不要相信直觉那些概率统计的奇妙结论
让人匪夷所思的统计学定律
让人匪夷所思的统计学定律在我们的日常生活中，统计学似乎无处不在。
从经济数据的分析到医疗研究的结论，从市场调查的结果到社会现象的解读，统计学都发挥着重要的作用。
然而，在统计学的领域中，有一些定律却常常让人感到匪夷所思，挑战着我们的直觉和常规思维。
首先，让我们来谈谈“幸存者偏差”。
这一定律指出，我们在观察和分析事物时，往往只看到了那些经过某种筛选而留下来的“幸存者”，而忽略了那些没有幸存下来的样本。
比如，在研究战争中飞机的受损情况时，人们最初只关注那些安全返回的飞机身上的弹孔分布，试图据此加强飞机的防护。
但后来有人指出，应该研究那些被击落的飞机，因为那些没被击中关键部位的飞机才能幸存回来，而被击中关键部位的飞机已经坠毁无法被观察到。
这就导致了最初的研究方向出现了偏差。
再来说说“辛普森悖论”。
假设我们有两组数据，分别来看时，A 组的表现优于 B 组；但将两组数据综合起来看，B 组的表现却反而优于A 组。
这怎么可能呢？举个例子，一所大学的两个学院，学院甲录取女生的比例高于男生，学院乙录取女生的比例也高于男生，但总体来看，这所大学录取男生的比例却高于女生。
这是因为两个学院的招生规模和录取标准不同，导致综合起来出现了看似矛盾的结果。
还有“小数定律”也同样令人惊奇。
它说的是，如果样本数量过少，那么其统计结果就会极不稳定，并且很可能出现极端的情况。
比如抛硬币，理论上正反面出现的概率应该接近 50%，但如果只抛几次，可能会连续出现多次正面或反面，从而让人误以为存在某种规律。
“均值回归”也是一个有趣的统计学定律。
在很多情况下，如果一个变量的值高于或低于平均值，那么在未来它很可能会向平均值靠近。
比如，一个运动员在某次比赛中表现超常，获得了极高的分数，但在接下来的比赛中，他的表现很可能会相对逊色，趋向于他的平均水平。
这并不是说他的能力下降了，而是一种自然的统计规律。
“相关性不等于因果性”，这是一个容易被误解的重要概念。
数学百科：概率思维颠覆直觉
数学百科：概率思维颠覆直觉作者：迈克尔·舍默来源：《数学金刊·高考版》2014年第12期你是否有过这样的经历：刚准备给一个朋友打电话，他却先打过来了？这类事件发生的概率虽然不是很高，但如果把所有概率加起来，总和终会达到100%. 因此，只要有足够的机会，奇迹也可能会发生.我们姑且将奇迹定义为“发生概率为百万分之一的事件”. 根据这一定义，假设一个人每天清醒12小时，每秒有一个比特（信息量单位）的数据进入他的意识，那么这个人每天将接收43200比特的数据，即每月1296000比特（按30天算）. 即便其中99.9999%的数据是毫无意义的（因此可以将他们滤除或者完全忽略），他每月依然会遭遇到1.3个“奇迹”，累计起来，一年就大概有16个.按照先入为主的习惯，人们总是热衷追寻那些能够证明自己正确的证据，对相反的证据则采取忽略或置疑的态度. 所以，人们通常只会记住几个令人惊讶的巧合，而把不计其数的无用数据完全遗忘.我们可以通过计算来解释那些预兆死亡的梦，人平均每晚会做5个梦，大约每年1825个. 如果我们能记住10个梦中的1个，一年就能记住182.5个梦，3亿美国人每年能记住547亿个梦. 根据社会学家的看法，平均一个人会有150个熟人，那么美国社会就是一个拥有450亿个人际联系的网络. 美国的年平均死亡人口是240万，以此类推，被记住的547亿个梦中总有一些会不可避免地与240万死亡人口及450亿个人际关系联系到一起. 按照这个思路，如果有些预兆死亡的梦没有成为现实，那才真的是奇迹呢！上述例子说明，概率思维具有超越人类数字直觉的强大能力. 作为人类的一种内在脾性，俗算术会导致人们误解或算错概率问题，会引发人们的奇思异想而忽视统计学的应用，会促使人们关注记忆短期趋势和小事件的走向. 受它影响，人们虽能注意到短期的凉爽天气，却会忽视全球变暖的大趋势；能关注因近期地产、股市低迷而引起的惊慌失措，却遗忘了已持续近半个世纪的经济增长.为什么人们的直觉总会犯这样那样的错误呢？这是因为，人类的进化历程已经到达一个介于长与短、小与大、慢与快、幼与老的中间地带. 在空间概念上，处于中间地带的人类感官更适合于感知中等尺寸的对象，例如大小介于沙砾和山脉之间的各种物体. 人类非但无法感知原子和细菌的存在，也无法感知星系和宇宙的扩张. 在速度的中间地带，人类可以感知到以步行或跑步速度移动的物体，但对冰川和陆地的缓慢移动和光的高速行进却毫无察觉. 这种中间地带的算术思维使得人们更倾向于关注并记住短期趋势、有趣的巧合以及个人的奇闻逸事.为什么人们的直觉总会犯这样那样的错误呢？这是因为，人类的进化历程已经到达一个介于长与短、小与大、慢与快、幼与老的中间地带. 在空间概念上，处于中间地带的人类感官更适合于感知中等尺寸的对象.。
有趣的推理技巧
有趣的推理技巧推理技巧是一种通过逻辑和分析来解决问题和得出结论的方法。
这些技巧不仅可以帮助我们在日常生活中做出正确的决策，还可以用于解决各种问题，例如破解谜题、发现犯罪嫌疑人、分析统计数据等等。
以下是一些有趣的推理技巧：1. 列出假设在推理过程中，我们往往会面临多个可能的假设。
为了找出正确的答案，我们可以列出所有可能的假设，然后逐一进行分析和比较。
这个过程有点像做一个猜谜游戏，我们不断地通过排除错误的选项来接近正确的答案。
2. 借鉴归纳法归纳法是通过观察和整理已有的事实和信息，然后得出一般性的结论。
当我们面对一个问题时，我们可以通过找出相似的案例或类似的模式来得出结论。
这种方法在找到规律和判断趋势方面非常有效。
3. 使用逆向思维逆向思维是一种反向思维的方式，即从结果往回推理，从而找出导致这个结果的原因。
当我们无法从已有的信息得出结果时，可以尝试从所需的结果出发，倒推出可能的原因和步骤。
这种思维方法可以帮助我们快速定位问题的根本原因，并提出解决方案。
4. 信任直觉有时候，直觉比逻辑推理更为准确和有效。
如果我们对某个问题有一个直观的感觉，甚至没有确凿的证据支持，但是我们可以尝试去相信自己的直觉。
