信号与系统8-1采样信号的傅里叶分析课件
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经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
《信号的傅里叶分析》课件
傅里叶分析的基本原理
学习傅里叶分析的基本原理， 包括信号的频率分解和重构。
数字信号处理的背景和 应用
了解数字信号处理的发展背 景及其在各个领域的应用。
傅里叶级数
1 傅里叶级数的定义
详细介绍傅里叶级数的定义，包括周期信号的频域表示。
2 傅里叶级数展开式
学习如何将周期信号展开为一系列正弦和余弦函数的组合。
3 正弦级数和余弦级数
深入探讨正弦级数和余弦级数的特性和应用。
傅里叶变换
1 傅里叶变换的定义
2 傅里叶变换的性质
详细介绍傅里叶变换的定 义和信号在频域中的表示。
探讨傅里叶变换的基本性 质，如平移、尺度变换和 线性性质。
3 傅里叶变换的逆变换
学习如何通过逆变换将频 域信号转换回时域。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
1 傅里叶级数与周期信 2 傅里叶变换与非周期 3 信号重构
号
信号
探讨如解傅里叶变换在非周期
和傅里叶变换进行信号的
号分析中的应用及其与傅
信号分析中的作用及其特
重构。
里叶变换的区别。
点。
数字信号处理中的傅里叶分析
1 离散傅里叶级数
介绍离散傅里叶级数的应用及其在数字信号 处理中的重要性。
2 发展趋势
展望傅里叶分析的未来发展趋势，包括新技术和应用领域。
3 实际应用中的注意事项
探讨在实际应用中使用傅里叶分析时需要注意的问题和解决方法。
2 离散傅里叶变换
深入了解离散傅里叶变换的原理和在信号处 理中的实际应用。
3 快速傅里叶变换
学习快速傅里叶变换算法及其在高效信号处 理中的作用。
4 应用案例
通过实际应用案例展示数字信号处理中傅里 叶分析的重要性和优势。
抽样信号的傅里叶变换PPT课件
§ 3.9 抽样信号的傅里叶变换
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
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2.冲激抽样(理想抽样）
Lecture(5) 傅里叶变换与频域分析 信号与系统 课件
3、对称性质(Symmetrical Property)
If f (t) ←→F(jω) then F( jt ) ←→ 2πf (–ω)
4、频移性质(Frequency Shifting Property)
If f (t) ←→F(jω) then F[ j( 0 )] e j0t f (t)
where “ω0” is real constant.
jt 1
第4-15页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
Given that f (t)←→F( jω), find f (at – b) ←→ ?
Ans: f (t – b)←→ e -jωb F( jω)
f (at – b) ←→
1
jb
ea
|a|
F j
a
or
f (at) ←→
()
arctan
X () R()
(1) R(ω)= R(–ω) , X(ω) = – X (–ω) |F(jω)| = |F(– jω)| , (ω) = – (–ω)
(2) If f(t) = f(-t) ,then X(ω) = 0, F(jω) = R(ω) If f(t) = -f(-t) ,then R(ω) = 0, F(jω) = jX(ω)
(t) (t) e j t d t 1
'(t)
'(t) e j t d t d e j t
dt
t0
j
第4-6页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
Fourier Transform of signals
5. 常数1
信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换
bn an
)
2
(n 1,3,5)
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
)
或
2E
f (t)
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 51
2
2
3.1.4 波形的对称性与傅里叶级数的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)
是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶 级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也 将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整 周期对称；另一类是对半周期对称。
那么这个正交函数集也就不完备。
1,cos1t,cos 21t,cos n1t,, sin1t,sin21t,sinn1t,
包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完
备正交函数集。 它具有以下优点：
(1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之
