初中数学建模案例集精之1第一章 8字模型与飞镖模型

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第一章 8字模型与飞镖模型(初中数学)

OD C BA 图12图E AB C D E F DC B A O O 图12图E AB C D EDC B A H GEF DC BA第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。

模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。

热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C BA M D CB A O135E FD C BA 105OO120D C B A 模型2 角的飞镖模型如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。

模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。

探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O DC BA ODCB AO C B A模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：AC+BD>AD+BC 。

模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

OC B A ED C B A21P A BCP 图3A BC P 图21图PB模型实例如图，点O 为三角形内部一点。

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型

8字模型与飞镖模型8字型与飞镖型就是中考几何模型中常见得两种结构,熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要得帮助。

模型1:角得8字模型如图所示,A Ｃ、BD 相交于点O ，连接AD 、B Ｃ. 结论:∠A ＋∠D =∠B +∠C .模型分析证法一:∵∠AOB 就是△AOD 得外角,∴∠A +∠D =∠AOB .∵∠AOB 就是△ＢOC 得外角， ∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠ＡO Ｂ。

∴∠A +∠D ＝∠B +∠Ｃ。

证法二：∵∠Ａ+∠D ＋∠AOD ＝１８0°，∴∠A +∠D ＝１80°－∠AOD .∵∠B +∠Ｃ＋∠BOC ＝18０°, ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BO Ｃ．又∵∠AOD ＝∠ＢO Ｃ，∴∠A ＋∠Ｄ=∠B +∠C ． (1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型. （2)8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形,计算角度：（1）如图①,∠A +∠B ＋∠C +∠D +∠E =___＿___＿；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角得8字模型.如图③，连接CD .∵∠BOC 就是△B ＯE 得外角， ∴∠Ｂ+∠Ｅ＝∠B ＯＣ。

∵∠B ＯC 就是△C ＯD 得外角,∴∠１＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B +∠E =∠1+∠2．(角得８字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ＡCE ＋∠A ＤB +∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠１＋∠2＝∠A +∠ACD +∠AD Ｃ=18０°。

解法二：如图④,利用三角形外角与定理。

∵∠1就是△F ＣE 得外角,∴∠1=∠C +∠E ．∵∠2就是△GBD 得外角，∴∠2=∠B ＋∠D .∴∠Ａ+∠B +∠C ＋∠D +∠E ＝∠A +∠1＋∠2＝１８0°.（２)如图②，∠A ＋∠B +∠C +∠Ｄ＋∠Ｅ+∠Ｆ=＿__＿____。

中考必会模型：第一章8字模型与飞镖模型.doc

结论：ZA+Z£>=ZB+ZC.第一章8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC. BO相交于点。

，连接A。

、BC.模型分析证法一：V ZAOB是△AOD 的外角，ZA+ZD=ZAOB. V ZAOB是左BOC的外角，:.ZB+ZC= ZAOB. :. ZA+ZD=ZB+ZC.证法二：V ZA+ZD+ ZAOD= 180°, A ZA+ ZD= 180°- ZAOD.・「匕3+NC+匕30C= 180。

