音乐中的各音阶与频率的关系
音乐里的数学原理
音乐里的数学原理
音乐与数学密切相关，许多音乐原理和概念可以通过数学来解释。
下面列举几个常见的音乐中涉及到的数学原理：
1. 音高：音高是音乐中最基本的概念之一，它与频率直接相关。
频率是指单位时间内振动的次数，而音高是指人耳所感知到的频率高低的相对概念。
音高的加倍与频率的加倍呈线性关系。
2. 音程：音程是指音符间的距离，常由两个音高之间的频率比例来定义。
在西方音乐中，常见的音程包括纯五度（音符频率比为3:2）和纯四度（音符频率比为4:3）等。
3. 节奏：节奏是音乐中时间的组织单位，也可以用数学来描述。
例如，拍子由等长的时间单位组成，以构成不同长度的音符。
节拍的速度通常用每分钟拍数（BPM）来表示，即每分钟的拍子数量。
4. 和声：和声是音乐中的多个声部在时间上同时存在并产生和谐效果的组织方式。
在和声中，音符的频率关系可以用数学的倍音比例、和弦构成和音阶等概念来解释。
5. 调性：调性是指音乐中调的质感和稳定性。
音乐调式在数学上可以通过一定的音程组合和频率比例来定义，例如，十二平均律中的不同调式就是通过将八度
平均分成12个半音而得到的。
这只是音乐中数学原理的一小部分例子，实际上数学在音乐中有着更为广泛的应用。
许多音乐理论和分析方法都基于数学模型和概念，数学不仅帮助解释音乐的现象和规律，也为音乐创作和演奏提供了有效的工具和方法。
音乐专业公式总结
音乐专业公式总结1.频率公式频率是指单位时间内发生的周期性事件的次数。
在音乐中，频率用于描述声音的高低音调。
频率的单位是赫兹（Hz）。
频率公式如下所示：f = 1 / T其中，f表示频率，T表示周期。
该公式表示频率是周期的倒数。
周期是指声音波形中一个完整的振动所需要的时间。
2.音速公式音速是声音在介质中传播的速度。
在音乐中，音速常用于计算声音在各种介质中的传播时间和距离。
音速公式如下所示：v = f * λ其中，v表示音速，f表示频率，λ表示波长。
该公式表示音速等于频率乘以波长。
3.音高公式音高是指声音的频率高低程度，用于描述音符的高低音调。
音高可以通过频率的计算得到。
音高公式如下所示：n = log2(f / f0) * 12其中，n表示音高的半音数，f表示频率，f0表示标准音A的频率。
该公式表示音高与标准音A的频率之间的关系。
4.倍频公式倍频是指声音中频率是另一个频率的整数倍关系。
在音乐中，倍频用于描述和弦和和声的关系。
倍频公式可以表示为：f2 = nf1其中，f1和f2分别表示两个频率，n表示倍频关系。
该公式表示一个频率是另一个频率的n倍。
5.谐波公式谐波是指声音中具有频率是基频的整数倍的分量。
谐波公式可以表示为：f_n = nf_1其中，f_n表示第n个谐波的频率，f_1表示基频的频率。
该公式表示谐波的频率是基频频率的n倍。
6.和声公式和声是指多个声音同时发出时的音响效果。
在音乐中，和声常用于描述音乐的和声结构和和声关系。
和声公式可以表示为：f_sum = f_1 + f_2 + ... + f_n其中，f_sum表示和声的频率，f_1, f_2, …, f_n表示各个声音的频率。
该公式表示各个声音频率之和即为和声的频率。
7.音程公式音程是指两个音高之间的距离或间隔。
在音乐中，音程常用于描述音乐中的旋律和和声关系。
常见的音程公式如下所示：•半音音程：f2 = f1 * 2^(1/12)•全音音程：f2 = f1 * 2^(1/6)•大调音程：f2 = f1 * (9/8)•小调音程：f2 = f1 * (10/9)其中，f1和f2分别表示两个音高的频率。
音乐中的各音阶与频率的关系
音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
音高和频率转换表
音高和频率转换表中央C之上的A作为440 Hz时，中央C的频率约261.6赫兹。
详见音高（pitch）。
另外，如果以纯律计算，中央C的频率是261HZ。
一些解释：•O ctave 0-9 表示八度区。
C-D-E-F-G-A-B 为C 大调七个主音：do re mi fa so la si（简谱记为 1 到7）。
科学音调记号法（scientific pitch notation）就是将上面这两者合在一起表示一个音，比如A4 就是中音la，频率为440 Hz。
C5 则是高音do（简谱是 1 上面加一个点）。
•升一个八度也就是把频率翻番。
A5 频率880 Hz，正好是A4 的两倍。
一个八度区有12 个半音，就是把这两倍的频率间隔等比分为12，所以两个相邻半音的频率比是 2 开12次方，也即大约 1.05946。
这种定音高的办法叫做twelve-tone equal temperament，简称12-TET。
•两个半音之间再等比分可以分100 份，每份叫做一音分（cent）。
科学音调记号加上音分一般足够表示准确的音高了。
比如A4 +30 表示比440 Hz 高30 音分，可以算出来具体频率是447.69 Hz。
•A4 又称A440，是国际标准音高。
钢琴调音师或者大型乐队乐器之间调音都用这个频率。
•C4 又称Middle C，是中音八度的开始。
