2018北京数学初三海淀 一模(有答案)
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
2018年中考数学试卷(有答案)
2018年中考数学试卷(有答案)2018年中考数学试卷（有答案）全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8个小题，每题只有一个正确的选项，每小题3分，满分24分）1.一元二次方程 x^2-4=0 的解是（）A。
x=2B。
x=-2C。
x1=2，x2=-2D。
x1=-2，x2=22.二次三项式 x^2-4x+3 配方的结果是（）A。
(x-2)^2+7B。
(x-2)^2-1C。
(x+2)^2+7D。
(x+2)^2-13.XXX从上面观察下图所示的两个物体，看到的是（删除该段）4.人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（）A。
变小B。
变大C。
不变D。
以上都有可能5.函数 y=kx 的图象经过 (1,-1)，则函数 y=kx-2 的图象是（删除该段）6.在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3，则 sinA 的值是（）A。
5/4B。
4/5C。
3/5D。
4/37.下列性质中正方形具有而矩形没有的是（）A。
对角线互相平分B。
对角线相等C。
对角线互相垂直D。
四个角都是直角8.一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（删除该段）二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）9.计算tan60°=√3.10.已知函数 y=(m-1)x^(m-2) 是反比例函数，则 m 的值为3.11.若反比例函数 y=k/x^2 的图象经过点 (3,-4)，则此函数在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。
12.命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果两条直角边的平方和不等于斜边的平方，则三角形不是直角三角形”。
13.有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为 2，3，4，随意从每组中牌中抽取一张，数字和是 6 的概率是 1/9.14.依次连接矩形各边中点所得到的四边形是长方形。
15.如图，在△ABC中，BC=8 cm，AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则AC 的长等于 10 cm。
2018年北京市数学中考试卷及答案解析(精析版)
2018年北京中考试题解析版
数 学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1. （2018北京，1，4分）－9的相反数是 （ ） A. 19- B. 19
C. 9-
D. 9 【答案】D
2. （2018北京，2，4分）首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2018年6月1日闭幕，本届京交会
期间签订的项目成交金额达60 110 000 000美元.将60 110 000 000用科学记数法表示应为 （ ）
A 96.01110⨯. B. 960.1110⨯ C. 106.01110⨯ D.11
0.601110⨯
【答案】C
3. （2018北京，3，4分）正十边形的每个外角等于（ ）
A. 18°
B.36°
C. 45°
D. 60°
【答案】B
4. （2018北京，4，4分）右图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 长方体
B. 正方体
C.圆柱
D.三棱柱
【答案】D
5. （2018北京，5，4分）班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英
等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
【答案】B
6. （2018北京，6，4分）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD=76°，则∠BOM 等于（ ）。
2018年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．22．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．104．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．11．（5分）直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）若a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．既是第i行中的最大值，也是第j列中的最若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i为数表A的一个“N﹣值”，，j对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，则a可以是（）A．﹣1B．0C．l D．2【解答】解：∵集合A＝{0，a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，且A⊆B，∴﹣1＜a＜2，∴a可以是1．故选：C．2．（5分）已知向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则+2＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（1，2）D．（1，4）【解答】解：根据题意，向量＝（l，2），＝（﹣1，0），则2＝（﹣2，0）则+2＝（﹣1，2）；故选：A．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．8D．10【解答】解：当k＝0时，满足继续循环的条件，则S＝0，k＝1；当k＝1时，满足继续循环的条件，则S＝2，k＝2；当k＝2时，满足继续循环的条件，则S＝10，k＝3；当k＝3时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝10，故选：D．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P（x，y）为M中任意一点，则y﹣x的最大值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（4，2），D（0，2）；设z＝y﹣x；平移目标函数z＝y﹣x，当目标函数过点D时，y﹣x取得最大值为2﹣0＝2．故选：B．5．（5分）已知a，b为正实数，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由lga+lgb＞0得lgab＞0，即ab＞1，当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，当a＝4，b＝，满足ab＞1，但b＞1不成立，则“a＞1，b＞1”是“lga+lgb＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A．1B．C．D．【解答】解：由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和，其面积为1×＝；∴S的取值范围是[1，]；又＜，∴不可能的是选项D．故选：D．7．（5分）下列函数f（x）中，其图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（）A．f（x）＝x3B．C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝ln（x+1）【解答】解：函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①、②或④的区域，在A中，f（x）＝x3的图象位于③，④的部分区域，故A错误；在B中，f（x）＝的图象位于②③的部分区域，故B错误；在C中，f（x）＝e x﹣1的图象位于①②③④的部分区域，故C错误；在D中，f（x）＝ln（x+1）的图象位于②的区域，故D正确．故选：D．8．（5分）已知点M在圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1上，则下列说法错误的是（）A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数λ的取值范围为【解答】解：∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM＝+1，ON＝+1时，取得最小值（+1）2cosπ＝﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴||2＝2cosαcosβ+2sinαsinβ+2＝2cos（α﹣β）+2，∴0≤||≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|＝2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤||≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数＝1+i．【解答】解：＝＝i+1．故答案为：1+i．10．（5分）已知点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则C的离心率为．【解答】解：根据题意，点（2，0）是双曲线C：的一个顶点，则a＝2，双曲线的方程为，则b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．11．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y＝0，曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2＝1，联立，得或．∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若c＝2，，，则sin C＝，cos2C＝．【解答】解：△ABC中，若c＝2，，，利用正弦定理：，则：，所以：cos2C＝1﹣2sin2C＝1﹣＝．故答案为：．13．（5分）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有48种不同的站队方法．【解答】解：有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有＝24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：＝48种，故答案为：48．14．（5分）设函数．①若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣，]；②若a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＞﹣3的x的取值范围是（﹣1，+∞）．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0，x＝﹣，符合题意；若a＜0，x＝0符合题意；若x＝﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；若a＞0，则x＝0和x＝﹣符合题意，可得a≤，综上可得，a的范围是（﹣，]；②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，f（x）的导数为3x2﹣3＞0，可得f（x）＜f（﹣2）＝﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9＝﹣18，即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，化为x3﹣3x2+x+5＞0，由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，可得g（x）＝x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）＝3x2﹣6x+1＞0，即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，且a3﹣3a2+a+5，而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣，]，（﹣1，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知．（I ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）直接将x ＝带入，可得：＝＝2．（Ⅱ）由＝因为函数y＝sin x 的单调递增区间为（k∈Z），令（k∈Z），解得（k∈Z），故f（x ）的单调递增区间为（k∈Z）．16．（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J＝﹣些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度（I ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求X 的分布列； （Ⅲ）若a +b ＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求M 的最大值和最小值．（只需写出结论） 【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播． 用A i 表示事件抽取的月份为第i 月，则Ω＝{A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，A 9，A 10，A 11，A 12}共12个基本事件， A ＝{A 2，A 6，A 8，A 9，A 10，A 11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．（4分）（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2．，，随机变量X的分布列为：（Ⅲ）a+b＝108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．（13分）17．（14分）已知三棱锥P﹣ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（I）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点M在棱PC上，满足，，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求的取值范围．【解答】（本题满分14分）证明：（Ⅰ）证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为P A＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO所以△POA≌△POB≌△POC所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°所以PO⊥OB因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△P AC中，P A＝PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA＝OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△P AB中，P A＝PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ＝Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC（4分）所以平面P AC⊥平面ABC解：（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（﹣1，0，0），P（0，0，1）由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为由，设平面PBC的法向量为，则由得：令x＝1，得y＝1，z＝1，即由二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为（9分）（Ⅲ）设，0≤μ≤1，，，令得（1﹣λ）•1+（﹣1）•（1﹣μ）+λ•μ＝0即，μ是关于λ的单调递增函数，当时，，所以．（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝．（I）当a＝0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的最大值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，，故，令f'（x）＞0，得0＜x＜e；故f（x）的单调递增区间为（0，e）（4分）（Ⅱ）方法1：令则由，故存在，g（x0）＝0故当x∈（0，x0）时，g（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0故故，解得（13分）故a的值为e2．（Ⅱ）方法2：f（x）的最大值为的充要条件为：对任意的x∈（0，+∞），且存在x0∈（0，+∞），使得，等价于对任意的x∈（0，+∞），a≥e2lnx﹣x且存在x0∈（0，+∞），使得a≥e2lnx0﹣x0，等价于g（x）＝e2lnx﹣x的最大值为a．∵，令g'（x）＝0，得x＝e2．x，g′（x），g（x）的变化如下：故g（x）的最大值为g（e2）＝e2lne2﹣e2＝e2，即a＝e2．（13分）19．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：，，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2，﹣1），直线l的方程为，即．联立方程，得x2﹣4x+4＝0，此时，直线l与椭圆C相切，不合题意．故直线TP和TQ的斜率存在．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线，直线故，由直线，设直线（t≠0）联立方程，当△＞0时，x1+x2＝﹣2t，，|OM|+|ON|＝＝＝＝＝4．20．（13分）设A＝（a i，j）n×n＝是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i，j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N﹣数表”a i，j为数表A的一个“N﹣值”，对任意给定的n，所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn．（1）判断下列数表是否是“N﹣（2）数表”．若是，写出它的一个“N﹣（3）值”；，；（Ⅱ）求证：若数表A是“N﹣数表”，则A的“N﹣值”是唯一的；（Ⅲ）在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N﹣值”为X，求X的数学期望E（X）．【解答】（本题满分13分）解：（Ⅰ）A是“N﹣数表”，其“N﹣值”为3，B不是“N﹣数表”．（3分）证明：（Ⅱ）假设a i，j 和a i'，j'均是数表A的“N﹣值”，①若i＝i'，则a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＝a i'，j'；②若j＝j'，则a i，j＝min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'；③若i≠i'，j≠j'，则一方面a i，j＝max{a i，1，a i，2，…，a i，n}＞a i，j'＞min{a1，j'，a2，j'，…，a n，j'}＝a i'，j'，另一方面a i'，j'＝max{a i'，1，a i'，2，…，a i'，n}＞a i'，j＞min{a1，j，a2，j，…，a n，j}＝a i，j；矛盾．即若数表A是“N﹣数表”，则其“N﹣值”是唯一的．（8分）解：（Ⅲ）解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19．定义数表B＝（b j，i ）19×19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即b j，i ＝a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意，得：①数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素③数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素④若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值．定义数表C＝（c j，i ）19×19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即c j，i ＝362﹣b j，i（其中1≤i≤19，1≤j≤19）由题意得：①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B中，b j，i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A＝（a i，j ）19×19①数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A中，a i，j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，c j，i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值即对任意的A∈Ω19，其“N﹣值”为a i，j（其中1≤i≤19，1≤j≤19），则C∈Ω19，且其“N﹣值”为c j，i ＝362﹣b j，i＝362﹣a i，j．记C＝T（A），则T（C）＝A，即数表A与数表C＝T（A）的“N﹣值”之和为362，故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N﹣值”之和为362，故X的数学期望E（X）＝181．（13分）解法2：X所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X＝k的数表A的个数记作n k，k＝19，20，21，…，341，342，343，则．则，则，故，E（X）＝181．（13分）。