直觉是我们大脑中潜在的信息库所积累的经验和知识的一种表现，有时候它会比我们的意识能够理解的更快地找到答案。
5. 学会提问良好的问题是推理的关键。
学会提出正确的问题可以帮助我们更好地理解问题本质，并找到解决问题的方向。
当我们遇到困难时，我们应该问自己，问别人，并提问更多的问题，直到我们找到答案。
6. 进行逻辑推理逻辑推理是通过根据已有的事实和规则，从而得出结论的方法。
我们可以使用条件推理、概率推理、演绎推理等不同的逻辑推理方法来解决问题。
逻辑推理可以帮助我们通过关系和推论发现隐藏在信息中的规律。
7. 多元思考多元思考是指同时采用多个角度和观点来分析问题。
通过多角度的思考，我们可以更加全面和准确地理解问题的本质，并从中获得更多的见解和答案。
52种常见的思维错误
52种常见的思维错误“我们花两年学会说话，却要花六十年学会闭嘴。
”毫无疑问，学会说话、清醒思考是我们要用一生来修炼的课程。
语言表达能力反映的，除了情商，更重要的是背后的思维——你有什么样的思维，决定了你会说出什么样的话。
以下为52种常见的思维错误：1.幸存偏误幸存偏误指：由于日常生活中更容易看到成功、看不到失败，你会系统性地高估成功的概率。
2.游泳选手身材错觉职业游泳者体形完美，并不是因为他们锻炼充分。
实际情况正好相反：他们之所以成为出色的游泳选手，是因为他们拥有这样的身材。
他们的身躯是一种选择标准，而不是他们运动的结果。
女模特儿为化妆品做广告，有些消费者就以为化妆品会让人变漂亮，但其实让这些女人成为模特儿的并非化妆品。
这些模特儿天生丽质，因此才被选来拍化妆品广告。
就像游泳选手一样，在这里，美丽是一种选择标准，而不是结果。
一旦我们混淆选择标准和结果，我们就会产生游泳选手身材错觉。
结论：凡有人讴歌某种东西值得追求——强健肌肉、美貌、高收入、影响力等等，你都要看仔细。
在跨入泳池之前，不妨先照照镜子。
你要诚实地对待自己。
3.过度自信效应我们总是系统性地高估我们的学识和预测能力——而且高估得很厉害。
过度自信会令你忽视你真正知道的东西与你已知的东西之间的区别。
过度自信效应在男人身上比在女人身上更明显——女人较少高估自己。
结论：请对所有预测持怀疑态度，尤其是当这些预测是由所谓的专家们作出的。
请你在筹划任何事情时都从悲观的角度出发，作最坏的打算。
这样你才会真正有机会，更现实一些地判断形势。
4.从众心理从众心理（有时被含糊地称为随大流）是指：只要别人做什么我也跟着做什么，我的行为就是正确的。
换言之，越多的人认为一个想法正确，这个想法就更加正确——这当然是荒谬的。
5.纠缠于沉没成本在我们已经投入特别多的时间、金钱、能量、爱等因素之后，沉没成本令人难以放手、难以释怀。
如果你只是因为舍不得已经作出的投资、付出，而决定继续做某件事，这并非一个好理由。
《苏黎世投机定律》
《苏黎世投机定律》目录定律1：论冒险:如果你对从事的投机不感到忧虑，那么你冒的风险肯定不够！定律2：论贪婪:尽早获利了结。
定律3：论希望:船开始下沉时，不要祷告，赶快脱身。
定律4：论预测:人类的行为不能预测，不要相信任何未卜先知。
定律5：论模式:在没有显示秩序之前，混乱并不危险。
定律6：论灵活:避免扎根，它们会妨碍你的灵活。
定律7：论直觉:如果一个预感可以被解释，那么它就是值得信赖的。
定律8：论神秘主义:上帝创造世界的计划中，未必包括使你发财。
定律9：论乐观与悲观:乐观就是预期最好的情况会发生，信心则是知道如何处理最坏的状况;绝不要仅仅因为乐观而采取投机活动。
定律10：论舆论:藐视大多数人的意见，因为它可能是错误的。
定律11：论固执:如果第一次没能赚到钱，忘掉它，重新再来。
定律12：论计划:长期计划所导致的危险后果是，你会认为未来是可以控制的;永远不要为自己或让别人为你制订长期计划。
引言瑞士，这是一个贫瘠而多岩的小国，国土面积仅相当于美国缅因州的一半。
作为一个内陆国家，它可以说是世界上自然资源最贫乏的国家之一。
没有石油，没有煤炭，甚至在农业方面，它的气候和地形也不适合大多数农作物耕作。
三百多年来，它没有卷入任何一场欧洲战争，主要原因是，没有哪一个侵略者会对这块土地产生兴趣。
但是，瑞士人世界上是最富有的国民之一。
按照国民人均所得来看，它相比于美国、日本这样的经济强国一点也不差。
瑞士法郎也是世界上最强势的货币之一。
瑞士人是怎么做到这一点的呢？因为他们是天生的最聪明的投资家、投机者和赌徒。
本书就是要告诉你如何像瑞士人一样投机赚钱。
听起来，这本书对每个人都适用，因为每个人都想赚钱。
但是，并不是每个人都愿意去赌，或是否善于去赌。
对于这一点认识的不同，造成了人们在现实中的很大差异。
许多人都希望自己富有，但却很少人愿意去赌，这是可以理解的、毋庸指责的。
因为我们所接受的许多道德观念都教导我们：冒险是愚蠢的行为，一个明智的人不应当对超出自己承受能力的事物下赌注，一种安定而无聊的生活应该是更好的选择。
让人匪夷所思的统计学定律——本福特定律
ｊ 理翳馆 ・ 数学 ｆｂｕ Ｓｉ ｃ ， Ａ ｏｔ ｃ ｎ ｅｅ
在 日常生活 中， 过对某些统计数 据的分析 ， 通 我们可 以了解某一情况 、 出某些决定． 做
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据都 符合 “ 一数字 定律 ” 第 ．
随后传 出 了该 公 司 涉嫌 做 假账 的丑 闻．事后 ， 人 们 发现 ， 安然 公司 在 ２ ０ ０ １年 度到 ２ ０ ０ ２年 度所 公 布的每 股盈 利 数字 完全 不符 合 “ 福特 定 律 ”这 本 ．
违反直觉的概率问题
违反直觉的概率问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：违反直觉的概率问题一直是数学领域中一个极具挑战性和引人入胜的话题。
在日常生活中，我们经常会遇到一些看似荒谬或者难以理解的情况，这些情况常常经由概率论探索而得出合理的解释。