间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号,简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信
信号处理PPT 傅里叶变换_1
二、周期信号的频谱及特点 例2：画出右图所示的周期矩形脉冲 ： 信号的幅度谱和相位谱。 信号的幅度谱和相位谱。
f (t ) = A0 + ∑ An cos(nωt + ϕn )
n =1
∞
幅度谱
相位谱
二、周期信号的频谱及特点 也可画 | Fn | ω 和 ϕn
ω 的关系，称为双边谱。 的关系，称为双边谱。 双边谱
bn = 0
(偶函数 偶函数) 偶函数
所以， 所以，周期矩形信号的三角形式傅立叶级数为
Eτ 2 Eτ f (t ) = + T T
nπτ ∑ Sa( T ) cos(nωt ) n =1
∞
若展开成指数形式的傅立叶级数， 若展开成指数形式的傅立叶级数，各项的系数为
1 τ2 Eτ nωτ Fn = ∫ τ Ee − jnωt dt = Sa ( ) T −2 T 2
所以，周期矩形信号的指数形式傅立叶级数为 所以，
Eτ f (t ) = T
nωτ jnωt ∑ Sa( 2 )e n =−∞
∞
二、周期信号的频谱及特点
1. 信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系， 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系， 频率变化的关系 信号的频谱， 频谱图。 称为信号的频谱 所画出的图形称为信号的频谱图 称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频 幅值 率的变化关系。 率的变化关系。 将 An ω 和 ϕ n ω 的关系分别画在以 ω 为横轴的平面 上得到的两个图，分别称为振幅频谱图 相位频谱图。 振幅频谱图和 上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为 n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 ，所以称这种频谱为单边谱。 单边谱
信号分类、采样与傅里叶分析_图文_图文
11
基本信号
12
卷积
离散信号的卷积定义为
13
卷积性质
交换律 结合律 分配律
14
卷积性质
任意序列与单位脉冲序列卷积等于本身 卷积平移特性
15
信号的傅立叶分析
1. 连续周期时间周期信号
为各次谐波的线性组合
为傅立叶系数
其中F0=1/Tp为基频 16
信号的傅立叶分析
1. 连续时间周期信号 信号功率的Parselval定律
具有能量、功率是否有限：能量信号和 功率信号。
若信号能量E有限，则称为能量信号； 信号能量E可表示为
9
信号的分类
若信号功率P有限，则称为功率信号；
周期信号及随机信号一定是功率信号； 非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。
10
基本信号
单位冲激信号 单位阶跃信号 指数形式信号
34
时域分析：系统的输出包括零输入响应和零状态响 应。系统的零状态响应(输出)y(n)可以表示为输入 x(n)和冲激响应h(n)的卷积，即
设x(n)和h(n)序列的长度分别为N和M,且 M<N,则根据卷积的定义，输出序列y(n)的长 度L=N+M-1
31
将输出写成矩阵的形式：
Ｘ称为输入数据矩阵，是托普利兹Toeplitz矩阵。因X 前M-1行和后M-1行包含0（或边界），因此具有边界 效应。
18
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号可以从下面的傅立叶反变换公式合成
19
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号能量守恒Parseval公式为
频谱特点： 连续非周期谱
20
信号的傅立叶分析
基本信号
12
卷积
离散信号的卷积定义为
13
卷积性质
交换律 结合律 分配律
14
卷积性质
任意序列与单位脉冲序列卷积等于本身 卷积平移特性
15
信号的傅立叶分析
1. 连续周期时间周期信号
为各次谐波的线性组合
为傅立叶系数
其中F0=1/Tp为基频 16
信号的傅立叶分析
1. 连续时间周期信号 信号功率的Parselval定律
具有能量、功率是否有限：能量信号和 功率信号。
若信号能量E有限，则称为能量信号； 信号能量E可表示为
9
信号的分类
若信号功率P有限，则称为功率信号；
周期信号及随机信号一定是功率信号； 非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。
10
基本信号
单位冲激信号 单位阶跃信号 指数形式信号
34
时域分析：系统的输出包括零输入响应和零状态响 应。系统的零状态响应(输出)y(n)可以表示为输入 x(n)和冲激响应h(n)的卷积，即
设x(n)和h(n)序列的长度分别为N和M,且 M<N,则根据卷积的定义，输出序列y(n)的长 度L=N+M-1
31
将输出写成矩阵的形式：
Ｘ称为输入数据矩阵，是托普利兹Toeplitz矩阵。因X 前M-1行和后M-1行包含0（或边界），因此具有边界 效应。
18
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号可以从下面的傅立叶反变换公式合成
19