有一种音高标定方法是和C4 比较相隔的半音数，比方B4 就是+11，表示比C4 高11 个半音。
•M IDI note number p 和频率f 转换关系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。
这实际上就是把C4 定为MIDI note number 60，然后每升降一个半音就加减一个号码。
•可以看到E-F 和B-C 的间隔是一个半音，而七个主音别的间隔都是两个半音，也叫一个全音。
•标准钢琴琴键有大有小，大的白色琴键是主音，小的黑色琴键是主音升降一个半音后的辅音（图）。
音高和频率转换表
音高和频率转换表如下一些解释：•O ctave 0-9 表示八度区。
C-D-E-F-G-A-B 为C 大调七个主音：do re mi fa so la si（简谱记为1 到7）。
科学音调记号法（scientific pitch notation）就是将上面这两者合在一起表示一个音，比如A4 就是中音la，频率为440 Hz。
C5 则是高音do（简谱是1 上面加一个点）。
•升一个八度也就是把频率翻番。
A5 频率880 Hz，正好是A4 的两倍。
一个八度区有12 个半音，就是把这两倍的频率间隔等比分为12，所以两个相邻半音的频率比是2 开12 次方，也即大约1.05946。
这种定音高的办法叫做twelve-tone equal temperament，简称12-TET。
•两个半音之间再等比分可以分100 份，每份叫做一音分（cent）。
科学音调记号加上音分一般足够表示准确的音高了。
比如A4 +30 表示比440 Hz 高30 音分，可以算出来具体频率是447.69 Hz。
•A4 又称A440，是国际标准音高。
钢琴调音师或者大型乐队乐器之间调音都用这个频率。
•C4 又称Middle C，是中音八度的开始。
有一种音高标定方法是和C4 比较相隔的半音数，比方B4 就是+11，表示比C4 高11 个半音。
•M IDI note number p 和频率f 转换关系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。
这实际上就是把C4 定为MIDI note number 60，然后每升降一个半音就加减一个号码。
•可以看到E-F 和B-C 的间隔是一个半音，而七个主音别的间隔都是两个半音，也叫一个全音。
•标准钢琴琴键有大有小，大的白色琴键是主音，小的黑色琴键是主音升降一个半音后的辅音（图）。
一般钢琴是88 个琴键，从A0 到C8。
知道了上面这些，看到钢琴键盘应该就马上能找到Middle C 了，如下•音高间隔（音程）有各类说法，某些间隔的两个音同时发出来会比较令人身心愉快，比如频率比3:2 的perfect fifth 在各类乐曲都会广泛用作和弦。
d5和d4频率关系
d5和d4频率关系在音频处理和音乐制作中，d5和d4频率关系是一个非常重要的概念。
这两个音都是属于C大调的音符，它们之间的频率关系决定了它们在音乐中的和谐程度。
本文将详细介绍d5和d4频率关系的原理、应用以及如何在实际音乐制作中运用这一概念。
首先，我们需要了解什么是频率。
频率是指物体在一定时间内振动的次数，单位是赫兹（Hz）。
在音乐中，我们通常用频率来表示音符的高低。
对于C大调来说，它的基准频率是261.63赫兹（Hz），这个频率也被称为中央C。
在这个基础上，我们可以计算出其他音符的频率。
D5和D4分别是C大调中的第5个和第4个音符。
根据音阶的定义，D5的频率是D4的两倍。
具体来说，D5的频率是261.63赫兹乘以2，即523.26赫兹（Hz）；而D4的频率是261.63赫兹乘以1/2，即130.81赫兹（Hz）。
因此，D5和D4之间的频率关系是：D5 = 2 * D4。
在音乐理论中，这种频率关系被称为“八度”。
八度是指两个音符之间的频率比为2的关系。
在C大调中，所有的音符都按照八度关系排列。
例如，C4的频率是261.63赫兹，那么C5的频率就是261.63赫兹乘以2，即523.26赫兹；而C6的频率是261.63赫兹乘以3，即785.39赫兹。
这种按照八度关系排列的音符，使得它们在音乐中具有和谐的效果。
在音频处理和音乐制作中，我们可以利用d5和d4频率关系来实现一些特定的效果。
例如，我们可以使用合成器或采样器来生成D5和D4的声音，然后通过调整它们之间的音量比例，来实现不同音色的变化。
此外，我们还可以通过滤波器来调整D5和D4之间的频率关系，从而实现更复杂的音色变化。
在混音过程中，我们也可以利用d5和d4频率关系来调整音轨之间的平衡。
例如，如果我们觉得某个音轨的高音部分过于突出，我们可以通过降低D5的音量，同时提高D4的音量，来实现音轨之间的平衡。
反之，如果我们觉得某个音轨的低音部分过于突出，我们可以通过降低D4的音量，同时提高D5的音量，来实现音轨之间的平衡。
音乐中的各音阶与频率的关系
就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同。另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。）
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。
