线性代数练习题
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 队列式一、单项选择题1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)243512．假如 n 阶摆列 j 1 j 2j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (). (A) k (B) n kn! kn(n 1)k(C)(D)223. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 ()项 .(A) 0(B) n 2(C) (n2)!(D) (n1)!0 0 0 14．0 10 ( ).0 1 0 0 1 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 20 0 1 00 1 0 0 ).5.0 0 (0 1 10 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 22x x 1 11 x 12 ).6． 在函数 f ( x)2 x 中 x3 项的系数是 (33 01(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2a11a12a131，则 D 12a 11 a 13 a 112a 127. 若 Da21 a22 a232a 21 a23a212a 22().a31a32a3322a 31a33 a312a 32(A) 4(B) 4(C) 2 (D)28． 若 a 11a 12a ，则 a 12ka 22().a 21 a 22a 11ka 21(A) ka(B) ka(C) k 2 a (D) k 2a9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是4,0,1,3, 第 3行元的余子式挨次为2, 5,1, x , 则 x ().(A) 0(B) 3(C) 3(D) 28 7 4 310.若 D6 2 31 ).1 1 1，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 14375(A) 1(B) 2(C) 3(D) 03 04 011. 若 D1 11 1，则 D 中第四行元的余子式的和为 ().0 1 0 05322(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0x 1 x 2 kx 3 012. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组x 1kx 2 x 3 0 有非零解 .kx 1 x 2x 3 0()(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0二、填空题优选1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.1 1 1 05.0 1 0 1队列式1 1.0 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06．队列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a11 a1(n1)a1n7．队列式a21 a2 (n 1) 0 .an1 0 0a11a12a13a11a13 3a12 3a128．假如D a21 a22a23 M ，则D1a21a23 3a22 3a22 .a31 a32a33a31a33 3a32 3a329．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式x 1 1 .1 1 x 11 1 11 11 11111． n 阶队列式.11112． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，则该队列式的值为.1 2 3 45 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5则 4A 41 3A 4214． 已知 D2 A 43 A 44.a bc ac b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b a cca cb d1 2 3 415． 设队列式 D3 34 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则1 5 6 711 22A 41A42， A 43A44.优选1 3 5 2n 11 2 0 016．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为1 0n.kx 1 2x 2x 3 017．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是.x 1x 2 x 3 0x 12x 2 x 3 018． 若齐次线性方程组2x 25x 30 有非零解，则 k = .3x 1 2x 2 kx 3三、计算题a b c dx y x ya 2b 2c 2d 21.;2．y x y x ；a3b3c3d3x yxy b c d a c d a b d a b cx a 1 a 20 1x 1a 1 x a 2．解方程 1 0 1 x 0 ；4． a 1 a 2 x3x 1 1 01 x1 0a 1 a 2 a 3a 1 a 2 a 3a n 2 1 a n 21 a n21 ；x1a n 1 1a0 1 1 11 a1 1 15. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；1 1 1a n1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1111(n 1) b1 1 1 1b1 a1 a1 a17. b1 b2 a2 a2 ；b1b2b3a n1 x12 x1 x2 x1x n9. x2 x1 1 x22 x2xn ;x n x1 x n x2 1 x n21 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 ax a1 a2 a na1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;a1a2a3x2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 10.0 0 0 2 10 0 0 1 2优选四、证明题a 2 1a1 1a2ab 2 1b1 1 1． 设 abcd 1，证明：b 2b0 . 211c c1c 2 cd 21d1 1d 2 da 1b 1 x a 1x b 1c 1 a 1 b 1 c 12． a 2 b 2 x a 2 x b 2c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .a 3b 3x a 3x b 3c 3a 3b 3c 31 1 1 1 abcd3．2b 2c 2d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . aa 4b 4c 4d 41 1 1 a 1a 2a n222na 1a 2a na i(a j a i ) .4．i 11 ij na 1n 2a 2n 2a n n 2a 1na 2na n n1 1 15． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c0 .a 3b 3c 3参照答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1. n ;2. “ ” ;3. a 14 a 22 a 31a 43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ;n( n 1)7. ( 1)2a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;12. 2 ;13.0 ; 14.0; 15.12,9; n117. k2,3; 18. k 716. n! (1) ;k 1k三．计算题1． ( a b cd)(b a)(c a)( d a)(cb)(db)(d c) ； 2.2( x 3y 3 ) ；x2,0,1n1a k )3.4.( x;k 1nn15.(a k1)(16.(2 b)(1 b) ((n2) b) ;0 ak) ;k 0k 1( 1) n nnn7.(b ka k ) ;8. ( xa k )( x a k ) ;k 1k 1k 1n9. 1x k ; 10. n 1;k 111. (1 a)(1 a 2a 4 ) .四 . 证明题 (略)优选第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。
线性代数练习题
T
α = 1 , H = En − 2αα T ，证明： H 是对称的矩阵。
3． 4． 5．
⎛1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 设 A = 1 (1 1 1) + x2 ( y1 y2 y3 ) ，其中 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 为任意常数，证明 A ≡ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ 2 2 设 A,B 是 n 阶方阵，如果 B 可逆且满足 A + AB + B = 0 ，证明 A 和 A + B 均可逆。 2 −1 如果 A = A + E ，证明 A 可逆并求 A 。 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关， β 1 = α 1 ， β 2 = α 1 + 2α 2 ， β 3 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 ，证明 β 1 , β 2 , β 3
并求通解。
⎧ x1 + x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 3 ⎪ 15. 求非齐次线性方程组 ⎨ 3x1 + x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 的通解。 ⎪− x + 2 x − 2 x + x = 1 2 3 4 ⎩ 1 16. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知η1 ,η 2 ,η3 是它的三个解向量， ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ 且 η1 = ⎜ ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ ⎟ ，求该方程组的通解。 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
若 A 为 n 阶方阵，且 AA = E ，则 A =
线性代数练习题