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号能量守恒Parseval公式为
频谱特点： 连续非周期谱
20
信号的傅立叶分析
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
信号与系统——傅里叶变换和系统的频域分析
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
2019/9/27
11
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
2019/9/27
V1 Ve
V2
c12V2
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
f(t)c1g1(t)c2g2(t)cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci
t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
2019/9/27
11
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12V2
2019/9/27
V1 Ve
V2
c12V2
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
f(t)c1g1(t)c2g2(t)cngn(t)
n
crgr(t) r1
c 由最小均方误差准则，要求系数 i 满足
ci
t2
t1
f(t)gi(t)d tt12gi2(t)d t
《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
第3章_连续信号的频谱——傅里叶变换ppt课件
T1
4
4
0
E 2
取基波、三次谐 波分量和五次谐1t)
从上面例子看出：
（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。
ppt精选版
18
2.傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号
1)偶函数信号：an
4 T1
f(t)f(t) bn0
T1 2
0
f(t)cos(n1t)dt
cn an , Fn Fn
an 2
例如：周期三角波信号
n 0
f (t)
其傅里叶级数三角展开式中
仅含直流项和余弦项，
E
其傅里叶级数指数展开式中
f(t)－ f(t)
例如：周期锯齿波信号
f (t)
bnT 41
T1 2
0
f(t)sin(n1t)dt
c0 a0 0, cn bn, Fn Fn
1 2j
bn
E
n 90
2
其傅里叶级数三角展开式中
T1
2
仅含正弦项，
T1 0 2 E 2
是一奇函数
t 其傅里叶级数指数展开式中
F (n1)为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
17
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。
波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
信号取样（离散性）与信号重复（周期性）的对应关系
时域
频域
周期信号 周期为
离散频谱离散间隔 ：
抽样信号抽样间隔
重复频谱重复周期 ：
回目录
周期信号被取样 周期为 抽样间隔为
离散频谱被重复 离散间隔为 重复周期为
梦胆淖仆亨旺砸二挛占售捡狼宋惜桌维柯茨宋沂延睛扼挤鹤衅瘩痘诗莹瞬第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
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造峦淑推砍癌摸恃氓惋款傀锅塔特桃秩茅症夕呈则逊麓睬元釜皑劳逛叉遂第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
图4－4 频域冲击取样过程与所对应的时域信号波形
譬陵囤点况纸傅粱苹舱然埔Байду номын сангаас葫仟塔铀懒铰职躇撮馅爱痔求樊位镊拼讲春第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
4.1 信号取样与取样信号的傅里叶变换 4.2 傅里叶方法在系统分析中的应用 4.3 时分复用 4.4 无失真传输系统 4.5 理想低通滤波器 4.6 调制与解调 4.7 频分复用 4.8 因果信号的傅里叶变换 4.9 时域窗与频域窗
回目录
似冯惦萤鲜炼祥昧鬼对星怕仔奉特顷屋饮遗鸵桨忻瞩财峡莹援竞绎馅颧砍第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
时域恢复定理： 在满足取样定理的条件下，可以将如下频 域矩形函数 与取样信号的频谱 相乘，从频谱 中无失真的选出原信号的频谱 ，恢复了 也就恢复了 。
根据如上描述，我们可以写出： （4－10）
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根据时域卷积定理，有： （4－17）
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诺肿灰陌瘸绍户弃拭毙趟钥捶嫉肚所毖扫滚毗淬英汾苏娇真隔报惠楼附壮第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
