分形曲线与面积计算

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Koch分形雪花图的面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

Koch分形雪花图地面积计算

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

分形曲线与面积计算-精品

sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos

(1, 0)
1

0

cos sin

(0, 1)

0 sin

1

cos

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MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln

1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn

lnN
/
ln
1

相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
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二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的数学实验报告(电子文档)

分形几何

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分形几何
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上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我
们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。
这一以数学家贝努瓦· 曼德布洛特命名的理论观察
到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的
许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形
式逼近。”
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2. 科赫曲线给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC ；
③ 将线段CD移去；
④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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3. 康托三分集合取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃
|z2| 的等高线地图。
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f(z) = |z2|
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可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ，那么整个图会怎样变化呢？
对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋转）。

分形理论在无机材料中的应用

分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。

原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。

近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。

1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。

例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。

然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。

同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。

对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。

于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。

整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。

但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。

此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。

1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。

自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。

简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。

形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。

正三角形的两种分形的面积和周长

正三角形的两种分形的面积和周长四川省德阳中学（618000）刘桂林在华师大版数学八年级(下)第85页上有正三角形的两种分形。

学生在阅读这部分材料时，对图形的自相似现象发生了浓厚的兴趣，提出了较多问题。

尤其希望知道等边三角形的外部相似图形（最后得雪花曲线）和内部自相似图形的周长和面积。

下面就此问题作出探讨。

1、将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形。

然后以其两腰代替底边。

再将六角形的每边三等分，重复上述作法。

如此继续下去，就得到雪花曲线（如下图所示）。

下面求雪花曲线所围图形的面积和雪花曲线的周长。

图1解：①设正三角形的边长为a，原正三角形的面积为2213224S a a a ==，第一次分形后的总面积为1S ，第二次分形后的总面积为2S ，…，第n 次分形后的总面积为n S ，则有： 214221126332212111343()34913443()()34913443()()34913443()()349n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ---=+=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯因为 …… 2334444[()()()]49999n n S S S =+++++所以　…2244[1()]399441934[1()]593343[1()]55948343[()]559n n n n S S S S a a ⨯-=+-=+-=+-=-所以雪花曲线所围图形的面积为 228lim 5n n S →∞== ．②设正三角形的边长为a ，原正三角形的周长为3a ，第一次分形后的周长为1C ，第二次分形后的周长为2C ，…，第n 次分形后的周长为n C ，则有：1222123332111114333331443()()3331443()()333144443()()3()()33333n n n n n n n C a a a C C a a C C a a C C a a a a ----=+==+⨯==+⨯==+⨯=+=……由分形后的周长通项公式4()33n n C a =可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以雪花曲线的周长为无穷大。

分形几何

第3章英国的海岸线有多长海岸线的长度问题，按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L 1；如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L 2＞L 1；同样的，用厘米作单位，所得长度L 3＞L 2＞L 1,…．采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（图19）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量．图19海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学家理查逊（L ．F ．richardson ）的一篇鲜为人知的文章中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式 L (r)= Kr 1-a 中的a 就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．例 A 、B 两国有一段共同的陆地边界线，并向B 国呈弧形弯曲（图20）. 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有. 20世纪80年代，A 国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A 国境内. 于是A 国向B国提出，要求将高地全部归属A 国，引起两国争端. 为维护该地区和平，联合国派员往A 、B 两国斡旋，请你为联合国特使设计一调解方案.方案：向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着测量单位的减小，测得的长度会增大. A 国新测得的长度比原记载长度大，正是她测量时采用了较原测量单位更小的码尺. 所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面还可同两国到边界进行测量演示. 习题三1.为什么长度已不是海岸线的特征量？2.为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？图20研究性课题：科赫雪花曲线的周长与面积1.台湾1995年联考试题：在如下的雪花曲线T 1，T 2,…，T n ，…中（图21），求第n 条雪花曲线的长度.为本课题研究的需要，增加一个问题：并求面积，且可设原三角形T 1的周长为L ，面积为S.（周长序列：L ，34L ，(34)2 L ，…，(34)ｎ－1L ，…. 面积序列：S ，（1+43×94） S ，（1+43×94+43×94×94）S ，…， {1+43[94+(94)2 + … + (94)n －1]}S ，….) 2.考察科赫雪花曲线的周长与面积的关系：⑴取L =3cm ，用CZ 1206型计算器计算n = 5，9，17时L n 和S n 的值.(L 5=9.48cm ，L 9=29.97cm ，L 17=299.32cm ；S 5=0.6827cm2,S 9=0.6924cm2,S 17=0.6928cm2.显然，随n 的无限增大，(34)n －1×3也无穷大， {1+43[94+(94)2+…+(94)n －1]} 43×12 =（1+43×94194-）①×43×12=0.6928(cm 2 ) ) （2）从以上计算得出的数值或数值变化的趋势你发现什么结论？（科赫雪花曲线周长趋于无穷大而面积为定值.）3.设正三角形与圆的周长分别为L 和C ，探索各自的面积S 与周长的关系并叙述出来.（S 正三角形=363L 2 ，S 圆 =241πC 2，它们的面积与周长是一种正比例关系，随周长的增大面积也增大.）将2、3中的结论相比较，体会曼德尔布罗特为什么把科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型.4.撰写研究小论文：课题：科赫雪花曲线的周长与面积.提纲：⑴问题的提出：科赫雪花曲线周长与面积的探求，发现它周长趋于无穷大而面积为定值.⑵问题的研究：寻求正三角形与圆的周长与面积关系的结论，将结论与⑴中结论比较，发现科赫雪花曲线与欧氏几何图形不同的性质.⑶研究结论的应用：谈谈对用科赫雪花曲线作为海岸线模型的认识.(说明：建议用小组合作的形式撰写. )① 等比数列求和公式S n =q q a n --1)1(1，当n 为无穷大，│q │＜1时S =q a -11图21。