一.填空1.若()r A r =，则A 中必有一个（ ）阶子式不为零.２．A 为n 阶反对称矩阵，当且仅当对于任意n 维列向量X 均有T X AX =( ). ３．同一个向量在不同基下的坐标（ ）是不同的. ４．设((,))L V P n σ∈，则{0}Im Ker σσ=⇔=（ ）. ５．n 阶矩阵,A B 均正定，则A B ( ）正定. 6. 设三阶数字方阵A 的特征值为1,2,-2,则||A =().7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ,则A 的初等因子为( ).8.若当块0()k J λ的初等因子组为 .9．正交矩阵的行列式为 .10．n 阶数字矩阵A 的所有不变因子的次数之和为 .11．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中共有t 个正实数,则A 的正惯性指数为 . 11. 设线性空间V 的任一向量都可由V 的线性无关向量组r ααα,,,21 线性表示,则V dim =( ).12. 设非零方阵A 的行列式为0,则()一定是A 的特征值.13. n 阶数字矩阵A 的所有初等因子的次数之和为（ ). 14. 设三阶矩阵A 的元素均为1,则A 的最小多项式为().15. 若x 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量，则()是AP P B 1-=的属于特征值λ的特征向量.参考答案:r,0,一般,V,不一定,3)1(-λ, 0()k λλ- , 1± ,n , t , r, 0,n,)3(-λλ,x P 1- 二.选择题1.设W 为V 的子空间，则W 中的零元必定是V 的零元. （ ）２．在复数域C 作成自身上的线性空间中，令σαα=，则σ是C 的线性变换. （ ）３．设A 为n 阶可逆矩阵，则A 的特征矩阵E A λ-一定可逆. （ ）４．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则σ是正交变换的充要条件是σ把标准正交基变成标准正交基. （ ） ５．在3F 中定义变换σ（a a a 123,,）=（a a a 321,,）,则σ是3F 的一个线性变换. （ ）6. 若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的一组基，则)(,),(),(21n ασασασ 也为V 的一组基.()7. n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的.( ) 8.任一线性空间一定含有无限多个向量. ( ） 9. n 阶复矩阵A 的最小多项式的根一定是A 的特征值.10.正定矩阵特征值都大于零. ( ） 11．同阶方阵,A B 相似的充要条件是有相同的最小多项式.( ）12.线性空间的两个子空间的并集也是子空间. ( ） 13. n 阶复矩阵A 的零化多项式无重根，则A 可对角化. ( ）14．若σ是线性空间V 的一个线性变换，n ααα,,,21 为V 的线性无关的向量组，则)(,),(),(21n ασασασ 也线性无关.15.有限维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵皆为正交矩阵.()✓,✗, ✗ , ✓,✓, ✗,✗,✗,对, ✓ , ✗, ✗ , ✓ , ✗,错.三.选择题1.设矩阵A 的每行元素之和均为1,则( )一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 32．下列命题（ ）不是矩阵A 正定的判定条件.A ．A 与单位矩阵等价. B.A 特征值都大于零.C.A 与单位矩阵合同.D. A 的顺序主子式都大于零.3．设复数域C 是定义在复数域C 上的线性空间，则此线性空间维数为（ ）.A ．无限维 B. 3 C. 2 D. 14．设σ是数域F 上线性空间V 上的线性变换，若2I σ=，I 是恒等变换，则σ可能的特征值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 35．已知二次型),,(321x x x f 通过非退化线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）.A.正定B. 半正定C. 负定D. 不定 6.设矩阵A 的每行元素之和均为1，则()一定是A 的特征值.A. 0B. 1C. 2D. 37.设A 为2阶矩阵，21,λλ是A 的特征值,则正确的是（ ）.A.2121||,)(λλλλ=+=A A trB. 2121||,)(λλλλ=--=A A trC. 2121||,)(λλλλ+==A A trD. 以上都不对8.已知二次型),,(321x x x f 通过正交线性替换化为标准形2221y y +-,则二次型),,(321x x x f （ ）. A.正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定9.下列命题（ ）不是n 阶实对称方阵A 正定的充要条件.A ．A 合同于1(,,),0,1,,n i diag d d d i n >= B. A 的正惯性指数为n C. 存在可逆矩阵n n C R ⨯∈，使得T A C C = D.A 与单位矩阵等价.10.设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，线性方程组0)(=-x A E λ的两个不同解向量分别是,αβ，则( )必是A 对应于特征值λ的特征向量. A.αB. βC. αβ+D. αβ-B, A , D ,B ,D,B,A,D,D,D 四.计算1.设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q T 为对角形矩阵. 1’ 已知实二次型323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.(1)写出二次型),,(321x x x f 的矩阵;(2)用正交替换化),,(321x x x f 为标准形,并写出所用的正交替换及二次型的标准形.2. 若数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-与23(1,44,1,1,32)diag λλλλ-+--等价.(1)试写E A λ-的标准形. (2)试写A 的初等因子.(3)试写A 的Jordan 标准形.3.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A 在实数域上的全部特征值与特征向量. 4.设A =3452⎛⎝⎫⎭⎪.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)A 是否可以对角化？若能对角化写出相应的过渡矩阵P ，使P AP -1为对角矩阵.1.解:A 的特征多项式)5()1(||)(2-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-1,-1,5.取-1的线性无关的特征向量)1,1,0(),1,0,1(21-=-=αα将其正交单位化得)61,62,61(),21,0,21(21--=-=γγ取特征值5的特征向量)1,1,1(3=α 将其单位化得)31,31,31(3=γ令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=31612131620316121Q 则)5,1,1(--=diag AQ Q T .2. 解:由条件知A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(1) E A λ-的标准形为22(1,1,1,2,(2)(1))diag λλλ--+. (2) A 的初等因子为22(2),(2),(1)λλλ--+.(3) A 的Jordan 标准形2212111J ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3. 解:A 的特征多项式为2)2)(7(||)(-+=-=λλλλA E f故A 的特征值为-7,2,2.属于特征值2的特征向量为)1,0,2(),0,1,2(,,,21212211=-=∈+αααλR k k k k 属于特征值-7的线性无关的特征向量为)2,2,1(,,33-=∈ααR l l 4.解:(1)A 的特征多项式为34||(7)(2)52E A λλλλλ---==-+--故A 的特征值为7,2-.解其次线性方程组(7)0E A X -=,得其基础解系为1(1,1)ξ=,从而A 的属于特征值7的特征向量为1().k k ξ为任意数解其次线性方程组(2)0E A X --=,得其基础解系为2(4,5)ξ=-,从而A 的属于特征值2-的特征向量为2()k k ξ为任意数.(2)由(1)知A 有两个不同的特征值,故A 可以对角化.令 1415P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则172PA P -⎛⎫=⎪-⎝⎭. 证明:1.设n n F ⨯是数域F 上的所有n 阶矩阵的集合,令}|{A APA S Tnn =∈=⨯,}|{A APA T Tnn -=∈=⨯.(1)证明:T S ,是n n F ⨯的子空间; (2)证明:TS F nn ⊕=⨯.证明: (1)由于S E ∈,故φ≠S .F l k S B A ∈∀∈∀,,,则lBkA lB kA T+=+)(故S lB kA ∈+,从而S 为n n F ⨯的子空间.同理可证T 是n n F ⨯的子空间.(法1)先证明TS F nn +=⨯.显然,nn FT S ⨯⊆+. nn FA ⨯∈∀,有22TTA A A A A -++=,而,22TTT A A A A +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22TTT A A A A --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ,故TA A S A A TT∈-∈+2,2,从而TSA +∈,故T S F nn +⊆⨯.故T S F n n +=⨯.再证T S F n n ⊕=⨯,T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 故结论成立.(法2) T S A ∈∀,则A A A T -==,从而0=A ,故}0{=T S . 从而nn Fnn n n n T S T S T S ⨯==--++=-+=+dim 022)dim(dim dim )dim(222又nn FTS ⨯⊆+,故T S F n n ⊕=⨯.2.设σ为数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换.证明:n Ker =+σσdim Im dim . 证明: 设r =σker dim ,取σKer 基r ααα,,,21 扩充为V 的基r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +.则))(,),(())(,),(),(,),(),((Im 1121n r n r r L L ασασασασασασασσ ++==下证)(,),(1n r ασασ +线性无关,设)()(11=++++n n r r k k ασασ由σ为线性变换,故0)(11=++++n n r r k k αασ从而σααKer k k n n r r ∈++++ 11,设rr n n r r k k k k k ααααα----=++++ 221111即0112211=++++++++n n r r r r k k k k k ααααα由r ααα,,,21 ,n r αα,,1 +线性无关得01===+n r k k ,故)(,),(1n r ασασ +线性无关,且是σIm 的基,故r n -=σIm dim ,而r Ker =σdim ,从而结论成立. 3.证明:欧氏空间V 上的对称变换的属于不同特征值的特征向量是正交的.证明:设σ为V 的对称变换,μλ,为σ的两个不同特征值,V ∈βα,是σ的分别属于μλ,的特征向量,即μββσλαασ==)(,)(由))(,()),((βσαβασ=可得 ),(),(ββμβαλ=,而μλ≠,故0),=(βα,从而结论成立.4. 证明:方阵A 的行列式为0的充要条件为0是A 的特征值. 证明:必要性.由于|0|||0A E A -==,故0是A 的特征值.充分性.由于0是A 的特征值,故||)1(|||0|0A A A E n-=-=-=,即0||=A .5. 设A 为n 阶可逆实矩阵,在n R 中,定义nT TRY X AY A XY X ∈∀=,,),(证明:),(Y X 是n R 的内积.证明:nRZ Y X ∈∀,,,R k ∈∀由于(1)),()(),(X Y AX A Y AY A XAY A XY X TT TT TTT====;(2)),()(),(Y X k AY A kXAY A kX Y kX TTTT ===;(3)),(),()(),(Z Y Z X AZ A Y AZ A XAZ A Y X Z Y XTTTTTT+=+=+=+;(4)由A A T 正定知,0),(≥=AX A XX X T T.若0=X,则0),(=X X .若AXA XX X TT==),(0,由A A T正定知0=X .6.数域F 上一个n 阶矩阵A (E A A n ≠≠>,0,1)，满足A A =2.证明： (1)A 的特征值只能是0或1； (2) ()()Tr A r A =；(3) 对任意的自然数m k ,有()n A E r A r m k =-+)()(. 证明: (1)设λ为A 的任一特征值,α为对应的特征向量,即0,≠=αλααA由A A =2,有αλαλαααλα22)(=====A A A A A ,而0≠α,故λλ=2,于是0=λ或1.从而结论成立.(2) 由A A =2知λλλ-=2)(g 为A 的零化多项式,而)(λg 无重根,从而A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P使得P E PA r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01其中r A r =)(,而)(A tr 为对角阵对角元之和0011)(+++++= A tr ,故()()Tr A r A =.(3)由(2)有P E P A E P E PA rn m r k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0)(,011从而结论成立.7. 设σ是数域F 上的n 维线性空间V 的线性变换,且I =2σ.(1)证明:σ的特征值只能为1或1-;(2)用11,-V V 分别表示σ的属于特征值1和1-的特征子空间,证明:11-⊕=V V V.证明: (1) 设λ为σ的任意一个特征值,α为属于λ的一个特征向量,即λαασ=)(.由I =2σ,有αλλασασα22)()(===故12=λ,即σ的特征值为1或1-. (2)下证11-⊕=V V V .V ∈∀α,则))((21))((21ασαασαα++-=,且)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ--=-=-=-)))((21(21)(21)(21)(21)))((21(2ασααασασασασασ+=+=+=+即11-+=V V V .11-∈∀V V α,则αασα-==)(,于是0=α.从而11-⊕=V V V8.证明反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数.证明:设A 为n 阶反对称实矩阵,C λ∈为A 的任一特征值,n C α∈为对应的特征向量,即,0A αλαα=≠ 上式两边取共轭和转置得TTA A αλααλα=-=于是 TT TA λααααλαα-==而0Tαα>,故λλ-=.即λ为零或纯虚数.。
