高中数学直线与双曲线的交点问题ppt课件
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
《直线与双曲线》课件
划分线段
2
用尺子或其它工具连接两个点，得到
一个线段。
3
延长线段
将线段无限延伸直到直线的任意一端。
双曲线的标准方程
对称轴
双曲线的长轴与短轴交于中心 点，并被标记为对称轴。
标准方程
双曲线的标准方程为(x^2/a^2)(y^2/b^2)=1，其中a和b是双曲 线上的常数。
渐近线
由于双曲线的性质，它们总会 和直线相交，这条直线就称作 渐近线。
《直线与双曲线》PPT课 件
本PPT课件将介绍直线与双曲线的定义、性质及其应用领域，为您深入了解 该学科提供帮助。
直线和双曲线是什么？
直线
是一种没有弯曲的无限延伸的平面几何图形， 只有两个端点。
双曲线
是一种与圆不同、形状呈现两臂的闭曲线， 广泛应用于数学和科学领域。
如何画直线？
1
确定任意两点
选取平面上的两点，确定直线的位置。
直线与双曲线的区别与相似性
1 共同点
直线和双曲线均为几何图形，在数学和科学中均有广泛应用。
2 区别
直线无限延伸，而双曲线有两个端点；直线的标准方程为y=kx+b，而双曲线的标准方程 为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1。
双曲线的几何中心和焦点
1
中心点
双曲线的中心点为长轴和短轴的交点。
2
焦点
与双曲线有关的参数是f，其表示焦点到中心的距离。对于每个双曲线，有两个 焦点。
3
应用
在物理学和科学领域，双曲线常被应用于光学、机械、电气和核物理学的研究中。
双曲线与椭圆的比较
相同点
双曲线和椭圆都是封闭曲线，有多个常用参数。
不同点
椭圆和双曲线有不同的形状特征和数学方程， 有不同的应用领域。
第6节 第2课时 直线与双曲线--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
3
6
解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知
21 -22
两式相减可得 2
=
21
x1≠x2,则2
21 -22
21
22
− 2 =1,2
(1 -2 )(1 +2 )
2 ,所以
2
=
−
22
2 =1,
(1 -2 )(1 +2 )
2
.
因为点(3,6)是线段 MN 的中点,所以 x1+x2=6,y1+y2=12,
则 3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,所以 a2≠3 且 a2<6.
可得
2
2
x1+x2= 2,x1x2=- 2 .
3-
3-
因为 ⊥ ,则 ·=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+1)(ax2+1)
-2(2 +1)+22
1-2
+1)x1x2+a(x1+x2)+1=
2025
高考总复习
第2课时
直线与双曲线
研考点
精准突破
考点一
直线与双曲线的位置关系
例1直线3x-4y=0与双曲线
A.0
B.1
y2
9
2
− 16=1 的交点个数是(
C.2
解析 (方法 1)联立
2 2
9 16
= 1,
得
3-4 = 0,
A )
D.3
2
9
162
− 9 =1,方程组无解,说明直线与双曲线
(2)数形结合法:注意到与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点,根据
6
解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知
21 -22
两式相减可得 2
=
21
x1≠x2,则2
21 -22
21
22
− 2 =1,2
(1 -2 )(1 +2 )
2 ,所以
2
=
−
22
2 =1,
(1 -2 )(1 +2 )
2
.
因为点(3,6)是线段 MN 的中点,所以 x1+x2=6,y1+y2=12,
则 3-a2≠0,Δ=4a2+8(3-a2)>0,所以 a2≠3 且 a2<6.
可得
2
2
x1+x2= 2,x1x2=- 2 .
3-
3-
因为 ⊥ ,则 ·=x1x2+y1y2=x1x2+(ax1+1)(ax2+1)
-2(2 +1)+22
1-2
+1)x1x2+a(x1+x2)+1=
2025
高考总复习
第2课时
直线与双曲线
研考点
精准突破
考点一
直线与双曲线的位置关系
例1直线3x-4y=0与双曲线
A.0
B.1
y2
9
2
− 16=1 的交点个数是(
C.2
解析 (方法 1)联立
2 2
9 16
= 1,
得
3-4 = 0,
A )
D.3
2
9
162
− 9 =1,方程组无解,说明直线与双曲线
(2)数形结合法:注意到与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点,根据
高中数学-双曲线习题课精品ppt课件
2 2
的圆是否恒过点A, 并说明理由.