不规则图形的面积怎么算

不规则图形的面积怎么算
面积计算方法：1、曲线拟合法，这个方法是大学学的一个比较高级的方法，用曲线拟合边界，然后用积分求面积；2、蒙特卡洛法，将物体放在规则图形上，随机撒点，计算落在目标物体上的概率，然后乘规则图形的已知面积；3、分割法，对于不规则的形状，我们可以把物体分割成若干规则图形，不规则区域用规则图形近似。

常见面积定理
1.一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2.两个全等图形的面积相等；
3.等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4.等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5.相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6.等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比。

高中数学积分应用于曲线与曲面的面积计算

高中数学积分应用于曲线与曲面的面积计算在高中数学中，积分是一个非常重要的概念和工具，它不仅可以用来求解函数的定积分和不定积分，还可以应用于曲线与曲面的面积计算。

本文将通过具体的例题，详细讲解积分在曲线与曲面面积计算中的应用，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、曲线的面积计算1. 计算曲线与x轴之间的面积考虑曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中f(x)在[a, b]上连续且非负。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

设曲线与x轴的交点为x=a和x=b，将[a, b]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=f(xi)Δx，将所有小矩形的面积相加即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

举例：计算曲线y=x^2与x轴之间的面积。

解：首先，我们需要确定曲线与x轴的交点。

当y=0时，得到x=0。

因此，曲线与x轴的交点为x=0。

我们可以将曲线下方的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线下方的面积。

假设我们将区间[0, 2]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx=2/n。

第i个小区间的宽度为Δx，高度为f(xi)=xi^2，其中xi为该小区间的任意一点。

因此，第i个小矩形的面积为ΔS=(xi^2)(2/n)。

将所有小矩形的面积相加，即可得到曲线与x轴之间的面积的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值趋向于曲线与x轴之间的面积。

2. 计算曲线与y轴之间的面积类似地，我们也可以计算曲线与y轴之间的面积。

考虑曲线x=f(y)与y轴之间的面积，其中f(y)在[c, d]上连续且非负。

我们可以将曲线左侧的面积分割成许多矩形，然后求和逼近曲线左侧的面积。

设曲线与y轴的交点为y=c和y=d，将[c, d]区间等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δy=(d-c)/n，则第i个小区间的宽度为Δy，高度为f(yi)，其中yi为该小区间的任意一点。

不规则面积计算公式

不规则面积计算公式摘要：1.引言2.不规则面积计算的基本原理3.不同形状的不规则面积计算公式4.应用实例5.结论正文：【引言】计算不规则面积是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛，例如建筑、工程、地理、物理等领域。

