2+p2=1• 1 > (am+b n+cp)2,•|am+b n+cp| < 1;( I)由柯西不等式，可得++=(++)(a2+b2+c2) > (m2+n2+p2)2=1 ,• ++> 1.。
2018年云南省高考数学四模试卷
2018年云南省高考数学四模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞） C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某工厂有960个职工，其中男职工400个，按男女比例用分层抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本，则应抽取的男职工人数为______．14．已知P为球O球面上的一点，A为OP的中点，若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，则球O的表面积为______．15．曲线y=lnx的过原点的切线方程是______．16．已知数列{a n}的通项公式为，S n为其前n项和，则S100=______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的值域．18．某中学调查了某班全部50名同学参加数学兴趣小组和语文兴趣小组的情况，（1）从该班同学中随机选1名，求该同学至少参加上述一个兴趣小组的概率；（2）在既参加数学兴趣小组，又参加语文兴趣小组的6个同学中，有4个男同学，2个女同学，现从这6个同学中随机抽取2人做进一步的调查，求抽取的2人中恰有1个女同学的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M为PC的中点，过A，B，M三点的平面与PD交于点N．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）求多面体MN﹣ABCD的体积．20．已知A（﹣2，0），B（2，0），平面内的动点P满足条件：PA，PB两直线的斜率乘积为定值，记动点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点Q（﹣4，0）的动直线l与曲线C交于M，N两点，求△OMN（O 为坐标原点）面积的最大值，并求出△OMN面积最大时，直线l的方程．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+3lnx，x=1是函数f（x）的一个极值点．（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；（2）若仅存在一个整数x0，使得f（x0）﹣kx0﹣k＞0成立，求k的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直线AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E．（1）求证：PA•PB=PO•PE；（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sinθ﹣2cosθ=0，直线l与圆C相交于A，B两点，且|OA|＜|OB|．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求的值．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=x2+|2x﹣4|+a．（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．2018年云南省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞） C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某工厂有960个职工，其中男职工400个，按男女比例用分层抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本，则应抽取的男职工人数为25．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，列出算式即可求出结论．【解答】解：设应抽取男职工人数为n，∵男职工有400人，∴=，解得n=25，故答案为：25．14．已知P为球O球面上的一点，A为OP的中点，若过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径，利用球的面积公式求出球O的表面积即可．【解答】解：∵过点A且与OP垂直的平面截球O所得圆的面积为3π，∴截面圆的半径为，设球O的半径为R，则R2=（R）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．15．曲线y=lnx的过原点的切线方程是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，把横坐标代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．【解答】解：设切点坐标为（x0，lnx0），则切线斜率k=y′|x=x0==，∴lnx0=1解得x0=e，∴切点为（e，1），k=则切线方程为：y﹣1=（x﹣e）即y=x故答案为：y=x．16．已知数列{a n}的通项公式为，S n为其前n项和，则S100=5050．【考点】数列的求和．【分析】通过记b n=cos可知数列{b n}是以4为周期的周期数列，且b1+b2+b3+b4=0，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：记b n=cos，则b n=，∴数列{b n}是以4为周期的周期数列，且b1+b2+b3+b4=0，∴S100=1+2+3+…+100==5050，故答案为：5050．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）根据三角恒等变换化简f（x），求出f（x）的最小正周期即可；（2）求出函数的单调区间，从而求出函数的值域．【解答】解：（1）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=2cosxsinx﹣2cosxcosx+1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）f（x）=sin（2x﹣），x∈，2x﹣∈[﹣，π]，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，解得：kπ+π≤x≤kπ+π，∴f（x）在[0，π]递增，在[π，π]递减，显然x=π时，f（x）最大，最大值是，x=0时，f（x）最小，最小值是﹣1，故f（x）的值域是[﹣1，]．18．某中学调查了某班全部50名同学参加数学兴趣小组和语文兴趣小组的情况，（2）在既参加数学兴趣小组，又参加语文兴趣小组的6个同学中，有4个男同学，2个女同学，现从这6个同学中随机抽取2人做进一步的调查，求抽取的2人中恰有1个女同学的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加上述一个兴趣小组”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（2）列举所有的基本事件，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（1）设“至少参加上述一个兴趣小组”为事件A；从50名同学中任选一名有50种选法，∴基本事件数为50﹣20=30；∴P（A）==；（2）4名男同学用A，B，C，D，2名女同学用a，b，其一切可能的结果组成的基本事件有：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15个，抽取的2人中恰有1个女同学所包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db共8个，故抽取的2人中恰有1个女同学的概率P=．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M为PC的中点，过A，B，M三点的平面与PD交于点N．（1）求证：BM∥平面PAD；（2）求多面体MN﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AB ∥平面PCD 可得AB ∥MN ∥CD ，于是MN==AB ，故而四边形ABMN 是平行四边形，于是BM ∥AN ，得出BM ∥平面PAD ； （2）将多面体分解成三棱锥A ﹣DMN 和四棱锥M ﹣ABCD 计算体积．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABMN ，平面ABMN ∩平面PCD=MN ，∴AB ∥MN ．∵AB ∥CD ，∴MN ∥CD ，∵M 是PC 的中点，∴MN=CD ．又∵AB=，∴AB=MN ．∴四边形ABMN 是平行四边形，∴BM ∥AN ，∵AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ．解：（2）∵PD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离h=． ∴V M ﹣ABCD =S 梯形ABCD •h==1．∵AD ⊥CD ，AD ⊥PD ，PD ∩CD=D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD ．∴V A ﹣MND ===．∴多面体MN ﹣ABCD 的体积V=V M ﹣ABCD +V A ﹣MND =1+=．20．已知A（﹣2，0），B（2，0），平面内的动点P满足条件：PA，PB两直线的斜率乘积为定值，记动点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点Q（﹣4，0）的动直线l与曲线C交于M，N两点，求△OMN（O 为坐标原点）面积的最大值，并求出△OMN面积最大时，直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点P（x，y），由题意可得：k PA•k PB==﹣，化简即可得出曲线C的方程．（2）设直线l的方程为：my=x+4，M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（m2+4）y2﹣8my+12=0，△＞0．利用根与系数的关系可得|MN|=，利用点到直线的距离公式可得点O到直线l的=d|MN|，及其基本不等式的性质即可得出．距离d，利用S△OMN【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得：k PA•k PB==﹣，化为：=1．（x≠±2）．∴曲线C的方程为=1．（x≠±2）．（2）设直线l的方程为：my=x+4，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（m2+4）y2﹣8my+12=0，△=64m2﹣48（m2+4）＞0，化为：m2＞12．∴y1+y2=，y1y2=．∴|MN|===．点O到直线l的距离d=，=d|MN|=××=．∴S△OMN设m2﹣12=t＞0，则f（t）==≤=1，当且仅当=4，即t=16时取等号，m=±2．∴当m=±2时，△OMN面积取得最大1，直线l的方程为：±2y=x+4．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+3lnx，x=1是函数f（x）的一个极值点．