线性代数练习——向量组的线性相关性
线性代数练习——向量组的线性相关性一、填空题1、 设1(1,0,1)T α=，2(0,1,1)T α=−−3(1,1,1)T α=，(3,5,6)T β=，则β被1α，2α，3α线性表示的表示式为 。
2、 若向量组1(1,2,3)T α=，2(3,1,2)T α=−，3(2,3,)T a α=线性相关，则a = 。
3、 设1(1,3,1)T α=−，2(2,1,0)T α=，3(1,4,1)T α=，则1α，2α，3α线性 关。
4、 已知向量组1α，2α，3α线性无关，若向量组1α+2α，2α+3α，1λα+3α线性无关，则λ=________。
5、 设()n m ij a A ×=，若n m <，则A 的列向量组线性__________。
二、单项选择题1、若向量组s ααα,,,21"线性相关，则一定有（ ）（A）121,,,−s ααα"线性相关（B）121,,,+s ααα"线性相关 （C）121,,,−s ααα"线性无关 （D）121,,,+s ααα"线性无关2、向量组s ααα,,,21"线性无关的充分条件是（ ）（A）s ααα,,,21"均不是零向量 （B）s ααα,,,21"中有部分向量线性无关（C）s ααα,,,21"中任意一个向量均不能由其余1−s 个向量线性表示（D）有一组数021====s k k k "，使得11220s s k k k ααα+++="3、给定向量组)3,1,1(1−=αK ，)4,1,2(2=αK ，)7,0,3(3=αK，其最大无关组所含向量的个数为（ ）（A）0（B）1 （C）2 （D）3三、计算题 1、 求向量组1(2,1,3,5)T α=−，2(4,3,1,3)T α=−，3(3,2,3,4)T α=−，4(4,1,15,17)Tα=−的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
线性代数综合练习100题
综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A A B E ，则+=A B A E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=A B C E ，则'''=B A C E .8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B 13n --. 9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 11166611033102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C =0A B(1)m nab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100. 15．已知110001011001001101000111101a -⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0A X 的通解为(1,1,,1),k k ' 为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0A X 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-. 19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0. 20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--. 21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=AA 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为±.26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X A X A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X A X A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0A X 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0A X 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0A X 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0A X 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0A X 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0A X 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）. （A ）*||=A A A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A .7．设,A B 是n 阶方阵，A 非零，且=A B 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0B A ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B .8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A . 10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）.（A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0 αα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0 ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '= X 都有''X A X =X B X ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ； （C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）A B 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵；（C ）若,A B 都是正交矩阵，则A B 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则A B 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0A X 与=0B X 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价. 18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B12010100100010001101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）. （A ）12=A P P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B . 19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B . 20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆. 21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，400000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）. （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0B X 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A等于（C ）.（A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）n a .25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）.（A ）11||||||--+=+A B A B ； （B ）111||---+=+A B B A ; （C ）222()=A B A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0A X 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη. 27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）.（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若1231,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）.（A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A . 30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y bz ca ab bc c ---==---与直线111232323x a y bz ca ab bc c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A .解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ， 令 12341111010010(),0101000114D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=A TTD得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪-⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TD T T T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪==⋅ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A T D T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====AA AA A .2．