相似专题二：母子相似及射影定理
最全相似模型专题(中考数学必考)
几何模型09——相似模型三角形相似是每一年中考必考的知识点，相似模型主要包括：“A”型和“X”型相似，母子模型相似（共边共角型），一线三等角，双垂直模型和旋转相似，中考命题者经常把这些模型放在圆，四边形，或函数图象当中，特别要留意母子模型相似的一种特殊情况：射影定理中的知二求四和一线三垂直（k型相似），下面对这些类型做如下总结：一、“A”型和“X”型相似例1.如图，在△ABC中，点D是AC上的点，且AD＝2CD，过D作DE∥BC交AB于E，过D作DF∥AB交BC于F．（1）若BC＝15，求线段DE的长．（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．变式1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．变式2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．变式3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE＝12，BE＝9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．变式4.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．变式5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN 交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．变式6.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；变式7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E．（1）求证：DE∥OA；（2）若AB＝10，tan∠DEO＝2，求⊙O的半径．例2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．（相似比等于高之比）例3.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．求证：PA•PB＝PD•PC（割线定理）；变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．变式2.如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是的中点，连接DE ．（1）求证：△ABC 是等腰三角形．（2）若BC ＝10，CE ＝6，求线段AD 的长．变式3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，OD ，DE ．（1）求证：OD ⊥EB ．（2）若DE ＝，AB ＝10，求AE 的长．例4.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ． 求证：2OE CO OD BO ==变式1.如图，AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，点E 、F 分别为AC 、BD 的中点，连接OE 、OF ，若∠A ＝∠D ，OA ＝OF ＝6，OD ＝9，求OE 的长．变式2.如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（相交弦定理）（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．变式3.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．例5.如图，过△ABC的边AC的中点D作直线交AB于E，交BC的延长线于F．求证：＝；（梅捏劳斯定理特殊情况）变式1.如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE 交AC于点F，试证明：AB•DF＝BC•EF．变式2.如图，△ABC中，D为BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F．求证：＝．变式3.如图，△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AE＝AF．二、共边共角型相似例1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．（1）求证：；（2）若AC＝2，BC＝4，设△ADC面积为S1，△ABD面积为S2，求证：S2＝3S1．变式1.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．变式2.如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC、AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．若CD＝1，BC＝2，求AD 的长度．例2.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG＝CG．（2）求证：AG2＝GE•GF．变式1.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2＝PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE＝2，EF＝6，求FB的长．例3.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（切割线模型）（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．变式1.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C 在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．若AB＝3P A，求的值．例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．（1）（射影定理）求证：AC2＝AD•AB；BC2＝BD•BA；CD2＝AD•BD；（2）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD的长；（知二求四）（3）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC的长；（知二求四）（4）求证：AC•BC＝AB•CD．（等面积法）变式1.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D．若CD＝4，BD＝3，求⊙O的半径长．（直径所对的圆周角为直角）变式2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．变式3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．例4.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）（3）若AB＝5CE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）变式1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．三、双垂直例1.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AF⊥DE，垂足为F，AD＝4，CE＝2，DE ＝2，求DF的长．变式1.如图，点P是正方形ABCD边AD上一点，Q是边BC延长线上一点，若AB＝12，P A＝5，PQ⊥BP．求CQ的长．变式2.如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，若AE＝5，AD＝6，CD＝2．求EB的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．四、一线三等角例1.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；例2.如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．变式1.如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E．且AD＝8，DC＝6，则＝．五、旋转相似例1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．变式1.如图，△ABC和△CEF中，AB＝BC，CF＝EF，∠CBA＝∠CFE＝90°，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE＝1，AE＝2，求EF的长．。
九年级数学上册第4章奇妙的“母子相似”(北师大版)