本文将介绍一些关于违反直觉的概率问题，带领读者深入探讨概率论的奥秘。
让我们从著名的蒙提霍尔问题开始。
蒙提霍尔问题是一个经典的概率问题，源自于美国游戏节目《让我们做一个交易》。
问题的描述如下：参赛者面前有三扇门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。
参赛者首先选择一扇门，主持人会打开另外一扇门，后面是山羊。
参赛者在这个时候可以选择是否更换选项。
问题是，如果参赛者选择更换选项，他中奖的概率是多少？直觉上，很多人认为更换选项和不更换选项的中奖概率应该是相同的，都是1/2。
实际上，更换选项的中奖概率是2/3，而不更换选项的中奖概率是1/3。
这个看似违反常理的结论可以通过概率论严谨地推导出来。
简单来说，如果参赛者一开始选择错了门，主持人只打开没有汽车的门，那么更换选项就能带来更高的中奖概率。
接下来，让我们来看看另一个经典的违反直觉的概率问题——生日悖论。
生日悖论源自于一个看似不可思议的事实：在一个房间里只需要多少人，就有超过半数的概率至少有两人生日相同？答案是只需要23个人。
这个问题看似难以置信，但其背后的概率原理却是十分严谨和合理的。
生日悖论可以通过排除相同生日的概率的补集来进行解释。
具体来说，如果所有人的生日都不相同，那么第一个人可以随便选出一个生日，第二个人只能选择364天中的一个作为生日，第三个人只能选择363天中的一个，以此类推。
当第23个人出现时，他的生日只有342天可以选择，而这个时候所有人的生日都不相同的概率已经是非常小的了。
只需要23个人就有超过半数的概率至少有两人生日相同。
除了上述的两个例子外，还有许多其他关于违反直觉的概率问题可以引发我们的思考。
例如著名的2/3问题、蒂彻腊克的拓展、蓄水池问题等等。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论【摘要】在生活中常常会遇到一些看似矛盾的情况，这就是悖论。
通过概率论，我们可以解决许多生活中的悖论。
文章首先介绍了悖论的概念和概率论在生活中的应用。
接着详细解释了蒙提霍尔悖论以及概率论是如何解决这一悖论的。
蒙提霍尔悖论在生活中的影响也被探讨了。
文章还对锚定效应进行了解释，并提出了概率论的解决方案。
结论部分强调了概率论在解决生活中的悖论中的重要性，并提出了如何更好地利用概率论避免逻辑上的混淆。
通过这篇文章，读者可以更深入地了解悖论的实质，以及如何运用概率论在日常生活中解决各种疑难问题。
【关键词】悖论、概率论、蒙提霍尔悖论、锚定效应、逻辑混淆、生活应用1. 引言1.1 悖论的概念悖论是指在逻辑上出现矛盾或不合理的情况，常常让人感到困惑和无法理解。
悖论通常是由于相互矛盾的前提或假设所导致的，挑战人们对事实和逻辑的认知。
悖论在日常生活中也时常出现，例如著名的蒙提霍尔悖论和锚定效应。
悖论在概率论中也有着重要的意义。
概率论是研究随机事件发生规律的数学分支，可以用来解释和预测种种现象。
通过概率论的分析，我们可以发现许多悖论背后隐藏的规律和原因。
概率论不仅可以帮助我们理解悖论的成因，还可以为我们提供解决悖论的方法和途径。
在接下来的我们将以蒙提霍尔悖论和锚定效应为例，从概率论的角度分析并解决这些悖论带来的困惑。
通过探讨这些实例，我们将更深入地理解悖论和概率论之间的关系，以及概率论在解决生活中悖论中的重要性。
将成为我们探讨这一主题的出发点，引领我们深入分析悖论背后的数学逻辑和现实意义。
1.2 概率论的应用概率论的应用范围非常广泛，涉及到各个领域，包括统计学、经济学、生物学、物理学等等。
在面对生活中的悖论时，我们可以通过运用概率论的知识和方法来分析和解决问题。
通过对事件发生的可能性进行量化和计算，我们可以更加客观地评估情况，做出更合理的决策。
概率论的应用不仅在理论领域有所突破，也在实际生活中有着重要的影响。
直觉与概率的误判
直觉与概率的误判[摘要] 通过对孩子性别问题和癌症化验问题的具体分析说明：在求某些事件的概率时，不经过认真分析相关信息，仅凭直觉的判断并不可靠，同时说明了概率理论在实际生活中的重要性。
[关键词] 直觉概率信息在日常生活中经常碰到概率问题，即使人们不懂得如何计算概率，经验和直觉也能帮助他们做出判断。
然而，在许多问题上，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，很有可能做出错误的判断。
下面的这些例子说明，直觉在很多情况下是不可靠的。
1.孩子性别问题及分析一群老同学到老张家聚会，老张说自己有两个孩子，那么他们性别相同的概率是多少呢？大家都能一口说出答案：0.5。
一个男孩走进来对老张说：“爸，今天这么多叔叔来咱家做客啊！”那么，此时老张的两个孩子性别相同的概率又是多少呢？很多人就会凭直觉认为另一个孩子是男是女概率都是0.5，所以相同的概率还是0.5。
然而结果却是?蚧?虔。
为什么结果和直觉相悖呢？下面我们运用概率论知识来计算一下性别相同的概率。
我们定义事件a为“两个孩子性别相同”，定义事件b为“至少有一个孩子是男孩”。
我们要求的是条件概率。
两个孩子性别的所有可能组合是：男男，男女，女男，女女。
很明显性别相同的概率是0.5，即p(a)=0.5。
而当已知其中有一个是男孩，也就是b发生的时候，这时所有可能情况是：男男，男女，女男。
很明显，性别相同只能都是男孩，而非0.5。
在实际生活中，往往需要在有某些附加信息（条件）时求事件的概率，这就是条件概率。
一般情况下，也就是说事件的概率在一些相关的附加信息下往往会有一些改变，有时候我们直觉上认为无用的信息也会对事件的概率造成影响。
2.艾滋病化验问题及分析一人忐忑不安地拿着癌症检测呈阳性的化验单去找医生：“医生，这个检测呈阳性是什么意思啊？”医生：“同志，请做好心理准备。
目前癌症发病率比较高，我们这个地区估计大概每10000人中就有5人得癌症。