北京各区初中一模数学分类汇编27题及答案
2018北京各区初中一模数学分类汇编27题及答案 平谷27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．西城27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM图1BB 图2延庆27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．海淀27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=.（1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M ，使得DMME的值不变？并证明你的判断.图1备用图FDEC BA FDEC BA大兴27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．怀柔27.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC.(1)依题意补全图形；(2)求∠ECD的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．顺义27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．门头沟27.如图，在△ABC中，AB=AC，2Aα∠=，点D是BC的中点，DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点.（1）EDB∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转1802α︒-，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN、与BC之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.FE丰台27．如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N .（1）依题意补全图形； （2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数； （3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE东城27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ． （1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．房山27. 如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，点D 为边BC 上的点，连接AD ，∠BAD =α，点D 关于AB 的对称点为E ，点E 关于AC 的对称点为G ，线段EG 交AB 于点F ，连接AE ，DE ，DG ，AG . （1）依题意补全图形；（2）求∠AGE 的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG 与EF ，AF 之间的数量关系，并说明理由.燕山28．在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°,CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E , 连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）．（1）如果∠A =30°①如图1，∠DCB =°②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ,连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；( 2 )如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A =α （0°<α<90°） ，连结DP , 将线段DP 绕点逆时针旋转 α2得到线段DF ,连结BF , 请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明）．αD CB A平谷27．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ················· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ． ∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ······· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ························ 6 （3）tan 2DF αAE =． (7)西城27. （1）①补全的图形如图所示：NEMABDC②2NCE BAM ∠=∠．BB（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQM ABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=+延庆27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ， ∴∠FBC +∠E =90°．图1FDEC BA∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）① ……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ．证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，∴四边形CGFM 是平行四边形， ∴CG =MF ．∴BF =DF +CG ． ……7分海淀27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F .∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=，∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=.…1分 ∵DP PE =,6DP PE +=,∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==……3分 （2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：…………4分当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.GFDECBA∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPM DPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △.∴MK MD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵23,60MO MOL =∠=，∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ，∴四边形MNEL 为矩形.∴3EN ML ==. ∵6EK PE PK PE PD =+=+=,∴EN NK =.∵MN ⊥EK ,∴MK ME =.∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ………………7分 大兴27.（1）证明 :∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°.∵∠GFB =∠CFA . ………………………………………………1分 ∴ ∠ABG =∠ACF . ………………………………………………2分（2）CG =2AG +BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GH =2AG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH =2AG +BG . ………………………………………7分NMD KOBA PB怀柔27. (1)如图 …………………………………………………………………………………………1分 (2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°.∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC,∴△ABD ≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分(3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt △ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt △AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分顺义27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分 （2）证明∵正方形ABCD ， ∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°， ∴∠PAH =45°-∠BAE ． ∵FH ⊥AE ．∴∠APF =45°+∠BAE ． ∵BF=BE ，∴AF=AE ，∠BAF =∠BAE ． ∴∠FAC =45°+∠BAF ．∴∠FAC =∠APF ．…………………………… 4分（3）判断：FM =PN ． …………………………………… 5分 证明：过B 作BQ ∥MN 交CD 于点Q ，∴MN =BQ ，BQ ⊥AE ．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．……………………………………………………………8分门头沟27．（本小题满分7分）（1）EDBα∠=……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DM DN=…………………………………3分∵,AB AC BD DC==∴DA平分BAC∠∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分丰台27．解：（1）如图；…………………1分（2）45°；…………………2分（3）结论：AMCN．…………………3分证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=α．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．B87654321GNMCEB ∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ， ∴∠G =90°=∠8．∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ， ∠7=∠6， BC =CA ，BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt △AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM 2．∴AM 2． …………………7分东城27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+=； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7房山27. 解（1）G………………………………………………1分（2）由轴对称性可知，AB 为ED 的垂直平分线，AC 为EG 的垂直平分线.∴AE =AG =AD .∴∠AEG =∠AGE ，∠BAE =∠BAD =α ∴∠EAC =∠BAC +∠BAE =30°+α ∴∠EAG =2∠EAC =60°+2α∴∠AGE =12(180°－∠EAG ) =60°－α………………………………………………3分或：∠AGE =∠AEG =90°－∠EAC =90°－（∠BAC +∠EAB ）=90°－（30°+α）=60°－α……………………………………………………………………3分（3）EG =2EF +AF ……………………………………………………………………………4分 法1：设AC 交EG 于点H ∵∠BAC =30°，∠AHF =90°∴FH =12AF …………………………5分∴EH =EF +FH =EF +12AF …………6分又∵点E ，G 关于AC 对称 ∴EG =2EH∴EG =2(EF +12AF )=2EF +AF ………………………………………………………7分法2：在FG 上截取NG =EF ，连接AN. 又∵AE =AG ， ∴∠AEG =∠AGE ∴△AEF ≌△AGNH∴AF=AN∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α∴∠AFN=60°…………………………………………………………………………6分∴△AFN为等边三角形∴AF=FN∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF…………………………………………………………7分燕山28.解：(1) ①∠DCB=60°…………………………………1′②补全图形CP=BF …………………………………3′△DCP≌△DBF …………………………………6′（2）BF-BP=2DE⋅tanα…………………………………8′。
北京市北京二中分校2018-2019年第一学期初三月考数学试卷(含答案)
北京市北京二中分校2018-2019年第一学期初三月考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．以下事件为必然事件的是（ ）A ．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B ．多边形的内角和是360°C ．二次函数的图象必过原点D ．半径为2的圆的周长是4π3．将二次函数y ＝x 2﹣6x +5用配方法化成y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式，下列结果中正确的是（ ） A ．y ＝（x ﹣6）2+5 B ．y ＝（x ﹣3）2+5C ．y ＝（x ﹣3）2﹣4D ．y ＝（x +3）2﹣94．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB ＝14，BC ＝7．则∠BDC 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝的图象时的两点，若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜0＜y 2B ．y 2＜0＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜07．网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（）A．1.65米B．1.75米C．1.85米D．1.95米8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（每小题2分，共16分）9．已知反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式．10．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π）11．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．12．若二次函数y＝x2﹣6x+m与x轴有两个不同交点，则m的取值范围是．13．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是．14．如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记＝k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k＝．15．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题17．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小欣的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线A P为所求根据小欣设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP⊥DE∴＝（）（填推理的依据），∴∠BAP＝（）（填推理的依据）．18．（6分）计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．19．（6分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为．21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象与直线y＝x+2交于点A（﹣3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（a，b）是直线y＝x上位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x+2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．①当a＝﹣1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出b的取值范围．22．（6分）如图所示是两张形状、大小相同但是画面不同的图片，把两张图片从中间剪断，再把四张形状相同的小图片（标注a、b、c、d）混合在一起，从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE＝∠C．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB＝AB，cos E＝，AE＝24，求EB的长及⊙O的半径．24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝﹣x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y＝﹣x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值，求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ． （5）根据函数图象估算方程﹣x ＝2的根为 ．（精确到0.1）25．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），且顶点坐标为B （0，1）． