五方阵的行列式讲解学习
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2020/6/5
2、运算律
1).AT A;
2).An A;
3).AB AB
2020/6/5
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
2020/6/5
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
例6：设A , B 均为 n 阶方阵
且
A
A TE,BTBE,
A 1,
B
则AB0.
证 AB＝ AT B BAT A B
A(BTAT)B
2020/6/5
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
2.
设 P 1 A P ,其 中 P 1 1 1 4 ,
10 02 ,
求A.
2020/6/5
即 a a 6 3
b4 ab b2 5
2ab
4
a 6
亦即ba
4 3
b 2
故 a = 2020/6/5 8 , b = 6 。
ab 2a b
5 4
例10 设
1 0 0
A
0
2
0
0 0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y
3
z1 z 2 z3
a11 a12 L a1n a11b11a12b21L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11a22b21L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
D=
an1 1
an2 0
L L
ann 0
an1b11an2b21L annbn1 L
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
3 2 5 3 3 6 2 0 0
21
1 3
1203
3 6
3300
2 0
02
2 5 1
1
Fra Baidu bibliotek
2
1
.
2020/6/5
1 3 0
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
(1) 1 2 323;(2) 121 2; (3) x1
x2
a11 a12 a13x1
x3 a21 a22 a23x2.
1 3
a31 a32 a33x3
3) ABAB.
2020/6/5
七、 可换矩阵及方阵多项式 1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。 例9 设
A11 21,Ba3 b2.
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。 解 由于 AB = BA ，即
2020/6/5
1 2a b a b1 2 1 13 23 21 1
1 1 2
A
0
1
1
1 2 1
求矩阵多项式 f (A) 。
2020/6/5
解 因为
1 1 2 1 1 2 A2 0 1 10 1 1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
2 1
3 3 6
3
A
0
3
3
2020/6/5
3 6 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
2020/6/5
例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
231,
1, 2
1 1323
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
2020/6/5
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
111 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
2020/6/5
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= ( a ij )为复矩阵，a ij
表示a ij 的共轭复数，记
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2020/6/5
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) ABAB;
2) A A
A(AB)T B B2 AB
A B
故AB0. 2020/6/5
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，
B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是
n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T
= BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z = z , 2020/6/5 1
1
3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
a 0 0
0
b
0
0 0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
a11 L M
D = an1 L 1
O
a1n
M
0
a nn
b11 L b1n
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
2020/6/5
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
与 A 可 交 换 ， 即 有 2020/6/5
1 0 0x1 x2 x3 x1 x2 x31 0 0 0 2 0y1 y2 y3y1 y2 y30 2 0 0 0 3z1 z2 z3 z1 z2 z30 0 3
于是 x1 x2 x3 x1 2x2 3x3 2y1 2y2 2y3y1 2y2 3y3 3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
2020/6/5
2、运算律
1).AT A;
2).An A;
3).AB AB
2020/6/5
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
2020/6/5
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
例6：设A , B 均为 n 阶方阵
且
A
A TE,BTBE,
A 1,
B
则AB0.
证 AB＝ AT B BAT A B
A(BTAT)B
2020/6/5
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
2.
设 P 1 A P ,其 中 P 1 1 1 4 ,
10 02 ,
求A.
2020/6/5
即 a a 6 3
b4 ab b2 5
2ab
4
a 6
亦即ba
4 3
b 2
故 a = 2020/6/5 8 , b = 6 。
ab 2a b
5 4
例10 设
1 0 0
A
0
2
0
0 0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y
3
z1 z 2 z3
a11 a12 L a1n a11b11a12b21L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11a22b21L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
D=
an1 1
an2 0
L L
ann 0
an1b11an2b21L annbn1 L
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
3 2 5 3 3 6 2 0 0
21
1 3
1203
3 6
3300
2 0
02
2 5 1
1
Fra Baidu bibliotek
2
1
.
2020/6/5
1 3 0
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
(1) 1 2 323;(2) 121 2; (3) x1
x2
a11 a12 a13x1
x3 a21 a22 a23x2.
1 3
a31 a32 a33x3
3) ABAB.
2020/6/5
七、 可换矩阵及方阵多项式 1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。 例9 设
A11 21,Ba3 b2.
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。 解 由于 AB = BA ，即
2020/6/5
1 2a b a b1 2 1 13 23 21 1
1 1 2
A
0
1
1
1 2 1
求矩阵多项式 f (A) 。
2020/6/5
解 因为
1 1 2 1 1 2 A2 0 1 10 1 1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
2 1
3 3 6
3
A
0
3
3
2020/6/5
3 6 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
2020/6/5
例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
231,
1, 2
1 1323
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
2020/6/5
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
111 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
2020/6/5
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= ( a ij )为复矩阵，a ij
表示a ij 的共轭复数，记
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2020/6/5
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) ABAB;
2) A A
A(AB)T B B2 AB
A B
故AB0. 2020/6/5
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，
B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是
n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T
= BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z = z , 2020/6/5 1
1
3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
a 0 0
0
b
0
0 0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
a11 L M
D = an1 L 1
O
a1n
M
0
a nn
b11 L b1n
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
2020/6/5
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
与 A 可 交 换 ， 即 有 2020/6/5
1 0 0x1 x2 x3 x1 x2 x31 0 0 0 2 0y1 y2 y3y1 y2 y30 2 0 0 0 3z1 z2 z3 z1 z2 z30 0 3
于是 x1 x2 x3 x1 2x2 3x3 2y1 2y2 2y3y1 2y2 3y3 3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3