（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；（2）若仅存在一个整数x0，使得f（x0）﹣kx0﹣k＞0成立，求k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（1）=2a﹣1+3=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为若仅存在一个整数x0，使得f（x0）＞k（x0+1）＞0成立，令g （x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（﹣1，0），得到，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣x+3lnx，x＞0，f′（x）=2ax﹣1+，若x=1是函数f（x）的一个极值点，则f′（1）=2a﹣1+3=0，解得：a=﹣1，∴f（x）=3lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣2x﹣1==﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）若仅存在一个整数x0，使得f（x0）﹣kx0﹣k＞0成立，即若仅存在一个整数x0，使得f（x0）＞k（x0+1）＞0成立，令g（x）=k（x+1），则直线g（x）恒过（﹣1，0），由题意得：即，解得：﹣2+ln2＜k＜﹣1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sinθ﹣2cosθ=0，直线l与圆C相交于A，B两点，且|OA|＜|OB|．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用cos2θ+sin2θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程；利用，即可把直线l极坐标方程化为直角坐标方程．（2）过圆心C作CD⊥AB，垂足为D．可得点D到直线l的距离d，|OD|=，|AB|=2，于是|OA|=|OD|﹣|AB|，即可得出．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圆心C（2，2），半径r=1．直线l的极坐标方程为：sinθ﹣2cosθ=0，即ρsinθ﹣2ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程：y=2x．（2）过圆心C作CD⊥AB，垂足为D．点D到直线l的距离d==．则|OD|===，|AB|=2=2=，∴|OA|=|OD|﹣|AB|=﹣=．∴==．选修4-5：不等式选讲23．已知f（x）=x2+|2x﹣4|+a．（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=﹣3时，f（x）=x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）=x2+|2x﹣4|﹣3，当x≤0时，由f（x）＞x2+|x|得﹣x+1＞0，得x＜1，∴x≤0．当0＜x≤2时，由f（x）＞x2+|x|得﹣3x+1＞0，解得x＜．∴0＜x＜．当x＞2时，由f（x）＞x2+|x|得x﹣7＞0，解得x＞7．∴x＞7．当a=﹣3时，f（x）＞x2+|x|的解集为{x|x＜或x＞7}．（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，当x≥2时，﹣x2﹣|2x﹣4|=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5≤﹣4，当x＜2时，﹣x2﹣|2x﹣4|=﹣x2+2x﹣4=﹣（x﹣1）2﹣3≤﹣3，∴﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3．∴实数a的取值范围为[﹣3，+∞）．。
2018年云南省玉溪市高考数学一模试卷(文科)
2018 年云南省玉溪市高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 A={1 ， 3， 5， 7} ， B={4 ， 5，6， 7} ，则 A∪B 中元素个数为（）A. 2B.4C.6D. 82.设复数 z 的共轭复数为，若（ 3+i ） z=2- i，则 | |=（）A. B. C. D. 13.如图是甲乙丙三位同学在高三以来6 次考试的数学成绩折线图，请根据图表判断下列说法错误的是（）A.丙的数学成绩整体上最差B.乙的数学成绩稳定性最差C.甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定D.乙的整体水平比丙高，且乙的成绩比丙更稳定4. 已知向量= 2 1），向量=x-2），若⊥ ，则| |=（）（，（，A. B. 2 C. 1 D. -45. 已知等比数列 { a n} 的各项均为正数，且a3a9=64，则 log2a6=（）A. 2B. 3C. 4D. 56.一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧（左）视图为（）A. B. C.D.7.将函数 f （ x ） =sin2x+ cos2x 的图象向右平移个单位后得到 g （ x ）的图象，则函数 g （x ）的一个单调递增区间为（）A.[- ， ]B.[ ，]C.[- ， ]D.[- ，0]8.如图所示的程序框图是数学史上有名的“冰雹猜想”，它蕴含着一个规律， 即任意正整数 n ，按照改程序运行， 最终都会变为 4-2-1 循环，若输入 i=0，试求输入 n 分别为 5 和 6，则输出的 i 分别为（）A.4和7B.5和8C.5和 7D.4和89. 三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上， 已知 PA PB PC 两两垂直， PA=1， ， ，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球 O 的体积为（ ）A. 36πB. 9πC. πD. π10. 设 a=2 -0.3， b=log 34 ， c=log 23 ，则 a b c 的大小关系为（ ）A. ＜ ＜B. ＜ ， ，＜ ＜ c b a ＜ cC.＜＜D.a cb a ac bb 11. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AD 上，且 AM=AN（ M ，N 不与点 A 重合），给出下列结论：（ 1） MN ∥B 1D 1；（ 2）直线 MN 与 BC 1 所成的角为 ；（ 3） MN ⊥CB 1；（ 4） BD 与平面 ACD 1 所成角的正切值为 ．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 双曲线 C ： - =1（ a ＞ 0，b ＞ 0）的左右焦点分别为 F 1（-c ，0），F 2（ c ，0），M ，N 两点在双曲线上， 且 MN ∥F 1F 2，|F 1 F 2|=2|MN|，线段 F 1N 交双曲线 C 于点 Q ，且 |F 1Q|=|F 1N|，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13. 若 x ，y 满足，则 z=x-y 的最大值为 ______．14.直线 y=k （ x-1） +1 与圆 x 2+y 2=4 相交于 A ， B 两点，当 |AB|最短时 k 的值为 ______． 15. 过双曲线 -=1（ a ＞ 0，b ＞ 0）的一个焦点 F 作渐近线的垂线 l ，垂足为 M ，l 交 y轴于点 E ，若=2 ，则该双曲线的渐近线方程为 ______．16.若数列 { a n} 为 1， 2，2， 3， 3， 4，4，，则该数列通项公式a n=______．三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0分）17.ABC中，角A B C所对的边分别为a b c，=，csinA+acosC=b．在△，，，，（Ⅰ）求 sinC 的值；（Ⅱ）已知 AD 为 BC 边上的中线，且 AD=，求△ABC 的面积．18. 为了更好地了解职工对待工作的满意程度，某企业通过调查问卷（满分50 分）的形式对本企业900 名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30 名员工（ 16名女员工， 14名男员工）的得分，如表：女47363248344443474639434250433549男3735344346363840393248334134（Ⅰ）根据初步计算分析得这30名员工的平均得分为40.5 分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”的人数总计女男总计（Ⅱ）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作满意度”有关？参考数据：P（K 2≥k0）0.100.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.8282K =（Ⅲ）在上述样本中且得分大于46 分的员工里，随机抽取 2 人，求抽到员工为一男一女的概率．19.如图，在正四棱锥P-ABCD 中， F 为 AD 的中点， E 为 BC的中点， M 是棱 PC 的中点， AB=4．（Ⅰ）求证：直线PA∥平面 MFE ；（Ⅱ）若 PC=2，求三棱锥P-MFE 的体积．20.已知圆C：x2+（y+）2=16，点A（0，），P是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线E，直线 l：y=kx+m 与 y 轴交于点D，与曲线 E 交于 M， N 两个相异点，且=λ．（Ⅰ）求曲线 E 的方程；（Ⅱ）若=3，求m2的取值范围．21.设函数 f（ x） =axlnx- bx，若曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线为 x+y+1=0 ．（Ⅰ）求函数 f（ x）的单调区间；2（Ⅱ）若 x∈[1， +∞）时，关于 x 的不等式 f（ x）≤λx-2x-λ恒成立，求实数λ的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ=与曲线 C2交于点 A（，）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若 M， N 是曲线 C1上的两个动点，且OM ⊥ON，求证：+是定值．23.已知函数 f（ x） =|2x+1|-|x-2|．（Ⅰ）求不等式 f（ x）≥4的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式 f（ x）≤-t2+3 t 在 [1， 3]上无解，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∪B={1 ，3，5，7，4，6} ；∴A ∪B 元素个数为 6．故选：C．进行并集的运算求出A∪B 即可得出 A ∪B 元素的个数．考查列举法表示集合的概念，以及并集及其运算．2.【答案】A【解析】解：由（3+i）z=2-i ，得，则，∴||=．故选：A．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，得到，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由甲乙丙三位同学在高三以来 6 次考试的数学成绩折线图，知：在A 中，丙的数学成绩整体上最差，故A 正确；在 B 中，乙的数学成绩稳定性最差，故 B 正确；在 C 中，甲乙整体水平较接近，且甲的成绩更加稳定，故 C 正确；在D 中，乙的整体水平比丙高，且丙的成绩比乙更稳定，故 D 错误．故选：D．由甲乙丙三位同学在高三以来 6 次考试的数学成绩折线图，知乙的整体水平比丙高，且丙的成绩比乙更稳定．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵向量=（2，1），向量=（x，-2），⊥，∴=2x-2=0，解得 x=1，∴=（1，-2），∴| |==．故选：A．由向量垂直的性质求出 x=1，从而=（1，-2），由此能求出||．本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：在等比数列{a n} 中，2a3a9=（a6），a2即（6）=64，即a6=8，则 log2a6=log28=3故选：B．