(甘志国)谈谈人教版教材中函数极值的定义

谈谈人教版教材中函数极值的定义

甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16)

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》)第27页给出了函数极值的定义：

定义1 如图1，以b a ,两点为例，我们可以发现，函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点点a x =附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f .类似地，函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点a x =附近其他点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点点b x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .

图1

我们把点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极小值；点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.

《选修2-2》第29页又作了以下说明：

导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数3)(x x f =，……所以0=x 不

是函数3)(x x f =的极值点.一般地，函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在

这点取极值的必要条件，而非充分条件.

一般地，求函数)(x f y =的极值的方法是：

解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：

(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值；

(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值.

显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极

值，例如函数∈=x x y (R )在0=x 处取极小值.但《选修2-2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：

一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是

x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000 我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即

x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 显然，《选修2-2》这样处理的目的是为了帮助学生易于理解.但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：

一般地，若函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率

x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000 存在，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即

x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 在本章(指《选修2-2》第一章)中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的. 在此约定下，《选修2-2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2-2》第7页的叙述“我们发现，当点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线”也是正确的(否则割线n PP 不一定趋近于确定的位置).

我们再来看看全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)(下简称《选修II 》)第141页给出的函数极值的定义：

定义 2 一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有

)()()(0x f x f ><，

我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值. 极大值与极小值统称为极值.

大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》(人民教育出版社，1964年第2版)第305页的定义.

首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“)(a f 比它在点a

x =

附近其他．．

点的函数值都小”知“点a x =附近”包括点a x =，即指点a x =的一个无限小的邻域；而定义2中的“点0x 附近”指点0x 的一个无限小的空心邻域.笔者认为，前者正确.即使按照后者的理解，定义也不不严谨.

]1[ 由定义2知：

常数函数c x f =)(是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值 ①

又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述(以下也是显然的事实)：“设函数

)(x f 在闭区间],[b a 上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的.我们来讨论怎样求出最大值的方法(求最小值的方法也可同样讨论).如果函数在a 与把b 之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点b a ,处达到，…”可知：

在开区间上可导函数的最值一定是极值 ②

又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：

常数函数在开区间上没有最值 ③

众所周知，函数的最大(小)值就是所有函数值中最大(小)的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身.这与③矛盾！

这说明《选修II 》中函数极值的定义不严谨，可修正为：

一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()()(0x f x f ≥≤，我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值.极大值与极小值统称为极值.

注 以上“0x 附近”是不严格的表述(限于高中生的理解只能这样表述).罗元等主编、路见可主审《数学分析简明教程(上册)》(1988年武汉工业大学出版社)第169页，赵慈庚编《一元函数微分学》(1980年上海科技出版社)第316页及谷超豪主编《数学词典》(1992年上海辞书出版社)第275页的函数极值的定义均与该“修正”一致.

文献[2]认为定义1有误(但没有指出产生错误的原因)，定义2正确，这也是值得商榷的.

笔者还认为，在《选修2-2》中先给出极限的描述性定义(同《选修II 》)，再由极限给出导数的严格定义是可取的.一方面，极限的定义在数学中很有用，在高一时很多求函数值域的问题(包括恒成立问题)就必须要用到极限；另外，这样不会加重学生负担，反而会减轻学生在理解上的负担，在教学老教材(即大纲教材)时，我校在高一上学期讲完《第二章 函数》后就立即讲授《导数》，很受学生欢迎且教学效果良好，就不曾有理解困难，那要是在高二下学期的《选修2-2》中讲极限、讲导数，学生在理解上绝无困难；第三，学生肯定还会遇到在某些点不可导的函数，如何用导数研究它们呢(若不用导数肯定有难度)？对于导数，讲就讲彻底、讲清楚，只有好处，绝无坏处！

参考文献

1 甘志国著.初等数学研究(I)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.266-267

2 刘焕芬.值得商榷的问题——谈新人教版与旧人教版教材中对极值的处理[J].中学数学