需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。
音阶与频率对应关系表
音阶与频率对应关系表一首音乐是许多不同的音阶组成的，而每个音阶对应着不同的频率，这样我们就可以利用不同的频率的组合，即可构成我们所想要的音乐了，当然对于单片机来产生不同的频率非常方便，我们可以利用单片机的定时/计数器T0来产生这样方波频率信号，因此，我们只要把一首歌曲的音阶对应频率关系弄正确即可。
现在以单片机12MHZ晶振为例，例出高中低音符与单片机计数T0相关的计数值如下表所示音符频率（HZ）简谱码（T值）音符频率（HZ）简谱码（T值）低1 DO 262 63628 # 4 FA# 740 64860#1 DO# 277 63731 中 5 SO 784 64898低2 RE 294 63835 # 5 SO# 831 64934 #2 RE# 311 63928 中 6 LA 880 64968 低 3 M 330 64021 # 6 932 64994低 4 FA 349 64103 中 7 SI 988 65030# 4 FA# 370 64185 高 1 DO 1046 65058低 5 SO 392 64260 # 1 DO# 1109 65085# 5 SO# 415 64331 高 2 RE 1175 65110低 6 LA 440 64400 # 2 RE# 1245 65134 # 6 466 64463 高 3 M 1318 65157低 7 SI 494 64524 高 4 FA 1397 65178中 1 DO 523 64580 # 4 FA# 1480 65198# 1 DO# 554 64633 高 5 SO 1568 65217中 2 RE 587 64684 # 5 SO# 1661 65235# 2 RE# 622 64732 高 6 LA 1760 65252 中 3 M 659 64777 # 6 1865 65268中 4 FA 698 64820 高 7 SI 1967 65283下面我们要为这个音符建立一个表格，有助于单片机通过查表的方式来获得相应的数据低音0－19之间，中音在20－39之间，高音在40－59之间TABLE: DW 0,63628,63835,64021,64103,64260,64400,64524,0,0DW 0,63731,63928,0,64185,64331,64463,0,0,0DW 0,64580,64684,64777,64820,64898,64968,65030,0,0DW 0,64633,64732,0,64860,64934,64994,0,0,0DW 0,65058,65110,65157,65178,65217,65252,65283,0,0DW 0,65085,65134,0,65198,65235,65268,0,0,0DW 02、音乐的音拍，一个节拍为单位（C调）曲调值DELAY 曲调值DELAY 调4/4 125ms 调4/4 62ms 调3/4 187ms 调3/4 94ms 调2/4 250ms 调2/4 125ms对于不同的曲调我们也可以用单片机的另外一个定时/计数器来完成。
音乐与乐器声音的频率与音阶
音乐与乐器声音的频率与音阶音乐是一种艺术形式，通过声音的排列与组合来表达情感和思想。
而乐器的声音则是音乐创作和演奏的基础，它们产生的声音频率与音阶对音乐的表达具有重要的影响。
本文将介绍音乐与乐器声音的频率与音阶之间的关系。
一、音乐的频率与音调音乐的频率是指声波每秒钟振动的次数，用赫兹（Hz）来表示。
频率越高，声音听起来越高音调，频率越低，声音听起来越低音调。
不同的乐器和声音源产生的声音频率不同，因此它们在音乐中扮演着不同的角色。
例如，钢琴和吉他是常见的乐器，它们在音乐中负责弹奏和伴奏。
钢琴的频率范围通常从27.5Hz到4186Hz，而吉他的频率范围通常从82.4Hz到1319Hz。
这意味着钢琴可以演奏出更广泛的音调，而吉他则相对较少。
二、音高与音阶音高是指声音的高低，是音乐中最基本的属性之一。
音高与音调有密切的关系，音高越高，音调越高。
通过不同的音高，音乐可以创造出丰富多样的表达效果。
音阶是按照一定规律排列的一组音高。
常用的西方音乐音阶有大调音阶和小调音阶。
大调音阶包含7个音符，从低音到高音顺序为：do、re、mi、fa、sol、la、si。
小调音阶也包含7个音符，但音程有所不同，听起来更加忧伤和深沉。
不同的音阶给人不同的感受和情感体验。
大调音阶通常让人感到明快和欢快，而小调音阶则更容易引起人的情感共鸣。
在音乐创作和演奏中，乐曲的选择和音乐编排往往基于不同音阶的特点来表达特定的情绪和氛围。
三、乐器的声音频率与音阶不同的乐器产生的声音频率与音阶各不相同。
这是由于乐器的结构、材料和制作工艺等因素所决定的。
下面以几种常见的乐器为例，介绍它们的声音频率和音阶特点：1. 钢琴：钢琴是一种弹拨乐器，具有广阔的音域和多变的音阶。
它可以演奏出包括低音区、中音区和高音区在内的所有音调，音域覆盖从低至32.7Hz到高至4186Hz的范围，能够满足创作和演奏的需求。