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设F （t ，0）为x 轴正半轴上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线M 1． ①抛物线M 1的顶点B 1的坐标为 ；②当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．26．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ．在平面内任取一点D ，连结AD （AD ＜AB ），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连结DE ，CE ，BD ．（1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，补全图形，直接写出PB 的长．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y＝4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y＝﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．参考答案一、选择题1．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，是不可能事件，故此选项错误；B、多边形的内角和是（n﹣2）×180°，故此选项错误；C、二次函数的图象不一定过原点，故此选项错误；D、半径为2的圆的周长是4π，正确．故选：D．3．解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+9﹣4＝（x﹣3）2﹣4，故选：C．4．解：∵Rt△A BC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC，即＝，又∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠BCA＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝＝，故选：D．5．解：如图，连接OC．∵AB＝14，BC＝7，∴OB ＝OC ＝BC ＝7， ∴△OCB 是等边三角形， ∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝∠COB ＝30°， 故选：B ． 6．解：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y ＝的图象时的两点， ∴x 1y 1＝x 2y 2＝3， ∵x 1＜0＜x 2， ∴y 1＜0＜y 2， 故选：A ．7．解：由题意知AB ∥DE ，则△ABC ∽△EDC ，∴＝，即＝，解得：ED ＝1.95， 故选：D ．8．解：A 、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意； C 、当小红运动到点D 的时候，小兰还没有经过了点D ，故本选项不符合题意；D 、当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于⊙O 的半径，此时t ＝＝4.84，故本选项正确；故选：D ． 二、填空题9．解：∵反比例函数y ＝（k 是常数，且k ≠0）的图象在第二、四象限， ∴k ＜0，∴k 可取﹣1，此时反比例函数解析式为y ＝﹣．故答案为：y＝﹣．10．解：由S＝知S＝×π×32＝3πcm2．11．解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．12．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+m与x轴有两个不同交点，∴（﹣6）2﹣4×1×m＞0，解得，m＜9，故答案为：m＜9．13．解：由旋转的性质可知△ABC≌△CED∴AC＝CD，∠ECD＝∠ACB＝30°∴∠DAC＝∠ADC＝75°故答案为75°14．解：由题意得，∠B＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴h＝AC＝AB sin∠B＝a，∴k＝＝．故答案为：．15．解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线，当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4，∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，∴a≥1，故答案为：a≥116．解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1三、解答题（17-25每题6分，26-27每题7分17．解：（1）作图如下：（2）证明：作图依据是：从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，∴∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦从画法（3）可知半径OP垂直于弦DE，∵OPDE∴＝（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧），∴∠DAP＝∠CAP（等弧或同弧所对的圆周角相等），即∠BAP＝∠CAP，故AP是∠BAC的角平分线（角平分线的定义）．故答案为；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；∠CAP；等弧所对圆周角相等．18．解：原式＝﹣+2××1＝．19．证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．20．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．21．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象与直线y＝x+2交于点A（﹣3，m），∴m＝﹣3+2＝﹣1，即A（﹣3，﹣1），∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，则k的值是3，m的值是﹣1；（2）①当a＝﹣1时，∵点P（a，b）是直线y＝x上，∴P（﹣1，﹣1），令y＝﹣1，代入y＝x+2，x＝﹣3，∴M（﹣3，﹣1），即PM＝2，令x＝﹣1，代入y＝（x＜0），y＝﹣3，∴N（﹣1，﹣3），即PN＝2，∴PM＝PN；②当PN≥PM，结合函数的图象得：b的取值范围为﹣1≤b＜0或b≤﹣3．22．解：列表如下：所有等可能的情况有12种；其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝＝．23．（1）证明：连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°．∴∠1+∠D＝90°．∵∠C＝∠D，∠C＝∠BAE，∴∠D＝∠BAE．∴∠1+∠BAE＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD是⊙O的直径，∴直线AE是⊙O的切线．（2）解：过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE＝90°．∵EB＝AB，∴∠E＝∠BAE，EF＝AE＝×24＝12．∵∠BFE＝90°，，∴＝15．∴AB＝15．由（1）∠D＝∠BAE，又∠E＝∠BAE，∴∠D＝∠E．∵∠ABD＝90°，∴．设BD＝4k，则AD＝5k．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，由勾股定理得：AB ＝＝3k ，可求得k ＝5．∴AD ＝25． ∴⊙O 的半径为．24．解：（1）函数y ＝﹣x 的自变量x 的取值范围是：x ≠0，故答案为：x ≠0；（2）把x ＝4代入y ＝﹣x 得，y ＝﹣×4＝﹣，∴m ＝﹣，（3）如图所示，（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； 故答案为当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； （5）由图象，得x 1＝0.8，x 2＝﹣1.2，x 3＝﹣3.9．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝﹣1.2，x 3＝﹣3.9．25．解：（1）由抛物线M 的顶点坐标为B （0，1），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+1， 将A （﹣1，2）代入解析式，得a ×（﹣1）2+1＝0， 解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+1，（2）①由旋转的性质，得B 1（x ，y ）与B （0，1）关于F （t ，0）对称，＝t ，＝0，解得x ＝2t ，y ＝﹣1，B 1（2t ，﹣1）；故答案为：（2t ，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B 1（2t ，﹣1），二次项系数为1， ∴抛物线M 1的解析式为y ＝（x ﹣2t ）2﹣1 （t ＞0）， 当抛物线M 1经过A （﹣1，0），时（﹣1﹣t ）2﹣1＝0， 解得t 1＝﹣1，t 2＝0．当抛物线M 1经过B （0，1）时， （2t ）2﹣1＝1，解得t ＝，结合图象分析，∵t ＞0，∴当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围0＜t ≤．26．解：（1）如图1（2）BD 和CE 的数量是：BD ＝CE ； ∵∠DAB +∠BAE ＝∠CAE +∠BAE ＝90°， ∴∠DAB ＝∠CAE ， ∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．（3）结论：PB的长是或．理由：①由△ACE≌△ABD，可知：∠ACE＝∠ABD，∵∠AEC＝∠BEP，∴∠BPE＝∠EAC＝90°，∵∠PBE＝∠ABD，∴△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴BP＝．②由△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴PB＝．27．解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠ABC′＝120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y＝4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF＝3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF＝∠CD′F＝60°，∴DF＝FD′＝3•tan30°＝3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y＝x+，或y＝﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y＝﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b＝±2，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+2或y＝﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．。
2018北京中考真题数学含答案
2018北京中考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞03．（2分）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m25．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°6．（2分）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．47．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“＝”或“＜”）10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．11．（2分）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a ＜b ，则ac ＜bc ”是错误的，这组值可以是a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．12．（2分）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，＝，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝ ．13．（2分）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为 ．14．（2分）从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数线路30≤t ≤35 35＜t ≤40 40＜t ≤45 45＜t ≤50合计A59 151 166 124 500B50 50 122 278 500C45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90 100 130 150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝，CB＝，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5分）解不等式组：20．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8 m84.5B72.2 70 83根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．2018北京中考数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：x＝2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．【解答】解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当a﹣b＝2时，原式＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH•NP，＝PN，PN＝，Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF 是解题的关键．14．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9＝810元，当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90＝490元，当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3＝390元，当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90＝390元当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150＝380元∴租船费用为150×2+90＝390元，而810＞490＞390＞380，∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，故答案为：380．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4×+1﹣3+1＝﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD ＝AD＝AB是解本题的关键．22．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y＝x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）∵PA＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x＝y，即当PA＝PC或PA＝AC时，x＝3或4.91，当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×＝180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．28．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y＝kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）＝2；（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1知此时t＝﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T3M＝2，∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D＝＝＝2，∴t＝4﹣2，故此时0≤t≤4﹣2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T4N＝2，∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D＝＝＝2，∴t＝4+2；综上，t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．。
2017-2018学年北京市海淀区九年级上期中数学试题含答案
第 1 页 共 14 页初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．120第 1 页 共 14 页7．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．lllll。
北京专版中考数学一轮复习7.5代数压轴综合题试卷部分课件
解析 (1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4.
令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2,
∴B(2,0).
(2)当抛物线经过点(1,0)时,a=- 4 ,
3
当抛物线经过点(2,0)时,a=-1.
结合函数图象可知,a的取值范围为- 4 ≤a≤1.
3
10.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是 2. (1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式; (2)将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2, 图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将 这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.
∴3k b 0,
b
3,
解得 k 1 , ∴直线 b B C3 的, 表达式为y=-x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.
由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)关于直线x=2对称, ∴x2-2=2-x1, ∴x1+x2=4. 由x1<x2<x3,结合函数的图象,可得-1<y3<0, 即-1<-x3+3<0, 解得3<x3<4. ∴7<x1+x2+x3<8.
解题关键 解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时要借助抛物线的对 称性.
11.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2 (m3 ≠0)向右平 移 3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点. (1)直接写出点A的坐标; (2)过点(0, 3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点. ①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式; ②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.