奇妙的“母子相似”常言道：“一母生两子，两子皆似母.”此话谈的是人类在发展过程中变化情况,无独有偶,在相似三角形中也有类似的情况,这不得不引起我们的反思.1.母子相似——容易证明!如图1，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D.请问△ABC 、△CBD 和△ACD 是否相似，为什么？ 回答是肯定的，△ABC ∽△CBD ∽△ACD. ∵∠ABC=∠CBD ，∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ABC ∽△CBD.同理: △ABC ∽△ACD.通常把这种△ABC ∽△CBD,△ABC ∽△ACD 称之为 “母子相似”非常形象,由母子相似带来了△CBD ∽△ACD,称之为姊妹相似.同时由△ABC ∽△CBD 得到BC 2=BD·AB,由△ABC ∽△ACD 得到AC 2=AD·AB,由△CAD ∽△BCD 得到CD 2=AD·BD.2.母子相似——结论重要!上述结论在证明和计算中都有着广泛的应用.因此,通常把这三个等积式称之为“射影定理”，由此可见一斑.勾股定理是平面几何中重要定理,学习此定理时,曾用面积割补的方法对定理进行验证.为此,许多同学对如此的证明,心存疑虑.经常思考有没有其它方法证明勾股定理呢?现在用上述的“母子相似三角形”证明之.已知:如图2,∠ACB=90°求证:AC 2+BC 2=AB 2 证明:作CD ⊥AB 于D ∵∠ACB=90° CD ⊥AB 于D ∴△ABC ∽△ACD ∴ACABAD AC∴AC 2=AD·AB 同理BC 2=BD·AB∴AC 2+BC 2=AD·AB+BD·AB=AB(AD+BD)=AB 2. 即:AC 2+BC 2=AB 2. 3.母子相似——反之成立?上述是说满足了“条件”就有“母子相似”，进一步可得等积式的线段；现在反ADBC图1ADBC图2过来看，有了等积式的线段，有没有“母子相似”？曾经有这样一题,已知:图3,AD ⊥BC 垂足为D,且AD 是BD 、DC 的比例中项. 求证:△ABC 是直角三角形简证:∵AD 2=BD·DC ∴ADDC BD AD. ∵∠BDA=∠ADC=90° ∴△ABD ∽△CAD ∴∠1=∠B∵∠2+∠B=90° ∴∠1+∠2=90° 即△ABC 为直角三角形.此时,若问上述的结论的反面是否存在,大部分同学都认为成立,其实不一定成立.请看下面两例.反例1,如图4,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有CD 2=AD·DB ′在AD 上取B ／使BD=B ′D,显然CD 2=AD·BD,但∠ACB≠90°.反例2,如图5,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有AC 2=AD·AB ′,在DA 延长线上取一点B,使BA=AB ′虽然满足 AC 2=AD·AB ′=AD·AB 、但∠ACB≠90°.所以, “母子相似”反之不一定成立.诗人常说的“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”是很有道理的.我们也可以认为“年年岁岁学相似，岁岁年年题不同”.B DCA 图32 1A D BC图4B /BDB ′C图5A。
20 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练
专题20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD ； 结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ；结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ；CA 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·BA ，CD 2＝DA ·DB .3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE ，AB=AC ； 结论：△ABD ∽△ECA ；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，结论：2BD BA BC =⋅；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB ＝120°，求证：（1）△ACP ∽△PDB ，（2）CD 2＝AC •BD ．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在V ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在ABC V 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD Y 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【拓展提高】（3）如图ABC V 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在BE ，CE ，EF ，若DE ，BEC AEF ∠=∠，16BE =，7=，34CE BC =，求课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1A ．AG CG = B ．2B HAB ∠=∠3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在正确的是（ ）A ．2BC BD AB =⋅ B ．CD 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在半径作弧交AC 于点D ，再分别以A．36∠=︒BCE5．（2023·云南临沧△V与BCDACDA．1:2B．6．（2023·山东东营·统考中考真题）于点D，E；分别以点D7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在Rt∆D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在ABC V 中，AB AC =，24BC =，5tan 12C =，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为______．如图2，连接AP ，作APQ ∠，使得APQ B ∠=∠，PQ 交AC 于Q ，则当11BP =时，AQ 的长为______．10．（2020·广东广州·AC '分别交对角线BD 11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C '''V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．14．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．探究发现：如图1，在ABC V 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC V 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC DE ，DB ，则BDE ∠=_______︒，设1AC =，BC =，那么AE =______（用含x 的式子表示）（2）进一步探究发现：512-=底腰，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：51BC -底当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图(1)如图2，在ABC V 中，2BC AB =，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为26，求线段AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD ，AB ＝BC ＝10，∠B ＝60°，E 是边BC 上的动点，以AE 为一边作▱AEFG ，且使得直线FG 经过点D ．（1）如图1，EF 与AD 相交于H ，若H 是EF 的中点．①求证：GF ＝DF ；②若GF ⊥CD ，求GD 的长；（2）如图2，设AE ＝x ，AG ＝y ，当点E 在边BC 上移动时，始终保持∠AEF ＝45°，①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED ，当△AED 是直角三角形时，求DF 的值．2BAC B BAD ∠∠∠=∴= ，设DC x =，则AD BD a ==-22b ax a ax bc ∴=-=， 2a ∴证法2：如图2，延长CA 到点任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，BD 平分ABC ∠．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ，AF BD ⊥于F ．①求证：ABC EAF ∠=∠；②求BF AC的值．∠，交AB于CD平分ACB是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不∠∠，CD平分BCF2CBG。
直角三角形中的射影定理
2 B
B
CEF ∽ ECF BCA
1 B
CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138
没问题吧！
T2 T3
参考答案： 2.证明： ACB Rt CA 2 AD AB AC AD CDAB AC BC CD AB BC CD CA CD CB AD ACB 3.不能。只能证明 CDB ∽ 。
.