,A ZB+ ZC= 180°- ZBOC.又V ZAOD=ZBOC, :. ZA+ZD=ZB+ZC.（1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.（2） 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE=；解法一：利用角的8字模型.如图③，连接CD•.: -BOC是△BOE的外角，:.ZB+ZE=ZBOC. V ABOC是△COD 的外角，:.Zi +Z2= ZBOC.AZB+ZE=Z1 + Z2.(角的8 字模型)，...NA+匕B+NACE+匕AO8+NE =ZA+ZACE+ ZADB+ Z1 + Z2=ZA+ ZACD+ ZADC= 180°.解法二：如图④，利用三角形外角和定理.・.N1是的外角，.../l = /C+/E.•・・匕2是的外角，AZ2=ZB+ZD.・.・ ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE= ZA+Z1 + Z2=180°.(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ ZD+ Z£+ ZF=・如图①，求：ZCAD+ ZB+ZC+ ZD+ ZE=(2)解法一：如图⑤，利用角的8字模型.・・•匕AOP 是的外角，..・ZA+匕B=ZAOP ・V ZAOP 是左OPQ 的外角，:.Z1 + Z3=ZAOP. :. ZA+ZB=Z1 + Z3.①(角的 8 字模型)，同理可证：ZC+ZZ)=Z1 + Z2.②，ZE+ZF=Z2+Z3.③ 由①+②+③得：ZA+ZB+ZC+ ZD+ ZE+ ZF=2 (Z1 + Z2+Z3) =360° .解法二：利用角的8字模型.如图⑥，连接DE. yZAOE 是ZVIOB 的外角，A ZA+ZB=ZAOE. V ZAOE 是△(?时的外角，A Z1 +Z2= ZAOE.・.・ZA + ZB= Z1 + Z2.(角的8字模型)・・・ ZA+ ZB+ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= Z1 + Z2+ ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= 360° .(四边形内角和为360° )练习：1. (1) C解：如图，VZ1=ZB+ZD, Z2=ZC+ZCAD, .•.ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZE=18O° . 故答案为：180°解法二：(1) i8(r.(2)如图②，求：ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE=提示：如图.连接D 瓦Z.C*Z_G4Z>=Z.1+Z12. (8 字模型)L CXD+ Z.B+Z.C+ £ADB+ LBEC=IBXBECXBDAYI* 乙2 =180*.解：由三角形的外角性质，知ZBAC=ZE+ZACE, ZEAD=ZB+ZD,又V ZBAC+ZCAD+ZEAD=180°，ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE= 180°解法二:=♦匕 BEC* 乙 BDA+AA* 乙 2 解：VZG+ZD=Z3, ZF+ZC=Z4, ZE+ZH-Z2, A ZG+ZD+ZF+ZC+ZE+ZH=Z3+Z4+Z2, VZB+Z2+Z1=18O° , Z3+Z5+ZA=180° , A ZA+ZB+Z2+Z4+Z3=360° ,・・・ ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=360°解法二：答案：360-.提示：如图，连接GH, CD.匕屈乙2. （8字模型）Z./4+Z.F= 2.3*44. （8 字模型）L4XB+匕 FCH+ LADG+ 匕 E+ ,FXDGB+ L EHC =Z. 1 + £ 2+£ 3+ 匕 4♦匕 GW+ 乙 FCH+LDGB+ 匕 EHC =36（T ・（四边形内角和360"）模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：VZ4 是的外角，AZ4=ZC+Z2（2）i8（r.提示：如图.连接DE.Z4CE+ZC4D=/L1 + Z2. （8 字模型） L CAD+ L BWCE* Z ADB^ L BEC模型分析解法一：如图①，作射线AD.=182.如图，求：ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ ZG+ ZH= 图②VZ3 是△A8O 的外角，AZ3=ZB+Z1AZBDC=Z3+Z4, A ZBDC= ZB+ Z1 + Z2 + ZC, A ZBDC= ZBAC+ ZB+ ZC解法二：如图②，连接BC.VZ2+Z4+ZD=180° , :.ZD=18Q°一(Z2 + Z4)VZ1 + Z2+Z3+Z4+ZA=I8O° , A ZA+Z1 +Z3 = 180°— (Z2+Z4)AZZ)=ZA+Z1 + Z3.(1)因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.模型实例如图，在四边形ABCD中，AM. CM分别平分ZDAB和匕OCB, AM与CM交于探究匕AMC与/B、匕。

模型02 飞镖、8字模型(解析版)

模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______解：延长BO ，交AC 于点D ，∵∠BOC ＝∠C +∠ODC ，∠ODC ＝∠A +∠B ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，∴∠BOC ＝∠C +∠A +∠B＝20°+70°+40°＝130°．变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．故选：B．【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠BCI＝∠ACB，∠CBI＝∠ABC，∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故选：D．【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，∴∠2+∠3＝120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，∵∠B+∠C＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是360度．解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，又∵∠1+∠2+∠E+∠F＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．实战演练【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜边AC 上，边BC 与DF 交于点O ，则∠BOD 的度数是105°．解：△COF 中，∵∠CFO ＝45°，∠FCO ＝30°，∴∠COF ＝180°﹣∠CFO ﹣∠FCO ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF ＝∠BOD ，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．1．如图，已知AB ⊥BD ，AC ⊥，∠A ＝35°，则∠D 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°解：因为∠AEB 与∠DEC 是一组对顶角，所以∠AEB ＝∠DEC ．在△ABO 中AB ⊥BD ，∠A ＝35°，所以∠AEB ＝65°．在△DCO 中AC ⊥CD ，∠DEC ＝65°，所以∠D ＝35°．故选：A ．2．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，∴△BMN≌△B'MN，∴∠BMN＝∠B'MN，∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为140°．解：如图，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案为：（α+β）．6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．解：如图，连接CH，由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案为：540．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝230°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠＝115°+115°＝230°．故答案为：230°．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，由三角形的外角的性质可知：∠C+∠D＝∠1，∠G+∠H＝∠2，∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．解：过点C作直线MN∥AB，∵AB∥DE，MN∥AB，∴MN∥DE，∴∠DEC＝∠ECN，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）证明：如右图所示，∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，∴2∠P＝∠C+∠A，∴∠P＝（∠A+∠C）．13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．解：（1）作射线AO，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．解：①3；故答案为3．②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），∵∠C＝80°，∠B＝76°，∴∠P＝（80°+76°）＝78°；③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．证明：设∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，i）如图3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，∴∠P＝（∠C+2∠B），ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴∠P＝（2∠C+∠B），16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P＝．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案为：∠P＝．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案为：α+β﹣180°，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P＝∠A＝，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案为：∠P＝；拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．。