2018年初三一模数学试卷及答案
2018年初三毕业考试数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．下列各式计算正确的是A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷= D ．235()a a =2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是12–1–2abA ．0a b +=B ．b a <C ．b a <D ．0ab > 3．下列几何体中，俯视．．．4．下列博物院的标识中不是．．轴对称图形的是5．如图，AD ∥BC ，AC 平分∠BAD ，若∠B ＝40°， 则∠C 的度数是A ．40°B ．65°C ．70°D ．80°ABCDA B C DA B C D D . D . C . D . C . B . A . D . C . B . 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点C ，B ，E 在y 轴上， Rt △ABC 经过变化得到Rt △EDO ，若点B 的坐标为(01)，， OD =2，则这种变化可以是A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度B ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度 C ．△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度D ．△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度7．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA 和折线BCD 分别表示两车离甲地的距离y （单位：千米）与时间x （单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是 A ．两车同时到达乙地B ．轿车在行驶过程中进行了提速C ．货车出发3小时后，轿车追上货车D ．两车在前80千米的速度相等8．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响 很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：① 当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822； ② 随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定 性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③ 由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809． 其中合理的是 A ．①B ．②C ．①③D ．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．对于函数6y x=，若2x >，则y 3（填“>”或“<”）． 10．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_______． 11．如果5x y +=，那么代数式221+y x x yx y ÷--()的值是_______．12．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦， 已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马 有x 匹，大马有y 匹，依题意，可列方程组为____________．13．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．14． 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点， DE ∥BC ．若6AD =，2BD =， 3DE =，则BC = ．15．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m 的点B 处，用高为0.8m 的测角仪测得筒仓顶点C 的仰角为63°，则筒仓CD 的高约为____________m ．（精确到0.1m ，sin 630.89≈°，cos630.45≈°，tan 63 1.96≈°）D 63°C B A 第13题图 第14题图CDEA O BD E BC16．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角 板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图， （1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =； （2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，交点为P ； （3）画射线OP ．则射线OP 为AOB ∠的平分线．请写出小林的画法的依据 ．三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：012sin 455(3---++°18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，．19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题． 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .OH G FE DCB A20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =； （2）若tan 3D =，求AB 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x=（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点(3,2)A a -． （1）求a ，b 的值；（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC 6≥， 求m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O的半径是D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．24．某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：成绩x70≤x≤74 75≤x≤79 80≤x≤84 85≤x≤89 90≤x≤94 95≤x≤100 学生甲乙 1 1 4 2 1 1 （2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学生极差平均数中位数众数方差甲83.7 86 13.21乙24 83.7 82 46.21 （3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选（填“甲”或“乙），理由为．25．如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的 动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60︒时，PM 的长度约为 cm .B26．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线21G y mx =+：0m ≠个单位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线3y x =+ 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．图1 备用图数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．<． 10．八． 11．5． 12．100,3100.3x yx y +=+=⎧⎪⎨⎪⎩13． 2． 14．4． 15． 40.0．16．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等．三、解答题（本题共68分，第17、18题，每小题5分；第19题4分；第20-23题，每 小题5分；第24、25题，每小题6分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分①②图120．解：（1）∵24b ac ∆=- 2(32)24m m =-+ 2(32)0m =+≥∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分（2）解方程，得： 12x m=,23x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数, ∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分 21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴CD ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分 22．解：（1）∵函数()0a y x x=>的图象过点()3,2A a -，∴23a a -=，解得3a =． ………………1分∵直线1l y x b =+：过点()3,1A ,∴2b =-． ………………2分 （2）设直线2y x =-与x 轴交于点D ，则(2,0)D ， 直线y x m =-+与x 轴交于点(,0)B m ， 与直线y x b =+交于点22(,)22m m C +-． ①当S △ABC =S △BCD +S △ABD =6时，如图1. 可得211(2)(2)1642m m -+-⨯=， 解得2m =-，8m =（舍）.②当S △ABC =S △BCD -S △ABD =6时，如图2. 可得211(2)(2)1642m m ---⨯=， 解得8m =，2m =-（舍）.综上所述，当8m ≥或2m -≤时，S △ABC 6≥. ………………5分 23．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径，∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°，∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O的半径是D 是OC 中点，∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3ODOH∠=，∴2OH =. ………………3分∴2HE =. 在Rt FEH ∆中，tan EH F EF∠=. ………………4分∴6EF ==- ………………5分 24．解:（1） 0，1，4，5，0，0 ………………1分（2） 14，84.5，81 ………………4分 （3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定; 两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小. （写出其中一条即可）或：乙，理由：在90≤x ≤100的分数段中，乙的次数大于甲.………………6分 （答案不唯一，理由须支撑推断结论）25.解：（1）4； 0. ………………2分 （2）4分（3）1.1或3.7.………………6分26．解:（1）A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x=+，如图所示，由题意可得AD=-=∵=90BAC∠°，AB AC=，∴=45ABD∠︒.∴BD AD==∴点B的坐标为.∵点B在抛物线2G上，可得3m=-.∴抛物线2G的表达式为23y x=-+，即223y x=++………………… 5分②m<<-. ………………… 7分27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分C图1（2）①证明：连接∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分28．解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（，或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥． ………………… 8分。
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，则a可以是（）A.−1B.0C.1D.22. 已知向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则a→+2b→=()A.(−1, 2)B.(−1, 4)C.(1, 2)D.(1, 4)3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.6C.8D.104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P(x, y)为M中任意一点，则y−x的最大值为（）A.1B.2C.−1D.−25. 已知a，b为正实数，则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（）A.1B.65C.43D.327. 下列函数f(x)中，其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数是（ ）A.f(x)=x 3B.f(x)=√xC.f(x)=e x −1D.f(x)=ln(x +1)8. 已知点M 在圆C 1：(x −1)2+(y −1)2=1上，点N 在圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=1上，则下列说法错误的是（ ）A.OM →∗ON →的取值范围为[−3−2√2,0brackB.|OM →+ON →|取值范围为[0,2√2brackC.|OM →−ON →|的取值范围为[2√2−2,2√2+2brackD.若OM →=λON →，则实数λ的取值范围为[−3−2√2,−3+2√2brack二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．复数2i 1+i =________．已知点(2, 0)是双曲线C:x 2a 2−y 2=1的一个顶点，则C 的离心率为________．直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为________．在△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，则sinC =________，co s2C =________．一次数学会议中，有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有________种不同的站队方法．设函数f(x)={x,x ≥a x 3−3x,x <a． ①若f(x)有两个零点，则实数a 的取值范围是________；②若a ≤−2，则满足f(x)+f(x −1)>−3的x 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(I)求f(π6)的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=−些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度殖和传播的概率；(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）已知三棱锥P−ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−PC−B的余弦值；(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMCP=λ，λ∈[13,23]，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求BNBP的取值范围．已知函数f(x)=lnxx+a．(I)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的最大值为1e2，求a的值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且点T(2, 1)在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．(I)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．设A=(a i,j)n×n={a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮a n,1a n,2⋯a n,n}是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N∗．若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得a i,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N−数表”a i,j为数表A的一个“N−值”，对任意给定的n，所有“N−数表”构成的集合记作Ωn．判断下列数表是否是“N−(2)数表”．若是，写出它的一个“N−(3)值”；A={123456789}，B={147825693}；(Ⅱ)求证：若数表A是“N−数表”，则A的“N−值”是唯一的；(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N−值”为X，求X的数学期望E(X)．参考答案与试题解析2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，得到−1<a<2，由此能求出结果．【解答】∵集合A＝{0, a}，B＝{x|−1<x<2}，且A⊆B，∴−1<a<2，∴a可以是1．2.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式直接计算即可得答案．【解答】根据题意，向量a→=(l, 2)，b→=(−1, 0)，则2b→=(−2, 0)则a→+2b→=(−1, 2)；3.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当k=0时，满足继续循环的条件，则S=0，k=1；当k=1时，满足继续循环的条件，则S=2，k=2；当k=2时，满足继续循环的条件，则S=10，k=3；当k=3时，不满足继续循环的条件，故输出的S=10，4.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】根据题意写出A、B、C、D点的坐标，设z＝y−x，平移目标函数z，找最优解，求出z的最大值．【解答】根据题意知，A(−2, −1)，B(2, −1)，C(4, 2)，D(0, 2)；设z＝y−x；平移目标函数z＝y−x，当目标函数过点D时，y−x取得最大值为2−0＝（2）5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据对数的运算法则以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由lga+lgb>0得lgab>0，即ab>1，当a>1，b>1时，ab>1成立，当a=4，b=1，满足ab>1，但b>1不成立，2则“a>1，b>1”是“lga+lgb>0”的充分不必要条件，6.【答案】D【考点】平行投影及平行投影作图法【解析】由题意求得正方体在竖直墙面上投影面积的最小值和最大值即可．【解答】由题意知，棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形，且边长为1，其面积为1；最大值为矩形，且相邻的两边长为1和√2，其面积为1×√2=√2；∴S的取值范围是[1, √2]；又√2<3，2∴不可能的是选项D．7.【答案】D【考点】函数的求值【解析】函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，由此能求出结果．函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域，在A 中，f(x)=x 3的图象位于③，④的部分区域，故A 错误；在B 中，f(x)=√x 的图象位于②③的部分区域，故B 错误；在C 中，f(x)=e x −1的图象位于①②③④的部分区域，故C 错误；在D 中，f(x)=ln(x +1)的图象位于②的区域，故D 正确．8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的对称关系和OM ，ON 的范围进行判断．【解答】∵ M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴ ∠MON ≥90∘，∴ OM →∗ON →≤0，又OM ≤√2+1，ON ≤√2+1，∴ 当OM =√2+1，ON =√2+1时，OM →∗ON →取得最小值(√2+1)2cosπ=−3−2√2，故A 正确； 设M(1+cosα, 1+sinα)，N(−1+cosβ, −1+sinβ)，则OM →+ON →=(cosα+cosβ, sinα+sinβ)，∴ |OM →+ON →|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α−β)+2，∴ 0≤|OM →+ON →|≤2，故B 错误；∵ 两圆外离，半径均为1，|C 1C 2|=2√2，∴ 2√2−2≤|MN|≤2√2+2，即2√2−2≤|OM →−ON →|≤2√2+2，故C 正确； ∵ √2−1≤|OM|≤√2+1，√2−1≤|ON|≤√2+1，∴ 当OM →=λON →时，√2−1√2+1≤−λ≤√2+1√2−1，解得−3−2√2≤λ≤−3+2√2，故D 正确． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】1+i【考点】复数的运算【解析】利用复数的除法运算法则即可得出．【解答】2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i +1．√52【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的顶点坐标可得a 的值，结合b 的值计算可得c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，点(2, 0)是双曲线C:x 2a −y 2=1的一个顶点， 则a =2，双曲线的方程为x 2a 2−y 2=1，则b =1，则c =√a 2+b 2=√5，则双曲线的离心率e =c a =√52； 【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直线消去参数t ，得x −2y =0，曲线消去参数，得(x −2)2+y 2=1，联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1，能求出交点个数． 【解答】直线 {x =2t y =t（t 为参数）消去参数t ，得x −2y =0， 曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）消去参数，得(x −2)2+y 2=1， 联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1 ，得{x =2y =1 或{x =65y =35 ． ∴ 直线 {x =2t y =t （t 为参数）与曲线{x =2+cosθy =sinθ（θ为参数）的公共点个数为2． 【答案】 √3, 【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】△ABC 中，若c =2，a =√3，∠A =π6，利用正弦定理：a sinA =c sinC ，则：sinC =√33， 所以：cos2C =1−2sin 2C =1−23=13．【答案】48【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．【解答】有五位教师来自A ，B ，C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位． 现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A 学校和C 学校的三位老师，有A 22中排法，再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中，并对B 学校的两位老师进行排序，有A 42A22=24种排法，由乘法原理得不同的排列方法有：A 22∗A 42A22=48种，【答案】(−√3, √3],(−1, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】①讨论a =0，a >0，a <0，结合零点定义，解方程即可得到所求范围； ②若a ≤−2，讨论x <a ，x ≥a ，若x −1≥a ；a −1≤x −1<a ，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．【解答】①若a =0，则f(x)={x,x ≥0x 3−3x,x <0， 由f(x)=0，可得x =0，x =−√3，符合题意；若a <0，x =0符合题意；若x =−√3符合题意，则a >−√3，即为−√3<a <0；若a >0，则x =0和x =−√3符合题意，可得a ≤√3，综上可得，a 的范围是(−√3, √3]；②若x <a ≤−2，则x −1<a −1≤−3，f(x)的导数为3x 2−3>0，可得f(x)<f(−2)=−2，f(x −1)<−27+9=−18，即有f(x)+f(x −1)<−30，不符题意；则x ≥a ，若x −1≥a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +x −1>−3，解得x >−1；若a −1≤x −1<a ，f(x)+f(x −1)>−3，即为x +(x −1)3−3(x −1)>−3，化为x 3−3x 2+x +5>0，由于a ≤−2，且a ≤x <a +1，可得g(x)=x 3−3x 2+x +5的导数g′(x)=3x 2−6x +1>0，即g(x)在[a, a +1)递增，g(a)取得最小值，且为a 3−3a 2+a +5，且a3−3a2+a+5，而在a≤−2时，a3−3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．综上可得a的范围是(−1, +∞)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】（I）直接将x=π6带入计算即可．(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简，即可求f(x)的单调递增区间．【解答】(Ⅰ)直接将x=π6带入，可得：f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2．(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z)，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z)．【答案】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，X所有可能的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，由此能求出M的最大值，最小值．【解答】（本题满分1(Ⅰ)设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播．用A i表示事件抽取的月份为第i月，则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件，A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件，所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12．(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2．P(X=0)=C42C62=615=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为：(Ⅲ)a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，则M的最大值为58%，最小值为54%．【答案】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为在△OAB中，OA=OB，Q为AB的中点所以OQ⊥AB．因为在△PAB中，PA=PB，Q为AB的中点所以PQ⊥AB．因为PQ∩OQ=Q，PQ，OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角， 所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数， 当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．推导出PO⊥AC，△POA≅△POB≅△POC，∠POA=∠POB=∠POC=90∘，进而PO⊥OB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．法三：设AC的中点为O，连接PO，推导出PO⊥AC，设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．推导出OQ⊥AB．PQ⊥AB．从而AB⊥平面OPQ，进而OP⊥AB，由此能证明PO⊥平面ABC，从而平面PAC⊥平面ABC．(Ⅱ)由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设BN→=μBP→，0≤μ≤1，利用向量法能求出BN的取值范围．BP【解答】（本题满分1证明：(Ⅰ)证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO．因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为PA=PB=PC，PO=PO=PO，AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在△PAC中，PA=PC，所以PO⊥AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB．因为 在△OAB 中，OA =OB ，Q 为AB 的中点 所以 OQ ⊥AB ．因为 在△PAB 中，PA =PB ，Q 为AB 的中点 所以 PQ ⊥AB ．因为 PQ ∩OQ =Q ，PQ ，OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ 因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP ⊥AB因为 AB ∩AC =A ，AB ，AC ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC 因为 PO ⊂平面PAC所以 平面PAC ⊥平面ABC（2）由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，如图建立空间直角坐标系，则 O(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A(−1, 0, 0)，P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0)，PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得：{x −y =0x −z =0 令x =1，得y =1，z =1，即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角，所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →，0≤μ≤1，BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ)，AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ)， 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0 即μ=λ1+λ=1−11+λ，μ是关于λ的单调递增函数，当λ∈[13,23]时，μ∈[14,25]， 所以BNBP ∈[14,25]．【答案】（1）当a =0时，f(x)=lnx x，故f ′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，令f ′(x)>0，得0<x <e ； 故f(x)的单调递增区间为(0, e) （2）方法1:f ′(x)=x+ax−lnx (x+a)2=1+a x−lnx (x+a)2令g(x)=1+ax −lnx 则g ′(x)=−ax −1x =−x+a x <0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae a+1−(1+a)=a ⋅(1e a+1−1)<0 故存在x 0∈(e,e a+1)，g(x 0)=0故当x ∈(0, x 0)时，g(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a =1e 2，解得{x 0=e 2a =e 2故a的值为e2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e2的充要条件为：对任意的x∈(0, +∞)，lnxx+a ≤1e2且存在x0∈(0, +∞)，使得lnx0x0+a=1e2，等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a．∵g′(x)=e2x−1，令g′(x)=0，得x=e2．x，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e2)=e2lne2−e2=e2，即a=e2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，令g(x)=1+ax−lnx，求出存在x0∈(e,e a+1)，使得g(x0)=0，得到关于a，x0的方程组，解出即可；法二：分离参数a，问题等价于对任意的x∈(0, +∞)，a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞)，使得a≥e2lnx0−x0，等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a，求出g(x)的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】（1）当a=0时，f(x)=lnxx，故f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，令f′(x)>0，得0<x<e；故f(x)的单调递增区间为(0, e)（2）方法1:f′(x)=x+ax−lnx(x+a)2=1+ax−lnx(x+a)2令g(x)=1+ax−lnx则g′(x)=−ax2−1x=−x+ax2<0由g(e)=ae >0，g(e a+1)=1+ae−(1+a)=a⋅(1e−1)<0故存在x0∈(e,e a+1)，g(x0)=0故当x∈(0, x0)时，g(x)>0；当x∈(x0, +∞)时，g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a=1e2，解得{x 0=e 2a =e 2 故a 的值为e 2．（2）方法2:f(x)的最大值为1e 2的充要条件为： 对任意的x ∈(0, +∞)，lnx x+a≤1e且存在x 0∈(0, +∞)，使得lnx 0x 0+a=1e 2， 等价于对任意的x ∈(0, +∞)，a ≥e 2lnx −x 且存在 x 0∈(0, +∞)，使得a ≥e 2lnx 0−x 0，等价于g(x)=e 2lnx −x 的最大值为a ． ∵ g ′(x)=e 2x−1，令g ′(x)=0，得x =e 2． x ，g′(x)，g(x)的变化如下：故g(x)的最大值为g(e 2)=e 2lne 2−e 2=e 2，即a =e 2．【答案】(Ⅰ)由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意． 故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质分析可得{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ，解可得a 、b 的值，将a 、b的值代入椭圆方程，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线l 与椭圆C 相切，不合题意，则直线TP 和TQ 的斜率存在，进而设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由此表示直线TP 或TQ 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示|OM|+|ON|的值，即可得答案． 【解答】(Ⅰ)由题意{4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32，解得：a =2√2，b =√2，c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ)根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2, −1)， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2． 联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ，得x 2−4x +4=0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在． 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ，设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时，x 1+x 2=−2t ，x 1∗x 2=2t 2−4， |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4．【答案】 （本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′； ③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19） 由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181． 【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，若i =i ′，则a i,j =a i ′,j ′；若j =j ′，则a i,j =a i ′,j ′；若i ≠i ′，j ≠j ′，一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ；矛盾．由此能证明数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19．定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19），则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值，由此能求出X 的数学期望E(X)． 法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．由此能求出E(X)．【解答】（本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”，其“N −值”为3，B 不是“N −数表”．证明：(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”，①若i =i ′，则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′；②若j =j ′，则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′；③若i ≠i ′，j ≠j ′，则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′，另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ； 矛盾．即若数表A 是“N −数表”，则其“N −值”是唯一的．(Ⅲ)解法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19． 定义数表B =(b j,i )19×19如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即b j,i =a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意，得：①数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素③数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值．定义数表C =(c j,i )19×19如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362， 即c j,i =362−b j,i （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）由题意得：①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表B 中，b j,i 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表②若数表A 中，a i,j 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，c j,i 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19，其“N −值”为a i,j （其中1≤i ≤19，1≤j ≤19）， 则C ∈Ω19，且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j ．记C =T(A)，则T(C)=A ，即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362， 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对，使得每对数表的“N −值”之和为362， 故X 的数学期望E(X)=181．解法2:X 所有可能的取值为19，20，21，…，341，342，343．记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ，k =19，20，21，…，341，342，343，则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack ．则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ，则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ，故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362，E(X)=181．。