A
A’ N B
B’
直角三角形中的成比例线段
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’
B’
A’
B B’ l
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E CDAB 2 CD CE CA D DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CA CF CB CE CF
解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48, BC 48 4 3 cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
子母型相似射影定理
子母型相似射影定理一、引言子母型相似射影定理是几何学中一个重要的定理，它可以帮助我们解决一些与相似三角形相关的问题。
在此文章中，我们将详细介绍子母型相似射影定理的定义、性质和应用，并通过实例来说明其实际运用。
二、子母型相似射影定理的定义子母型相似射影定理是指：在两个相似的三角形中，通过一条平行于两个相似三角形的边的直线，可以得到两个相似三角形的射影比相等。
三、子母型相似射影定理的性质1. 子母型相似射影定理适用于任意相似的三角形，无论是等腰三角形、直角三角形还是一般三角形。
2. 子母型相似射影定理适用于平面内的相似三角形，不限于特定的几何形状。
3. 子母型相似射影定理可以帮助我们推导出两个相似三角形的其他性质，如高度、中线、角平分线等。
四、子母型相似射影定理的应用1. 求解相似三角形的边长比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例和一个已知边长，求解另一个相似三角形的边长。
2. 求解相似三角形的面积比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的面积比例。
3. 求解相似三角形的角度比例: 根据子母型相似射影定理，我们可以通过已知的边长比例，求解相似三角形的角度比例。
4. 推导其他与相似三角形相关的性质: 根据子母型相似射影定理，我们可以推导出相似三角形的高度、中线、角平分线等性质，从而解决更复杂的几何问题。
五、实例分析现在我们通过一个实例来说明子母型相似射影定理的应用。
已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，BC/EF=4/5，求解三角形ABC和三角形DEF的面积比例。
解：根据子母型相似射影定理，我们可以得到AB/DE=BC/EF，即AC/DF=2/3*4/5=8/15。
由于三角形ABC和三角形DEF相似，所以它们的面积比例等于边长比例的平方，即[ABC]/[DEF]=(AC/DF)^2=(8/15)^2=64/225。
因此，三角形ABC和三角形DEF的面积比例为64/225。
相似专题二：母子相似及射影定理
A A’
B B’ l
A’
B’
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
第 二 十 七 章 相 似
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂 线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点 在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
2.各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’ o B’ B l
∴ AB =4.
练习2. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
母 子 相 似
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD ·AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
B
C
D
A
例3 如图32－2－9所示，点D 在△ABC的边AB上，满足怎 样的条件时，△ACD与△ABC 相似？试分别加以列举.
AC 2 AD AB 2 10 20，解得AC 2 5;
BC BD AB 8 10 80，解得BC 4 5.