根据等比数列的性质进行求解即可．本题主要考查等比数列的性质的应用，根据等比数列的性质建立方程关系是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：它的左视图为：．故选：B．画出直观图，然后判断左视图即可．本题考查解得几何体的直观图的画法，三视图的应用，考查空间想象能力以及计算能力．【答案】 A7.【解析】解：函数f （x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），图个单位，f （x）的象向右平移得 f（x- ）=2sin[2（x- ）+ ]=2sin2x 的图象，∴g（x ）=2sin2x；-+2kπ≤ 2x≤+2kπ，k∈Z，-+kπ≤ x≤+kπ，k∈Z；单调递增区间为[-， ] ．∴函数 g（x）的一个故选：A．化函数 f（x）为正弦型函数，根据图象平移法则写出 g（x）的解析式，再求函数g（x）的单调递增区间．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：若输入 i=0，n=5满足条件 n 为奇数，n=16，i=1不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=8，i=2不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=4，i=3不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=2，i=4不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=1，i=5满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 5．若输入 i=0，n=6不满足条件 n 为奇数，n=3，i=1不满足条件 n=1，满足条件 n 为奇数，n=10，i=2不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=5，i=3不满足条件 n=1，满足条件 n 为奇数，n=16，i=4不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=8，i=5不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=4，i=6不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=2，i=7不满足条件 n=1，不满足条件 n 为奇数，n=1，i=8满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 8．故选：B ．由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 n的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题．9.【答案】 C【解析】2解：由题意，V= ? ?1?PB?PC ≤ （PB+PC ）= ，当且仅当 PB=PC=2 时，三棱锥的体积最大，如图所示，将 P-ABC 视为正四棱柱的一部分，则 CD=2R ，即PA 2+PB 2+PC 2=4R 2=9，可得 R= ，积 V=33故球的体 πR×π×）= π是： = （故选：C ．当且仅当 PB=PC=2 时，三棱锥的体积最大，如图所示，将 P-ABC 视为正四棱柱的一部分，求出△ABC 外接圆的半径，即可求出球的表面积．本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】0＜a=2-0.3＜2=1，1=log33＜b=log34＜= =＜c=log23，解：∵∴a＜b＜c．故选：D．直接利用指数函数、对数函数的单调性求解即可．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于（1），如图①所示，连接 MN 、BD，则 MN ∥BD，又 BB 1∥DD 1，且 BB 1=DD 1，∴四边形 BDD 1B1是平行四边形，∴BD ∥B1D1，∴MN ∥B1D1，（1）正确；对于（2），如图②所示，连接 BD、BC1和 DC1，则△BDC1是等边三角形，∴∠DBC 1=，又 MN ∥BD，∴直线 MN 与 BC1所成的角为，（2）正确；对于（3），如图③ 所示，连接 A 1D 、A 1B 和 BD ，则△A 1BD 是等边三角形，由 A 1D ∥B 1C ，MN ∥BD 知，MN 与 CB 1 所成的角 为 ∠A 1DB= ，∴（）错误；3 对于（4），如图④ 所示，连接 AC 、BD ，交于点 O ，连接 OD 1，则 ∠DOD 1 是 BD 与平面 ACD 1 所成的角，在 Rt △DOD 1 中，tan ∠DOD 1= = =，∴（4）正确．综上，正确的命题序号是（1）、2（）、4（），共3 个．故选：C ．1）根据MN ∥BD ，BD ∥B 1D1，得出 MN ∥B ；（1D1（2）根据△BDC 1 是等边三角形，得出 MN 与 BC 1 所成的角 为 ；（3）根据△A 1BD 是等边三角形，得出 MN 与 CB 1 所成的角 为 ；（4）根据∠DOD 1 是 BD 与平面 ACD 1 所成的角，计算 tan ∠DOD 1 即可．本题考查了空间中的线面平行、垂直以及线面角的计算问题，是综合题．12.【答案】 D【解析】解：由2c=|F 1F 2|=2|MN|，可得|MN|=c ，由 MN ∥F 1F 2，可设 N （ c ，t ），由 |F 1Q|= |F 1N|，可得|F 1Q|= |QN|，由定点分比坐 标公式可得 Q （- c ， t ），由 N ，Q 在双曲线上，可得 - =1，-=1，消去 t 整理可得， e 2-1= （ e 2-1），解得 e= ．故选：D ．运用双曲 线的对称性由条件可 设 N 的坐标，由定点分比坐标公式可得 Q 的坐标，再由 N ，Q 在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲 线的离心率．本题考查双曲线的方程和运用，注意运用定点分比坐 标公式和点 满足双曲线的方程，以及离心率的范 围，考查化简整理的运算能力，属于中档 题．13.【答案】 1【解析】解：由x ，y 满足作出可行域如图，化目标函数 z=x-y 为 y=x-z ，由图可知，当直线 y=x-z 过 A （0，-1）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 1．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目 标函数为直线方程的斜截式，数形 结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】 -1【解析】解：根据题意，圆 x 2+y 2=4 的圆心为原点 O ，坐标为（0，0）；直线 y=k （x-1）+1 过定点（1，1），设 P （1，1）；当 OP 与直线 AB 垂直时，|AB|最短，此时 K OP = =1，则 k=- =-1；故答案为：-1．根据题意，分析圆 x 2+y 2=4 的圆心的坐标，直线 y=k （x-1）+1 过定点（1，1），设P （1，1）；分析可得当OP 与直线 AB 垂直时，|AB| 最短；据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析 |AB|最短的条件，属于基 础题 ．15.【答案】 y=±【解析】解：如图所示．取右焦点 F （c ，0），渐近线 y= x ．∵FM ⊥OM ，∴可得直线 FM 的方程为（x-c ），令 x=0，解得 y=， E （0， ）．∴∵ =2，∴M （ ，），又 M 在渐近线 y=x 上，∴解得a=b ．该 线 的 渐 近 线 方程 为：y= ± ∴ 双曲 故答案为：y=±．y=-，．由双曲 线的标准方程可得右焦点 F ，渐近线方程，利用=2 ，求出 M的坐 标 渐 线 y= x ，即可得出 结论．，代入 近熟练掌握双曲 线的标准方程及其性 质、确定 M 的坐标是解题的关键．16.【答案】【解析】解：数列{a n } 为 1，2，2，3，3，4，4， ，项 别可得奇数 分1，2，3，4， ，可得 a：n =．偶数项分别为 2，3，4，，可得 a n=．则该数列通项公式 a n=．故答案为：a n=．数列 {a n} 为 1，2，2，3，3，4，4，，分奇数项、偶数项即可得出通项公式．本题考查了等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）△中，csinA+acosC=b ，ABC∴ sinCsinA+sin AcosC=sinB=sin （A+C）=sin AcosC+cosAsinC，化简得sinCsinA=cosAsinC；又 sinC≠0，∴sinA=cosA，∴tanA= ，∴A=30 °；又 = ，∴ = ，∴sinC= sinA= sin30 =°；（Ⅱ ）如图所示，sinC＜ sinA，∴C＜ A，∴cosB=-cos（ A+C） =-cosAcosC+sinAsinC=-×+×=-，∴= = ；222∴AD ==c +-2c cosB=+ - a × -）；?（a2=196 ， a=14，∴c= a=4 ，∴△ABC 的面积 S= acsinB= ×4×14 ×=10 ．【解析】（Ⅰ）根据正弦定理与同角的三角函数关系求得tanA 和 sinC 的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理和余弦定理求得 a、c 的值，再求△ABC 的面积．本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下：“满意”的人数“不满意”的人数总计女12416男31114总计151530（Ⅱ）根据上述表中数据，计算K 2=≈ 8.571＞6.635，∴利用独立性检验的方法判断，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关；（Ⅲ）样本中得分大于 46 分的员工里女员工有 5 人，男员工有 1 人，从中随机抽取 2 人，抽到一男一女的概率为P== = ．【解析】（Ⅰ）根据题意填写列联表即可；（Ⅱ）根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）利用古典概型的概率公式计算即可，也可用列举法求出基本事件数，再计算概率值．本题考查了独立检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为正方形，且F为AD的中点，E为BC的中点，∴EF ∥AB，得 EF∥平面 PAB，∵E 为 BC 的中点， M 是棱 PC 的中点，∴EM ∥PB，则 EM ∥平面 PAB，又 EF∩EM=E，∴平面 PAB∥平面 MEF ，则直线PA∥平面 MFE ；（Ⅱ）解：在正三棱锥P-ABCD 中，由 AB=4， PC=2，得正四棱锥的高h=．∵M 为棱 PC 的中点，∴P 到平面 MEF 与 C 到平面 MEF 的距离相等，则 V P-MEF =V C -MEF．又== ．∴三棱锥 P-MFE 的体积是．【解析】（Ⅰ）由已知可得EF∥AB ，EM ∥PB，则 EF∥平面 PAB ，EM ∥平面 PAB，由面面平行的判定可得平面PAB ∥平面 MEF ，从而得到直线 PA∥平面 MFE ；（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥 P-MFE 的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）如图，由题意可得：|QA|=|QP|，则 |QA|+|QC|=|PC|=4＞，∴点 Q 的轨迹曲线 E 是以 A， C 为焦点的椭圆，其中 2a=4， a=2，c=，则b=1．∴曲线 E 的方程为；（Ⅱ）联立，可得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0．