激光半经典理论

幅度和相位在光频周期内变化很慢。其中正则模函数为
Unz sinKnz 或者 Un z eiKnz
相应地，介质的感生极化强度可以写为
Pz, t 1
2
n
Pn
t
e U i nt n n
z
c.c.,
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将电场和极化强度代入波动方程，投影到U(z)上，就得到
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二、增益介质的宏观极化强度
考虑二能级原子介质，其极化强度用密度矩阵表示为
Pz, t N er N ba ab abba ,
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2、当有活性介质时，即 Pn 0，用极化率表示极化强度
Pn
0nEn
0

' n

i
'' n
En
虚部依赖于振幅，导致饱和及耦合效应；实部依赖于模频 率，产生色散现象。
将上式代回自洽方程得到
E n


2Qn
En


1 2

'' n
En
虚部决定介质的吸收
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0
得到
E 0
则有
E 2E E 2E
因此波动方程变为：
2E
0
E t

0 0
2E t 2

0
2P t 2

0
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对于大菲涅耳数的激光器，光场差不多集中在腔的轴线 附近，场在垂直于谐振腔轴线的方向上变化不大，即腔 内光波场可以近似为沿轴线传播的平面波。若令腔的轴 线为z轴, 并假设光波场为线偏振，则矢量方程式简化为 如下标量方程式
0
Pn
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其中 n Knc 表示腔的频率。
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调整电导率 0 Qn ，化简方程后，令方程两
边实部和虚部分别相等，得到自洽方程
E n


2Qn
En


2 0
Im Pn
n
n
n

2 0
En1 Re
Pn
这是我们用来推算的两个基本方程。下面考虑它的 物理意义。
0 0
2E t 2

2E z 2

0
E t
0
2P t 2
阻尼项 强迫项
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将电场用腔的正则模展开，波动方程的时间依赖关系可 以与空间依赖关系分开，
Ez, t 1
2
n
En
t
e U i nt n n
z
c.c.,
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1、当没有活性介质时，即 Pn 0，此时方程变为
E n 2Qn En 0
n n n
强度 In En2 呈现指数衰减
In In 0 eFra Baidu bibliotek Qn t ,
而模振荡频率 n n 正好就是无源腔的频率 n 。
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E(r, t) 量子力学 pi 统计求和 P(r, t) 麦克斯韦方程 E(r, t)
自洽
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一、电磁场方程
使用mks单位制的麦克斯韦方程来描述激光腔中的电磁 辐射：
D 0
E B t
B 0
其中
H J D t
n
n

n

1 2

n'
实部决定介质的色散
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一个给定模式的单位体积的能量 hn 与场振幅的平方成 正比，即
它的运动方程为
hn

E
2 n
hn



Qn
hn
n'' hn
losses gain
这说明：能量的时间变化率等于腔损耗和从介质中得
到的增益之差 n 0 。在稳态下 hn 0 ，可以重
D 0E P E, B 0H, J E
为了避免复杂的边界值问题，假定存在一个电导率为σ 的介质，这相应于由衍射和反射镜的透射而产生的介质 损耗。
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E

0
t


H

0
t

J

D t


0
t
E

n
n
n'
/2
因为考虑稀薄的活性介质，有

' n

1
且
/ n
1
所以得到


n


1

1 2

' n
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激光器的增益介质影响振荡频率，而在经典的 吸收问题中介质影响波长。其原因在于激光理 论中要求腔内光场满足自洽性，即往返一次的 光程差必须是波长之整数倍。
新得到饱和增益等于损耗这一振荡条件。
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频率关系式
n n n n' / 2
表示第n个模式的振荡频率 n n 由无源腔的频率 n
偏移一定量 n' / 2 ，这表明激活介质折射率（即激
发之后对基质的相对折射率）


n



n
n n
激光半经典理论
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Lamb的半经典激光理论
自洽条件：先假定存在一个电磁场E，这个电磁场在活 性介质中感生出微观电偶极矩<pi>，把这些电偶极矩相 加得到介质的宏观极化强度P，该极化强度作为麦克斯 韦方程的辐射源。自洽条件就是要求在这个循环中，产 生的电磁场E’等于开始假定的电磁场E。
K
2 n
En

0
E n i n n
En
00 E iEn i n n E n i n n En
0 n n 2 Pn termswith Pn and Pn


0E
t
P


0
E t

0 0
2E t 2

0
2P t 2
得到波动方程：
E
0
E t

0 0
2E t 2

0
2P t 2

0
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由 D E E E 0
En ,n , Pn 在光频周期内变化很慢，而且损耗很小,
忽略 En ,n , Pn , E nn ,E n ,nPn ,n , Pn 后得到

2 n
En

n n
2
En

i
0

n En

2i n E n


2 n