我们采用的这种检查方法相当精确，根据临床纪录，真患有癌症的人进行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；没有癌症的人进行此项检查，结果是阴性的概率为0.99，也就是说只有1%的无癌症者可能会误诊为阳性。
是来自于主观判断缺少科学的证据或理由作为支持让人不敢轻易相信
是来自于主观判断缺少科学的证据或理由作为支持让人不敢轻易相信问题：有些人只相信自己的眼睛看到，没有采取任何手段或途径去验证其真实性，那这种说法对吗？回答：“眼见为实”，并不能成为主观判断事物的依据。
人们总以为一切都需要拿出确凿可靠的证据来加以论证才算数，否则就会心存疑虑甚至拒绝相信某件事情。
在他们看来，似乎所有主张、行动必须建立在经得起考验和推敲的理由之上，若没有确定无疑的证据支持便容易遭致非议。
然而很多时候，作为认识工具的各种文字，恰恰让人陷入了思维误区，让人的认知模式变得僵化保守，也使主观判断中缺少严谨的论证过程与有力的佐证材料，从而令人轻率地放弃质疑，随意盲目地肯定一切。
当代著名文艺批评家林贤治曾说：“除非你找到确凿无疑的理由，否则你别做结论。
”诚哉斯言！首先我们要明白什么是科学的证据，以及怎样去获取它们。
《辞海》对科学解释道：“运用科学的方法或技术手段研究探索客观世界发生发展规律的学问。
”既然如此，又何来一个必须经得起确凿证据的反复检验呢？比如马克思、恩格斯关于资本主义社会阶级斗争激烈的论述；巴黎公社领导者罗莎·卢森堡对革命形势准确预测等，哪个例子是他们亲身经历的呢？所谓“理由”往往都带有片面性，因为没有调查研究、搜集整理分析大量材料和掌握充足的证据，只凭着主观臆想草率下结论，最终受害的还是主观武断、固执己见的人。
更何况社会是千差万别的，有好有坏、鱼龙混杂，单凭简单几句话断章取义就直接定义这就是错的，未免太草率，根本不符合逻辑常识。
所以凡事讲求科学和证据是现代社会的重要标志，也是主观唯心主义哲学的重要特征。
但并不能因此否定科学精神的正面价值，毕竟物质基础决定上层建筑，只有站在坚实牢靠的科学证据之上，我们才敢迈开前进步伐。
正如古语云“虚心竹有低头叶，傲骨梅无仰面花。
”学会倾听每一位质疑者的声音，勇敢的迎难而上，不断积累科学素养，才能够修炼出敏锐洞察力和缜密逻辑思维能力，避免被人牵着鼻子走。
十大反直觉的数学结论
十大反直觉的数学结论传播数学干货，学会理性的方式去思考问题反直觉的事实有时候甚至骗过了最好的数学家。
这十大令人惊愕的数学结论，恰恰跟我们生活中的经验背道而驰。
生日悖论假设房间里有23人，那么两个人生日是同天的概率将大于50%。
我们很容易得出，任何一个特定的日子里某人过生日的概率是1/365。
所以这个理论看似是无法成立，但理论与现实差异正源自于：我们的唯一要求是两个人彼此拥有同一天生日即可，不限定在特定的一天。
否则，如果换做某人在某特定日期生日，例如2月19日，那么23个人中概率便仅为6.12%。
另一方面如果你在有23个人的房间挑选一人问他：“有人和你同一天生日吗？”答案很可能是否定的。
但如果重复询问其余22人，每问一次，你便会有更大机会得到肯定答复，最终这个概率是50.7%。
巴拿赫-塔尔斯基悖论这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。
巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。
并且它被许多数学家视作数学中最为反常的一个结果。
在现实生活中我们没有任何办法能将一个物体凭空复制成两个。
但事实上他却是成立的，这个结果似乎挑战了物理中的质量守恒定律，但似乎又是在说一个物体的质量可以凭空变为原来的两倍？但如若原质量是无限的话，翻倍后还是无限大，那么从这一层面出发来看这一理论也并没有打破物理法则。
蒙提霍尔问题三门问题亦称为蒙提霍尔问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。
问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。
蒙提霍尔问题
蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题（1）——直觉与计算概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解。
蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子。
还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题。
自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。
两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki 被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。
有的错误一直到了现在才发现。
二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。
在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。
我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解。
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏。
1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题：在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。
当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿。
然后问你，要不要改主意选2号。