由于不规则形状的复杂性，计算其面积需要用到一些特殊的公式和方法。

本文将为大家介绍不规则面积计算的基本原理以及不同形状的不规则面积计算公式。

【不规则面积计算的基本原理】不规则面积计算的基本原理是将不规则形状分解成若干个简单的几何形状，然后分别计算这些几何形状的面积，最后将这些面积相加得到总面积。

这个过程需要运用到数学中的分割、平移、旋转等技巧。

【不同形状的不规则面积计算公式】1.梯形：梯形的面积计算公式为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。

2.矩形：矩形的面积计算公式为：长× 宽。

3.圆形：圆形的面积计算公式为：π × 半径。

4.梯形和圆形的组合：可以先将梯形和圆形分别计算面积，然后按照一定的比例进行缩放，最后将两个面积相加得到总面积。

5.其他不规则形状：对于其他复杂的不规则形状，可以通过将其分割成简单的几何形状，然后分别计算面积，最后相加得到总面积。

【应用实例】假设有一个不规则的房间，其形状为梯形，上底长为4 米，下底长为6 米，高为3 米。

此外，房间内部还有一个半径为1 米的圆形区域。

我们可以使用上述公式计算出房间的总面积：(4 + 6) × 3 ÷ 2 + π × 1 = 21 + 3.14 ≈ 24.14 平方米。

【结论】不规则面积计算是数学中的一个重要领域，它在实际生活中的应用非常广泛。

通过将不规则形状分解成简单的几何形状，并运用相应的面积计算公式，可以方便地计算出不规则形状的面积。

分形理论概述

分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。

分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。

1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。

海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。

我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。

在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。

事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。

1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。

在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。

作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。

它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。

由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。

分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。

标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。

这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

分形几何概述

整理课件
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
整理课件
对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
整理课件
分形山
整理课件
分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
整理课件
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
整理课件
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生。
整理课件
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生
出来.
整理课件
分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础及其应用》.

自然界中分形模式的数学建模

自然界中分形模式的数学建模一、分形模式的数学基础分形几何是一种描述自然界中复杂形状的数学理论，它由数学家本华·曼德布罗特于1975年提出。

分形的核心概念是自相似性，即在不同的尺度上观察一个对象，其形状和结构具有相似性。

分形模式具有无限复杂的边界，但可以用简单的数学公式来描述。

1.1 分形的定义与特性分形是具有非整数维数的几何形状，它们在所有尺度上都表现出自相似性。

分形的维数通常大于其拓扑维数，这是通过分形维数的计算公式来确定的。

分形的一个重要特性是它们具有无限的细节，这意味着无论放大多少倍，分形的局部总是呈现出与整体相似的复杂结构。

1.2 分形的数学模型分形可以通过多种数学模型来描述，其中最著名的是曼德布罗特集合和朱利亚集合。

这些集合是通过复数迭代过程产生的，它们展示了分形的自相似性和复杂性。

此外，还有基于迭代函数系统的分形模型，如科赫曲线、谢尔宾斯基地毯和分形布朗运动等。

1.3 分形的度量分形的度量包括分形维数、分形尺度和分形的豪斯多夫维数等。

分形维数是描述分形复杂性的一个关键参数，它通常通过盒维数或相似维数来计算。

分形尺度则涉及到分形在不同尺度上的表现，而豪斯多夫维数则是一种更为通用的度量方法，适用于不规则形状的维数计算。

二、自然界中的分形现象自然界中充满了分形模式，从微观到宏观，从植物的叶片到山川河流的地形，都可以找到分形的影子。

2.1 分形在植物学中的应用植物的许多部分都表现出分形特性，如树木的分枝、叶片的脉络和花朵的排列等。

这些分形结构有助于植物更有效地进行光合作用和水分吸收。

例如，树木的分枝模式遵循一种分形规律，使得每一片叶子都能获得充足的阳光。

2.2 分形在地质学中的应用地球表面的地形也常常呈现出分形特性。

山脉、河流和海岸线等自然地貌，其形状和结构在不同尺度上都具有自相似性。

例如，河流的分支模式和海岸线的曲折度都可以用分形理论来描述。

2.3 分形在生物学中的应用在生物学中，分形模式同样普遍存在。

分形几何

度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量海岸线的长度时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i

｛U i｝

―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续）分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内着复杂的结构。２）F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
Mandelbrot集(4)

