数学物理方程学习指导书第3章经典方程的建立和定解条件

第3章经典方程的建立和定解条件

在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先要弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方面要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象本身所具有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件.定解条件提出具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题.

3．1 经典方程的建立

在本节，我们将通过几个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程构成我们的主要研究对象.经典方程的导出步骤：

（1）确定出所要研究的是哪一个物理量u；

（2）用数学的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理（力学）规律分析邻近部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要因素，

即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小），这种相互作用在一个短的时间间隔

是如何影响物理量u

（3）把这种关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.

例1 弦的振动

弦的振动问题，虽然是一个古典问题，但对于初学者仍然具有一定的启发性.

设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响，下面研究弦的微小横向振动，即假定全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图3-1）.

图3-1

设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t时的位置为M，位移NM记作u.显然，在振动过程

u x t.现在来建立位移u满足的方程.我们把弦上点的运动先中位移u是变量x与t的函数(,)

看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况.在弦上任取一弧段MM'，其长为ds，设ρ是弦的线密度，弧段MM'两端所受的张力记作T，T'，现在考虑孤段MM'

在t 时刻的受力情况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加速度.

在x 轴方向弧段受力的总和为cos cos T T αα''-+，由于弦只作横向振动，所以

cos cos 0T T αα''-=. （3.1）

如果弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即0,0αα'≈≈，则由

2

4

cos 12!4!ααα=-+

-

可知，当α为无穷小量时，cos α与1的差量是α的高阶无穷小量，可以略去不计，因此当0,0αα'≈≈时

cos 1,cos 1αα'≈≈

代入(3.1)式，便可近似得到

T T '≈.

在u 方向弧段受力的总和为sin sin T T gds ααρ''-+-，其中ρ是单位弧段的质量，gds ρ-是弧段MM '的重力.又因当0α≈，0α'≈时

(,)sin u x t tg x

αα∂=≈=∂， (,)sin ''u x dx t tg x

αα∂+==∂，

,ds dx =≈ 且小弧段在时刻t 沿u 方向运动的加速度为22

(,)u x t t ∂∂，小弧段的质量为gds ρ，所以 22(,)sin sin u x t T T gds ds t

ααρρ∂''-+-≈∂ （3.2） 或

22(,)(,)(,),u x dx t u x t u x t T gds dx x x t ρρ∂+∂∂⎡⎤--≈⎢⎥∂∂∂⎣

⎦ 上式左边方括号内的部分是由于x 产生dx 的变化而引起的

(,)u x t x

∂∂的改变量，可用微分代替，即

22(,)(,)(,)(,),u x dx t u x t u x t u x t dx dx x x x x x ∂+∂∂∂∂⎡⎤-≈=⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦

于是

2222(,)(,)u x t u x t T g dx dx x x ρρ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦

或

2222(,)(,).T u x t u x t g x t

ρ∂∂≈+∂∂ 一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即22u t

∂∂要比g 大得多，所以又可以把g 略去.经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出(,)u x t 应近似地满足方程

22222

u u a t x ∂∂=∂∂ （3.3） 这里的2.T

a ρ=式(3.3)称为一维波动方程.

如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长度所受外力的(,)F x t ，显然，在这里(3.1)及(3.2)分别为

cos cos 0,T T αα''-=

22sin sin .u Fds T T gds ds t

ααρρ∂''-+-≈∂ 利用上面的推导方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为

22222(,),u u f x t t x

α∂∂=+∂∂ （3.3）’ 其中1

(,)(,).f x t F x t ρ=

方程(3.3)与(3.3)’的差别在于(3.3)’的右端多了一个与未知函数u 无关的项(,)f x t ，这个项称为自由项，包含有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维波动方程，(3.3)’为非齐次一维波动方程.

例2 传输线方程

对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等.但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能显著地幅射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容