设0100102ac b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ， （1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3; （2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bcac b b b ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A 当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===. （3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即0010100100001011010022a b a c cb ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,222a b c ==-=. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一；（2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示. 解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+⎪ ⎪+⎝⎭B 由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪⎪=+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+⎪⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一. （3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=-⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ 又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ.所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ 111232221232(,2,3)2123211231nnn n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n nn n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭. 5．设122212221-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， （1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪-⎝⎭T A T 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T E A T ， 故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值. 解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα. 即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·129·即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-. 7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求： （1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P A P 为对角阵. 解：（1）211111111101101120112a a a a a a aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B111011000(1)(2)2a a a aaa ⎛⎫⎪→-- ⎪⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-. （2）此时112121211-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1333⎛ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭ξ，单位化得·130·2202⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3636η⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;令326033326⎛⎫ ⎪ =-⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P A P 为对角阵033⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=A B .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=B A ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组·131·1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β 1024211530042452ab a a -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解 112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数. 10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：·132· 322122||101423123k kkλλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+. 解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k kk k k 因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =. 因此 322010423-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ， 得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ 令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . 11．设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E 由于001010100⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，·133·得 201030102⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ， 12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=C A B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A BC. 13．设有线性方程组123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0ab b ba b bba= 即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.·134· （3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X P Y 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a ab b⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP . 由,A B相似知|||λλ-=-E A E B ，即32223(2)()a b a b λλλ-+--+- 3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==. 由100010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P A P B ，知A 的特征值是0,1,2. 解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ -⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P P P P .·135·15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2t t λλ--A B ，则应有(21,,2)A B t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---= A B t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3A B =- ，故公垂线方程为44133122y z z ++-==-.16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)λλλ++-+--=解得14λ=.从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩ππL 0L·136· 17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4bb b b λλλλλλ-=--=-+++-E B 比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量 3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B . 18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01⎛⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的·137·特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X P Y 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ， 可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：12310221,0,00122⎛⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P . 令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ，则在正交变换=X P Y 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面. 解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,0),'''=-==-P P P ，取正交变换阵·138·⎛⎫- ⎪ ⎪ =-⎪ ⎪⎝⎭P ， 则在正交线性变换=X P Y 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+ ，求1000a . 解法1： 由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A22，并且12,2211⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+-的特征向量.记12(,)2211⎛ == ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是112112-⎛-⎪=⎪+-⎪⎝⎭T则1102102-⎛⎫+⎪= - ⎝⎭A T T99999910202-⎛⎫⎪= ⎝⎭A T T10001000999999555))])522210210555))]522210210-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以100010001000)522a =-.