时域
频域
周期信号 周期为
离散频谱离散间隔 ：
抽样信号抽样间隔
重复频谱重复周期 ：
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周期信号被取样 周期为 抽样间隔为
离散频谱被重复 离散间隔为 重复周期为
梦胆淖仆亨旺砸二挛占售捡狼宋惜桌维柯茨宋沂延睛扼挤鹤衅瘩痘诗莹瞬第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
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图4－4 频域冲击取样过程与所对应的时域信号波形
譬陵囤点况纸傅粱苹舱然埔Байду номын сангаас葫仟塔铀懒铰职躇撮馅爱痔求樊位镊拼讲春第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用第4章傅里叶方法在信号与系统分析中的应用
4.1 信号取样与取样信号的傅里叶变换 4.2 傅里叶方法在系统分析中的应用 4.3 时分复用 4.4 无失真传输系统 4.5 理想低通滤波器 4.6 调制与解调 4.7 频分复用 4.8 因果信号的傅里叶变换 4.9 时域窗与频域窗
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时域恢复定理： 在满足取样定理的条件下，可以将如下频 域矩形函数 与取样信号的频谱 相乘，从频谱 中无失真的选出原信号的频谱 ，恢复了 也就恢复了 。
根据如上描述，我们可以写出： （4－10）
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根据时域卷积定理，有： （4－17）
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信号与系统第8章离散信号付里叶变换ppt课件
9
而对 k r 来讲， k { 0 ,1, 2 , , N 1} ， r { 0 ,1, 2 , , N 1} 所以 k r { ( N 1 ), 2 , 1, 0 ,1, 2 , , N 1} 在其中，满足 N 的整数倍要求的只有 0。 即要求 k r
可编辑ppt
原因解释：
cos (k
N)
2 N
n
cos
k
2 N
n
N
2 N
n
cos k
2 N
n
2n
cos k
2 N
n
可编辑ppt
6
由此可见，离散周期信号的倍频信号有 N 种：
cos
0
2 N
n
，
cos
1
2 N
n
，
cos
22 Nnຫໍສະໝຸດ ……，cos(
N
1)
2 N
n
，对应复指数函数为：
j ( k 2 n )
令 X ( )
x (n )e jn 则 a k
n
1 N
X ( kw 0 )
可编辑ppt
16
而： x (n )
N 1
a e jk ( 2 / N ) n k
k 0
1 N
N 1
X (
k 0
kw 0 ) e jkw 0 n
而频率间隔： w 0 2 / N ，所以：
x ( n )
其实离散付里叶变换可以看成是连续付里叶变 换的一种推广。
可编辑ppt
3
8.2 离散周期信号的付里叶级数
可编辑ppt
4
同连续付里叶变换的推导过程一样，我们从离散
周期信号的付里叶级数入手。
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第8章 采样信号的傅里叶分析
现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压 力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行 采样就可得到离散信号。
采样信号的频谱是怎么样的? 怎么才能够保留原连续信号中的信息量而不受损失?
1
信号的采样
意义
电影是连续画面的采样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一 幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间 样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时， 就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f1(2t)
根据傅里叶变换的尺度变换性质，f1(t)的频谱扩展2倍（时域压缩）， 所以最高频率为4kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 8kHz
f2(t-3)
根据傅里叶变换的时移性质， f2(t-3)的幅度频谱不变（时移只改变 相位），所以最高频率为3kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
时域：周期连续信号采样周期离散信号 频域：非周期离散频谱——周期离散频谱 (周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
信号的时域采样，意味着信号频谱的周期性 信号时域的周期性，意味着信号频谱的离散性 信号时域的非周期性，意味着信号频谱的连续性
10
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
t N0T
(2)采样信号的频谱是离散的周期函数,周期s 。
F ( j)