222222由△=4 k m -4（ k +4）（ m -4）＞ 0，得 k -m +4＞ 0．则，①，②∵D （ 0， m），∴，，由 =3 ，得（ -x1， m-y1） =（ 3x2， 3y2-3m），则 -x1=3x2，③联立①③，得，，代入②，得-3k2m2=（k2+4）（m2-4），2222即 k m -k +m -4=0 ，得，代入 k2-m2+4 ＞ 0，得＞ 0，即＜0，解得1＜ m2＜4．∴m2的取值范围是（1， 4）．【解析】（Ⅰ）由题意画出图形，可得|QA|+|QC|=|PC|=4＞，得到点Q的轨迹曲线E是以 A ，C 为焦点的椭圆，求得 a 与 c，进一步得到 b，则曲线 E 的方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，可得（k 2+4）x2+2kmx+m2-4=0．由判别式大于0 得 k 2-m2+4＞ 0．再由向量等式可得，代入k2-m2+4＞0，即可求得m 2的取值范围．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=a（lnx+1）-b，f（1）=-b，f′（1）=a-b，故切线方程是 y=（a-b） x-a=-x-1，故 a=1 ， b=2 ，故 f（ x） =xlnx-2 x，（ x＞0）， f′（ x）=ln x-1，令 f′（ x）＞ 0，解得： x＞ e，令 f′（ x）＜ 0，解得： x＜ e，故 f（ x）在（ 0， e）递减，在（ e，+∞）递增；（Ⅱ）记 H （x） =xlnx- λ（ x2-1），其中 x≥1，H ′（ x） =ln x+1- 2λx，① λ≤0时， H′（ x） =lnx+1-2λx≥0在 [1， +∞）上恒成立，H （ x）在 [1， +∞）上递减， H（ x）≥H （ 1） =0 恒成立，不符合题意．② λ＞ 0 时，令 h（x） =ln x+1- 2λx，（ x≥1）， h′（ x） = -2λ．当λ≥时， h′（ x）= -2λ≤0在 [1，+∞）上恒成立，∴h（ x）≤h（ 1） =1-2λ≤0，∴H （ x）在 [1， +∞）上递减，∴H （ x）≤H（ 1） =0 恒成立．∴λ≥时， f（ x）≤λ（ x2-1）在 [1， +∞）恒成立．当 0＜λ＜时，令 h′（ x） =0．得 x=＞1，可得 x∈（ 1，）时，h′（x）＞0，此时H（x）递增，H（x）＞H（1）=0，不符合题意．综上所述，实数λ的取值范围是：[ ， +∞）．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于 a，b 的方程，解出即可求出 f（x）的解析式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）记 H（x）=xlnx- λ（x2-1），其中x≥1，H′（x）=lnx+1- 2λx，分① λ≤0，② λ＞0 讨论即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线 C2是圆心在极轴上经过极点的圆，射线θ=与曲线 C2交于点 A（，）．则：，解得： R=1 ，圆的极坐标方程为：x2+y2-2x=0．证明：（Ⅱ ）M，N是曲线C1 上的两个动点，且OM ON⊥ ，设 M（ρ，θ）， Nρ，θ），12则：==+= ．故：+是定值．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查两条线段长的倒数和的最大值和最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≥4，即或或，解得： x≥或 x≤-7，故不等式的解集是{ x|x≥或 x≤-7} ；（Ⅱ） f（ x）=，关于 x 的不等式f（ x）≤-t2+3 t 在 [1，3]上无解，则 -t2 +3t＜ f（ x）min， x∈[1， 3]，而 f（ x）min=2，故 t2 -3t+2＞ 0，解得： t＞ 2 或 t＜ 1，即 t∈（ -∞，1）∪（2，+∞）．【解析】（Ⅰ）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为 -t 2+3t＜f（x），x∈[1，3]，求出f（x）的最小值，得到关于t的min不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018年云南省昆明市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年云南省昆明市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．﹣2﹣4i B．﹣2+4i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{2，3}3．（5分）程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A．65B．176C．183D．1844．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出a＝（）A．6B．6.25C．6.5D．6.85．（5分）一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为（）A．13πB．12πC．11πD．7．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，若f（a﹣1）≥f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则（）A．MN∥C1D1B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1D．MN⊥平面ACC111．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），圆，直线，自上而下顺次与上述两曲线交于A1，A2，A3，A4四点，则＝（）A．B．C．p D．12．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣alnx（a∈R）在区间（0，+∞）上单调递增，则a的最大值是（）A．﹣e B．e C．D．4e2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：“若a，b，m为任意的正数，则”．能够说明p是假命题的一组正数a，b，m的值依次为．14．（5分）已知向量，若，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），，若，则f（π）＝．16．（5分）若数列{a n}满足：，若数列{a n}的前99项之和为，则a100＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c cos B＝2a﹣b．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）当c＝3时，求a+b的取值范围．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AB1E的高．19．（12分）每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代入的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间T（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间[40，60]的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：500位市民日平均睡眠时间的频数分布表（1）根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；（2）填写下面2×2列联表，并根据2×2列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；附：，其中n ＝a +b +c +d ．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝4上一动点A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B 点，AB 中点为P ．（1）当A 在圆O 上运动时，求点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）过点的直线l 与E 交于M ，N 两点，当|MN |＝2时，求线段MN 的垂直平分线方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝（2﹣x ）e x，g （x ）＝（x ﹣1）3．（1）若曲线y＝g（x）的切线l经过点，求l的方程；（2）若方程3af（x）＝g'（x）有两个不相等的实数根，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，点P（0，﹣1），曲线（t为参数），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ+ρcos2θ＝8sinθ．（Ⅰ）若，求C1与C2公共点的直角坐标；（Ⅱ）若C1与C2相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当时，求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当时，f（x）+x2＞1，求实数a的取值范围．2018年云南省昆明市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）＝（）A．﹣2﹣4i B．﹣2+4i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：＝．故选：C．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{2，3}【解答】解：∵合A＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x∈N|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．3．（5分）程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A．65B．176C．183D．184【解答】解：设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意得：7＝996，解得a1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出a＝（）A．6B．6.25C．6.5D．6.8【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图如下，k＝1，a＝10，进入循环；k＝2，b＝，a＝；k＝3，b＝6，a＝6；k＝4，b＝；不满足a＞b，终止循环，输出a＝6．故选：A．5．（5分）一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为，若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，则＝，可得＝，即有点B落在深色区域内的概率为＝6×＝，故选：C．6．（5分）一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为（）A．13πB．12πC．11πD．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆台内部挖去一个圆锥，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的母线长为2，圆锥的母线长为2．∴该几何体的表面积为π×22+π×1×2+＝12π．