2
练习1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
九年级数学相似三角形--母子型
相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例:1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论:（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA,△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中,2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC(母子） 结论:△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1。
如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC,BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______。
【练】如图,D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.DCBA【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F ，求证:FC FB FD ⋅=2AD CBADCB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3—1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F,交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HGF EDCBA【练】如图5，RtΔABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______。
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.CBAD类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G,求证:2BC CG CD =•。
相似三角形中的射影定理
相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点】1、直角三角形的性质：〔1〕直角三角形的两个锐角〔2〕Rt △ABC 中，∠C=90º，那么2+2=2〔3〕直角三角形的斜边上的中线长等于〔4〕等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为〔5〕有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理〔只能用于选择填空题〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，那么①∽∽②射影定理：CD 2=· AC 2=· BC 2=·【常规题型】1、：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
求AD 、BD 的长.2、，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
〔1〕假设AD=8，BD=2，求AC 的长。
〔2〕假设AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
BA【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
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感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
初中数学北师大九年级上册图形的相似-射影定理PPT精选全文完整版
1、一般三角形相似的判定方法
（ 1 ） 两 角 分 别 相等 的 两 个 三 角 形 相 似
（ 2 ） 两 边 成比例 且 夹 角 相等的 两 个 三 角 形 相 似
（ 3 ） 三 边 成比例 的 两 个 三 角 形 相 似
2.
（ 4 ） 平 行 于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线）所得的三角形
与原三角形相似
23、. 直角三角形相似的判定方法
（1）一般三角形相似的判定方法
（ 2 ） 一直角边和 斜边 对应成比例的两个直角三角形相似。
新知探究
一、射影
1.如图1，太阳光垂直于L照在A点，留在直线L上的影子应是点A'
，线段AB留在L上的影子是线段A'B'。 2.定义：
A
过线段AB的两个端点分别作直线L的
ECF BCA
E AD
CEF ∽CBA
F B
知识小结
射影定理：
如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°, CD⊥AB于点D，则: CD2=AD·BD BC2=BD·AB AC2=AD·AB
视野拓展
图2
新知探究
二、射影定理
1.如图，是一个十分重要的相似三角形的
基本图形，图中的三角形可称为“子母型
相似三角形”，其应用较为广泛。
12
（1）请你找出图中的相似三角形，并
证明。
（2）请你结合射影的相关知识，研究
这几组相似三角形对应线段的比例关系，
你有什么发现吗？
新知探究
2.射影定理（欧几里得定理）：
C
A
D
B
例题精析
例题精析
例3 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E ，DF⊥BC于F，求证：△CEF∽△CBA
专题02 相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(解析版)
专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD Ð=Ð，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AD ＝94,55BD =，那么BC ＝_______．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到1 2AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB×＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB ，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t -=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =-=-=．在△BPQ 中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t -=，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB，∴PE BQ COAB ×=，即1581255PE =，∴PE ＝910．在△BPE 中，2740BE ===，∴92795408OE OB BE =-=-=，∴点P 的坐标为99(,)810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ）A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC Ð的角平分线，2,AB AD ADE B =Ð=Ð．求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG \=，DBF △．A ．ABP CÐ=ÐB ．APB Ð【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC∴a 2＝CE ，4a 2＝AE ，∴CE AE =，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CE AE）2=116，故选：A ．3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3D ．2【答案】B 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC=CD =6=3∴BC =2，故选：B ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝ ．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据射影定理列式计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝＝5，由射影定理得，AC 2＝AD •AB ，∴AD ＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C ¢¢¢V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C¢¢上，且ACD A C D ¢¢¢∽△△，若___________，则ABDA BD¢¢¢△∽△．