0 0
最 ()
=
S
0
S
F~S ( j)
/T
S
0 0 S
当 S 20 时
1 T
F(
j) s
(t)
5
自然采样
否频0从f则率(t)频，f谱ss(t2)图s <可mtf，2(t以根)TPm看T据mF(为，t出()频jf采2：域T()tF样)要卷sT的S(信aj使0积(频1P号T)2各(定Tt谱) 的)2频理2TF1频s(移：(jF谱(不)t)=j的会重)最出叠P高现(，T频混)采0 率f叠sT样(t)。2。T 3T
fN 2 fm 6kHz
11
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
f1(t)+ f2(t)
根据傅里叶变换的线性性质， f1(t)+ f2(t) 的的频谱应取大的（频谱 的和） ，所以最高频率为3kHz。
f0 (t) 恢复信号
F0 ( j)
m 0 m
FS ( j)
1T
H ( j) T
m 0 m
S m 0 m S
C 0 C
m C (S m)
7
时域采样定理
为了能从采样信号 f S(t)中恢复原信号 f (t)，必须 满足两个条件：
被采样的信号f (t)必须是有限频带信号，其频谱在 ||>m时为零。
印刷照片是连续图象的采样： 印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一 点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些 采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续 的。
2
采样信号
信号的采样
f (t)
fS (t)
采样器
f (t)
fS (t)
0T
t
采样模型
f (t) 连续信号
s(t)
1
0T
fs (t) f (t) s(t) 采样信号
1
t
F( j)
ss ()
FS ( j)
*
S
=
1T
m 0 m
S
0
S
最高频率
S=2/T
FS ( j)
1T
S m 0 m S
当 S 2m时
当 S 2m时
0 mS
4
周期信号的采样
~
f (t)
T (t)
~ fS (t)
从频谱图可以看出：
=
T0
(01)要使T0 各频t 移不重2T 叠T 0，T 采2T 样t频率s>20; 0 T
采样频率s2m或采样间隔 T 1 。其最低
2 fm m
允许采样频率 f N =2 f m或N=2m称为奈奎斯特频率，
其最大允许采样间隔
TN
1 2 fm
m
称为奈奎斯特采
样间隔。
8
时域采样定理
结论
带限信号只有满足采样定理中的采样频率s2m条件， 采样后的频谱才不会产生频谱混叠。采样信号保留了原 信号的全部信息。
t
F( j) PT ()
FS ( j)
*
S
=
T
m 0m
S
0
S
S m 0 m S
f (t) F ( j),
PT
(t
)
Sa(
2
)
S
s
(
)
当 S 2m时
S
Sa(
2
)
s
(
),
S
2
T
6
采样定理的解释
f (t) 连续信号
抽样信号 fs (t)
H ( j)
理想低通滤波器
F( j)
调制信号 s(t) T (t)
当不满足采样定理，即s<2m ，则频谱将产生混叠。 当s=2m时为临界采样。 当s>2m时为过采样。 当s<2m时为欠采样。
9
采样信号的频谱
非周期信号采样的频谱
时域：非周期连续信号采样非周期离散信号 频域：非周期连续频谱 —— 周期连续频谱(周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
周期信号采样的频谱
f (t)
H1(j)
fS (t) H2(j) y(t)
m
Sa(mt)
T (t)
- 2m
0
2m
F( jω)
(1)画出信号 f (t)的频谱图；
f1(t)
m
Sa(mt)
F1 (
j )
G2m
( )
F( j) H1( j)F1( j)
1
-m 0 m
(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，则T(t)的最大
s(t) 调制信号 t
3
理想采样
否并频0从则且f率f(st频)(，采t )谱s样2图f 信s(t<可m)t号，2T以根(的tm)看据m 频为，出频谱Ff采s2：域T((是tj样)要卷T的连)信0使积频续号2TT各1T定1谱(的tF的2F)频理TF(周(频j(移：jj期)谱)不t)函的会=重Ss数最(出叠S,高)现(周T，频)混期0采f率s叠T(样t) 。s2。T。 3T
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 6kHz
f1(t) f2(t)
根据傅里叶变换的频域卷积性质， f1(t) f2(t) 的频谱扩展到其频谱的 和 ，所以最高频率为5kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 10kHz
12
例 8.2
如图所示信号处理系统。
H1( jω)
1
f1(t)
采样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？
N 2m ,
fN
m
, TN
现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压 力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行 采样就可得到离散信号。
采样信号的频谱是怎么样的? 怎么才能够保留原连续信号中的信息量而不受损失?