·139·解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ将n D 按第一行展开可得1nn n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1n n n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111nD --=-补充定义100,1D D -== ，则 12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+-==，由（3）知·140· 000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++1000100000αβαβ-=-10001000522⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 四、证明题1．证明69169169(1)316916nn D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅ 2 假设当n k≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916kk k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m =0A ，则=20A . 证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .·141·所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A U V .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =， 或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=A X X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0.（2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r - ξξξ为=0A X 的基础解系212,,,n r - ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r - ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r - ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n·142· 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r -- ξξηη. 从而A 可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E TA T 于是1()tr()tr()R r -===A T A T A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：A B 的特征值全大于0. 证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P A B P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P P P 正定，它的特征值全大于0， 因A B 与1212()()''''P P P P 相似，从而A B 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k ≠0A α，则1,,,,k k - A A A αααα线性无关； （2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n n R R +=A A . 证：（1）反证法若1,,,,k k + A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01kk l l l +++=0 αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠ ，则 11i i ki i k l l l +++++=0 A A A ααα， 两边乘以矩阵k i -A ，得121kk k ii i k l l l +-++++=0 A AAααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m=0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n=0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn - A AA αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n - A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0AX 的解，所以方程1n +=0AX 与n=0A X 同解，所以1()()n n+=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ ααα线性无关，试证：向量组1112,mk =+=βααβ 22111,,,m m m m m m m k k ---+=+= ααβααβα线性无关.·143·证：假设有一组数121,,,,m m l l l l - 使得112211m m m m l l l l --++++=0 ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0 ααααααα，即有112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0 αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++= ，所以1210m m l l l l -===== .故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+= βααβααβ 11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0 ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0 αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0 ααα又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+= ，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式11011101(1)2001001m D +==+-=≠，112100m m m k k k k kk -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ==== ，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为·144· 122311,,,,,()n n n R n -++++= ααααααααA ，问齐次线性方程组=0B X 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0B X ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0B X 有非零解.由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++ αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0B X 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n nn -+-++++-+=0 αααααααα，122311,,,,n n n -++++ αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0B X 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++ αξξξ. 试证：1,,,n - A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ ，对应的特征向量依次为12,,,nξξξ，则1111(),,n n nnλλ=++=++=++ A A A A αξξξξξξ 11111n n n n n λλ---=++ Aαξξ.设有一组数011,,,n k k k - ，使得1011n n k k k --+++=0 αααA A即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0 ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n nn k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n n n n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n nk k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ 又由于1111221111()01n n i j j i nn n n--≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.·145·所以0110n k k k -==== ， 即21,,,,n - A A A αααα线性无关.10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E TAT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ . 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P Q B Q 于是11--=PA P QB Q .即111()()---=PQA PQB故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A A X ， （1）=0A X （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·146· 另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭RX 如果'=0A A X ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '= A X ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ==== ，即=0A X ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立.13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵.证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n = ，于是1()E e e e = j n由已知,1,2,,j j j n λ== A e e得11()(),,A e e e e e e A E E A E λλλ=== j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·147·121n λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P A P D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ== ，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PD PP P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故 2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα.因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0A X 的解都是=0B X 的解，且()()R R =A B ，试证：=0A X 与=0B X 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0A X 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为·148· 12,,,n r - ξξξ. 有,(,,)A ==-01 i i n r ξ.又=0A X 的解必为=0B X 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01 B 从而12,,,n r - ξξξ也是=0B X 的基础解系.于是=0B X 的通解为11.n r n r k k --+ ξξ则=0A X 与=0B X 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '= β是n 维列向量，0⎛⎫=⎪'⎝⎭AB ββ，若()()R R =A B，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤= A B A β，又由于()()R R ≤ A A β，所以()()R R = A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==< α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '= β 是线性方程组1111221211222211220n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量， 试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++ βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r == βα于是11(,)(,)0r r k k =++= βββαα，从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关.19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则A B 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵， 设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n = P P P P ，则112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P A P P B P 并且,0,(1,,)i i k i n λ>= ，所以。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
07线性代数练习题(含答案)
习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。
线性代数练习题
一、选择题(3⨯15=45分)1.在行列式44det()ij a ⨯中,取“+”的有（ ）项。
A.8B.12C.16D.202.设D=1010det()1,ij a ⨯=则1010det()ij a ⨯-=( ).A.1B.-1C.10D.-103.设1235A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1A -=( ). A. 1325-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B.5321-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C. 1235-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D.5231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4.设A,B 均为n 阶方阵,下列结论正确的是( )A.若A,B 可逆,则A+B 可逆;B.若A+B 可逆,则A-B 可逆;C.若A,B 可逆,则AB 可逆;D.若A+B 可逆,则A,B 可逆.5.适用于任意线性方程组的解法是( )A.逆矩阵求法 B 克拉默法则 C.消元法 D.以上方法都行6.已知n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=关于任意常数项矩阵b 都有解,则( )A.R(A)=n;B.R(A)=m;C.R(A)<n;D.R(A)<m.7.设向量组12,,...,s ααα的秩为r,则( )A.必有s<r;B.向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关;C.向量组中任意r 个向量线性相关;D.向量组中任意r+1个向量线性相关.8.设A 为n 阶方阵,且()1R A n =-,12,αα是0Ax =的两个不同的解向量,则0Ax =的通解为( )A.1k αB.2k αC.12()k αα-D. 12()k αα+9.下列不可对角化的矩阵是( )A.实对称矩阵; B 有n 个不同特征值的的n 阶方阵;C.有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵;D.不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵.10.若A,B 都是n 阶正定实矩阵,则AB 一定是( )A.实对称矩阵;B.正交矩阵;C.正定矩阵;D.可逆矩阵.11.由m 个n 维向量构成的向量组的秩最大为( )A. mB. nC. max(m, n)D. min(m, n)12.实二次型T f x Ax =正定的充要条件为( )A.0,x ∀≠都有0T x Ax >B.0A >C.存在n 阶矩阵C,使T A C C =D.A 的秩()R A n =13.已知P,Q 都是n (3)n ≥阶正交矩阵,则PQ 是( )A.正交矩阵B.对称矩阵C.正定矩阵D.反对称矩阵14.设A 是n (3)n ≥阶方阵,12,λλ是A 的特征值,12,ξξ是A 的分别对应于1212,()λλλλ≠的特征向量,下列说法正确的是( )A.若12λλ=,则12,ξξ必成比例;B.若12,ξξ≠且312λλλ=+也是A 的特征值,则12ξξ+是3λ对应的A 的特征向量;C.若12,ξξ≠则12ξξ+不可能是A 的特征向量;D.若10,λ=则10ξ=.15.设二阶方阵A 的行列式0A <,*A 是A 的伴随矩阵,则( ) A.0A -> B.A 可相似一对角矩阵 C.*0A > D.A 只有一个线性无关的特征向量二（5分）、设A 是n 阶方阵,2,A A A E =≠,证明:0A =.三（7分）验证123(1,3,1),(2,1,2),(1,2,2)T T T ααα===为3R 的一个极大无关组,并把12(3,0,9),(1,5,7)T T γγ==分别用这个极大无关组表示出来.四（10分）已知五阶行列式51234522211312451112243150D ==27求414243A A A ++和4445A A +,其中4(1,2,3,4,5)j A j =为5D 的第四行第j 个元素的代数余子式。
线性代数练习题及答案
选择题1 A,B 都是n 阶矩阵，且AB =0,(A) A = 0 或 B = 0. (C) A = 0 或 B =0.3若A 为m n 矩阵，且R （A^ r : m n 则（）必成立.4向量组 二厂匕,…：'，线性无关的充分条件是（）（A ） ： 1,： 2, ： s 均不是零向量. （B ） ：忙2,：s 中任一部分组线性无关.（C ） _：» , _込广%中任意两个向量的对应分量都不成比例.（D ） :、，：』,…：*中任一向量均不能由其余 S-1个向量线性表示 5齐次线性方程组AX =0是非齐次线性方程组 AX 二B 的导出组，则（）必定成立.（A ） AX =0只有零解时，AX =B 有唯一解. （B ） AX - 0有非零解时，AX = B 有无穷多解.（C ）〉是AX J 的任意解，0是AX = B 的特解时，0 •〉是AX = B 的全部解.（D ） !，2是AX =B 的解时，「2是AX =0的解.6若B =二，方程组AX 二B 中，方程个数少于未知量个数，则有（线性代数练习题2设5、b 、1-r <-1b <cd 」0 1丿,<1~r(A).(B)■1—1 1<1 0丿则必有：()(B) A = B = 0 (D) A = | B = 0（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。
（B ）A 是满秩矩阵。
（C ） A 经初等变换可化为0 0>（D ）A 中r 阶子式不全为零。
(B) AX - v 只有零解。
(D) AX =B —定有无穷多组解。
ax — bv = 17线性方程组丿丫 ，若a^b ,则方程组bx + ay = 0(A) AX =B —定无解。
(C) AX - ■ n 必有非零(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解(D)其解需要讨论多种情况B 都是n 阶矩阵，且 AB = 0，则A 和B 的秩(A 必有一个为0, C 必有一个小于n ，B 必定都小于n , D 必定都等于n填空题1方程组x 1+2x 2_ X 3 = 02x 14x 27x 3=0的通解为2设5阶方阵A 的行列式为| A = — J2，贝U |<2A = __________3已知■2-3，求X 二三计算题2 11 D =--5 3 1 3 - 131 1 1 113 4 22 D =2 2 2解：D13 42亠33一 313 42x 0 0 22 x 0 03 D =解：D=x0 2 x 00 0 2 x=(3 -1)(4 -1)(2 -1)(4 -3)(2_3)(2 _4) =12x 0 02x02x0 + 2(-1严 0 2 x =x 4 -16 0 2 x0 0 2—4 2 — 3x a x x4 D =x x a x x x x a2 2 26 设 A=12 3 , B = A 」,求 B 解：A1 3 6一广20 3、(1、‘2 03、7 解矩阵方程： -146 X = -1 解： -1 4 6<3-2 一3」3丿<3_2 一3」125丿"2 0 3、■-18 2、8 解矩阵方程：X-1 46—_3 6<3-2 一3」30 5丿1 1 1 1 1 1x x0 a — x 0 0 3= (3x + 0 00 =(3x + a )( a —x )a x a —x x a0 0 0 a —x1 1 x a D = (3x +a ) x xx x[4 -6 8 1'2 3 4'5设A = 23 4,求矩阵A 的秩。
线性代数习题集(带答案)
______________________________________________________________________________________________________________第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).______________________________________________________________________________________________________________(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .______________________________________________________________________________________________________________14．已知db c a cc a b b a b c a c b a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;______________________________________________________________________________________________________________9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题______________________________________________________________________________________________________________1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案 线性代数是数学的重点知识，多进⾏试题练习提⾼⾃⼰的能⼒。
以下是由店铺整理线性代数试题及答案，希望⼤家喜欢! 线性代数试题及答案(⼀) 说明：在本卷中，AT表⽰矩阵A的转置矩阵，A*表⽰矩阵A的伴随矩阵，E表⽰单位矩阵。