练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）c 6 ,经过点(-5, 2), 焦点在x轴上； x y 5 （2）与 1有相同的渐近线,且过（3， ）； 16 4 2 （3）经过点P (3,2 7 ), Q(-6 2, 7)
2 2
(4)以椭圆
的顶点为焦点且a＝5
例题1：
2 2
求证:椭圆
x y 1 x2-15y2=15 与双曲线 25 9
5 15
有相同的焦点F1,F2.
求|PF1|的值.
x2 y2 练1.双曲线与椭圆 1 有共同的焦点,且 27 36
与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲 2 2 y x 线的方程. 1 4 5 2 2 2 2 x y x y 1 练2.如果椭圆 2 1 与双曲线 4 a a 2
的焦点相同,求a的值.
a 1
练习1：
1.直线y kx 1交双曲线C : x 2 y 2 1于A, B 两点, O为坐标原点, OAB的面积为 2 ,求k的 值.
y 2.已知双曲线E : x 1和定点A( 1,0).过F ( 2,0) 3 的直线交曲线E于B, C两点, 试判断以线段BC为直径
直线与双曲线的位置关系： 练、若直线y=kx+1与双曲线 x y 1 4 个值. 仅有一个公共点,则这样的k可取___
2 2
y
p
O
的圆是否恒过点A, 并说明理由.
练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）c 6 ,经过点(-5, 2), 焦点在x轴上； x y 5 （2）与 1有相同的渐近线,且过（3， ）； 16 4 2 （3）经过点P (3,2 7 ), Q(-6 2, 7)
2 2
(4)以椭圆
的顶点为焦点且a＝5
例题1：
2 2
求证:椭圆
x y 1 x2-15y2=15 与双曲线 25 9
5 15
有相同的焦点F1,F2.
求|PF1|的值.
x2 y2 练1.双曲线与椭圆 1 有共同的焦点,且 27 36
与此椭圆一个交点的纵坐标为4,求这个双曲 2 2 y x 线的方程. 1 4 5 2 2 2 2 x y x y 1 练2.如果椭圆 2 1 与双曲线 4 a a 2
的焦点相同,求a的值.
a 1
练习1：
1.直线y kx 1交双曲线C : x 2 y 2 1于A, B 两点, O为坐标原点, OAB的面积为 2 ,求k的 值.
y 2.已知双曲线E : x 1和定点A( 1,0).过F ( 2,0) 3 的直线交曲线E于B, C两点, 试判断以线段BC为直径
直线与双曲线的位置关系： 练、若直线y=kx+1与双曲线 x y 1 4 个值. 仅有一个公共点,则这样的k可取___
2 2
y
p
O
直线与双曲线的位置关系
y2
1(a
0)与直线
l:x y 1
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 5 PB, 求a的值。
12
所以17 12
x2
2a2 1 a2
.
5 12
x
2 2
2a 2
1 a2
.
消
去,
x
2
,
得
2a 2 1 a
2
289 60
由a 0,所以a 17 13
2
2
(2)有两个公共点; 5 k 5 且k 1
2
2
(3)只有一个公共点; k=±1或k= ± 5
2
(4)交于异支两点； -1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
课堂训练与检测
1.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
交点的直线 共有___4____条.
y2 16
1 只有 一个
直线截双曲线所得的线段。
通径：与实轴垂直的焦点弦。
y
A
M
C
F1
o F2 x
B D
请指出右图中的焦半径，焦点弦和通径.
1.直线
l
过双曲线C：
x2 16
y2 9
1
的左焦点，
①若 l 只与C的左支相交，弦长的最小值为 9/2 .
②若 l 与C的左右两支都相交，弦长的最小值为 8 .