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：作出实数x，y满足的可行域如图阴影部分所示：目标函数可以认为是D（2，3）与可行域内一点（x，y）连线的斜率．当连线过点A时，其最小值为：＝，连线经过B时，最大值为：＝2，则的取值范围是：[，2]故选：C．8．（5分）已知函数，若f（a﹣1）≥f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝e﹣x是减函数且f（x）≥1，当x＞0时，f（x）＝﹣x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向下，此时f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）＜1，综上f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，若f（a﹣1）≥f（﹣a），则a﹣1≤﹣a，即a≤，则实数a的取值范围是，故选：A．9．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，不妨设|AF1|＝3k，|BF1|＝4k，|BF2|＝k，k≠0，∴|BF1|﹣|BF2|＝4k﹣k＝2a，∴k＝a，∴|AF2|＝|AF1|＝2a，在Rt△AOF2中，|OF2|＝c，|OA|＝b，∴4a2＝b2+c2＝c2﹣a2+c2，∴5a2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝＝，故选：C．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则（）A．MN∥C1D1B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1D．MN⊥平面ACC1【解答】解：由题意画出图形如图：连接D1B1，可知MN∥C1D1是不正确的，两条直线是异面直线；△CD1B1是正三角形，所以MN⊥BC1是不正确的，所成角为60°；由选项B不正确即可判断MN与CD1不垂直，所以MN⊥BC1不正确，因为D1B1⊥平面ACC1，所以MN⊥平面ACC1．正确；故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），圆，直线，自上而下顺次与上述两曲线交于A1，A2，A3，A4四点，则＝（）A．B．C．p D．【解答】解：分别设A1，A2，A3，A4四点横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝2px可得焦点F（，0），准线l0：x＝﹣．由定义得：|A1F|＝x1+，又∵|A1F|＝|A1A2|+p，∴|A1A2|＝x1﹣，同理：|A3A4|＝﹣x3；将y＝k（x﹣）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（pk2+2p）x+＝0，∴x1x3＝，x1+x3＝p+；∴＝|﹣|＝||＝||＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣alnx（a∈R）在区间（0，+∞）上单调递增，则a的最大值是（）A．﹣e B．e C．D．4e2【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣alnx，有x＞0，其导数f′（x）＝（2x﹣2）e x+（x2﹣2x）e x﹣＝（x2﹣2）e x﹣，若函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣alnx在区间（0，+∞）上单调递增，则有f′（x）＝（x2﹣2）e x﹣≥0在（0，+∞）上恒成立，变形可得a≤（x3﹣2x）e x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝（x3﹣2x）e x，其导数g′（x）＝（x3﹣2x）e x+（3x2﹣2）e x＝（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，分析可得：当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，1）上为减函数，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则g（x）min＝g（1）＝﹣e，若a≤（x3﹣2x）e x在（0，+∞）上恒成立，必有a≤﹣e，即a的最大值为﹣e，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：“若a，b，m为任意的正数，则”．能够说明p是假命题的一组正数a，b，m的值依次为1，2，3（只要填出0＜a≤b，m＞0的一组正数即可）．【解答】解：命题p：“若a，b，m为任意的正数，则”，命题p是假命题，如：a＝1，b＝2，c＝3时，＝＝＜2＝，∴能够说明p是假命题的一组正数a，b，m的值依次为1，2，3．故答案为：1，2，3．14．（5分）已知向量，若，则＝30．【解答】解：∵，且，∴﹣4﹣（﹣2）x＝0，即x＝2．∴，则，又，∴＝6×3+（﹣3）×（﹣4）＝30．故答案为：30．15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），，若，则f（π）＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ），若，则﹣ω+φ＝mπ，m∈Z，ω+φ＝nπ，n∈Z；∴ω＝（n﹣m）π，n、m∈Z；又0＜ω＜3，∴ω＝2；∴φ＝mπ+；又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+），∴f（π）＝sin（2π+）＝sin＝．故答案为：．16．（5分）若数列{a n}满足：，若数列{a n}的前99项之和为，则a100＝10﹣3．【解答】解：若数列{a n}满足：，可得S100＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝﹣0+2﹣+﹣2+ (10)＝10，数列{a n}的前99项之和为，可得a100＝S100﹣S99＝10﹣3，故答案为：10﹣3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c cos B＝2a﹣b．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）当c＝3时，求a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得：2sin C cos B＝2sin A﹣sin B，又∵A＝π﹣（B+C），∴2sin C•cos B＝2sin（B+C）﹣sin B＝2sin B•cos C+2cos B•sin C﹣sin B，∴2sin B•cos C＝sin B，∵sin B≠0，∴，∵0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵由正弦定理：，得：，∴＝，∵，∴，∴a+b∈（3，6]．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，，D，E分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面ADB1⊥平面ADE；（2）求三棱锥D﹣AB1E的高．【解答】解：（1）由已知得：所以Rt△B1BD∽Rt△DCE所以∠BB1D＝∠CDE，所以B1D⊥DE又因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥B1D而AD∩DE＝D，所以B1D⊥平面ADE又B1D⊂平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面ADE；（2）设三棱锥D﹣AB1E的高为h，因为，所以，由，得：，所以，所以，由，得：，所以h＝1．19．（12分）每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代入的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间T（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间[40，60]的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：500位市民日平均睡眠时间的频数分布表（1）根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图； （2）填写下面2×2列联表，并根据2×2列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；附：，其中n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）所调查500位20岁至60岁市民日平均睡眠时间的频率分布直方图如下所示：（2）由该市年龄在区间[20，60]的市民日平均睡眠时间的频率分布直方图与年龄在区间[40，60]的市民日平均睡眠时间的频率分布表得2×2列联表．∴κ2的观测值由于10.870＞10.807故有99%的把握认为该市20岁至60岁居民的日平均睡眠时间与年龄有关．20．（12分）已知圆O：x2+y2＝4上一动点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B点，AB中点为P．（1）当A在圆O上运动时，求点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点的直线l与E交于M，N两点，当|MN|＝2时，求线段MN的垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则A（x，2y），将A（x，2y）代入圆O：x2+y2＝4方程得：点P的轨迹（注：学生不写y≠0也不扣分）（Ⅱ）由题意可设直线l方程为：，由得：，所以，，所以．当时，中点纵坐标，代入x＝my﹣1得：中点横坐标，斜率为故MN的垂直平分线方程为：当时，同理可得MN的垂直平分线方程为：所以MN的垂直平分线方程为：或．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e x，g（x）＝（x﹣1）3．（1）若曲线y＝g（x）的切线l经过点，求l的方程；（2）若方程3af（x）＝g'（x）有两个不相等的实数根，求a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x0，g（x0）），因为g'（x）＝3（x﹣1）2，所以，由斜率知：，即，可得，，，所以x0＝0或x0＝1，当x0＝0时，g'（x0）＝3，切线l的方程为，即3x﹣y﹣1＝0，当x0＝1时，g'（x0）＝0，切线l的方程为，即y＝0，综上所述，所求切线l的方程为3x﹣y﹣1＝0或y＝0；（2）由3af（x）＝g'（x）得：3af（x）﹣g'（x）＝0，代入整理得：a（x﹣2）e x+（x﹣1）2＝0，设h（x）＝a（x﹣2）e x+（x﹣1）2，则h'（x）＝a（x﹣1）e x+2（x﹣1）＝（x﹣1）（ae x+2），由题意得函数h（x）有两个零点．①当a＝0时，h（x）＝（x﹣1）2，此时h（x）只有一个零点．②当a＞0时，由h'（x）＜0得x＜1，由h'（x）＞0得x＞1，即h（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而h（1）＝﹣ae＜0，h（2）＝1＞0，所以h（x）在（1，+∞）上由唯一的零点，且该零点在（1，2）上．若，则，取，则，所以h（x）在（﹣∞，1）上有唯一零点，且该零点在（b，1）上；若，则h（0）＝﹣2a+1≥0，所以h（x）在（﹣∞，1）上有唯一零点；所以a＞0，h（x）有两个零点．当a＜0时，由h'（x）＝0，得x＝1或，若，，所以h（x）至多有一个零点．