问：改选是不是更有利？大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2。
Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3。
她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228。
超好玩硬币游戏,你都会玩吗
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？方弦 2011-10-19 18:55:04死理性派表示，硬币是世界上最好的游戏机，给我们几枚硬币，就能玩到天亮。
不不不，硬币可不止抛正 反面这么简单。
好玩的硬币游戏，你们都会玩吗？出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。
来几局三国杀？是个不错的提议， 但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬 币，随随便便就能玩一整天。
不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点 数学。
尼姆游戏在所有二人游戏中， 最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了 （好吧， 在所有二人数学游戏中） 。
据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用 硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就 算赢。
留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且 数量相同的硬币， 就能确保获胜。
一个优势策略是， 先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚 硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个 游戏玩得风生水起。
哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题， 也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。
在布顿的论文中， 如果玩家每一步操作后 的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。
每个不安全棋局都可 以一步正确的操作变成安全的， 而如果没有正确地操作， 一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。
将每一行的硬 币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相 加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这 个棋局就是不安全的。
概率统计在计算机专业中的应
一副扑克牌54张，现分成3等份每份18张，问大小王出现在同一份中的概率是多少？（大意如此）
解答1：
54张牌分成3等份，共有M=(C54取18)*(C36取18)*(C18取18)种分法。其中大小王在同一份的分法有N=(C3取1)*(C52取16)*(C36取18)*(C18取18)种。因此所求概率为P=N /M=17/53。
例三：
一个国家人们只想要男孩，每个家庭都会一直要孩子，只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩，他们就会再生一个。如果生了男孩，就不再生了。那么，这个国家里男女比例如何？
分析：
一开始想当然的以为男多女少，毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果生了男孩，就不再生了”，一个家庭可能有多个女孩，只有一个男孩。再仔细分析，我们来计算期望值，只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1，女孩为S2.根据题目条件，男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。主要计算S2 一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5…对应的的男女分布为: “男”，“女男”,“女女男”,“女女女男”，“女女女女男”…对应的概率分布为1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32。其中女孩的个数分别为0,1,2,3,4……因此S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………可以按照题2用级数求，也可以用错位相减法：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+…两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+.. 两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1，男女比例是一样的。
概率知多少观后感500字
概率知多少观后感500字概率知多少观后感《概率知多少》是由黄晓明、郑恺、王迅等人主演的一部喜剧电影。
这部电影以概率这一数学概念为基础，讲述了一位数学天才王大陆在成长过程中如何利用概率理论解决问题的故事。
观看这部电影之后，我不禁对概率这个平常却又深奥的概念有了更深入的了解。
电影中的主人公王大陆从小就展现出了非凡的数学天赋。
在他的引领下，我们看到了概率的奥妙和应用。