8字模型与飞镖模型

模型分析
模型分析
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
B
E
B F
C
D
图①
E 图②
A
E B
1O 2
C
D
图③
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接 CD． ∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC． ∵∠BOC是△COD的外角， ∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2 ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
E
D ①
A
B
F E
C
D 图②
A
B
O
F
123
P
Q
E 图⑤
C D
（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型． ∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠1＋∠3＝∠AOP． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
A 1 D
3M B
4
2
C
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

相似之处
两种模型都是几何分析的重要工具,能帮助学生更好地理解和解决中考几何题。
应用范围
8字模型更侧重于分析三角形和四边形的相关特性, 而飞镖模型主要用于探讨角度和距离关系。
基本结构
8字模型由两个相交的圆弧组成,而飞镖模型由两条垂直交叉的线段构成,呈现不同的几何形状。
解题技巧
两种模型都需要熟练掌握绘制方法和核心特点,并灵活应用于几何问题的分析解决中。
借助AR/VR技术,学生可以在虚拟环境中更直观地操纵和理解8字模型与飞镖模型,激发创新思维。
智能辅助
结合人工智能技术,未来将有智能化几何助手,即时分析学生操作并给出针对性指导,提高解题效率。
8字模型与飞镖模型的综合评价
全面视角
8字模型和飞镖模型可以从多个角度对几何问题进行全面分析,为解决问题提供丰富视角。
灵活应用模型
在解决几何题时,善用8字模型分析图形的性质和关系,有助于找到高效的解题思路。
飞镖模型
飞镖模型是中考几何必备的另一种重要知识点。它以飞镖形状为基础,展现了一些特殊的几何关系,在解决涉及角度、距离等题目时很有帮助。掌握飞镖模型的特点和应用技巧对于提高中考成绩同样重要。
飞镖模型的定义
几何证明
飞镖模型的垂直、对角等特点,能为几何证明题提供直观的几何依据,帮助学生理解和解决这类题目。
距离计算
飞镖模型可用于计算几何图形中的距离,如点到线的距离、线段长度等,为解决相关问题提供依据。
中考应用
飞镖模型在中考几何试题中经常出现,掌握它的应用能够有效提高考试成绩,是中考必备的几何知识。
2 灵活运用
根据几何问题的实际需求,灵活选择或组合使用8 字模型和飞镖模型,提高分析和解题的效率。

1第一章 8字模型与飞镖模型

图12图E AB C D E F DC B A O O 图12图E AB C D EDC B A H GE F DC BA第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。

模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。

热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C BA M D CB A O135E FD C BA 105OO120D C B A 模型2 角的飞镖模型如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。

模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。

探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O DC BA ODCB AO C B A模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：AC+BD>AD+BC 。

模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

OC B AE D C B A21P A BCP 图3A BC P 图21图PB模型实例如图，点O 为三角形内部一点。

中考专题复习微专题1 “8”字模型及飞镖模型人教版

【解析】如图,将AC平移至BF,AD的延长线与BF相交于点G,连
∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD),
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,
∴BE+EC>BD+CD.
角、边的“ 8”字模型
第6章
微专题1
“8”Байду номын сангаас模型及飞镖模型
1.角、边的“ 8”字模型
如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:
∠A+∠B=∠C+∠D.
考向突破
【模型分析】因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模
型称为“ 8”字模型.“ 8”字模型往往在几何综合题目中推导角
度时用到.
【模型推理】∵∠AOC是△AOB的外角,
由①②可得AB+AC>BD+CD.
∴∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4).
例5 如图,在四边形ABCD中,AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B,∠D间的数量关系.
【模型分析】因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为“ 8”字模型.
∴∠D=∠A+∠1+∠3.