表⽰⽅阵A的⾏列式，r(A)表⽰矩阵A的秩。
⼀、单项选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错癣多选或未选均⽆分。
1.设3阶⽅阵A的⾏列式为2，则 ( )A.-1B. C. D.1 2.设则⽅程的根的个数为( )A.0B.1C.2D.3 3.设A为n阶⽅阵，将A的第1列与第2列交换得到⽅阵B，若则必有( ) A. B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶⽅阵，下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.设其中则矩阵A的秩为( )A.0B.1C.2D.3 6.设6阶⽅阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为( )A.0B.2C.3D.4 7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为( )A.-10B.-4C.3D.10 8.已知线性⽅程组⽆解，则数a=( ) A. B.0 C. D.1 9.设3阶⽅阵A的特征多项式为则 ( )A.-18B.-6C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为( )A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3 ⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分) 请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
11.设⾏列式其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为__________. 12.设则 __________. 13.设A是4×3矩阵且则 __________. 14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的'秩为__________. 15.设线性⽆关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表⽰，则r与s的关系为__________. 16.设⽅程组有⾮零解，且数则 __________. 17.设4元线性⽅程组的三个解α1，α2，α3，已知则⽅程组的通解是__________. 18.设3阶⽅阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________. 19.设矩阵有⼀个特征值对应的特征向量为则数a=__________. 20.设实⼆次型已知A的特征值为-1，1，2，则该⼆次型的规范形为__________. 三、计算题(本⼤题共6⼩题，每⼩题9分，共54分) 21.设矩阵其中均为3维列向量，且求 22.解矩阵⽅程 23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和⼀个极⼤⽆关组. 24.设3元线性⽅程组 , (1)确定当λ取何值时，⽅程组有惟⼀解、⽆解、有⽆穷多解? (2)当⽅程组有⽆穷多解时，求出该⽅程组的通解(要求⽤其⼀个特解和导出组的基础解系表⽰). 25.已知2阶⽅阵A的特征值为及⽅阵 (1)求B的特征值; (2)求B的⾏列式. 26.⽤配⽅法化⼆次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0. 线性代数试题及答案(⼆)【线性代数试题及答案】。
(完整word版)线性代数练习题行列式
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是 ［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是 ［ BD ] （A ） 行列式主对角线上的元素全为零 (B ） 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 （C ） 行列式零的元素的个数多于n 个 （D ） 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
大学线性代数练习试题及答案
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
《线性代数》练习题库参考答案
《线性代数》练习测试题库一.选择题1、=-0000000000121nn a a a a （ B ）A. n n a a a 21)1(-B. n n a a a 211)1(+-C. n a a a 212、n 阶行列式0000000000a a a a= （ B ）A.na B. (1)2(1)n n n a -- C. (1)n n a -3、n21＝ （ B ）A. (1)!nn - B. (1)2(1)!n n n -- C. 1(1)!n n +-4、 A 是n 阶方阵，m, l 是非负整数，以下说法不正确的是 （ C ）. A. ()m l mlA A = B. mlm lA A A+⋅= C. m m mB A AB =)(5、A 、B 分别为m n ⨯、s t ⨯矩阵, ACB 有意义的条件是 （ C ） A. C 为m t ⨯矩阵； B. C 为n t ⨯矩阵； C. C 为n s ⨯矩阵6、下面不一定为方阵的是 （C ）A.对称矩阵.B.可逆矩阵.C. 线性方程组的系数矩阵.7、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 的伴随矩阵是 （A ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021 8、 分块矩阵 00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中A 、B 为可逆矩阵）的逆矩阵是 （ A ）A. 1100A B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 00BA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、线性方程组Ax b = 有唯一解的条件是 （ A ）A.()()r A r A b A ==的列数B.()()r A r A b = .C.()()r A r A b A ==的行数10、线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax 有唯一解的条件是 （A ）A. 2,1-≠aB. 21-==a a 或.C. 1≠a11、 的是则下面向量组线性无关），，，＝（），，，＝（)6,2,4(054312--=--γβα（B ）A. 0，，βα B. γβ， C. γα， 12、设A 为正交矩阵，下面结论中错误的是 （ C ）A. A T 也为正交矩阵.B. A -1也为正交矩阵.C. 总有 1A =-13、二次型()233221214321342,,,,x x x x x x x x x x f --+=的矩阵为 （ C ）A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---340402021B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---320201011 C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000032002010011 14、设r 是实二次型),,,(21n x x x f 的秩，p 是二次型的正惯性指数，q 是二次型的负惯性指数，s 是二次型的符号差，那么 （ B ）A. q p r -=；B. q p r +=；C. q p s +=； 15、下面二次型中正定的是 （ B ）A. 21321),,(x x x x x f =B.2322213212),,(x x x x x x f ++= C.22213212),,(x x x x x f +=二、判断题1、若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0. （ ⨯ ）2、A 与B 都是3×2矩阵，则A 与B 的乘积也是3×2矩阵。
线性代数考试练习题带答案大全
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数基础练习题
线性代数基础练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行的最大个数D. 矩阵中线性无关列的最大个数2. 向量空间的基是指：A. 空间中任意向量的一组表示B. 空间中线性无关的向量集合C. 空间中所有向量的集合D. 空间中能生成整个空间的向量集合3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零向量的集合B. 变换后为单位向量的集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度不变的集合4. 方程组有唯一解的条件是：A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组的系数矩阵是可逆的C. 方程组的系数矩阵是方阵D. 方程组的系数矩阵是对称的5. 特征值和特征向量是：A. 线性变换中的特定值和向量B. 矩阵对角化过程中的值和向量C. 矩阵行列式为零的值D. 矩阵的秩二、填空题（每题2分，共20分）6. 向量空间 \( \mathbb{R}^3 \) 中，基 \( \{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) 的向量 \( \mathbf{v}_1 = (1, 0, 1) \)，\( \mathbf{v}_2 = (0, 1, 1) \)，那么\( \mathbf{v}_3 \) 可以是 _________ 。
7. 若矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相似，则 \( A \) 和 \( B \) 有相同的 _________ 值。
8. 线性方程组 \( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x - y + z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \end{cases} \) 的系数矩阵的秩是_________ 。
9. 矩阵 \( A \) 的迹（trace）是 _________ 矩阵元素的和。
10. 线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \)，若 \( T(\mathbf{e}_1) = \mathbf{e}_2 \) 且 \( T(\mathbf{e}_3) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3 \)，则 \( T(\mathbf{e}_2) \) 是_________ 。
线性代数测试题及答案
补充练习三 矩阵一、选择题：（1）设A 和B 均为n 阶方阵，则必有（ ）。
（A ）|A+B|=|A|+|B|； （B ）AB=BA （C ）|AB|=|BA| （D ）（A+B ）-1=A -1+B -1 （2）设A 和B 均为n 阶方阵，且满足AB=0，则必有（ ）。
（A ）A=0或B=0 （B ）A+B=0 （C ）|A|=0或|B|=0 （D ）|A|+|B|=0 （3）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P ，则必有（ ）。
（A ）AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； （C ）P 1P 2A=B ； （D ）P 2P 1A=B （4）设n 维行向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,,0,21α，矩阵ααT E A -=，ααT E B 2+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB=（ ）。