概率，作为数学的一个分支，常常在我们日常生活中发挥着重要的作用。
比如在购彩中，我们购买某张彩票中奖的概率是多少？又或者在赌场中，玩家有多大的机会获胜？这些问题都可以通过概率理论得到解答。
然而，对于大多数人来说，概率一直是一个模糊而又神秘的概念。
在电影中，王大陆运用概率理论解决了许多问题，例如如何优化遛狗的路线、如何选择合适的谈话对象等。
这些问题被王大陆用概率的思维方式一一击破，使得周围的人对概率有了更深刻的认识。
同时，观众们也反思到，概率并不是一种复杂难懂的理论，而是一种实用有效的解决问题的工具。
电影中的笑点和情节也给人留下了深刻的印象。
主要演员们的表演功底和默契配合使得整个故事更加生动有趣。
概率作为一个较为抽象的概念，以喜剧方式呈现给观众，既能充分展示王大陆的智慧，又能带给观众笑点，使得概念有了更具体的实践意义。
通过观看《概率知多少》，我对概率这个概念有了更加深入的理解。
概率并非仅仅是在学校的数学课上学到的知识，而是贯穿于我们日常生活的方方面面。
学会使用概率的思维方式，能够使我们在面对各种选择时更加理性和准确。
同时，概率也告诉我们，成功不仅需要努力，还需要正确的判断和选择。
除了对概率的理解，这部电影还引发了我对数学的兴趣。
数学是一门抽象而又具有基础性的学科，它是对世界各种现象进行抽象、定量描述的语言和工具。
通过学习数学，我们可以培养自己的逻辑思维能力和问题解决能力，提高自己在各个领域中的竞争力。
总的来说，《概率知多少》这部电影无论是从故事情节上还是人物塑造上都具有一定的深度。
专题4：相信直觉，不迷信逻辑（连载5）
专题4：相信直觉，不迷信逻辑（连载5）直觉是决策过程中十分关键的一环，比如在招收新员工的时候。
伯恩?约翰逊（Bjorn Johansson）作为一个专门为国际大公司寻找人才的高级猎头，也认为直觉是非常重要的。
他说他在30秒内就可以知道他的客户与应聘的人合不合拍。
丹尼尔?戈尔曼(Daniel Goleman)：《情商》(EQ)。
看一下星巴克（Starbucks）咖啡，如果霍华德?舒尔茨（Howard Schultz）没有机会去推广他那种独一无二的喝咖啡理念的话，星巴克可能早就失败了。
早在1982年，舒尔茨去意大利旅行，被米兰当地非常流行的浓咖啡所吸引。
他马上就在自己住的地方开了一家小咖啡店。
星巴克的飞速发展有目共睹，其成功的秘诀在于不断创新。
舒尔茨惊人的直觉一直伴随着星巴克的成长历程。
从他1971年在西雅图的派克市场（pike place）开的第一家咖啡店开始，星巴克现在已经有近8000家分店了。
舒尔茨让星巴克成为了继家和办公室之后，第三个最受喜爱的喝咖啡的地方。
实际上，很多人把星巴克当做自己的免费办公室，在那里约见客户、谈生意、与朋友聚会。
没有舒尔茨本人的直觉，星巴克永远不可能像今天这么成功。
这个故事真正告诉我们的是：不要仅仅依赖市场研究得来的信息，敏锐的直觉也是正确决策的关键。
知识层次我们非常喜欢约瑟夫?派恩二世（B.Joseph Pine Ⅱ）和詹姆斯?H.吉尔摩（James H.Gilmore）在《体验经济》（The Experience Economy）中所提到的那个商业模型。
他们说在质量和类型的基础上知识可以像金字塔一样被划分为五个层次：1．噪音：包括各种各样的信息和报告，有些对你是有用的，有些则没用。
2．数据：已经过好几层的筛选，其中有些信息是有用的，但还比较粗糙。
3．信息：一般是由一些数据以一个主题组合而成的。
4．知识：是由信息的组合构成来形成更深刻、更有意义的认识。
5．智慧：最高的级别，是由知识进一步被筛选加上经验和时间的磨炼而形成的。
概率不存在———菲尼蒂主观主义概率观探讨
概率不存在———菲尼蒂主观主义概率观探讨季爱民【摘要】菲尼蒂是主观主义概率观代表人物之一，他拒斥客观概率，坚信只有消除概率中的客观性，才能使这个概念真正清晰起来；他主张“超出个体则无概率”，强调概率只能是私人意义上的，认为脱离主观判断的概率不能独立存在。
菲尼蒂主观主义概率观有一定的合理性：菲尼蒂之所以将概率本身与概率的计算区分开来，是因为虽然一个用来计算概率的数学系统适合所有的人，是客观的，但是概率本身，即对事件发生可能性的部分信念则取决于个体当前的背景知识，有着个体的认知成分；进一步看，就是一个用来计算概率的数学系统也总是反映了个体的知识。
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（哲学社会科学版）》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】5页(P603-607)【关键词】菲尼蒂;主观主义概率观;合理性【作者】季爱民【作者单位】安徽师范大学政法学院, 安徽芜湖 241000【正文语种】中文【中图分类】B81在概率理论发展的历史中，关于概率的看法基本可以分为两大类：一类是把概率看做事件的一个客观属性，或者说客观偶然性；另一类则是将概率视为人们主观的相信程度，或者说赌商。
哈金(Ian Hacking)将之称为概率的二重性，即“一种是统计的，和偶然过程的随机规律有关。
另一种是认识论的，用在缺乏统计背景的情形下，对命题估计的合理相信程度”[1]。
学者对此的看法并不一致，有的拒绝客观偶然性的存在，有的拒绝在主观意义上使用概率概念，也有的对这两种意义上的概率都能接受。
菲尼蒂(Bruno de Finetti)则属于典型的主观主义概率论者，他明确主张谈论客观概率没有任何意义，他的目标就是彻底否认概率的客观性，构建起主观主义的概率论，并且他很庆幸自己提出的观点被看做主观主义解答的极端。
首先，菲尼蒂将概率看做个体主观意义上的赌商。
进而，他指出这个赌商只受唯一的一贯性条件的制约，即只要赌商符合一贯性条件就是合理的。
但当时没有人把这当回事儿,因为在生存的重大问题面前,顾不上考虑这些小概率的危
但当时没有人把这当回事儿介绍在生存的重大问题面前，人们常常忽视了一些可能发生的小概率事件。
