金融工程学BS公式
金融衍生品公式
金融衍生品公式金融衍生品公式1. 期权定价公式•黑-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的公式。
•公式为：C(S,t)=S0e−qt N(d1)−Xe−rt N(d2)这里: - C 是期权价格 - S 是标的资产价格 - t 是剩余到期时间 - S0 是标的资产初始价格 - X 是期权执行价格 - r 是无风险利率 - q 是年化红利率 - N 是标准正态分布函数 - d1 和 d2 是黑-斯科尔斯模型中的变量例子：假设某个股票当前市价为100元，期权执行价格为110元，剩余到期时间为1年，无风险利率为5%，年化红利率为2%，标准正态分布函数N(d1)为，N(d2)为。
根据黑-斯科尔斯期权定价模型，可以计算出该欧式期权的价格为：C(100,1)=100e−×−110e−×=2. 期权希腊字母公式•期权希腊字母是用来衡量期权价格对不同因素的敏感度的参数。
delta（Δ）•Delta表示期权价格对标的资产价格变动的敏感度。
•公式为：Δ=∂C ∂S这里，Δ代表期权的delta值，C代表期权价格，S代表标的资产价格。
例子：如果某个欧式认购期权的delta值为，标的资产价格上涨1单位，则期权价格预计上涨单位。
gamma（Γ）•Gamma表示期权价格对标的资产价格变动的delta的变动率。
•公式为：Γ=∂2C ∂S2这里，Γ代表期权的gamma值，C代表期权价格，S代表标的资产价格。
例子：如果某个欧式认购期权的gamma值为，标的资产价格上涨1单位，则期权的delta值将增加单位。
theta（Θ）•Theta表示期权价格对时间变动的敏感度。
•公式为：Θ=∂C ∂t这里，Θ代表期权的theta值，C代表期权价格，t代表剩余到期时间。
例子：如果某个欧式认购期权的theta值为-，时间过去1天，则该期权价格预计下降单位。
vega（ν）•Vega表示期权价格对标的资产价格波动率变动的敏感度。
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
金融工程学BS公式
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实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
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教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
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定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
d2
ln
S0
X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明
BS期权定价公式
BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。
其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
µ和σ都是已知的。
简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。
6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。
7．所有⽆风险套利机会均被消除。
⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf Sf S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
金融工程学 第六讲 B-S公式 (2)
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• 命题1：设
S0 2 d2 (ln (r )t ) X 2 t 1, Z ( w) d 2 I A ( w) 0, 其它 1
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t
N T t
i 1
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于
T
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股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t ) S (t )dt S (t )dZ(t )
s(t2 ) 2 ln( ) (r )(t2 t1 ) t2 t1 Z s(t1 ) 2 Z ~ N (0,1)
• 该假设与风险中性原理的吻合
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3. B-S公式的推导
• 1．引入示性函数：
1, w A {w | S (t , w) X } I A ( w) 0, w A max( S (t , w) x, 0) ( S (t , w) x) I A ( w)( S (t , w) x)
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教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 风险中性定价 标的资产的变化过程 B-S期权定价公式 波动率的计算 二值期权 标的资产支付红利情况下的期权定价 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
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1. 风险中性定价
• 风险中性市场，欧式看涨期权
C max(S (T ) X ,0) V (T , w)
0.04 ln S (t ) ~ N (ln 40 (0.16 ) 0.5,0.2 0.5 ) 2 N (3.759,0.141 )
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实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间 • 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un • 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。
S 遵循几何布朗运动，即dS dt dz。
S其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（ dz dt ，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1 的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
和都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5.在期权有效期内，无风险利率 r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
1、 Black-Scholes 期权定价模型一) B-S 期权定价公式Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的 Black-Schole 微分方程：其中 f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程， Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看 涨期权的定价公式： c SN(d 1) Xe r (T t) N(d 2)其中，Ttd ln(S/X) (r 2/2)(T t) dT td 2 d 1T t Tt c 为无收益资产欧式看涨期权价格； N ( x )为标准正态分布变量的累计概率 分布函数(即这个变量小于 x 的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 N( x) 1 N(x) 。
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
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RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
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结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
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参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
