不要相信直觉那些概率统计的奇妙结论

不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论

对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。

贝特朗奇论

在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？

这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！

1.将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。可以在图一中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为1/3。

2.根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关。从图二可以看出，当弦心距小于1/2时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为1/2。

3.再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半径为1/2的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的

1/4，所以所求概率也是1/4。

你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？

其实这三种说法都是正确的。但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。在第一种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的”；在第二种方法中，我们默认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”。这三种假设对应着三种不同的求解方法。

需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。如此一来，一问三解就不足为怪了。

上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。

本福特法则

据说，1881年天文学家西蒙•纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。

所谓本福特法则，是指在一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，是人们通常期望值1/9的3倍，它的确切值等于lg2，而越大的数字，以它为首位的数出现的机率就越低。更一般地，我们能够说明在r进制中，以n开头的数字出现的概率是log r (n+1)- log r (n)。根据这个公式，可以制作出十进制下数字1~9开头的概率表：

这个神奇的法则几乎完全违背了人们的直觉：哪个数字开头的概率不应该是一样的嘛！

维基百科上对此有个简单的解释：就数数而言，从1开始，历经1,2,3,...,9，到这点终结的话，以哪个数起首的几率是相同的，但9之后是10至19，到这里以1起首的数出现的几率又大大高于了其他的数。而在下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。如果这种数法一旦有个终结点，以1起首的数的出现率一般都会比9大。

也就是说，我们平时认为的“以1开头和以9开头的数字一样多”这种情况，实际只有在[1,999]此类区间里才会出现。任意给一个区间，由于样本的不完整性，基本不可能出现这种情况。从这里也可以看出，要想使得本福特法则生效，便不能对数字的区间范围进行明确的规定。

说到这里，大家自然会进而关心本福特法则在实际生活中的应用。我们可以在这个页面下方列出的表格中看到，不论是各国人口数量还是门牌号码都基本服从本福特法则，而且这些统计得到的结果和理论预测值的误差也很小。从而这些生活中的实例也说明了以1开头的数字确实是最多的，死理性派对此曾有过详细的介绍。

这个法则最经典和广泛的应用是验证统计数据真伪。如果一个包含了几千个数字的样本居然完全不服从本福特法则，那么你可要小心了，这个样本很有可能是伪造的。而除此之外，本福特法则在会计、股票甚至是选举领域也有着重要的应用。

友谊悖论

你是广交朋友的闪亮交际明星还是人际贫瘠的宅男？也许这个问题刺痛了许多不善交际的技术男的心：总能看到某个朋友每天应酬繁多、应接不暇，而自己的手机却常年不响一声。

实际上几乎每个人都会觉得朋友的朋友总是比自己的多。换句话说就是自己的朋友数，几乎总是小于自己所有朋友的朋友数的平均值。

这个结论看上去很违背直觉：如果我是某个人的朋友，那个人必然也会是我的朋友，友谊是双向的，所以我们会经验的认为整个数据是平均分布的，任何人的朋友数和他的朋友比起来应当差不多。怎么可能他们的平均朋友数会比我们自己的多呢？然而这却是事实，或者唯一的安慰是一切与你无关，这不过是一个不寻常的统计学案例。

我们不妨看看下面的这个例子。

上图是八个女孩之间的朋友关系图，其中标注了每个人的名字、朋友数和她的朋友的平均朋友数（括号内的数字）。可以发现，只有Sue和Alice两个人的朋友数比她们朋友的平均朋友数要多。如果对所有括号里的数求均数，得到的结果约为2.98；但是这八个人的平均朋友数是2.5（10条关系线×2，除以人数8）。群体中所有人朋友的朋友平均数大于群体所有人的朋友平均数，这是为什么呢？

其实这个看起来有些不可思议的结论可以这样解释：有一百个人，他们都能有一个拥有一百个朋友的朋友，但是只有一个人，能有一个只有一个朋友的朋友。这句话算不上严谨，而且很绕口，但是实际上它传达了这样的意思：在计算“朋友的朋友”这个过程中，一个人拥有越多朋友则越容易被重复计算进来。比如在上图中，Sue有四个朋友，那么“Sue拥有四个朋友”这个条件在Sue的四个朋友分别计算自己的“朋友的朋友数”时，就被重复使用了四次。

让我们来做一个简单的数学推理：设群体总人数为n，第i个人的朋友数为Fi，那么群体所有人的朋友均数就是( ∑ Fi )/n。至于所有人“朋友的朋友”则一共有∑ Fi 个样本（把每个人的朋友列举一遍），又因为第i个人的朋友数会被重复计算Fi次，所以群体中所有人“朋友的朋友”的总数为∑ Fi 2。于是其朋友的平均朋友数就是(∑ Fi 2)/( ∑ Fi )。根据均值不等式的变形可知，( ∑ Fi 2)/( ∑

Fi )≥( ∑ Fi )/n。如此一来我们就证明了在朋友圈里，朋友的平均朋友数不小于每个人的朋友均数。更精确地描述就是：

朋友的朋友均数=朋友均数+朋友数方差/朋友均数

当然，大家即便知道了这个事实也请不要灰心，你的朋友看起来总是拥有比你更多的朋友，其实只是某几个人际交往明星从中作梗，让你产生了这种错觉而已。