若，则，易知h（x）在（1，+∞）上单调递减，在上单调递增，在单调递减，又，所以h（x）至多有一个零点．若，则，易知h（x）在上单调递增，在（﹣∞，1）和上单调递减，又h（1）＝﹣ae＞0，所以h（x）至多有一个零点．综上所述：a的取值范围为（0，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，点P（0，﹣1），曲线（t为参数），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ+ρcos2θ＝8sinθ．（Ⅰ）若，求C1与C2公共点的直角坐标；（Ⅱ）若C1与C2相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当时，求sinα的值．【解答】解：（Ⅰ）若，曲线C1：（t为参数），曲线C1的普通方程为y＝x﹣1，曲线C2：ρ+ρcos2θ＝8sinθ，即2ρcos2θ＝8sinθ，即有ρ2cos2θ＝4ρsinθ，曲线C2的直角坐标方程为x2＝4y，由解得，所以C1与C2公共点的直角坐标为（2，1）；（Ⅱ）将代入x2＝4y得（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0得，，由，得20sin2α+9sinα﹣20＝0，得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤x的解集；（Ⅱ）当时，f（x）+x2＞1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）≤x，即为|x+1|﹣|x﹣1|≤x，等价于或或，解得：﹣2≤x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥2．故不等式f（x）≤x的解集为[﹣2，0]∪[2，+∞）；（Ⅱ）当时，f（x）+x2＞1⇔|ax﹣1|＜x2+x，由|ax﹣1|＜x2+x，得当时，的最小值为3，的最大值为，故a的取值范围是．。
云南省玉溪市普通高中毕业班2018届高考数学一轮复习模
DCBA 一轮复习数学模拟试题04满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知i 为虚数单位，则复数i +-1的模等于( )A ．21B ．22C ．2D ．22．i 是虚数单位，复数ii--131＝( )A ．i +2B ．i -2C ．i 21+-D ．i 21--3．若复数i a a a )1()23(2-++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2 D．－14．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量等于（）． A ．BC +-B ． BC --C ． BC -D ． BC + 5．已知向量)2,4(-=，向量)5,(x b =，且//，那么x 的值等于（ ）．A ．10B ．5C ．52-D ．10- 6． 已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（ ）．A ．=B ．0=⋅C ．1||<⋅b aD ． 22b a =7．下列各式中，值为21的是( ) A ．015cos 15sin B ．112cos 22-πC ．230cos 10+ D ．0205.22tan 15.22tan - 8．要得到函数)32sin(π+=x y 的图象，只要把函数x x f 2sin )(=的图象 ( )A ．向右平移3π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向左平移6π个单位9．有以下四个命题：①如果⋅=⋅ 且0≠，那么=；②如果0=⋅，那么=或=；③ABC ∆中，如果0>⋅，那么ABC ∆是钝角三角形；④ABC ∆中，如果0=⋅，那么ABC ∆为直角三角形．其中正确命题的个数是（ ）．A ． 0B ． 1C ． 2D ． 310．已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如图所示，则( )A ．6,1πϕω== B ．6,1πϕω-==C ．6,2πϕω== D ．6,2πϕω-==二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________12．已知向量、满足1||=a ，2||=b ，与的夹角为60°，则|2|b a -＝________. 13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π,若向量1b =2142e e -，21243e e +=，则21b ⋅=14．已知向量)3,1(-=,)2,4(=，若)(λ+⊥，其中R ∈λ，则λ= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f(1) 求)(x f 的最小正周期；（6分）(2) 求)(x f 在区间[]64ππ-,上的最大值和最小值. （6分）16. （本小题满分12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？o yx17．（本小题满分14分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（5分） （2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值. （9分）18．（本小题满分14分） 如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，F E ,是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥，AB CF ⊥，4,24,5,12====DE BC AD AB . 现将CFB ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使B A ,两点重合与点G ，得到多面体CDEFG . （1）求证：⊥EG 平面CFG ；（7分）（2）求多面体CDEFG 的体积. （7分）19. （本小题满分14分）在海岸A 处，发现北偏东45方向, 距离A )13(-n mile 的B处有一艘走私船,在A 处北偏西75的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以 n h mile /的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n h mile /的速度从B 处向北偏东30 方向逃窜.(1)求线段BC 的长度；（4分）（2）求ACB ∠的大小；（4分）（参考数值：42615cos ,42615sin 00+=-=） （3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船? （6分）20．（本小题满分14分）已知函数)(x f 3232ax x =-+1(x ∈R),其中0>a .(1)若1=a ,求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 的切线方程; （6分） (2)若在区间11[]22-,上，)(x f >0恒成立，求a 的取值范围. （8分）答案1-5 C B B A D 6-10 D D D C D11．1- 12．13 13．12- 14．51 15．解:(1)因为f (x )=4cos x sin ()16x π+-=4cos x x 12+cos 1)-x=3sin2x +2cos 2x -1 ……………………………………… 2分=3sin2x +cos2x ………………………………………… 4分=2sin (2)6x π+, ………………………………………… 5分所以f (x )的最小正周期为π. ………………………………………… 6分(2)因为64x ππ-≤≤,所以22663x πππ-≤+≤. ………………………………………… 8分于是,当262x ππ+=,即6x π=时, f (x )取得最大值2;………………………………………… 10分当266x ππ+=-,即6x π=-时,f (x )取得最小值-1. ……………………………………… 12分16．解析:设甲车间加工原料x 箱 ,乙车间加工原料y 箱, …………………………………… 1分 根据题意,得约束条件 7010648000x y x y x y x y N +≤,⎧⎪+≤,⎪⎨≥,≥,⎪⎪∈,⎩、 …………………………………… 4分画出可行域. …………………………………7分目标函数z=280x+200y, …………………………………… 8分 即75200z y x =-+, …………………………………… 9分作直线75y x =-并平移,得直线经过点A(15,55)时z 取最大值. ……………………………… 11分所以当x=15,y=55时,z 取最大值 . …………………………………… 12分17. 解：（1）)612cos()3(πππ+=A f =4cosπA ………………………………… 2分=A 22=2，……………………………… 4分 解得2A = ……………………………… 5分（2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即15sin 17α=……………………………… 7分 2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=………… 9分因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，……………………………… 10分所以8cos 17α==，3sin 5β==…………………… 12分 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-…… 14分18．解：（1）在多面体CDEFG 中，F GF EF GF CF EF CF =⊥⊥ ,,，所以，CF EGF ⊥底面, …………………………… 2分 又因为EGF EG 底面⊂,可得CF EG ⊥， …………………………… 3分由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以，222EF GF EG =+可得EG GF ⊥. …………………………… 5分 又因为F GF CF = ， ………………………… 6分 所以，EG CFG ⊥面. …………………………… 7分 （2）过G 作GO ⊥ EF ，…………………………… 8分 由（1）可得CF EGF ⊥底面，EGF GO 底面⊂，所以GO CF ⊥.………………………… 9分 又因为O GO EF = ， ………………………… 10分 所以，CDEF GO 平面⊥.GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，…………………………… 11分 所以所求体积为16512543131=⨯⨯⨯=⋅=-GO S V DECF EFCD G 正方形.…………… 14分 19．解:（1）在ABC ∆中，CBD ∠=90+30=120,……………………………… 1分由余弦定理，得CAB AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222……………………………… 2分=)21(2)13(22)13(22-⨯⨯-⨯-+-=6，…………………………… 3分 所以，BC =6 .…………………………… 4分（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得120sin sin BCACB AB =∠， 所以，BCAB ACB 0120sin sin ⋅=∠……………………………… 6分=2213-=426-. ……………………………… 7分 又 00900<∠<ACB ，015=∠∴ACB . … …………………………… 8分（3）设缉私船用t h 在D 处追上走私船,如图,则有10CD BD t =,=.