04184线性代数(经管类)基础知识

第一章行列式

（一）行列式的定义

1．行列式的定义

D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式

设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.

3．特殊行列式

①②③

（二）行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|

性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.

推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面

性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.

推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.

推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.

性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.

性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）

n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，

即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）

或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）

定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.

即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)

（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：

第二章矩阵

（一）矩阵的定义

矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算

1．矩阵的同型与相等

设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,

若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B

2．矩阵的加、减法

设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n

注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)

3．数乘运算

设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k

①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B

4．乘法运算

设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)

只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.

①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A

5．方阵的乘幂与多项式方阵

A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).

①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E

④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。6．矩阵的转置

设A为m*n矩阵,把A中行与列互换,得到n*m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A T,转置运算满足以下运算律：①(A T)T=A ②(A+B)T=A T+B T③(kA)T=kA T ④(AB)T=B T A T

设A为n阶方阵，若满足A T= A，则称A为对称矩阵，若满足A T= -A，则称A为反对称矩阵.

7．方阵的行列式

设A=(a ij)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式|a ij|n，称为方阵A的行列式，记为|A|

8. 方阵的行列式的性质

设A，B为n阶方阵，k为数，则

①|A T|=|A|②|kA|=k n|A|③|AB|=|BA|=|A||B|

（三）方阵的逆矩阵

1．可逆矩阵的概念与性质

对n阶方阵A，若存在另一个n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，且称A为可逆方阵

逆矩阵的性质：设A，B为同阶可逆矩阵，k≠0为常数，则：

⑤A-1可逆，且(A-1)-1=A;②AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；③kA可逆，且(kA)-1=A-1/k ④A T可逆，且(A T)-1=(A-1)T ⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则PA=PB A=B，AP=BP A=B 2．伴随矩阵的概念及性质

设A=(a ij)为n阶方阵，A ij为A的行列式|A|=|a ij|n中元素a ij的代数余子式，则：

矩阵

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

nn

n

n

A

A

A

A

1

1

11

称为A的伴随矩阵，记为A*（务必注意A*中元素排列的特点）

伴随矩阵的性质：

①AA*=A*A=|A|E，②|A*|=|A|n-1（n为A的阶数）

3．n阶方阵可逆性的判定

定理：n阶方阵A可逆|A|≠0

推论：设A，B均为n阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A

4.逆矩阵的求解

①用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵(★必须是行变换，不能是列变换)

设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n*2n矩阵（A，E），然后(A,E) (E,A-1)

②用伴随阵求可逆矩阵的逆矩阵A-1= A*/|A|