③设直线 l 截双曲线C所得的弦长为d：
Y
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
新教材高中数学第二章双曲线方程及性质的应用课件新人教B版选择性必修第一册ppt
【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
高中数学直线与双曲线的交点问题
yFra bibliotekF•1
O
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
•
b y x 4
a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
•
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
b y x 5
a
过平面其他任意一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
y b x a
y
b k b
a
a
F•1
•O
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
b y x 3
a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支、有右两个支交相点交的于直两线点的的直斜线率范围
y b x a
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
•
ybx 6 a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点，
则k的取值范围为
. 1k
5
k 5
2
k 1
2
k 5 2 k 1
y
F•1
O
•
y x
F• 2
x
y x 7
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点，
O
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
•
b y x 4
a
过双曲线内一点 与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
•
x2 y2
F• 2
a2 b2 1 x
b y x 5
a
过平面其他任意一点 与双曲线只有一个交点的直线 4条
y b x a
y
b k b
a
a
F•1
•O
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
b y x 3
a
过双曲线上一点 与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支、有右两个支交相点交的于直两线点的的直斜线率范围
y b x a
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
y b x a
y
F•1
O
x2 y2 a2 b2 1
F• 2
x
•
ybx 6 a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点，
则k的取值范围为
. 1k
5
k 5
2
k 1
2
k 5 2 k 1
y
F•1
O
•
y x
F• 2
x
y x 7
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点，
直线与双曲线的交点
2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
人教高中数学必修二直线与方程两条直线的交点坐标PPT模板
直线的平行垂直
l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
l1 // l2
l1 l2
k1 k2 且 b1 b2 k1 k2 1
l1 : A1x B1 y C1 0 ( A1, B1 不同时为0）
l2 : A2 x B2 y C2 0 ( A2 , B2 不同时为0）
l1 // l2
A1B2 A2B1 0 且不重合
l1 l2
A1 A2 B1B2 0
直线的交点
讨论： 1、点A(－2,2)是否在直线
l1：3x＋4y－2＝0上？ 2、点A(－2,2) 是否在直线
l2：2x＋y＋2＝0上？
结论： 两条直线交点A(－2,2)的坐标是 l1与l2联立方程组的 解。
4.4
2.5 2 1.5
类别 2
类别2
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3.5 3
Байду номын сангаас
1.8
2
4.5
5
3.5 2.8
类别 3
类别3
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类别 4
类别4
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执行力
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
工作经历-工作经历1
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多余的文字修饰。
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直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
直线与双曲线位置关系说课课件
2．教学目标 教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标 分为如下几点： （1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影 响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦 长公式和中点弦有关知识。 （2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。 领悟培养数形结合和化归等思想。 （3）情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及 合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程 和成功后的喜悦。
3．教学的重难点 教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的 有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是： 重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相 关知识。 难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式 等知识来解决数学问题。
4．学情分析 学情分析 对于认知主体学生 ①在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及 相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上， 主动迁移、主动重组、整合能力较弱； ②在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。
谢谢大家 再 见！
过程演示： 相离 →相切 →相交（两个交点在同一支上）
过程演示：相交（交点落在两支上）
过程演示： 相交（一个交点）
设直线方程为ykxmm0双曲方程为k的取值范围直线与双曲线的位置关系设计意图相离无交点相切只有一个交点两个交点交点在同一支上利用直观的动态演示从运动角度帮助学生理解各位置关系的形成过程有助于学生从感性认识上升到理性认识从而发现问题的本质
探索直线与双曲线的位置关系
福鼎第四中学 数学组
一．设计理念
根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被 动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提 出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主 全面、可持续的发展。 在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和 探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使 学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。
《直线与双曲线》课件
根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条 件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
直线与双曲线交点的情况
当直线与双曲线左右两支各有一个交点时： x1 x2 0
例题示范
x2 设双曲线C : 2 y 2 1(a 0)与直线x y 1相交 a 于两个不同的点 A, B，求双曲线C的离心率e的取 值范围（）
x2 2 2 y 1, a x y 交点的情况
结论1
•若直线恒过定点落在双曲线两支之内，则 •（1）当直线与双曲线只有一个交点，该直 b 线的斜率为 k •（2）当直线与双曲线的左右两支都有交点 b b 时，该直线的斜率满足 k ( , )
a a
a
•（3）当直线与双曲线的单支有两个交点时， b b k ( , ) ( , ) 该直线的斜率满足
10 8
b 双曲线的渐近线为 y x a
6
4
B1
2
b 2 a
15
10
F2
5
F
2
5 G
F1
10
15
4
变式
x2 y2 已知斜率为 2的直线l过双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的右焦点F a b 且与双曲线的右支交于 不同的两点，则双曲线 离心率的取值范 围是（）
变式
x2 y2 已知斜率为 2的直线l过双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的右焦点F a b 且与双曲线的左右支分 别相交，则双曲线离心 率的取值范 围是（）
(1 a ) x 2a x 2a 0
2 2 2 2
2 1 a 0, 2 2 2 4 a 8 a ( 1 a ) 0,
6 ( , 2 ) ( 2 ,) 2