°-(∠+∠)

°-∠+∠

+∠ADC.(四边形内角和是 360°)
.
∴2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 4321AD模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．CAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

几何经典模型：8字模型与飞镖模型

＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
E A
A
E
B
O
B
O
C
C
D
图①
D 图②
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
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模型 1：角的 8 字模型如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.Dຫໍສະໝຸດ 105°AC
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，

8字模型与飞镖模型

初中几何典型解题模型
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中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。

《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的12类共31个几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容：
模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明.
典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用
巩固练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是典型例题的黄金搭档.
本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。

第一章8字模型与飞标模型【模型1：角的8字模型】
【模型分析】
【典型例题】
【答案解析】
【巩固练习1】
【巩固练习2】。

几何必会模型：8字模型与飞镖模型

2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝
E F D
．
G
C
H A B
解： ∵∠G+∠D=∠3， ∠F+∠C=∠4， ∠E+∠H=∠2， ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
A E F D 图① E 图② D C A B
A O F E 1 2 3 P 图⑤
B
A O
B
Q
C D
F 1 E 图⑥ 2 D
C
（2）解法一：如图⑤，利用角的 8 字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的 8 字模型），同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的 8 字模型．如图⑥，连接 DE．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的 8 字模型） ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F ＝360°．（四边形内角和为 360°）练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型讲课教案

中考数学模型：飞镖模型与8字型模型8字模型与飞镖模型8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。

模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．ADOCB模型分析证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．证法二：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FDCBAEBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE图⑤图⑥CF（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝；图图①OOE ED DCC BBA A解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180°解法二：（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C图①图②模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°. 练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .E【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．BCAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)

三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。

下面一一推导证明。

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。

(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。

本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。

(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。

初一几何模型总结

模型一8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：C B D A ∠+∠=∠+∠。

模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角时用到。

模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：C B A D ∠+∠+∠=∠。

模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型3边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：BC AD BD AC +>+。

模型4边的飞镖模型如图所示，有结论：CD BD AC AB +>+。

模型二角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作OM PA ⊥于点A ，ON PB ⊥于点B 。

结论：PAPB =模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2截取构造对称全等如图，P 是MON ∠的平分线上一点，点A 射线OM 上任意一点，在ON 上截取OA OB =，连接PB 。

结论：OPA OPB ∆≅∆。

模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MON ∠的平分线上一点，OP AP ⊥于P 点，延长AP 于点B 。

结论：AOB ∆是等腰三角形。

模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来。

模型4角平分线+平行线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作ON PQ //，交OM 于点Q 。

结论：POQ ∆是等腰三角形。

模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

初中数学常见模型
8字模型与飞镖模型
模型1：角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。结论：∠A+∠D=∠B+∠C
A
D
O
B
C
模型分析：8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
模型实例：
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D =
。
A
E
135O
C
B
图① D
F
D
105O A
C 120O
B
图②
模型3 边的“8”字模型
A
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。
B
结论：AC+BD>AD+BC。
D O
C
典例精选
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=

8字模型与飞标模型-1

初中几何典型解题模型中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。

《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的十二类几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容：模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明.典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是模型实例黄金搭档.本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。

目录第一章8字模型与飞标模型【模型1：角的8字模型】【模型2：角的飞镖模型】【模型3：边的8字模型】【模型4：边的飞镖模型】第二章角平分线四大模型【模型1：角平分线上的点向两边做垂线】【模型2：截取构造对称全等】【模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形】【模型4：角平分线+平行线构造等腰三角形】第三章截长补短模型【模型：截长补短模型】第四章手拉手模型【模型：手拉手模型】第五章三垂直全等模型【模型：三垂直全等模型】第六章将军饮马模型【模型1：定直线与两定点】【模型2：角与定点】【模型3：两定点一定长】第七章蚂蚁行程模型【模型：角的飞镖模型】第八章中点四大模型【模型1：倍长中线或与中线有关的线段构造全等三角形】【模型2：等腰三角形底边中点与顶角连接用“三线合一”】【模型3：倍长中线或与中线有关的线段构造全等三角形】【模型4：已知直角三角形斜边中点，考虑构造斜边中线】第九章半角模型【模型：半角模型】第十章相似模型【模型1：A、8模型】【模型2：共边共角型】【模型3：一线三等模型】【模型4：倒数型】【模型5：与圆有关的简单相似】【模型6：相似与旋转】第十一章圆中的辅助线【模型1：连半径构造等腰三角形】【模型2：构造直角三角形】【模型3：与圆的切线有关的辅助线】第十二章辅助圆【模型1：共端点、等线段模型】【模型2：直角三角形共斜边模型】附：巩固练习解析说明：本文档为《初中数学典型题思路分析》书的附赠资料之一。