因为这些事件的发生概率较低，人们往往不愿花费过多时间和精力去考虑和防范。
然而，这种忽视往往带来了严重的后果。
本文将探讨人们在面对生存问题时忽视危险的原因，以及应如何正视和防范这些小概率事件。
为什么人们忽视小概率事件1. 平衡效应人们往往在决策时倾向于追求最大化的效益，而小概率事件的发生概率本身就很低，对生存问题的影响也较为微小。
因此，人们往往将更多的注意力放在那些更为紧迫和重要的问题上，忽视了小概率事件的存在。
2. 心理适应人类的心理有一种自我保护机制，即对不愉快的事情产生心理适应，尽量减少对这些事情的关注。
小概率事件通常具有不确定性和不可预测性，人们往往会将这些事件排除在意识之外，以减少对不确定性的恐惧和焦虑感。
3. 资源分配人们在生存中需要面对各种问题和危险，在有限的资源下，需要进行分配。
面对小概率事件，人们往往选择将有限的资源用于那些更为紧迫和常见的问题上，忽视了小概率事件的存在。
如何正视和防范小概率事件1. 重视风险教育教育是提高人们对小概率事件认知的重要途径。
通过增加风险教育的内容，让人们了解到小概率事件的可能性和潜在危害，提高人们对小概率事件的重视程度。
2. 提高风险意识逐步提高人们对生存问题的风险意识，让人们认识到小概率事件的存在和可能性。
通过教育、宣传等方式，提高公众对小概率事件的认知和警惕性。
3. 加强预防措施针对小概率事件，采取相应的预防措施是非常必要的。
通过制定相关政策和法规，引导企业和个人采取预防措施，减少小概率事件的发生。
4. 加强科研和技术支持科学研究和技术发展可以提供更多的手段和方法来应对小概率事件。
加强科研投入，提高预警和监测能力，为应对小概率事件提供更强有力的支持。
结论虽然小概率事件的发生概率较低，但却有可能对人们的生存造成严重的影响。
因此，我们不能忽视这些事件的存在，应该提高对小概率事件的认知和警惕性，加强预防措施，并借助科研和技术的支持来更好地应对这些小概率事件。
直觉为什么我们无从推理却能决策读书笔记读书摘录读书感想读书笔记
直觉为什么我们无从推理却能决策第一部分无意识的智慧心灵有自己的逻辑，理性对此一无所知。
我们以为智慧是一种按照逻辑规律运行且有意识的活动。
然而，我们的大多数精神生活都是无意识的，而且往往背离了逻辑，比如第六感和直觉。
直觉，意指思维如何凭借无意识、经验法则和进化的能力去适应，去绕开弯路。
如果你心有疑惑，不妨在一页纸上分两栏写下支持或反对这项事情的理由，先思考几天，然后像解决某些代数问题一样进行运算，看看这两栏上的哪些原因或动机是同等重要的，如果两栏支持或反对的理由恰好各擅胜场，就把这两项一起删除，以此类推，当你把两栏中同等重要的理由都找出来，并抵消删除，你就会发现哪一栏更具优势……我遇到重要却没有把握的问题时，经常使用这种资产负债表法，尽管从数学层面上讲，它不是非常精确，可在我看来，这种方法确实很有用。
顺便说一下，你要是学不会这种方法，我很担心你永远结不了婚。
有意识的理性思维似乎会让我们作出不太满意的决定，就好比我们有意去想如何骑自行车和如何自然地微笑，其效果往往不及我们无意识行为的效果。
那些在买东西或看电视时精挑细选的人叫做“完美者”，因为他们力求找到最好的。
而那些在小范围内选择，很快作出选择并对自己的选择表示满意或认为“这个选择还不错”的人就叫做“满意者”。
据调查，“满意者”们更为乐观、自尊心更强、对生活的满意度也更高，而“完美者”则更忧愁、更完美主义、更容易后悔和自责。
如果你知道其中一个城市的名字，不知道另一个城市的名字，那么，你就会推断前者的人口更多。
再认启发法不仅在解决这个问题上有用，人们在购买某种产品时也会依靠它，他们会选择自己知道的品牌。
一个人把球抛到高空中，再接住它，仿似他是通过一系列微分方程算出了球的轨迹，他可能根本不知道或不在意什么是微分方程，可这并不影响他的球技。
潜意识里的某些功能替你做了数学运算。
注视的角度。
需要注意的是，注视启发法不能计算出球的落地点，可它能将球员引向落地点。
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不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论
对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。
虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。
要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。
我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。
贝特朗奇论
在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？
这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。
我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！
1.将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。
可以在图一中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为1/3。
2.根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关。
从图二可以看出，当弦心距小于1/2时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为1/2。
3.再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半径为1/2的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的