2. 笛子：笛子是一种吹奏乐器，常见的有竹笛、金属笛等。
古典乐器中的数学原理
古典乐器中的数学原理
古典乐器中存在多种数学原理，下面列举几种常见的：
1.音阶和谐关系：音阶中的音符按照特定的频率比例排列，形成了音高上的谐波关系。
例如，完全音阶中的两个音符频率比为2:1，形成纯八度的关系。
这种谐波关系使得音乐具有和谐感。
2.倍频关系：在弦乐器和管乐器中，乐器的声音是通过共振产生的。
弦乐器的弦在特定频率下振动，产生基音，而其倍频的振动形成泛音。
管乐器的共振气柱也会产生类似的倍频振动。
这种倍频关系使得乐器的声音具有复杂的谐波结构。
3.谐波关系：乐器的声音除了基音外，还会产生一系列倍频的谐波。
这些谐波共同决定了乐器的音色。
不同乐器谐波的丰富程度和谐波的强弱比例各不相同，从而使得乐器有着各具特色的音色。
4.共振与声学共鸣：乐器的共振箱、空腔或共振管等可以通过声学共鸣放大乐器的声音。
通过调整空腔的大小或者形状，可以改变共振频率以及声音的音色和音量。
5.调律原理：调律是乐器演奏中很重要的一项内容。
在音乐理论中，存在着不同的调律方式，如纯正律、平均律等。
这些调律方式是基于数学关系的，通过调整音高的频率比例来达到和谐的效果。
总之，数学原理在古典乐器中起到了至关重要的作用，使得乐器具有和谐的音色和音乐感。
毕达哥拉斯音阶数的关系
毕达哥拉斯音阶数的关系
毕达哥拉斯音阶是由古希腊哲学家毕达哥拉斯发明的。
它是基于数学
的原理来建立的，其基本理论是：二个音高的音程，与较低音高的声
波振动次数之比有关。
以下是毕达哥拉斯音阶的数学关系：
1. 单位先决定音高
毕达哥拉斯音阶的起点是一个单位长度的弦，它被分成两段，比例为
2:1，这产生了一个音程，也就是八度音程。
2. 2：3：4：5：6的频率比例
毕达哥拉斯音阶中的所有音符都是由2：3：4：5：6的频率比例组成的，即从低音到高音的频率比例分别是2:3、4:3、3:2、2:1、3:1。
这些
频率比例被称为纯音程，它们是完美的音程。
3. 每个半音之间的比例关系
在毕达哥拉斯音阶中，每个半音之间的音高差距都是1/12个八度音程。
对于2:1的八度音程来说，它有12个半音，每个半音之间的频率比例
为21/12。
4. 关于同度总半音数的口诀
毕达哥拉斯音阶中的同度总半音数为12，也就是说，每个八度音程内
有12个半音。
这可以用一个口诀来记忆：“每8条鹅，有12个雏。
”
总之，毕达哥拉斯音阶是一种非常古老的音乐理论，它以数学原理为基础，为我们解释了音高之间的关系。
在现代音乐中，毕达哥拉斯音阶虽然已经被一些新的音乐理论所取代，但其重要性是不可忽视的。
声音的频率和音高的关系
声音的频率和音高的关系声音的频率指的是声波振动的快慢程度，是衡量声音高低的物理量。
而音高则是我们主观感受到的声音的高低。
声音的频率和音高之间存在着紧密的关系，下面将就这一关系展开讨论。
一、频率与音高的基本概念频率是指单位时间内发生振动的次数，单位为赫兹（Hz）。
而音高是我们对声音高低的感知和判断，在音乐中用来表达旋律的高低音调。
我们通常将频率较低的声音称为低音，频率较高的声音称为高音。
二、频率与音高的数学关系频率和音高之间存在着简单而严格的数学关系，即频率越高，音高越高；频率越低，音高越低。
根据实验和科学研究，人耳对声音音高的感知是按照对数尺度进行的。
研究发现，当两个声音频率之比为2：1时，人耳会感知为一个八度的跨越，即高一级的音与低一级的音音高相差一个八度。
比如，一个频率为1000Hz的音与一个频率为2000Hz的音的音高相差一个八度。
由此可见，如果我们将频率为1000Hz的音记为C1（低音），那么他的八度音就应该是2000Hz的C2（高音）；而频率为2000Hz的C2与4000Hz的C3也相差一个八度。
三、频率与音高的应用频率与音高的关系在多个领域得到了广泛应用。
最为典型的应用之一就是音乐。
音乐是以声音为素材，通过不同的音高、音色和音量的组合来表达情感和思想的艺术形式。
对于作曲家和演奏者来说，了解频率与音高的关系能够帮助他们创作出不同的音乐作品或演奏出精彩的乐曲。
除了音乐领域，频率与音高的关系在声学和语言学研究中也扮演着重要的角色。
研究人员通过对声音频率的研究，揭示了不同频率的声音对人类听觉系统的影响，以及语言中音素的生成与识别。
此外，工程领域也广泛运用了频率与音高的关系。
比如，在音乐设备和音响设备的设计中，需要合理选择和调整音频信号的频率，以达到所需的音高效果。
四、音高的表达方式音高的表达方式多种多样，不同领域和不同目的的表达方法也不尽相同。
在音乐中，常用的音高表达方法是将不同频率的声音与音名进行对应。
音乐中的各音阶与频率的关系
音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
音乐中的各音阶与频率的关系
音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
数学在音乐中的应用
数学在音乐中的应用在日常生活中，我们常常会发现数学和音乐之间存在着许多奇妙的联系。
数学在音乐创作中的应用不仅能够增加作品的层次感和美感，而且有助于提高音乐家对音乐的理解和掌握。
本文将探讨数学在音乐中的应用，并分析这种应用对音乐产生的影响。