例题示范
x2 y2 已知斜率为2的直线l过双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的右焦点 a b 且与双曲线的右支有且 只有一个交点，则双曲 线离心率的取 值范围（）
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨！！！
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨1任意直线与双曲线交点情况备注：此情况下m≠0，如果m=0，一次方程无解，直线L就会与渐近线重合，则与双曲线无交点。
备注：由以上结论可知，任意一条直线与双曲线的交点最多为2个，最少为0个，也有1个的情况(直线与双曲线相切或者直线与渐近线平行)。
2过定点与双曲线仅一个交点的直线情况接下来重点讨论过定点与双曲线只有一个交点的直线条数情况，总共有以下6种情况。
①定点P在双曲线内，如下图绿色区域(不包含在双曲线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，且这两条直线分别与对应的两条渐近线平行，具体如下：备注：根据上图点P在双曲线内，很明显可以看出过定点P与双曲线有两个交点的直线有无数条，与双曲线无交点的直线有0条，所以此处只探讨过定点P与双曲线只有一个交点的直线条数这种相对复杂的情况，并且这种情况也是常考点！②定点P在双曲线与渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在双曲线上和渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的同一支上，具体如下：③定点P在两条渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的两支上，具体如下：④定点P在双曲线上，如下图绿色区域：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有三条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑤定点P在渐近线上，如下图绿色区域(不包含原点)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，其中一条直线与对应的渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑥定点P在原点上，如下图：可知此时过原点，与双曲线只有一个交点的直线是不存在，即0条。
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• F1
B
O
A
• F2
x
C
y
1 x m
k AB
3 3
x2 y2 过 双 曲 线 2 2 1(a 0, b 0)的 右 焦 点 F作 双 曲 线 渐 近 线 的 垂 线 a b l,若 直 线 l与 双 曲 线 的 左 、 右 两 相 支交 于 A, B两 点 ， 求 双 曲 线 的 离 心 a 率的取值范围 . k b b y x a y
y
x2 y2 2 1 2 a b
b b k a a
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线 • F1
•
O
• F2
x
b y x a
过双曲线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
k 1
k
2
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点， 则k的取值范围为 .5 k 1 5 k 2 5 2
k 1
k
2
k 1
y
• F1
O
•
• F2
x
y x
y x
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 左，右相交两个点， 则k的取值范围为 1 k . 1
过平面其他任意一点
与双曲线只有一个交点的直线 4条 与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 b 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 y x 与双曲线左、右两支相交于两点的直线 a
y
x y 2 1 2 a b
• F1
2
2
O
• F2
x
•
b y x a
若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点， 则k的取值范围为 . 5 1 k 5 2 k 5
• F1
O
• F2
x
b y x a
直线与双曲线的交点个数问题 利用斜率的相对关系
过原点
与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
• F1
O
•
x2 y2 2 1 2 a b
• F2
x
b y x a
过渐近线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
b k切 线 k 与双曲线左支有两个交点的直线 y b x a a
b y x a
y
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O
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• F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
b y x a
过双曲线内一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
b y x a
y
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• F1
OБайду номын сангаас
• F2
x
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b y x a
k 1
5 k 2
5 k 2
k 1
y
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O
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• F2
x
y x
y x
1. 已知双曲线 x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C 是双曲线右支上两点，若∆ABC为正三角形，则m的取 值范围 .
2 y x2 1 1 m
y
y
1 x m
渐近线方程： 1 y x m
B
O
A
• F2
x
C
y
1 x m
k AB
3 3
x2 y2 过 双 曲 线 2 2 1(a 0, b 0)的 右 焦 点 F作 双 曲 线 渐 近 线 的 垂 线 a b l,若 直 线 l与 双 曲 线 的 左 、 右 两 相 支交 于 A, B两 点 ， 求 双 曲 线 的 离 心 a 率的取值范围 . k b b y x a y
y
x2 y2 2 1 2 a b
b b k a a
与双曲线 左、右两 支相交于 两点的直 线 • F1
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过双曲线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 3条
与双曲线右支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左支有两个交点的直线 的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
k 1
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若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的左支有两个公共点， 则k的取值范围为 .5 k 1 5 k 2 5 2
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若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 左，右相交两个点， 则k的取值范围为 1 k . 1
过平面其他任意一点
与双曲线只有一个交点的直线 4条 与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 b 与双曲线左支有两个交点的直线的斜率范围 y x 与双曲线左、右两支相交于两点的直线 a
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若直线 y=kx-1与双曲线 x2-y2=4 的右支有两个公共点， 则k的取值范围为 . 5 1 k 5 2 k 5
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直线与双曲线的交点个数问题 利用斜率的相对关系
过原点
与双曲线只有一个交点的直线 0条
与双曲线左、右两支相交于两点的直线
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过渐近线上一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
b k切 线 k 与双曲线左支有两个交点的直线 y b x a a
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过双曲线内一点
与双曲线只有一个交点的直线 2条
与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围 与双曲线左、右两支相交于两点的直线
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OБайду номын сангаас
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1. 已知双曲线 x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C 是双曲线右支上两点，若∆ABC为正三角形，则m的取 值范围 .
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渐近线方程： 1 y x m