（A ）0； （B ）E ； （C ）-E （D ）ααTE + （5）设n 阶方阵A 非奇异（n ≥2），A *是A 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）(A *)*=|A|n-1A ； （B ）(A *)*=|A|n+1A ； （C ）(A *)*=|A|n-2A ； （D ）(A *)*=|A|n+2A（6）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）。
（A ）ACB=E ； （B ）CBA=E ； （C ）BAC=E ； （D ）BCA=E（7）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010010000012P ，其中A 可逆，则B -1等于（ ）。
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线性代数练习题 第二章 矩 阵系专业班 姓名学号§2.4 逆矩阵一．选择题 1．设*A 是n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[ B ]（A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ=（C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ=4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221B ，则=A2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛12643152X ，则X = 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则12-*BA = 46n-4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则=--1)(E A 22A E+ 三、计算与证明题：1． 设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A答案：2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A 答案：3． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B答案：A E A B 1)2(--=线性代数练习题 第二章 矩 阵系专业班 姓名学号§2.5 转置矩阵与对称矩阵一\选择题 1、设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T+ （B ）E （C ）E - （D ）0 2．设A为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B ]（A ）TA A + （B ）TA A - （C ）TAA （D ）A A T3．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E CA B A TTTT= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2二、设对称矩阵113122320A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算Tx Ax ．三、已知()111,2,3 1,,23αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设TA αβ=，计算n A ．四、证明任意的方阵A 可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
,,22TT A A A A B C A B C B C ⎛⎫⎛⎫+-===+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：设则，显然是对称阵，是反对称阵。
五、设A ,B 都是n 阶方阵且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵。
(),TT T T T B AB B A B B AB ==证明：因为则命题成立。
六、设A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，证明：(1)2A 是对称矩阵；(2)AB BA -是对称矩阵；(3)AB 是反对称矩阵的充要条件是AB BA =．()()()()()()()()222,.(1),(2),(3)().T T TTT T T T TT T T T TT T A A B B A AA A A A A A A AB BA AB BA B A A B BA AB AB BA AB AB B A AB B A AB BA AB =-====--=-=-=-=-+-=-⇔=-⇔-=-⇔=证明：根据题意有因为则是对称阵；由于则是对称阵；线性代数练习题 第二章 矩 阵系专业班 姓名学号§2.6 初等变换与初等矩阵一、选择题1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12二、把矩阵11343335412232033421A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭化为行最简形矩阵然后再化成标准形三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1210232112201023A四、 对矩阵1 13642 353 214A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭进行下面的系列初等变换，则相当于对矩阵A 左乘或右乘可逆矩阵，请求出相应的可逆矩阵，并指出是左乘还是右乘．(1) 交换A 的第2列和第3列，然后再交换第3列和第4列．(2) A 的第1行的元素都乘以2-加到第2行对应的元素上，然后第2行乘以1-，最后交换第2行和第3行．(3) A 的第１列的元素乘以3-加到第3列对应的元素上去，接着在交换第2行和第3行，然后交换第2列和第3列，最后第二行元素乘以2-．五、求下面矩阵方程的解010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110100101001000010011001000010010100100101431001002010010011200100101431001002010010011200X ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭解：则21013410102-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性代数练习题 第二章 矩 阵系专业班 姓名学号§2.7矩阵的秩一、选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于2．设nm ⨯矩阵A 的秩为s，则[ C ]（A ）A 的所有s －1阶子式不为零（B ）A 的所有s 阶子式不为零 （C ）A 的所有s +1阶子式为零（D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000sE 3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足[ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A是nm ⨯矩阵，B是mn ⨯矩阵，则[ B ]（A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB 二、填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 22．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 31a a ==-或三、计算题1． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=02301085235703273812A ，求)(A R .2．设A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k ，问k 为何值，可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R四、设n 阶方阵A 满足24A E =,证明(2)(2)R E A R E A n -++=.线性代数练习题 第二章 矩 阵系专业班 姓名学号综 合 练 习一、选择题 1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ] （A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵（C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）22))((B A B A B A -=-+ 2．方阵A可逆的充要条件是[ B ]（A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞0 3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1)(CB [ A ] （A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 二．填空题：1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4221*M ，则=M 2．若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121106223211043a 可逆，则a 为 三．计算题与证明题：1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设βαTA =，求nA2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101010112A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020100301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X3．设n 阶矩阵A 满足062=--E A A ，试证：（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆线性代数练习题 第三章 向量与向量空间系专业班 姓名学号§3.1n 维向量及其运算 §3.2 向量组的线性相关性一．选择题 1．n 维向量组s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是[ D ]（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有无穷多解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：1． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则=α2． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 3． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 三．计算题：1． 设向量()Tk 1,1,11+=α，T k ),,(1112+=α，T k ),,(1113+=α，T k k ),,(21=β，试问当k 为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？2． 设向量T),,,(32011=α，T),5,3,1,1(2=α，T a ),,,(12113+-=α，Ta ),,,(84214+=α Tb ),,,(5311+=β，试问当b a ,为何值时，（1）β不能由4321αααα,,,线性表示？ （2）β有4321αααα,,,的唯一线性表达式？并写出表达式。