一、数学在音调和音阶中的运用在音乐中，音调和音阶是非常基础和重要的概念。
通过数学，我们可以更好地理解和描述它们。
1. 音调的频率关系音调的高低是由它们的频率决定的。
频率与音高成正比，而与音调的音名无关。
数学家发现，两个频率之间的音程比例是以2为底的2次幂。
例如，一个音调的频率是440 Hz，而下一个高一个八度的音调的频率是880 Hz，两者的频率比是2:1。
通过这种数学关系，音乐家可以更准确地调整音调的高低，使音乐作品更和谐。
2. 音阶的数学规律音阶是指一组由音调组成的序列。
常见的音阶有七声音阶和十二平均律音阶。
其中，七声音阶是建立在音程关系上的，而十二平均律音阶是建立在频率关系上的。
对于七声音阶，其音程比例是按照整数比例的关系确定的。
例如，“多纳模里格洞碟”音阶的音程比例就是4:3:2:3:2:3:2。
这种数学关系确保了音阶的音调之间是和谐的。
而十二平均律音阶是按照频率比例来构建的。
它要求相邻的两个音调的频率之比是2的12次方根。
这种数学规律使得音阶在任何一个音调上都是均匀的，给音乐家提供了更多的创作和表达空间。
二、数学在音乐节奏中的运用音乐节奏是指音符的时间分配和强弱变化。
数学可以帮助音乐家精确地掌握节奏，并使节奏更加丰富多样。
1. 基于数学的节拍节拍是音乐中最基本的单位。
通过数学，我们可以将节拍划分为均匀的小节拍，使得音乐具备有规律的律动感。
例如，常见的拍子有四分之四拍子、三分之四拍子等。
通过数学计算，音乐家可以准确地掌握每个小节拍的时值和强弱。
2. 数学和乐理的结合乐理是音乐的理论基础，其中涉及到许多数学概念的应用。
例如，音符的时值（全音符、二分音符、四分音符等）可以通过数学比例来表示。
音高和频率转换表
音高和频率转换表中央C之上的A作为440 Hz时，中央C的频率约赫兹。
详见音高（pitch）。
另外，如果以纯律计算，中央C的频率是2 61HZ。
一些解释：Octave 0-9 表示八度区。
C-D-E-F-G-A-B 为 C 大调七个主音：do re mi fa so la si（简谱记为 1 到 7）。
科学音调记号法（scientific pitch notation）就是将上面这两者合在一起表示一个音，比如 A4 就是中音 la，频率为 440 Hz。
C5 则是高音 do（简谱是 1上面加一个点）。
升一个八度也就是把频率翻番。
A5 频率 880 Hz，正好是 A4 的两倍。
一个八度区有 12个半音，就是把这两倍的频率间隔等比分为 12，所以两个相邻半音的频率比是 2 开 12次方，也即大约。
这种定音高的办法叫做 twelve-tone equal temperament，简称 12-TET。
两个半音之间再等比分可以分 100 份，每份叫做一音分（cent）。
科学音调记号加上音分一般足够表示准确的音高了。
比如 A4 +30 表示比 440 Hz 高 30 音分，可以算出来具体频率是 Hz。
A4 又称 A440，是国际标准音高。
钢琴调音师或者大型乐队乐器之间调音都用这个频率。
C4 又称 Middle C，是中音八度的开始。
有一种音高标定方法是和 C4 比较相隔的半音数，比方 B4 就是 +11，表示比 C4 高 11 个半音。
MIDI note number p 和频率 f 转换关系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。
这实际上就是把C4 定为 MIDI note number 60，然后每升降一个半音就加减一个号码。
可以看到 E-F 和 B-C 的间隔是一个半音，而七个主音别的间隔都是两个半音，也叫一个全音。
标准钢琴琴键有大有小，大的白色琴键是主音，小的黑色琴键是主音升降一个半音后的辅音（图）。
各个音阶的对应频率
各个音阶的对应频率
许多音乐爱好者都想知道各个音阶的对应频率，可是却有些困惑：频率是什么？怎么查找音阶的对应频率？音阶和频率之间有什么关系？本文将对这些问题深入探讨，以解答各位关于音阶与频率的疑问。
首先，让我们先来了解频率，频率是指某种声音或音乐的循环频率。
它指的是每秒传播的声波的数量，单位一般是赫兹（Hz）。
例如，马太效应的声音的频率是18000赫兹，交响乐的频率一般在400赫兹至4500赫兹之间。
其次，探讨一下音阶与频率之间的关系。
音阶是音乐中所谓的“音高”，它是用来表示声波在音乐中的高低，以及有多高。
例如，中间
C调的音阶是C4，它的频率是320赫兹。
这意味着以C4为音阶的声
波每秒发出的次数是320次。
根据一般规则，如果一个声波的音阶比另一个声波的音阶高一个八度，那么其频率会增加一倍，而其音调也会下降一个八度。
最后，查看各个音阶的对应频率。
根据国际标准，整个休止符（A4）的音阶与频率为440赫兹（Hz）。
可以以此作为基准，查看每个音阶
的对应频率。
例如，如果要查看C4音阶的频率，只需要把A4的频率除以2，即可得出C4的频率为220赫兹；而要查看F#4音阶的频率，可以将A4的频率乘以1.5，即可得出F#4的频率为660赫兹。
综上所述，频率是指声波以多少次的循环诞生的概念，而音阶则是表示声波的高低，大小，关系到保持节奏的稳定性，以及听音乐时的情感体验。