在△ABC 中,又CBD ∠=90+30=120, 在△BCD 中,由正弦定理,得sin sin BD CBD BCD CD⋅∠∠= ………………… 8分12==. ………………… 10分∴30BCD ∠=,又因为015=∠ACB ………………… 12分所以)75(18000+∠+∠-ACB BCD =)751530(1800000++-=060即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船. ………………… 14分 20．解:(1)当a =1时323()1(2)2f x x x f ,=-+,=3; …………………… 1分f ′(x )233x x f =-,′(2)=6. …………………… 3分所以曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y -3=6(x -2), …………………… 5分 即096=--y x . …………………… 6分(2)f ′2()333(x ax x x ax =-=-1).令f ′(x )=0,解得x =0或1x a=. …………………… 7分以下分两种情况讨论:若02a <≤,则112a ≥.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()02f f ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即508508a a -⎧>,⎪⎨+⎪>.⎩ …………………… 9分 解不等式组得-5<a <5.因此02a <≤. …………………… 10分 ②若a >2,则1102a <<.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()0f f a ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即25081102a a-⎧>,⎪⎨->,⎪⎩ ………………… 12分5a <<或a <.因此2<a <5. ………………… 13分 综合①和②,可知a 的取值范围为)5,0(. …………………… 14分。
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云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B AP 24R S 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)kk n k n n P k C P P 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集|15U x Z x ，1,2,5A ，|14B x Z x ，则U B C A ＝A ．3B ．0,3C ．0,4D ．0,3,42．函数21(10)y x x 的反函数是A ．21(01)y x x B ．21(10)y x x C ．21(01)y x x D ．21(10)y x x 3．向量(3,4)a ，(sin,cos )b ，且a ∥b ，则tan ＝A ．34B ．34C ．43D ．434．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b a c ，若222()t a n 3a c b B a c ，则角B 的值是A ．6B ．3C ．23D ．3或235．数列n a 满足211233332n n n a a a a ，则n a ＝A ．3n n B ．1123n C ．12n D ．1132n 6．已知()sin[(1)]3cos[(1)]33f x x x ，则(1)(2)(3)(2009)f f f f ＝A ．0 B ．23C ．1 D ．37．等差数列n a 中，38a ，720a ，若数列11n n a a 的前n 项和为425，则n 的值为A ．18B ．18C ．18D ．18 8．函数32()(6)1f x x ax a x 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a B ．36a C ．3a 或6a D ．1a或2a 9．已知()f x 是定义在(0,3)上的函数，()f x 的图像如图1所示，则不等式()cos 0f x x 的解集是A ．(0,1)(,3)2B ．(1,)(,3)22C ．(0,1)(2,3)D ．(0,1)(1,3)18．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若1200OB aOA a O C ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S ＝A ．181B ．180C ．200D ．218 18．已知定义在R 上的函数()yf x 满足下列三个条件：①对于任意的x R 都有(4)()f x f x ；②对于任意的1202x x 都有12()()f x f x ；③函数(2)y f x 的图像关于y 轴对称，则下列结论正确的是A ．(5)(6.5)(15.5)f f f B ．(15.5)(5)(6.5)f f f C ．(5)(15.5)(6.5)f f f D ．(6.5)(5)(15.5)f f f 18．抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的O ．．1 x y 3 2部分相交于点A ，AK l ，垂足为k ，则△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．18．函数22()log (1)f x x 的定义域为．18．△ABC 的三边长分别为7AB ，5BC ，6CA ，则AB BC 的值为．18．设P 为曲线2:23C y x x 上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[,)42，则点P 横坐标的取值范围为．18．三个正实数a 、b 、c 成等比数列，若有1a b c 成立，则b 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分18分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x ，x R ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设3[,]84x ，求()f x 的值域和单调增区间．18．（本小题满分18分）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在石林、西山、民族村3个景区任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（1）求3个景区都有部门选择的概率；（2）求恰有2个景区有部门选择的概率．19．（本小题满分18分）如图2，在三棱柱111ABCA B C 中，底面是边长为23的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰好是BC 的中点．（1）当侧棱1AA 和底面成45°角时，求二面角1A AC B 的余弦值；AB C D OA 1B 1C 1（2）在（1）的条件下，若D 为侧棱1AA 上一点，当1A D DA为何值时，11BD A C ？20．（本小题满分18分）已知函数(0)ykx b k ，(4)10f ，又(1)f ，(2)f ，(6)f 成等比数列．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()22f n n a n ，求数列n a 的前n 项和n S ．21．（本小题满分18分）设函数32()24(,,,)f x ax bx cx d a b c d R 的图像关于原对称，且1x 时，()f x 有极小值23．（1）求,,,a b c d 的值；（2）当[1,1]x 时，图像上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．22．（本小题满分18分）已知椭圆C 的方程为22221(0)xy a b a b ，双曲线22221xy a b 的两条渐近线为1l 、2l ，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1ll ，又l 与2l 交于P 点，设l 与椭圆C 的两交点为B 、A （如图3所示）．（1）当1l 、2l 的夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率；（2）求||||FA AP 的最大值．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力题号１ 2 3 4 5 6 7 8 9 18 18 18答案二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧18．18．18．18．三、解答题 A B F PO l 1l 2l x y精品文档强烈推荐精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
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2018年云南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合＝，＝，则＝（）A. B.C. D.2. 已知复数＝，其中是虚数单位，则的模＝（）A. B. C. D.3. 若，满足，则＝的最大值为（）A. B. C. D.4. 已知，＝，则＝（）A. B. C. D.5. 已知函数，则下列结论中正确的是（）A.＝的一个周期为B.＝的图象关于点对称C.＝的图象关于直线对称D.＝在区间上单调递增6. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入的正整数的最小值为（）A. B. C. D.7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，“堑堵”指的是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，网络图中小正方形的边长为，图中粗实线画出的是某堑堵的正视图与俯视图，则该堑堵的表面积为（）A. B. C. D.8. 在正方体中，点是线段上任意一点，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.9. 平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是阿波罗尼斯圆．已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（）A.曲线关于轴对称B.曲线关于轴对称C.曲线关于坐标原点对称D.曲线经过坐标原点10. 已知函数＝，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.11. 定义：在区域内任取一点，则点满足＝的概率为（）A. B. C. D.12. 已知定义在的函数满足＝，且当时，＝．若函数在区间上有零点，则的值为（）A.或B.或C.或D.或二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若向量与垂直，则________＝________．14. ________的内角________，________，________的对边分别为________，________，________．已知，，________＝，则角________＝________．15. 设椭圆的左右焦点分别为________内切圆的面积为，且________________＝，则该椭圆的离心率是________．16. 