2019年北京中考数学习题精选：实数的有关概念和性质
一、选择题1、（2018北京丰台区二模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a + b = 0，那么下列结论正确的是 （A ）>a c（B ）0a c +< （C ）0abc <（D ）0ab= 答案:C2、（2018北京海淀区二模）7．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b >，则下列结论中一定成立的是A.0b c +> B ．2a c +<- C.1ba< D. 0abc ≥ 答案：C3、(2018北京交大附中初一第一学期期末)1. 15-的倒数是( ) A ．15 B ．15- C ．5 D ．5-（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）1．18-的倒数是A ．18B ．8-C ．8D ．18-答案：B4、（2018北京平谷区初一第一学期期末）1．生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是+2.5 -0.6 +0.7 -3.5 A B C D答案B5、（2018北京延庆区初一第一学期期末）3．数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．同时，数轴也是我们研究相反数、绝abc对值的直观工具．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则a 的相反数是 A ．a B ．b C ．c D ．b -答案：C6、（2018北京延庆区初一第一学期期末）5． 若23(2)0m n ++-=，则m －n 的值为A ．1B ．－1C ．5D ．－5 答案：D7、（2018北京延庆区初一第一学期期末）7．计算23222333m n ⨯⨯⨯=+++个个……A ．23n mB ．23m nC ．32m nD ．23m n答案：B8、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）7．有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是A ．a b ＞B ．1a b＞C ．a b -＜D ．a b ＜答案：D9、(2018北京昌平区初一第一学期期末)1. -4的倒数是A. 41- B ．41C ．4D ．-4 答案：A10、(2018北京昌平区初一第一学期期末)4. 质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是 A ．-3 B ．-1 C ．2 D ．4 答案：B11、(2018北京昌平区初一第一学期期末)5. 有理数a ,b 在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是 A.4a <- B. 0a b +> C. a b > D. 0ab >123–1–2–3–4abx–4–3–2–11234ab答案：C12、（2018北京东城区初一第一学期期末）1. 在下面的四个有理数中，最小的是 A ．﹣1 B ．0 C ．1D ．﹣2答案：D13、（2018北京石景山区初一第一学期期末）4．有理数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正．．确．的结论是A ．1m >-B ．m n >-C ．0mn <D ．0m n +>答案：A14、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)2．如图，在不完整的数轴上有A ，B 两点，它们所表示的两个有理数互为．．相反．．数．，则关于原点位置的描述正确的是A ．在点A 的左侧B ．与线段AB 的中点重合C ．在点B 的右侧D ．与点A 或点B 重合答案：B15、（2018北京东城区初一第一学期期末）4. 在数轴上，实数a ，b 对应的点的位置如图所示，且这两个点到原点的距离相等，下列结论中，正确的是 A ． 0a b +=B ． 0a b -=C ． a b <D ． 0ab > 答案：A16、（2018北京丰台区初一第一学期期末）1. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值最小的数对应的点是DCBAA ．点AB ．点BC ．点CD ．点D答案：B17、（2018北京丰台区初一第一学期期末）3. 比5.4-大的负整数有 A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个答案：B18、．（2018北京延庆区初三统一练习）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A ．1a >- B ．0a b ⋅>C ．0b a -<<-D ．a b >b a3-2123–1–2–30nmb a 答案：C19、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)3．下列各式中结果为负数的是A ．(3)-- B．3- C ．2(3)- D ．23- 答案：D20．（2018北京西城区九年级统一测试）若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A ．5a <- B ．0b d +< C ．0a c -< D ．c d 答案：D21、．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A ，B 互为相反数，则点C 表示的数可能是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 答案C22．（2018北京石景山区初三毕业考试）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是12–1–2abA ．0a b +=B ．b a <C ．b a <D ．0ab >答案：C 23．（2018北京顺义区初三练习）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A ．2a >- B ．a b >-C ．a b >D ．a b >答案：D24．（2018北京东城区一模）若实数a ，b 满足a b ＞，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是答案D25.（2018北京怀柔区一模）如图所示，数轴上点A 所表示的数的绝对值为（ ）1c 0211c0211c 0211c 021 A. 2 B. ﹣2C. ±2D. 以上均不对 答案A26．（2018北京门头沟区初三综合练习）整数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，实数c 在数轴上且满足a cb ≤≤，如果数轴上有一实数d ，始终满足c +d ≥0，则实数d 应满足A ．d a ≤B ．a d b ≤≤C ．d b ≤D ．d b ≥答案D27．（2018北京海淀区第二学期练习）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是A.0b c +>B.1c a>C.ad bc >D .a d > 答案D28．（2018北京房山区一模）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．b a >B ．a b <C ．+0a b >D ．a b -< 答案A29．（2018北京丰台区一模）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab = c ，那么实数c 在数轴上的对应点的位置可能是（A ） （B ）（C ） （D ）答案 B 30．（2018北京市朝阳区一模）如图所示，数轴上表示绝对值大于3的数的点是（A ）点E （B ）点F （C ）点M （D ）点N 答案A31、（2018北京市朝阳区综合练习（一）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论 ①a ＜b ；②|b |=|d | ；③a+c =a ；④ad >0中，正确的有b c a dabb1a 021b a（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个答案B32.（2018北京市大兴区检测）若10=a ，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是A. 点EB. 点FC.点GD.点H 答案 C 33．（2018北京东城区一模）如图，若数轴上的点A ，B 分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C ，则与点C 对应的实数是A. 2B. 3C. 4D. 5 答案B34、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）1. 如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是 (A) 3cm(B) 3.5cm (C) 4cm (D) 7.5cm答案：C/ 35、（2018北京顺义区初三上学期期末）1．实数a 、b 、c 、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是A . aB . bC .cD . d答案：C36、（2018北京丰台区初一第一学期期末）8．如果()0232=++-n m ，那么mn 的值为A. 1-B. 23-C.6D. 6- 答案：D37、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）1． 5-的相反数是（ ）A ．15B ．15- C ．5 D ．5-答案：C38、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）3． 下列各式中，不相等．．．的是 （ ） cm8911101213141576542310A ．(－3)2和－32B ．(－3)2和32C ．(－2)3和－23D ．32-和32- 答案：A 39、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）5. 如图，下列结论正确的是 （ ）A. c a b >>B.11b c> C. ||||a b <D. 0abc >答案：B40、（2018北京怀柔区初一第一学期期末）1．数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值大于2的点是 A.点A B. 点B C. 点C D. 点D答 案D 41、（2018北京怀柔区初一第一学期期末）10. 若∣a+b ∣=-(a+b)， 则下列符合条件的数轴是A ①②B ②③C ③④D ①③ 答 案D 42、A 答案：D43、（2018北京顺义区初一第一学期期末）6．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，若有理数b ， d 互为相反数，则这四个有理数中，绝对值最大的是A ．aB ．bC ．cD ．d 答案：A44、（2018北京顺义区初一第一学期期末）10．已知a ，b 是有理数，则下列结论中，正确的个数是①22()a a =- ②22a a =- ③33a a =- ④33()a a =-A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A 45、（2018北京西城区七年级第一学期期末）3. 下列运算中，正确的是（ ）.（A ）2(2)4=-- （B ） 224=- （C ）236= （D ）3(3)27-=- xD CB A 123–1–2–3a ④b a ③ 10b a ① 1b a ②答案：D46、（2018北京西城区七年级第一学期期末）5．若2(1)210x y -++=，则x +y 的值为（ ）.（A ）12 （B ）12-（C ）32（D ）32-答案：A47、（2018北京西城区七年级第一学期期末）7. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（A ）a > c（B ）b +c > 0 （C ）|a |＜|d | （D ）-b ＜d答案：D48、（2018北京昌平区二模）2.实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a c >B ．0bc >C ．0a d +>D ．2b <- 答案：A49.（2018北京昌平区初二年级期末）3A.B ．3C 3D ．33答案：B50、（2018北京大兴区八年级第一学期期末）3.下列实数中，有理数是 AB .πC .227D 3951．（2018北京市门头沟区八年级期末）在下列实数中，无理数是A ．13B 2C ．0D ．9答案：B52．（2018北京市顺义区八年级期末）在实数722，3- 3π239 3.14中，无理数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B53、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）12345–1–2–3–4–5054、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）55.（2018北京西城区二模）下列实数中，在2和3之间的是-C．325D．328A．πB．π2答案：C56、（2018北京朝阳区二模）4.如图，在数轴上有点O，A，B，C对应的数分别是0，a，b，c，AO=2，OB=1，BC=2，则下列结论正确的是=（B）ab>0 （C）a+c=1 （D）b-a=1（A）a c答案:C二、填空题57．（2018北京市丰台区初二期末）27的立方根是．答案：358．（20182的相反数是．答案：2-59、（2018北京延庆区八年级第一学区期末）写出一个比3大且比4小的无理数：______________．答案：60、（2018北京延庆区初一第一学期期末）12．比较大小：－2_____ －5（填“>”或“<”或“=”）．请你说答案：＞，合理即可61、（2018北京西城区七年级第一学期期末）12．一个有理数x 满足: x ＜0且2<，写出一个满足条件的有理数x 的值: x = ． 答案：答案不唯一，如：-162、（2018北京顺义区初一第一学期期末）11．如果一个数的倒数是3，那么这个数的相反数是 ． 答案：13-63、（2018北京顺义区初一第一学期期末）12．潜水艇上浮记为正，下潜记为负，若潜水艇原来在距水面50米深处，后来两次活动记录的情况分别是-20米，+10米，那么现在潜水艇在距水面 米深处． 答案：6064、（2018北京顺义区初一第一学期期末）15．在3-、23-、2(3)--、(3)π--、0-中，负数的个数为 ． 答案：2个65、（2018北京石景山区初一第一学期期末）9．写出一个大于4-的有理数： （写出一个即可）．答案：答案不唯一，如3-66、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）13．已知2|2|(3)0a b -++=，则a b = . 答案： 9;67、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)9．写出一个比324-小的有理数： ． 答案：答案不唯一，例如－368、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)10．若a ，b 互为倒数，则2ab －5= ． 答案： －369、（2018北京丰台区初一第一学期期末）11. 有理数2018的相反数是 ． 答案：-201870、（2018北京丰台区第一学期期末）16. 已知1=a ，2=b ，如果b a >，那么=+b a ．答案：–1或–371.（2018北京怀柔区一模）比较大小：11_________3. 答案311>72、(2018北京昌平区初一第一学期期末)13. 如果21(2018)0m n ++-=，那么nm 的值为 .12345–1–2–3–4–50O M N 答案：173、(2018北京昌平区初一第一学期期末)15. 已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，x 的绝对值等于2，则a+b cdx -的值为 .答案：±274、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）9． 升降机运行时，如果下降13米记作“13-米”，那么当它上升25米时，记作 ．答案：+25米75、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）11．在有理数0.2-，0，132，5-中，整数有__________________． 答案：0，5- 76、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）16．已知5x =，21y =，且0x y＞，则x y -=____________． 答案：4，4-77、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）17．在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“＜”连接起来．112，2-， 0 ，0.5-．x答案： 表示点正确………………………………………………………………………2分 比较大小正确…………………………………………………………………………4分三、解答题78、 (2018北京昌平区初一第一学期期末)27. 已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－1，0，3，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．（1）MN 的长为 ；（2）如果点P 到点M 、点N 的距离相等，那么x 的值是 ；（3）数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是8？若存在，直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向左运动，同时点M 和点N 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动. 设t 分钟时点P 到点M 、点N 的距离相等，求t 的值.解：（1）MN 的长为 4 . ……………………………1分 （2）x 的值是 1 . ……………………………2分（3）x 的值是-3或5. ……………………………4分（4）设运动t 分钟时，点P 到点M ，点N 的距离相等，即PM = PN .点P 对应的数是-t ，点M 对应的数是-1 - 2t ，点N 对应的数是3 - 3t ． ………5分①当点M 和点N 在点P 同侧时，点M 和点N 重合，所以-1 - 2t = 3 - 3t ，解得t = 4，符合题意． ………………6分②当点M 和点N 在点P 异侧时, 点M 位于点P 的左侧，点N 位于点P 的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M 在点P 左侧，且点M 运动的速度大于点P 的速度，所以点M 永远位于点P 的左侧），故PM = -t -（-1 - 2t ）= t + 1．PN =（3 - 3t ）-（-t ）= 3 - 2t ．所以t + 1 = 3 - 2t ，解得t =23，符合题意． …………………7分 综上所述，t 的值为23或4． 79、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)27．观察下面的等式：5112+322-=--+； 3112+3-=--+；1112+3-=-+；15()12+322--=-+； (2)142+3--=-+．回答下列问题：（1）填空： 152+3-=-+；（2）已知212+3x -=-+，则x 的值是 ；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y ，求y 的最大值，并写出此时的等式．答案 解：（1）3-．（2）0或4-.（3）设绝对值符号里左边的数为a .由题意，得 12+3y a -=-+.所以24a y +=-.因为 2a +的最小值为0，所以4y -的最小值为0.所以y 的最大值为4.此时20a +=.所以 2a =-.所以此时等式为4122+3-=--+．综上所述，y 的最大值为4，此时等式为4122+3-=--+．80、（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）28．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：m a 与n a （0a ≠，m 、n 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作m n a a ÷．运算法则如下：;=1;1.m n m n m n m n m n n m m n a a a a a m n a a m n a a a --⎧⎪>÷=⎪÷=÷=⎨⎪⎪<÷=⎩当时，当时，当时， 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：（1）填空：521122⎛⎫⎛⎫÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3544÷= ． （2）如果13-413327x x -÷=，求出x 的值． （3）如果()()2+2+6111x x x x -÷-=，请直接写出x 的值．答案 解：（1）填空：521122⎛⎫⎛⎫÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18，3544÷=116；……………………………2分 （2）由题意，得()3413x x ---=……………………………………………………3分解得： 3.x = ……………………………………………………………………5分∴ 3.x =（3）4x =，0x =，2x =，…………………………………………………8分81、（2018北京顺义区初一第一学期期末）31．当0a ≠时，请解答下列问题：（1）求aa 的值；（2）若0b ≠，且0a b a b+=，求ab ab 的值． 答案：解：（1）当0a >时，1a a a a==．………………………………………………… 1分当0a <时，1a a a a-==-．……………………………………………… 2分 （2）∵ 0a ≠，0b ≠，且0a b a b+=， ∴ a ，b 异号， …………………………………………………………… 3分 ∴ 0ab <． …………………………………………………………… 4分∴ 1ab ab ab ab-==-．…………………………………………………… 5分。