今天，我们简单介绍了各个音阶的对应频率，希望能够
帮助更多音乐爱好者答疑解惑，了解更多关于音阶与频率的知识。
音阶频率的计算
十三、【电子琴的深入讨论】(下文摘自02级电子琴11组报告)如何计算音阶?先从十二平均率中的音阶频率关系谈起。
十二平均律中每组音中有12个音键，其中7个白键、5个黑键。
每个相邻键之间都是半音关系，其频率相差2的12次方根，即1.059463，用音分算是100音分；每隔一键之间是全音关系，用音分计算是200音分；一个全音等于两个半音。
因为相邻音阶的频率比值相等，只要以某一音阶作起始点，就可以算出所有音阶的频率。
那么，以什么音做起始点呢？1934年，世界各国著名的物理学家和音乐家在法国斯徒会议上共同商定，以a1(即小字一组a音)=440HZ为乐器的基准音高。
以a1为基准，按相邻音阶频率比即乘以1.059463为上一半音的频率；除以1.059463为下一半音的频率。
不过这样算会产生累积误差。
通常我们算出小字一组的12音阶频率，再按倍频关系算出上一组和下一组的频率。
还有一种算法是确定中央C音(小字一组的C键即c1)的频率为261.6HZ，再按同组各音与c1的频率比算出其余12音阶的频率，如下表：音名： c1 #c1 d1 #d1 e1 f1 #f1 g1 #g1 a1 #a1 b1 c2频率比：1 1.059463 1.12246 1.1892 1.2599 1.3348 1.4142 1.4983 1.5874 1.68171.7817 1.8877 2同样按照倍频关系算出各组的音阶频率。
下面开始了解电子琴如何产生所有音阶频率。
没有专用音源微处理器的电子琴，其产生音阶常用的方法是自上而下逐级分频。
得到最高组12音阶后，可根据十二平均律原理，相邻八度同名音的频率为倍数关系，故C4频率=C5频率4185.6/2=2092.8HZ，用C5的输出进行2分频就得到C4的音阶频率，其余各组各音阶频率计算以此类推。
用上述分频方法得到的所有音阶频率由于严格按照12平均律进行精确运算，故当主频变化时它们的关系是不会改变的，最多是与标准频率产生微小误差(千分之几)。
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精心整理音乐中的各音阶与频率的关系-- 十二平均律zz2009-09-1814:46“律”，即“音律”（intonation ），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re 、mi、fa 、so、la 、si ，这7 个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re 、mi⋯⋯这7 个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si ，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant ）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑精心整理波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20 次）到20000HZ（每秒振动20000 次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ 的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同。
另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。
）需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。
打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ⋯⋯这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。
100HZ、200HZ、400HZ、800HZ⋯⋯这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。
换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照× 1、×2、×4、×8⋯⋯，即按2n 的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。
（比如这里有16 个音，它们的频率分别是110HZ的 1 倍、2 倍、3 倍⋯⋯16 倍。
大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。
用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波” （harmonics ），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。
这个ogg 文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。