1/4，所以所求概率也是1/4。
你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？
其实这三种说法都是正确的。
但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。
在第一种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的”；在第二种方法中，我们默认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”。
这三种假设对应着三种不同的求解方法。
需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。
不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。
如此一来，一问三解就不足为怪了。
上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。
也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。
本福特法则
据说，1881年天文学家西蒙•纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。
这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。
所谓本福特法则，是指在一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，是人们通常期望值1/9的3倍，它的确切值等于lg2，而越大的数字，以它为首位的数出现的机率就越低。
更一般地，我们能够说明在r进制中，以n开头的数字出现的概率是log r (n+1)- log r (n)。
根据这个公式，可以制作出十进制下数字1~9开头的概率表：
这个神奇的法则几乎完全违背了人们的直觉：哪个数字开头的概率不应该是一样的嘛！
维基百科上对此有个简单的解释：就数数而言，从1开始，历经1,2,3,...,9，到这点终结的话，以哪个数起首的几率是相同的，但9之后是10至19，到这里以1起首的数出现的几率又大大高于了其他的数。
而在下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。
如果这种数法一旦有个终结点，以1起首的数的出现率一般都会比9大。
也就是说，我们平时认为的“以1开头和以9开头的数字一样多”这种情况，实际只有在[1,999]此类区间里才会出现。
任意给一个区间，由于样本的不完整性，基本不可能出现这种情况。
从这里也可以看出，要想使得本福特法则生效，便不能对数字的区间范围进行明确的规定。
说到这里，大家自然会进而关心本福特法则在实际生活中的应用。
我们可以在这个页面下方列出的表格中看到，不论是各国人口数量还是门牌号码都基本服从本福特法则，而且这些统计得到的结果和理论预测值的误差也很小。
从而这些生活中的实例也说明了以1开头的数字确实是最多的，死理性派对此曾有过详细的介绍。
这个法则最经典和广泛的应用是验证统计数据真伪。
如果一个包含了几千个数字的样本居然完全不服从本福特法则，那么你可要小心了，这个样本很有可能是伪造的。
而除此之外，本福特法则在会计、股票甚至是选举领域也有着重要的应用。
友谊悖论
你是广交朋友的闪亮交际明星还是人际贫瘠的宅男？也许这个问题刺痛了许多不善交际的技术男的心：总能看到某个朋友每天应酬繁多、应接不暇，而自己的手机却常年不响一声。
实际上几乎每个人都会觉得朋友的朋友总是比自己的多。
换句话说就是自己的朋友数，几乎总是小于自己所有朋友的朋友数的平均值。
这个结论看上去很违背直觉：如果我是某个人的朋友，那个人必然也会是我的朋友，友谊是双向的，所以我们会经验的认为整个数据是平均分布的，任何人的朋友数和他的朋友比起来应当差不多。
怎么可能他们的平均朋友数会比我们自己的多呢？然而这却是事实，或者唯一的安慰是一切与你无关，这不过是一个不寻常的统计学案例。
我们不妨看看下面的这个例子。
上图是八个女孩之间的朋友关系图，其中标注了每个人的名字、朋友数和她的朋友的平均朋友数（括号内的数字）。
可以发现，只有Sue和Alice两个人的朋友数比她们朋友的平均朋友数要多。
如果对所有括号里的数求均数，得到的结果约为2.98；但是这八个人的平均朋友数是2.5（10条关系线×2，除以人数8）。
群体中所有人朋友的朋友平均数大于群体所有人的朋友平均数，这是为什么呢？
其实这个看起来有些不可思议的结论可以这样解释：有一百个人，他们都能有一个拥有一百个朋友的朋友，但是只有一个人，能有一个只有一个朋友的朋友。
这句话算不上严谨，而且很绕口，但是实际上它传达了这样的意思：在计算“朋友的朋友”这个过程中，一个人拥有越多朋友则越容易被重复计算进来。
比如在上图中，Sue有四个朋友，那么“Sue拥有四个朋友”这个条件在Sue的四个朋友分别计算自己的“朋友的朋友数”时，就被重复使用了四次。
让我们来做一个简单的数学推理：设群体总人数为n，第i个人的朋友数为Fi，那么群体所有人的朋友均数就是( ∑ Fi )/n。
至于所有人“朋友的朋友”则一共有∑ Fi 个样本（把每个人的朋友列举一遍），又因为第i个人的朋友数会被重复计算Fi次，所以群体中所有人“朋友的朋友”的总数为∑ Fi 2。
于是其朋友的平均朋友数就是(∑ Fi 2)/( ∑ Fi )。
根据均值不等式的变形可知，( ∑ Fi 2)/( ∑
Fi )≥( ∑ Fi )/n。
如此一来我们就证明了在朋友圈里，朋友的平均朋友数不小于每个人的朋友均数。
更精确地描述就是：
朋友的朋友均数=朋友均数+朋友数方差/朋友均数
当然，大家即便知道了这个事实也请不要灰心，你的朋友看起来总是拥有比你更多的朋友，其实只是某几个人际交往明星从中作梗，让你产生了这种错觉而已。