2018年北京平谷区初三一模数学试卷及答案
北京市平谷区2018年中考模拟试卷2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．风和日丽春光好，又是一年舞筝时。
放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动．下列风筝剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是A．B．C．D．2．下面四幅图中，用量角器测得∠AOB度数是40°的图是A．B．C．D．3．如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是A．0 B．1 C．3 D．54．下图可以折叠成的几何体是A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如右图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为A． B. C. D.6．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是A．3 B．4 C．6 D．127．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S 和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟8．中小学时期是学生身心变化最为明显的时期，这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势，7~15岁期间生子们会经历一个身高发育较迅速的阶段，我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段，小明通过上网查阅《2016年某市儿童体格发育调查表》，了解某市男女生7~15岁身高平均值记录情况，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①10岁之前，同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高；②10~12岁之间，女生达到生长速度峰值段，身高可能超过同龄男生；③7~15岁期间，男生的平均身高始终高于女生的平均身高；④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段，男女生身高差距可能逐渐加大．以上结论正确的是A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ．10．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．11．计算：23222333m n ++++⨯⨯⨯个个= ．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份，如果小管口中DE 正好对着量具上20份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是_________毫米．13．已知：24a a +=，则代数式()()()2122a a a a +-+-的值是 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥弦CD 于点E ，若AB =10，CD =8，则BE = ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OCD 可以看作是△ABO 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO 得到△OCD 的过程： ．16．下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：(1112sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π.18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．．19．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上一点，EF 垂直平分CD ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，连结DE ，求证：DE ∥AB ．20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y =x +1交于点A （1，a ）． （1）求a ，k 的值；（2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上一点，且满足OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF 于点O ，交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．23．为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整. 收集数据随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 8890886788919668975988整理、描述数据按如下数据段整理、描述这两组数据分析数据两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：的值是 ．得出结论a 若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为 .b 可以推断出 学校学生的数学水平较高，理由为. （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ． （1）求证：∠AEB =2∠C ； （2）若AB =6，3cos 5B，求DE 的长．25．如图，在△ABC 中，∠C =60°，BC =3厘米，AC =4厘米，点P 从点B 出发，沿B →C →A 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A ．设点P 的运动时间为x 秒，B 、P 两点间的距离为y 厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：经测量m 的值是 （保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC 中画出点P 所在的位置．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值； （2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙OP 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．图1BB 图2北京市平谷区2018年中考统一练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2018.04二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．x ≥2；10．0.88； 11．23n m +；12．103；13．8；14．2；15．答案不唯一，如：将△ABO 沿x 轴向下翻折，在沿x 轴向左平移2个单位长度得到△OCD . 16．答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合一．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23题7分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解：(1112sin 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭π=3112--········································································· 4 =1 ···································································································· 5 18．解：3(1)4553 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． (1)解不等式②，得 x ＞-1． ....................................................................... 3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ....................................................... 4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ...................................................... 5 19．证明：∵AB=AC ， ∴∠B =∠C ． ................................................................................. 1 ∵EF 垂直平分CD ， ∴ED=EC ． ................................................................................... 2 ∴∠EDC =∠C ． ............................................................................. 3 ∴∠EDC =∠B ． ............................................................................. 4 ∴DF ∥AB ． . (5)20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴()2Δ2410k =--> (1)=8－4k >0. ∴2k < ··················································································· 2 （2）∵k 为正整数， ∴k =1． ··················································································· 3 解方程220x x +=，得120,2x x ==-． ········································· 5 21．解：（1）∵直线y =x +1经过点A （1，a ），∴a =2． ····················································································· 1 ∴A （1,2）．∵函数()0ky k x=≠的图象经过点A （1，2）， ∴k =2． (2)（2）点P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． ......................................... 5 22．（1）证明：∵BF 平分∠ABC ， ∴∠ABF =∠CBF ． .. (1)∵□ABCD ，∴AD ∥BC ．∴∠AFB =∠CBF ．∴∠ABF =∠AFB ．∴AB=AF ．∵AE ⊥BF ，∴∠ABF +∠BAO =∠CBF +∠BEO =90°． ∴∠BAO =∠BEO ． ∴AB=BE ． ∴AF=BE ．∴四边形ABEF 是平行四边形． ∴□ABEF 是菱形． (2)（2）解：∵AD=BC ，AF=BE ，∴DF=CE ． ∴BE =2CE ． ∵AB =4，∴BE =4． ∴CE =2．过点A 作AG ⊥BC 于点G ． (3)∵∠ABC =60°，AB=BE ， ∴△ABE 是等边三角形． ∴BG=GE =2． ∴AF=CG =4． (4)∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=∴CF= (5) (2)分析数据经统计，表格中m的值是88 ． (3)得出结论a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300 . (4)b 答案不唯一，理由须支撑推断结论. (7)24．（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC=90°． (1)∵点E是BC边的中点，∴AE=EC．∴∠C=∠EAC， (2)∵∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠AEB=2∠C． (3)（2）解：连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD=90°．∵AB= 6，3 cos5B=，∴BD=185． (4)在Rt△ABC中，AB=6，3 cos5B=，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5． (5)∴75DE=． (6)25．解：（1）3.0；························ (1)（2）如图所示； (4)（3）如图 (5)26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2， ∴b =2． ················································· 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2，∴AC =12． ············································· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． (3)②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； (4)当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； (5)∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)27．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ················· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ． ∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· (4)BB由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ························ 6 （3）tan 2DF αAE =． (7)28．解：（1）60；·························································································· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ........................................ 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． .. (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)。
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为 （A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯（D ）26105.2m ⨯5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o540 （C ）o 720 （D ）o900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为 （A ）3 （B ）32（C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A）10m （B）15m （C）20m （D）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
2018北京中考数学一模——20题一元二次方程专题
2018北京中考数学一模——一元二次方程专题【2018东城一模】20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.（1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.【2018西城一模】20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．【2018海淀一模】20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数．．，判断方程根的情况.【2018朝阳一模】20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.【2018丰台一模】20．已知：关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m 的值．【2018石景山一模】20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．【2018门头沟一模】22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.【2018房山一模】20．关于x 的一元二次方程0)1(222=-+-m mx x 有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根.【2018大兴一模】20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．【2018顺义一模】20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围．【2018怀柔一模】20.已知关于的方程.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求的值.【2018平谷一模】20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．【2018燕山一模】21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．x 226990-+-=x mx m m。
2018年北京市中考数学试卷包含答案