）精心整理由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2 就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。
用音乐术语来说，×2 就是一个“八度音程”（octave ）。
前面提到的do、re 、mi 中的do，以及so、la 、si 后面的那个高音do，这两个do 之间就是八度音程的关系。
也就是说，高音do 的频率是do 的两倍。
同样的，re 和高音re 之间也是八度音程的关系，高音re 的频率是re 的两倍。
而高音do 上面的那个更高音的do，其频率就是do 的4 倍。
也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。
显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。
很自然，用do、re、mi 写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi 来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。
这种等效性，其实就是“等差音高序列” 的直接结果。
“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。
比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000 年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。
当然这个八度音程不会是do 到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。
明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。
这其实是律学的中心问题。
也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F 之间还有那些重要的频率。
精心整理如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。
而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。
如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2 长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。
这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。
因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。
由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。
他们自然会想：如果八度音程的2:1 的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1 是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1 。
那么，我们如果按住弦的1/3 点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。
一个音的频率是原来的 3 倍（因为弦长变成了原来的1/3 ），另一个音是原来的3/2 倍（因为弦长变成了原来的2/3 ）。
这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1 ）。
这样，在我们要寻找的F～2F 的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F 。
（那个3F 的频率正好处于下一个八度，即2F～4F 中的同样位置。
）接着再试，数学上简单性仅次于3:1 的是4:1 ，我们试试按弦的1/4 点会怎样？又出现了两个音。
一个音的频率是原来的 4 倍（因为弦长变成了原来的1/4 ），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。
另一个音的频率是主音的4/3 倍（因为弦长是原来的3/4 ）。
现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。
同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。
在听觉上，与主音 F 最和谐的就是3/2F 和4/3F（除了主音的各个八度之外）。
这个现象也被很多民族分别发现了。
比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯精心整理（Pythagoras ，约公元前 6 世纪）。