1
信号的采样
意义
电影是连续画面的采样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一 幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间 样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时， 就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f1(2t)
根据傅里叶变换的尺度变换性质，f1(t)的频谱扩展2倍（时域压缩）， 所以最高频率为4kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 8kHz
f2(t-3)
根据傅里叶变换的时移性质， f2(t-3)的幅度频谱不变（时移只改变 相位），所以最高频率为3kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
时域：周期连续信号采样周期离散信号 频域：非周期离散频谱——周期离散频谱 (周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
信号的时域采样，意味着信号频谱的周期性 信号时域的周期性，意味着信号频谱的离散性 信号时域的非周期性，意味着信号频谱的连续性
10
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
t N0T
(2)采样信号的频谱是离散的周期函数,周期s 。
F ( j)
0 0
最 ()
=
S
0
S
F~S ( j)
/T
S
0 0 S
当 S 20 时
1 T
F(
j) s
(t)
5
自然采样
否频0从f则率(t)频，f谱ss(t2)图s <可mtf，2(t以根)TPm看T据mF(为，t出()频jf采2：域T()tF样)要卷sT的S(信aj使0积(频1P号T)2各(定Tt谱) 的)2频理2TF1频s(移：(jF谱(不)t)=j的会重)最出叠P高现(，T频混)采0 率f叠sT样(t)。2。T 3T
fN 2 fm 6kHz
11
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
f1(t)+ f2(t)
根据傅里叶变换的线性性质， f1(t)+ f2(t) 的的频谱应取大的（频谱 的和） ，所以最高频率为3kHz。
f0 (t) 恢复信号
F0 ( j)
m 0 m
FS ( j)
1T
H ( j) T
m 0 m
S m 0 m S
C 0 C
m C (S m)
7
时域采样定理
为了能从采样信号 f S(t)中恢复原信号 f (t)，必须 满足两个条件：
被采样的信号f (t)必须是有限频带信号，其频谱在 ||>m时为零。
印刷照片是连续图象的采样： 印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一 点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些 采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续 的。
2
采样信号
信号的采样
f (t)
fS (t)
采样器
f (t)
fS (t)
0T
t
采样模型
f (t) 连续信号
s(t)
1
0T
fs (t) f (t) s(t) 采样信号
1
t
F( j)
ss ()
FS ( j)
*
S
=
1T
m 0 m
S
0
S
最高频率
S=2/T
FS ( j)
1T
S m 0 m S
当 S 2m时
当 S 2m时
0 mS
4
周期信号的采样
~
f (t)
T (t)
~ fS (t)
从频谱图可以看出：
=
T0
(01)要使T0 各频t 移不重2T 叠T 0，T 采2T 样t频率s>20; 0 T
采样频率s2m或采样间隔 T 1 。其最低
2 fm m
允许采样频率 f N =2 f m或N=2m称为奈奎斯特频率，
其最大允许采样间隔
TN
1 2 fm
m
称为奈奎斯特采
样间隔。
8
时域采样定理
结论
带限信号只有满足采样定理中的采样频率s2m条件， 采样后的频谱才不会产生频谱混叠。采样信号保留了原 信号的全部信息。
t
F( j) PT ()
FS ( j)
*
S
=
T
m 0m
S
0
S
S m 0 m S
f (t) F ( j),
PT
(t
)
Sa(
2
)
S
s
(
)
当 S 2m时
S
Sa(
2
)
s
(
),
S
2
T
6
采样定理的解释
f (t) 连续信号
抽样信号 fs (t)
H ( j)
理想低通滤波器
F( j)
调制信号 s(t) T (t)
当不满足采样定理，即s<2m ，则频谱将产生混叠。 当s=2m时为临界采样。 当s>2m时为过采样。 当s<2m时为欠采样。
9
采样信号的频谱
非周期信号采样的频谱
时域：非周期连续信号采样非周期离散信号 频域：非周期连续频谱 —— 周期连续频谱(周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
周期信号采样的频谱
f (t)
H1(j)
fS (t) H2(j) y(t)
m
Sa(mt)
T (t)
- 2m
0
2m
F( jω)
(1)画出信号 f (t)的频谱图；
f1(t)
m
Sa(mt)
F1 (
j )
G2m
( )
F( j) H1( j)F1( j)
1
-m 0 m
(2)欲使信号 f s(t)中包含信号f (t)中的全部信息，则T(t)的最大
s(t) 调制信号 t
3
理想采样
否并频0从则且f率f(st频)(，采t )谱s样2图f 信s(t<可m)t号，2T以根(的tm)看据m 频为，出频谱Ff采s2：域T((是tj样)要卷T的连)信0使积频续号2TT各1T定1谱(的tF的2F)频理TF(周(频j(移：jj期)谱)不t)函的会=重Ss数最(出叠S,高)现(周T，频)混期0采f率s叠T(样t) 。s2。T。 3T
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 6kHz
f1(t) f2(t)
根据傅里叶变换的频域卷积性质， f1(t) f2(t) 的频谱扩展到其频谱的 和 ，所以最高频率为5kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 10kHz
12
例 8.2
如图所示信号处理系统。
H1( jω)
1
f1(t)
采样间隔(即奈奎斯特间隔)TN应为多少？
N 2m ,
fN
m
, TN