北京市2018年中考数学试卷第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】A 选项为圆柱，B 选项为圆锥，C 选项为四棱柱，D 选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是c b a 1032 14234A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >D ．0a c +>【答案】B【解析】∵43a -<<-，∴34a <<，故A 选项错误；数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧，故B 选项正确； ∵0a <，0c >，∴0ac <，故Ｃ选项错误；∵0a <，0c >，a c >，∴0a c +<，故D 选项错误．【考点】实数与数轴3．方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=-⎩C ．21x y =-⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=-⎩【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D 选项同时满足两个方程，故选D ． 【考点】二元一次方程组的解4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m ，则FAST 的反射面积总面积约为 A ．327.1410m ⨯ B ．427.1410m ⨯ C ．522.510m ⨯D ．622.510m ⨯【答案】C【解析】5714035249900 2.510⨯=≈⨯（2m ），故选C ． 【考点】科学记数法5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为360660n ︒==︒，其内角和为()2180720n -⋅︒=︒． 【考点】正多边形，多边形的内外角和．6．如果a b -=，那么代数式22()2a b ab a a b+-⋅-的值为A B ． C ． D ．【答案】A【解析】原式()2222222a b a b ab aa ab a a b a a b -+--=⋅=⋅=--，∵a b -=，∴原式=． 【考点】分式化简求值，整体代入．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2y ax bx c =++（0a ≠）．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m【答案】B【解析】设对称轴为x h =，由（0，54.0）和（40，46.2）可知，040202h +<=， 由（0，54.0）和（20，57.9）可知，020102h +>=， ∴1020h <<，故选B ．【考点】抛物线的对称轴．8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：-，3-）时，表示左安门的点的坐标为（5，6-）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12-）时，表示左安门-，6的点的坐标为（10，12-）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11-）时，表示左安门-，5的点的坐标为（11，11-）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5-，7.5-）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5-）．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【答案】D【解析】显然①②正确；③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18-，9-）时，表示左安门的点的坐标为（15，18-）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移ED CBA二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．右图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】>【解析】如下图所示，AFG △是等腰直角三角形，∴45FAG BAC ∠=∠=︒，∴BAC DAE ∠>∠． 另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形10x 的取值范围是_______．【答案】0x ≥【解析】被开方数为非负数，故0x ≥． 【考点】二次根式有意义的条件．11．用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____，b =______，c =_______．【答案】答案不唯一，满足a b <，0c ≤即可，例如：，2，1- 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点】不等式的基本性质12．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB ∠=________．【答案】70【解析】∵CB CD =，∴30CAB CAD ∠=∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵50ABD ACD ∠=∠=︒，∴18070ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠=︒．【考点】圆周角定理，三角形内角和定理13．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为________．【答案】103【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==，AB CD ∥，90ADC ∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴5AC ==， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==， ∵AB CD ∥，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定14．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：45分钟”的可能性最大． 【答案】C【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C ．【考点】用频率估计概率15．某公园划船项目收费标准如下：________元． 【答案】380【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380++=（元） 【考点】统筹规划16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．【答案】【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．【考点】函数图象获取信息三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线及直线外一点P．求作：PQ，使得PQ l∥．作法：如图，①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，CB=_______，∴PQ l ∥（____________）（填推理的依据）．【解析】（1）尺规作图如下图所示：（2）PA ，CQ ，三角形中位线平行于三角形的第三边．【考点】尺规作图，三角形中位线定理18．计算：04sin 45(π2)|1|︒+--．【解析】解：原式4112=+-=． 【考点】实数的运算19．解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【解析】解：由①得，2x >-，由②得，3x <，∴不等式的解集为23x -<<．【考点】一元一次不等式组的解法20．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=．（1）当2b a =+时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【解析】（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b a a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b a -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．【考点】一元二次方程21．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB =，2BD =，求OE 的长．【解析】（1）证明：∵AB CD∥∴CAB ACD∠=∠∵AC平分BAD∠∴CAB CAD∠=∠∴CAD ACD∠=∠∴AD CD=又∵AD AB=∴AB CD=又∵AB CD∥∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB AD=∴ABCDY是菱形（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．∴AC BD⊥．12OA OC AC==，12OB OD BD==，∴112OB BD==．在Rt AOB△中，90AOB∠=︒．∴2OA==．∵CE AB⊥，∴90AEC∠=︒．在Rt AEC△中，90AEC∠=︒．O为AC中点．∴122OE AC OA===．【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线22．如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP CD⊥；（2）连接AD，BC，若50DAB∠=︒，70CBA∠=︒，2OA=，求OP的长．【解析】（1）证明：∵PC、PD与O⊙相切于C、D．∴PC PD=，OP平分CPD∠．在等腰PCD△中，PC PD=，PQ平分CPD∠．∴PQ CD⊥于Q，即OP CD⊥．（2）解：连接OC、OD．∵OA OD=∴50OAD ODA∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA∠=︒-∠-∠=︒同理：40BOC∠=︒∴18060COD AOD BOC∠=︒-∠-∠=︒．在等腰COD△中，OC OD=．OQ CD⊥∴1302DOQ COD∠=∠=︒．∵PD与O⊙相切于D．∴OD DP⊥．∴90ODP∠=︒．在Rt ODP△中，90ODP∠=︒，30POD∠=︒∴cos cos30OD OAOPPOD====∠︒．【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数23．在平面直角坐标系xOy中，函数kyx=（0x>）的图象G经过点A（4，1），直线14l y x b=+∶与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当1b=-时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【解析】（1）解：∵点A（4，1）在kyx=（0x>）的图象上．∴14k=，∴4k=．QPDCOBA（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．② a ．当直线过（4，0）时：1404b ⨯+=，解得1b =-b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b =d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -<-≤或71144b <≤．【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题24．如图，Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交AB 于点C ，连接AC ．已知6cm AB =，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为1cm y ，A ，C 两点间的距离为2cm y ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（21y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APC △为等腰三角形时，AP 的长度约为____cm ． 【解析】（1）3.00（2）如下图所示：（3）3.00或4.83或5.88．如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A ，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x <≤，5060x <≤，6070x <≤，7080x <≤，8090x <≤，90100x ≤≤）；b ．A 课程成绩在7080x <≤这一组是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c ．A ，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76分，B 课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A 课程成绩超过75.8分的人数． 【解析】（1）78.75（2）B ．该学生A 课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B 课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．（3）解：抽取的60名学生中．A 课程成绩超过75.8的人数为36人．∴3630018060⨯=（人） 答：该年级学生都参加测试．估计A 课程分数超过75.8的人数为180人．【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体26．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ． （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 【解析】（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．∴A （1-，0），B （0，4） ∴C （5，4）（2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0）∴30a b a --=． 2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212ax a-=-=．（3）解：①当抛物线过点C时．251034a a a--=，解得13a=．②当抛物线过点B时．34a-=，解得43a=-．③当抛物线顶点在BC上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a--=，解得1a=-．∴综上所述43a<-或13a≥或1a=-．【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH DE⊥交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF GC=；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．【解析】（1）证明：连接DF ．∵A ，F 关于DE 对称． ∴AD FD =．AE FE =． 在ADE △和FDE △中． AD FDAE FE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADE FDE △≌△ ∴DAE DFE ∠=∠． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90A C ∠=∠=︒．AD CD = ∴90DFE A ∠=∠=︒∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒ ∴DFG C ∠=∠ ∵AD DF =．AD CD = ∴DF CD =在Rt DCG △和Rt DFG △． DC DFDG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DCG △≌Rt DFG △ ∴CG FG =． （2）BH =．证明：在AD 上取点M 使得AM AE =，连接ME ． ∵四这形ABCD 是正方形．∴AD AB =．90A ADC ∠=∠=︒． ∵DAE △≌DFE △ ∴ADE FDE ∠=∠同理：CDG FDG ∠=∠ ∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠ 1122ADF CDF =∠+∠ 1452ADC =∠=︒ ∵DE EH ⊥ABCDEFHG∴90DEH ∠=︒∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒ ∴EHD EDH ∠=∠ ∴DE EH =． ∵90A ∠=︒∴90ADE AED ∠+∠=︒ ∵90DEH ∠=︒∴90AED BEH ∠+∠=︒ ∴ADE BEH ∠=∠∵AD AB =．AM AE = ∴DM EB =在DME △和EBH △中 DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=∠⎩∴DME △≌EBH △ ∴ME BH =在Rt AME △中，90A ∠=︒，AE AM =．∴ME ==∴BH =．【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）． （1）求d （点O ，ABC △）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC △）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （，0），半径为1．若d （T ，ABC △）1=，直接写出的取值范围． 【解析】（1）如下图所示：∵B （2-，2-），C （6，2-） ∴D （0，2-）∴d （O ，ABC △）2OD == （2）10k -<≤或01k <≤（3）4t =-或04t -≤≤或4t =+．【考点】点到直线的距离，圆的切线。
2018北京各区初三数学一模试题分类——三角形基础解答题
三角形基础解答题1.（18平谷一模19）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上一点，EF 垂直平分CD ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，连结DE ，求证：DE ∥AB ．2.（18延庆一模19）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB交AC 于点E ． 求证：AE=DE ．3. （18房山一模19）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．4.（18西城一模19）如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <．（1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBAE D C B AE DCBA5.（18朝阳毕业20）如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．6.（18朝阳一模19）19. 如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线.求证：∠DAB=∠ACE.7.（18大兴一模19）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD. 若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．8.（18东城一模19）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D. BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F. 求证：AE=AF.EA B CD9.（18丰台一模19）如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．10.（18海淀一模19）如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．11.（18门头沟一模19）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于点E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝25°.求∠DAC 的度数.12.（18顺义一模19）如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 延长线上一点，且DE=DC ，求证：∠E =∠BAC .FD E CB A FE DCB AB13.（18燕山一模20）如图， 点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF,EC=BD,AC=FD,求证：AE=FB14. （18通州一模19）已知：如图，在△ABC 中，∠B =45°，点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC 于点D ，交AB 于点E 连接CE . （1）求∠AEC 的度数（2）请你判断AE ，BE ，AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论.A B C D EF。
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27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=.
（1）当DP PE =时，求DE 的长；
（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M
的判断.
3.知识点：多边形内角和公式：180°（n-2），多边形外角和为360°；15（中）；
8.（难）
14.知识点：圆内接四边形对角互补；
19知识点：直角三角形斜边的中线是斜边的一半；
21. 知识点：
菱形的判定：
定理1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
定理2 四边都相等的四边形是菱形
定理3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
矩形的判定：
定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
平行四边形的判定：
定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
22(1)(易)；（2）（中）；
23（1）易；（2）（中）；
24.(易)
25（1）（2）易（3）（中）
26（1）易（2）（难）；
27．如图，已知60
AOB
∠=︒，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE OB
⊥，交OB 于点E，点D在AOB
∠内，且满足DPA OPE
∠=∠，6
DP PE
+=.
（1）当DP PE
=时，求DE的长；
（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得DM
ME
的值不变？并证明你
的判断.
27.（1）易；（2）难（方法一看懂了，方法二，另解未看懂）
(另解：未看懂)
28、(1)①易；②、（2）难（未做出）。