学习复杂图形面积计算方法

学习复杂图形面积计算方法图形的面积计算一直是数学中的一个重要问题。

在数学和几何学中，我们通常使用简单图形的公式来计算其面积，如矩形、三角形和圆形等。

然而，当涉及到复杂的图形时，计算面积就变得复杂和困难了。

本文将介绍一些计算复杂图形面积的方法和技巧。

方法一：将图形分解为简单形状分解图形是计算复杂图形面积的重要策略之一。

通过将图形分解为简单形状，如矩形、三角形和圆形等，我们可以使用已知的公式计算每个简单形状的面积，并将它们相加以得到复杂图形的总面积。

这种方法通常适用于将复杂图形分解为几个不规则形状，并计算每个形状的面积。

举例来说，如果我们想计算一个由一个矩形和一个梯形组成的图形的面积，我们可以将其分解为矩形和梯形两个简单形状。

首先，我们计算矩形的面积，即宽度乘以高度。

然后，我们计算梯形的面积，即底和顶的长度之和的一半，乘以高度。

最后，我们将矩形和梯形的面积相加，得到整个图形的面积。

方法二：使用连续积分对于一些无法通过简单形状分解的复杂图形，我们可以使用连续积分的方法来计算其面积。

连续积分是一种数学工具，可以用于计算曲线下面积，同时也适用于计算复杂图形的面积。

考虑一个由曲线y=f(x)、x=a和x=b以及x轴所围成的图形。

我们可以通过计算定义在[a, b]上的函数f(x)的积分来得到该图形的面积。

具体来说，面积等于积分∫[a, b]f(x)dx。

这个积分表示函数f(x)的每一点到x轴之间的距离，并且沿着定义域[a, b]的范围进行累加。

这种方法适用于计算曲线和边界不规则的复杂图形的面积。

方法三：使用数值逼近当图形太过复杂，无法直接进行分解或者使用连续积分时，我们可以采用数值逼近的方法来计算图形的面积。

数值逼近是一种通过将图形划分为小区域，并计算每个小区域的面积，并进行求和来近似图形总面积的方法。

一种常见的数值逼近方法是使用矩形法，即将图形划分为矩形，并计算每个矩形的面积，然后将这些面积相加以得到近似的总面积。

曲面面积的计算方法

曲面面积的计算方法曲面面积是指曲面所包围的空间的表面积，它是几何学中一个重要的概念。

在实际生活中，我们经常会遇到需要计算曲面面积的情况，比如建筑物的外墙面积、工程项目的曲面覆盖面积等。

因此，了解曲面面积的计算方法对我们的日常工作和生活都有一定的帮助。

下面，我们将介绍一些常见的曲面面积计算方法。

一、曲面面积的计算方法。

1. 曲面面积的计算方法一，直接测量法。

直接测量法是最直观、最简单的曲面面积计算方法。

它适用于一些规则的曲面，比如矩形、三角形、圆形等。

通过使用尺子、测量工具等直接对曲面进行测量，然后根据相应的公式计算出曲面的面积。

2. 曲面面积的计算方法二，分割法。

对于一些不规则的曲面，我们可以采用分割法来计算其面积。

具体的做法是将曲面分割成若干个规则的图形，然后分别计算每个图形的面积，最后将它们相加得到整个曲面的面积。

这种方法需要一定的几何知识和计算技巧，但在实际操作中是比较灵活和可行的。

3. 曲面面积的计算方法三，积分法。

对于一些复杂的曲面，我们可以利用积分来计算其面积。

积分法是数学中的一种高级计算方法，通过将曲面分割成无穷小的面积元，然后对每个面积元进行积分求和，最终得到整个曲面的面积。

这种方法需要一定的数学基础和计算能力，但对于一些复杂的曲面是非常有效的。

二、曲面面积的计算实例。

下面我们通过一个具体的实例来介绍曲面面积的计算方法。

假设有一个不规则的曲面，我们需要计算其面积。

首先我们可以采用分割法，将曲面分割成若干个规则的图形，然后分别计算每个图形的面积，最后将它们相加得到整个曲面的面积。

如果曲面比较复杂，我们还可以考虑使用积分法来进行计算。

三、曲面面积的计算注意事项。

在进行曲面面积的计算时，需要注意以下几点：1. 对曲面进行合理的分割，选择适当的计算方法；2. 确保所采用的测量工具准确可靠，避免测量误差；3. 对于复杂的曲面，可以考虑使用数学方法进行计算。