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为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
将关于股票价格变化的结论 dS Sdt Sdz 代 入伊藤引理表达式，可以得到
dG ( G G 1 2G 2 2 G S S )dt Sdz S t 2 S 2 S
2011/12/7
第五章 B-S期权定价公式
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于 确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起 了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提 出了一个更为一般化的模型。Scholes和Merton 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
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2011/12/7
B-S-M微分方程的推导 可以构造这样的投资组合： 1. 卖出一份衍生证券 f 2. 买入S 份股票 则该证券组合的价值为：
f f S S f S S
B-S-M微分方程的推导 在Δt时间内，组合的变化量为 f 1 2 f 2 2 ( S )t t 2 S 2 因为这个方程不含有ΔZ，经过Δt时间后证券组合 必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率 一定与其它短期无风险证券的收益率相同，即 rt 代入上式得到 f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t t 2 S 2 S
z t
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
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2011/12/7
bs公式符号理解
bs公式符号理解BS公式，全称为Black-Scholes公式，是金融学中用于计算欧式期权价格的一种数学模型。
它由美国经济学家费雪·布莱克和美国经济学家默顿·斯科尔斯于1973年提出，因此得名Black-Scholes公式。
BS公式的核心思想是通过对期权价格的构建，将期权价格与标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率和标的资产的波动率等因素联系起来。
BS公式的应用范围主要是欧式期权，即只能在到期日行权的期权。
BS公式的符号解释如下：- S：标的资产的价格，也称为标的资产价格。
- K：行权价格，即期权合约规定的买卖标的资产的价格。
- t：当前时间，一般以年为单位，例如0.5表示半年。
- T：期权到期时间，即期权合约有效的时间长度。
- r：无风险利率，表示在无风险投资中可以获得的收益。
- σ：标的资产的波动率，用来衡量标的资产价格的波动程度。
- N(x)：标准正态分布函数，表示随机变量小于等于x的概率。
根据BS公式，欧式期权的价格（C）可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - K * e^(-r*(T-t)) * N(d2)其中，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S/K) + (r + σ^2/2)*(T-t)) / (σ * √(T-t))d2 = d1 - σ * √(T-t)BS公式的原理是基于风险中性定价理论，假设市场上不存在套利机会，即无论市场行情如何，投资者都可以通过组合风险资产和无风险资产来达到相同的收益。
BS公式通过对期权价格进行建模，将期权价格与标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率和标的资产的波动率等因素联系起来，使投资者可以根据市场的情况来确定期权的价格。
需要注意的是，BS公式是一种理论模型，它假设市场是完全有效的，不存在交易成本和税收，并且标的资产的价格服从对数正态分布。
然而，实际市场情况往往复杂，存在许多因素会影响期权价格，因此BS公式在实际应用中可能存在一定的局限性。
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
BS期权定价公式
BS期权定价公式Black-Scholes期权定价模型基于七个假设条件，其中包括股票价格遵循几何布朗运动、没有交易费用和税收、资产价格变动连续而均匀、标的资产可以自由买卖、无风险利率保持不变、股票不支付股利以及所有无风险套利机会均被消除。
这些假设条件为Black-Scholes期权定价公式提供了基础。
Black-Scholes期权定价公式适用于无收益资产欧式看涨期权，由Black和Scholes得到。
该公式包括微分方程和定价公式，其中微分方程描述了期权价格的变化规律，而定价公式则可用于计算无收益资产欧式看涨期权价格。
该公式中，d1和d2分别表示期权价格与股票价格之比和无风险利率、波动率、期权到期时间和当前时间之差的函数，N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数。
Black-Scholes期权定价公式的理解需要对其中的参数和变量有深入的了解。
其中，波动率是期权价格的主要影响因素之一，期权价格随着波动率的增加而增加。
另外，无风险利率也是影响期权价格的重要因素，期权价格随着无风险利率的增加而增加。
同时，期权价格也受到期权到期时间和股票价格之比的影响。
通过对这些参数和变量的深入理解，投资者可以更好地利用Black-Scholes期权定价模型进行期权定价和风险管理。
1.Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
该公式的前提条件是市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
在该公式中，SN(d1)可视为证券或无价值看涨期权的多头，Ke-r(T-t)N(d2)可视为K份现金或无价值看涨期权的多头。
为了构造一份欧式看涨期权，需要持有N(d1)份证券多头，并且卖空数量为Ke-rTN(d2)的现金。
2.风险中性定价原理表明，期权价格与标的资产的预期收益率无关。
欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。
在欧式Call定价时，可以假设投资者是风险中性的，即对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率。
bs模型计算公式(二)
bs模型计算公式(二)bs模型计算公式1. bs模型简介Black-Scholes模型，简称bs模型，是一种金融衍生品定价模型，常被用于计算欧式期权的理论价格。
该模型假设市场上不存在套利机会，且金融资产价格的变动服从几何布朗运动。
2. bs模型计算公式bs模型主要通过以下公式进行计算：欧式看涨期权价格公式根据bs模型，欧式看涨期权的价格（C）可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-r*T) * N(d2)其中： - S为标的资产当前价格 - N()为标准正态分布的累积概率函数 - d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2) * T] / (σ * sqrt(T)) - d2 = d1 - σ * sqrt(T) - X为期权行权价 - r为无风险利率 - σ为标的资产的波动率 - T为期权的剩余到期时间欧式看跌期权价格公式bs模型还可以用于计算欧式看跌期权的价格（P），其公式如下：P = X * e^(-r*T) * N(-d2) - S * N(-d1)同样地，其中的变量和符号含义与前述一致。
3. 公式解释和示例欧式看涨期权示例假设标的资产的当前价格S为100，期权行权价X为105，无风险利率r为，标的资产的波动率σ为，期限T为1年。
那么我们可以使用bs模型来计算该欧式看涨期权的价格。
根据公式，首先计算d1和d2的值：d1 = [ln(100/105) + ( + ^2/2) * 1] / ( * sqrt(1))≈ -d2 = - - * sqrt(1)≈ -接下来，使用累积概率函数N()计算d1和d2对应的值：N(d1) ≈N(d2) ≈最后，将这些值代入公式，可以得到期权的价格：C = 100 * - 105 * e^(-*1) *≈因此，根据bs模型，该期权的理论价格约为。
欧式看跌期权示例与上例类似，假设标的资产的当前价格S仍为100，期权行权价X 为105，无风险利率r为，标的资产的波动率σ为，期限T为1年。
期权定价B-S期权定价公式
