2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十二章 12.2几何概型

§12.2几何概型

1．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率

模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型概率的计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

3．几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个．

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

概念方法微思考

1．古典概型与几何概型有什么区别？

提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．

2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？

提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )

(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )

(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．

( × )

题组二 教材改编

2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.1

4 D ．1 答案 B

解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

答案 A

解析 ∵P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝1

3，

∴P (A)>P (C)＝P (D)>P (B)．

4．设不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标

原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π

6 D.4－π4 答案 D

解析 如图所示，

正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π

4

，故选D. 题组三 易错自纠

5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为2

3

，则阴影区域的面积为( )

A.43

B.83

C.2

3 D ．无法计算 答案 B

解析 设阴影部分的面积为S ， 由几何概型可知S 4＝23⇒S ＝83

.

6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________． 答案 2

3

解析 设AC ＝x cm(00， 解得0

在数轴上表示，如图所示．

由几何概型概率计算公式，得所求概率为8

12＝2 3.

与长度(角度)有关的几何概型

1．设x ∈[0，π]，则sin x <1

2的概率为( )

A.16

B.14

C.13

D.12 答案 C

解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π，∴P ＝π

6×2π－0＝1

3. 2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．

答案 1

6

解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，

则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝1

6

.

3．(2017·江苏)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． 答案 59

解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3]．

如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，

∴P (A )＝5

9

.

4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12

解析 如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝1

2

.

思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

与面积有关的几何概型

命题点1 与平面图形有关的几何概型

例1 (2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所