四、总结。

曲面面积的计算方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法进行计算。

在没有微积分时怎么开普勒算出的面积公式

在没有微积分时怎么开普勒算出的面积公式开普勒（IsaacNewton）是英国数学家、物理学家、天文学家、哲学家和历史学家。

他在1687年出版的著作《自然哲学的数学原理》中提出了微积分学，其中包括用函数求面积所需要的积分技术。

因此，开普勒对计算面积公式具有重要意义。

当时并不存在微积分，那么开普勒如何算出的面积公式呢？在没有微积分时，开普勒算出的面积公式是通过曲线分段法。

具体做法是将曲线分段，然后用有限的二次曲线拟合每一小段曲线。

由于圆弧和椭圆也可以用多段二次曲线表示，所以即使没有微积分，开普勒也能算出圆弧和椭圆几何图形的面积公式。

首先，根据曲线分段法，要想计算出某条曲线的面积，需要将它分成若干小段，每段曲线都被拟合成一个有限的二次曲线，且拟合的误差不超过所设定的容限值。

此时，每一段二次曲线的形状和面积都可以求出来。

据此可以求出曲线的总面积，即由多段二次曲线拟合的曲线面积。

其次，圆弧和椭圆都可以用多段二次曲线拟合表示。

运用多段二次曲线，圆弧可以分成若干段，每段曲线分别由一条有限的二次曲线拟合，拟合误差不超过所设定的精度。

每一小段二次曲线的面积都可以求出，加起来即可求出圆弧的总面积。

此外，椭圆也是如此，只是椭圆拟合的不是每一段，而是椭圆整体，拟合误差也不超过所设定的精度。

最后，求出的椭圆的面积就是面积公式了。

综上所述，在没有微积分时，开普勒算出的面积公式是通过曲线分段法实现的，即将曲线分成若干小段，每段曲线分别由一条有限的二次曲线拟合，拟合误差不超过所设定的精度，求出曲线的总面积。

圆弧和椭圆只需要将它们拟合成多段二次曲线，误差不超过所设定的精度，就可以求出圆弧和椭圆的面积公式了。

开普勒的曲线分段法，给我们提供了在没有微积分的情况下，也能求出曲线、圆弧和椭圆的面积公式的方法。

形的面积了解形面积的计算方法

形的面积了解形面积的计算方法面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小。

在几何中，我们可以通过各种方法来计算不同形状的面积。

本文将介绍常见图形的面积计算方法，帮助读者更好地理解和掌握形的面积的计算方法。

一、矩形的面积计算方法矩形是最常见的图形之一，其面积计算十分简单，可通过以下公式计算：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长度，宽代表矩形的宽度。

通过直接将长和宽代入公式即可得到矩形的面积。

二、三角形的面积计算方法三角形的面积计算相对矩形稍微复杂一些，根据三角形的特点，我们可以使用以下两种方法计算三角形的面积：1. 通过底边和高计算面积 = 底边 ×高 ÷ 2其中，底边代表三角形的底边长度，高代表从底边到顶点的垂直距离。

将底边与高代入公式，计算结果除以2即可得到三角形的面积。

2. 通过海伦公式计算当我们只知道三角形的三条边长时，可以通过海伦公式来计算面积。

海伦公式如下：面积= √[p × (p - a) × (p - b) × (p - c)]其中，a、b、c表示三角形的三条边长，p表示三角形的半周长，公式中的√表示开平方。

三、圆的面积计算方法圆也是一种常见的图形，其面积计算方法如下：面积= π × 半径²其中，π是一个常数，可以近似表示为3.14，半径代表圆的半径长度。

将半径的平方乘以π即可得到圆的面积。

四、正方形的面积计算方法正方形是特殊的矩形，其四边长度相等。

正方形的面积计算方法与矩形相同，可使用矩形的面积公式来计算：面积 = 边长 ×边长其中，边长代表正方形的边长长度。

将边长代入公式即可得到正方形的面积。

五、其他图形的面积计算方法除了上述常见图形外，还存在很多其他形状的图形，例如梯形、长方体、圆柱等。

这些图形的面积计算方法因形状特点的不同而各异，具体计算方法可以参考相关几何知识教材或者通过搜索引擎获取。