已知函数若________(________（________)），则实数________的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列满足＝，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设＝，求数列的前项和．18. 某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷名使用者，然后根据这名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为,,,,,．Ⅰ求频率分布直方图中的值；Ⅱ求这名问卷评分数据的中位数；Ⅲ从评分在的问卷者中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．19. 如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，＝＝＝，＝，．Ⅰ求证：；Ⅱ求点到平面的距离．20. 已知分别过抛物线＝上点、的两条切线交于点，直线与轴不平行，线段的中点为，抛物线的焦点为．Ⅰ求证：直线与轴平行；Ⅱ若点线段上，点的坐标为，求抛物线的方程．21. 设函数＝．讨论的单调性；当时，对于，都有成立．①求的取值范围；②证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线的极坐标方程；Ⅱ若，分别为曲线上的两点，且，求证：为定值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数＝．求不等式的解集；若不等式的解集为，求的取值范围．参考答案与试题解析2018年云南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可．【解答】由中不等式解得：，即＝，∵＝，∴＝，2.【答案】D【考点】复数的模【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式得答案．【解答】∵＝＝＝，∴，3.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由，满足作出可行域如图，化目标函数＝为＝，由图可知，当直线＝过点时，直线在轴上的截距最大，有最大值为＝＝故选：．4.【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得的值．【解答】∵是第二象限角，且，，，＝，∴，5.【答案】D【考点】正弦函数的单调性【解析】根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题判断真假性即可．【解答】函数，其最小正周期为，错误；时，（）＝（)＝，∴的图象关于点,对称，且不关于直线对称，∴、都错误；,时，,，∴是单调递增函数，正确．6.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，＝，＝，＝满足条件，执行循环体，＝，＝满足条件，执行循环体，＝，＝满足条件，执行循环体，＝，＝此时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出的值为（10）可得：，可得输入的正整数的最小值为（4）7.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】直接利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，底面斜边为，高为，棱柱的高为，所以棱柱的表面积为8.【答案】B【考点】直线与平面垂直【解析】推导出，，从而平面，由此能得到．【解答】在正方体中，∵，，＝，∴平面，∵点是线段上任意一点，∴．9.【答案】A【考点】轨迹方程【解析】设动点，则曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数，可得轨迹方程，利用．也满足方程，即可得出结论．【解答】设动点，则∵曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数，∴∵．也满足方程，∴曲线关于轴对称，10.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】分别计算（）,，的值，判断其大小即可．【解答】∵＝，∴（）＝＝，＝＝，＝，故（），故选：．11.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求出试验包含的所有事件对应的集合以及满足条件的事件对应的面积，计算面积比就是要求的概率．【解答】试验包含的所有事件对应的集合为＝，∵满足条件的事件＝，即＝，如图所示；由图可知，，，，；则由几何概型公式求得．12.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系函数与方程的综合运用【解析】求出当时的零点范围，根据的对称性得出另一零点的范围．【解答】当时，令＝可得＝，即＝，∵，∴在上有零点，∵＝，∴的图象关于直线＝对称，∴在上存在另一个零点．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】,【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据两向量垂直，其数量积为，列方程求得的值．【解答】向量，，若向量与垂直，则（），＝，解得＝（1）14.【答案】,,,,,,,,,【考点】正弦定理【解析】利用正余弦定理化简可得答案．【解答】由，∴，可得，∴＝，由正弦定理：＝，∵可得：＝．∵．∴，由，可得，∴，15.【答案】，，过焦点的直线交椭圆于，两点若,,,【考点】椭圆的离心率【解析】根据椭圆的定义及三角形的面积公式，即可表示出和的关系，根据椭圆离心率公式即可求得答案．【解答】过焦点的直线交椭圆于，两点，的内切圆的面积为，∴内切圆半径，面积＝，∴面积＝，∴＝，则．16.【答案】,,,,【考点】分段函数的应用【解析】令＝，即，讨论，由分段函数解不等式可得的范围，即或，讨论，，解不等式即可得到所求的范围．【解答】函数，若（），令＝，即，可得或，解得或，即或，可得或或或，解得或或或，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）∵＝，．∴＝，，∴．当＝时，＝（2）∴数列的通项公式为．（2）∵，∴．∴．【考点】数列的求和数列递推式【解析】Ⅰ利用累加法可求出数列的通项公式，Ⅱ根据对数的运算性质和等差数列的求和公式可得，再根据裂项求和即可求出数列的前项和．【解答】（1）∵＝，．∴＝，，∴．当＝时，＝（2）∴数列的通项公式为．（2）∵，∴．∴．18.【答案】（1）由频率分布直方图，可得＝，解得＝（2）由频率分布直方图，可设中位数为，则有＝，解得中位数＝（76）Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：＝，在内的人数：＝（3）设在内的人分别为，，在内的人分别为，，，则从的问卷者中随机抽取人，基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，其中人评分都在内的基本事件有，，共种，故此人评分都在的概率为．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】Ⅰ由频率分布直方图，能求出．Ⅱ由频率分布直方图，可设中位数为，则＝，由此能求出中位数．Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：＝，在内的人数：＝（3）设在内的人分别为，，在内的人分别为，，，从的问卷者中随机抽取人，利用列举法能求出此人评分都在的概率．【解答】（1）由频率分布直方图，可得＝，解得＝（2）由频率分布直方图，可设中位数为，则有＝，解得中位数＝（76）Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：＝，在内的人数：＝（3）设在内的人分别为，，在内的人分别为，，，则从的问卷者中随机抽取人，基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，其中人评分都在内的基本事件有，，共种，故此人评分都在的概率为．19.【答案】证明：Ⅰ如图，连接．由题设可知，．∵＝，∴．而，＝，∴平面．∵平面，∴．（2）如图，连接，．∵，又，，∴．又＝，∴平面，即平面．∴，．设点到平面的距离为，由＝，得，解得．∴点到平面的距离为．【考点】直线与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】Ⅰ连接．推导出．，从而平面．由此能证明．Ⅱ连接，．推导出．从而平面，进而平面．设点到平面的距离为，由＝，能求出点到平面的距离．【解答】证明：Ⅰ如图，连接．由题设可知，．∵＝，∴．而，＝，∴平面．∵平面，∴．（2）如图，连接，．∵，又，，∴．又＝，∴平面，即平面．∴，．设点到平面的距离为，由＝，得，解得．∴点到平面的距离为．20.【答案】（1）证明：设，，，，∵、两点在抛物线上，故，，两式相减得．化简得，即＝．①∵切线的斜率为，∴切线的方程为．②同理得切线的方程为．③由②-③，化简得，即．④由①，④求解得＝，故直线与轴平行．（2）由点在线段上，为中点，由①知，则，∴．又，则，解得＝（1）∴抛物线的方程为＝．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】（I）设各点坐标，求出切线方程得出点坐标，代入抛物线方程化简得出点横坐标得出结论；根据、、、四点共线求出点坐标满足的条件，从而解出的值，得出抛物线方程．【解答】（1）证明：设，，，，∵、两点在抛物线上，故，，两式相减得．化简得，即＝．①∵切线的斜率为，∴切线的方程为．②同理得切线的方程为．③由②-③，化简得，即．④由①，④求解得＝，故直线与轴平行．（2）由点在线段上，为中点，则、、、四点共线，故＝．由①知，则，∴．又，则，解得＝（1）∴抛物线的方程为＝．21.【答案】解：∵，∴当时，易知∴的上单调递增．∴当时，由，得，由，得，∴在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减.①解：∵，都成立，∴．由知，当时，，由，得∴∴的取值范围是．②证明：由①知，当时，，即∴∴当时，．令时，则．且＝时，∴∴.综上所述，【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；【解答】解：∵，∴当时，易知∴的上单调递增．∴当时，由，得，由，得，∴在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减.①解：∵，都成立，∴．由知，当时，，由，得∴∴的取值范围是．②证明：由①知，当时，，即∴∴当时，．令时，则．且＝时，∴∴.综上所述，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）由曲线的参数方程（为参数）去参数后得曲线的直角坐标方程为．将代入后化简，得曲线的极坐标方程为．证明：Ⅱ由于，可设，．则，．于是．∴为定值．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】Ⅰ由曲线的参数方程消去参数求出曲线的直角坐标方程，将代入后化简，能求出曲线的极坐标方程．Ⅱ由于，可设，．则，．由此能证明为定值．【解答】（1）由曲线的参数方程（为参数）去参数后得曲线的直角坐标方程为．将代入后化简，得曲线的极坐标方程为．证明：Ⅱ由于，可设，．则，．于是．∴为定值．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】解：由已知得①当时，，得，即.②当时，，得，即.③当时，，得，即.综上所述，不等式的解集为：.不等式解集为恒成立，设＝，则，①当时，＝；②当时，＝；③当时，＝∴＝.由，得∴的取值范围是．【考点】函数恒成立问题绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得①当时，，得，即.②当时，，得，即.③当时，，得，即.综上所述，不等式的解集为：.不等式解集为恒成立，设＝，则，①当时，＝；②当时，＝；③当时，＝∴＝.∵恒成立，由，得∴的取值范围是．。