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BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是 相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合 可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头， 份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
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BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
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Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
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Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
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得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股 票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
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ln(
s(t2 ) s(t1)
)
(
2
2
)(t2
t1
)
t2 t1 Z
Z ~ N (0,1)
• 股票价格的几何布朗运动模型（GBM）
13
例
• 考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收 益率为每年16％，波动率为每年20％。则经 过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分 布：
ln S(t) ~ N (ln 40 (0.16 0.04) 0.5,0.2 0.5) 2
e-rt (EQ (I AS (t)) XEQ I A ) 19
• 命题2：
EQ I A (d2 )
EQ I A P (S (t) X ) P(Z d2 ) 1 P(Z d2 ) 1 (d2 ) 1 (1 (d2 )) (d2 )
N (3.759,0.141)
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
欧式期权定价——轶事
• 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定 价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定 价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年— —金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公 司负债”的著名论文
3
1. 风险中性定价• 风险中Fra bibliotek市场，欧式看涨期权
C max(S(T ) X , 0) V (T, w)
C EQV (T , w)erT erT EQ max(S (T ) X , 0)
4
2.标的资产价格的变化规律
• 确定性模型： ln( s(t) ) rt s(0)
•
随机模型：
ln(
6
7
8
9
马尔科夫过程(Markov process)
• 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与 过去无关
• 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价 在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过 去的路径
– 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中， 简单的技术分析不能战胜市场
– 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱 有效性
s(t) )
(r
σ2 )t
σ
tZ
s(0)
2
Z ~ N (0,1)
(rσ2 )tσ tZ
S(t) S0e 2
5
对数正态分布
• 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数 为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对 数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作 是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可 以看作是对数正态分布。一个典型的例子是 股票投资的长期连续收益率，它可以看作是 每天连续收益率的乘积。 对于 x > 0，对数 正态分布的概率分布函数为
• 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式—— Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计 公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复 制方法成为期权定价研究的经典方法
• M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997 年的诺贝尔经济学奖
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t i 1 N T t
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于 T
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股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t) S(t)dt S(t)dZ(t)
• Samuelson P.A 1965; Bachelier1990 • 股票价格的对数过程为Brown运动
2
2
)(t2
t1
)
t2 t1 Z
Z ~ N (0,1)
• 该假设与风险中性原理的吻合
16
3. B-S公式的推导
• 1．引入示性函数：
1, w A {w | S(t, w) X } I A (w) 0, w A max(S(t, w) x, 0) (S(t, w) x) I A(w)(S(t, w) x)
17
• 命题1：设
d2
1
t
(ln
S0 X
(r
2
2
)t)
I
A
(
w)
1, Z (w) 0, 其它
d2
18
• 事实上，S(t)>X
(r 2 )t t
S0e 2
x
(r 2 )t t Z ln X
2
S0
Z
1
(ln
X
2
(r )t)
t S0
2
注意,IA (w)中的w是使期权执行的事件.
C=e-rtEQ[I A (S (t) X )]
10
Wiener过程(布朗运动)—定义
Wiener过程，Brown 运动： 独立增量，在任意两个微小时间段内的
改变量是独立的 每个区间上的增量满足正态分布 Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为 z t
– 增量的均值等于 0
– 增量的标准差等于 t
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Wiener过程(布朗运动)—— 基本性质
15
无套利市场中的 股票价格过程
• 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立
ES(t) S0ert 又根据S (t )满足对数正态分布，得到
ES(t) S0et 可见，在无套利市场中，＝r
• 所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的 Brown运动
ln(
s(t2 ) s(t1 )
)
(r
1
欧式期权定价——轶事
• 巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥 期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S 公式的正式发表（5-6月号）
• 两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒 绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：
– 金融太多，经济学太少
• 他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权