我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。
具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F 。
如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F 。
得到这两个频率之后，是否继续找1/5 点、1/6 点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F 、4/3F。
实际上4/3F 已经比3/2F 的和谐程度要低不少了。
古人于是换了一种方法。
与主音F最和谐的3/2F 已经找到了，他们转而找3/2F 的3/2F ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2 ）2F 即9/4F。
可是这已经超出了2F 的范围，进入了下一个八度。
没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F 的频率减半，便得到了9/8F 。
接着把这个过程循环一遍，找3/2 的 3 次方，于是就有了27/8F ，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。
就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。
我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。
可是（3/2 ）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是 2 的某次方。
律学所有的麻烦就此开始。
数学上不可能的事，只能从数学上想办法。
古人的对策就是“取近似值”。
他们注意到（3/2 ）5≈7.59 ，和23＝8 很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个精心整理音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。
这样，从主音 F 开始，我们只需把“按3/2 比例寻找最和谐音”这个过程循环 5 次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。
这就是为什么音律上要取do、re 、mi等等7个音符而不是6个音符或者8 个音符的原因。
这7 个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F 、27/16F、243/128F。
如果这里的F是do，那么9/8F 就是re、81/64F 就是mi⋯⋯，这7 个频率组成了7 声音阶。
这7 个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音(tonic )、上主音( supertonic )、中音( mediant )、下属音( subdominant )、属音( dominant )、下中音( submediant )、导音( leadingtone )。
其中和主音关系最密切的是第5个“属音” so和第4个“下属音” fa ，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。
由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2 这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。
西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2 比例定音律的做法叫做Pythagoreantuning )，东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。
我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。
仔细看上面“五度相生律”7 声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re 、re ～mi、fa ～so、so～la 、la ～si 之间的频率比都是9:8 ，这个比例被称为全音(tone)；mi～fa、si ～do之间的频率比都是256:243 ，这个比例被称为半音( semitone )。
“五度相生律”产生的7 声音阶，自诞生之日起就不断被批评。
原因之一就是它太复杂了。
前面说过，如果按住弦的1/5 点或者1/6 点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了81/64 和243/128 这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7 个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（justintonation ）。