请从①BD B D CD C D ¢¢=¢¢；②AB A B CD C D ¢¢=¢¢；③BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】4【分析】根据条件证明ACD ~V 【详解】解：ADC ACB Ð=ÐQ AC AD AB AC\=，即2AC AB AD =×，8.（2022•惠山区九年级专项）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD g BC ，AC 2=CD g CB ，AD 2=BD g CD ；（3）求证：AB g AC =BC g AD【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CADD CB A（2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD g BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD g CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC g CD （3）1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ，∴AB g AC =BC g AD【答案】(1)是，证明见解析(2)125【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC=，从而ACD ABC △∽△，（2）由D 是ABC V 的“理想点”，当D 在AB 上时，证明CD 【详解】（1）解：点D 是ABC V 的“理想点”，理由如下：D Q 是ABC V 的“理想点”，当ACD B Ð=Ð时，ACD ÐQ 90CDB \Ð=°，即CD 是【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得BC AB2BAC B BAD ÐÐÐ=\=Q ，ACD BCA ACD ÐÐ=\~Q V ，AC DC AD BC AC AB\==设DC x =，则AD BD a ==-任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．ABD D \Ð=Ð，CAB Ð\2CAB ABC ÐÐ=Q ，ACB BCD Ð=ÐQ ，AC BC BC CD \=，b a \=【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．13．（2023·安徽合肥·九年级期中）ABC V 中，90ABC Ð=°，BD AC ^，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ^于点H ．（1）求证：ADE CDB V V ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．14．如图1，在ABC V 中，在BC 边上取一点P ，在AC 边上取一点D ，连AP 、PD ，如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP V 相似，我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在ABC V 中AB AC =，50B Ð=°，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，且AD DP =，PAC BPD Ð=Ð，请直接写出PAC Ð的度数；（2）如图3，在ABC V 中，2A C Ð=Ð，在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”，请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”，并说明理由；（3）如图4，在Rt ABC △中4AB AC ==，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，求出AD 长度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）28-【分析】（1）只要证明∠A =∠PAB 即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，只要证明DP =DA ，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA =DP 时．②如图4中，当PA =PD 时．③如图5中，当AP =AD 时．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，∵AB =AC ，DA =DP ，∴∠B =∠C ，∠DAP =∠DPA ，∵∠PAC =∠BPD ，∴∠APC =∠BDP =∠DAP +∠DPA ，∵∠APC =∠B +∠BAP ，∴∠B =∠PAB =50°，∵∠BAC =180°-50°-50°=80°，∴∠PAC =30°故答案为30°．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，∴∠BAP =∠PAD =∠DPA ，∠CPD =∠B ，∵∠CAB =2∠C ，∴∠PAD =∠C ，∴DP =DA ，∴△APD 是等腰三角形且与△APB 与△CDP 相似．（3）如图3′中，当DA =DP 时，设∠APD =∠DAP =x ，①若∠BPD =∠CAP =90°-x ，∠BDP =∠CPA =2x ，∴90°-x +2x +x =180°，∴x =45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD =2，②若∠PDB =∠CAP 时，设∠APD =∠DAP =x ，得到∠PDB =∠CAP =2x ，易知x =30°，设AD =a ，则AP ，∵△BPD ∽△CPA ，∴BD PD AC PA =，即44a -=a 如图4中，当PA =PD 时，易知∠PDB 是钝角，∠CAP 是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD（2-a）=-4+a，AC=4，∴a=4，解得：a=8-如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．综上所述．AD的长为28-．【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED 且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）四边形ABCD由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB Ð=Ð，BD 平分ABC Ð．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ^交BC 于E ，AF BD ^于F ．①求证：ABC EAF Ð=Ð；②求BFAC的值．(1)求证：ABE CAD △△≌；(2)求证：AC FB ∥；(3)若点D ，E ，F 在同一条直线上，如图2，求A BB C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2是中位线，则EG CB ∥，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF 是平行四边形，那么BC AD =，然后通过三角形外角的性质，可以证得ADE ACD Ð=Ð，就能证ACD V 和ADE V 是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：Q 将ACD V 绕点C 逆时针旋转得到FCE △，FCE ACD \△≌△，CE CD \=，2AC CD =Q ，2AC CE \=，2AE AC CE CE CE CE CD \=-=-==，DC ABQ ∥DCA EAB \Ð=Ð，在ABE V 和CAD V 中，AE CD EAB DCA AB CA =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()SAS ABE CAD \△≌△．（2）解：由（1）得BE AD =，ABE CAD Ð=Ð，CEF CDA Q △≌△，FE AD =∴，EFC DAC Ð=Ð，BE FE \=，EFC EBA Ð=Ð，EFB EBF \Ð=Ð，OFB EFB EFC Ð=Ð-ÐQ ，OBF EBF EBA Ð=Ð-Ð，OFB OBF \Ð=Ð，ECF DCA Ð=ÐQ ，OAC OCA \Ð=Ð，180OCA OAC AOC Ð+Ð+Ð=°Q ，180OBF OFB BOF Ð+Ð+Ð=°，又AOC BOF Ð=Ð，OCA OAC OBF OFB \Ð+Ð=Ð+Ð，即22CAO FOB Ð=Ð，（1）求证：2=×；AE FE BEÐ的大小；（2）求AFC。
非学科数学学培训 三角形双垂型、母子型相似(资料附答案)
自学资料一、相似三角形判定与性质综合【知识探索】1．母子型射影定理：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：①AC2=AD•AB;②BC2=BD•BA;③CD2=DA•DB。
2．双垂型第1页共17页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训结论：Rt△ADC∽Rt△BEC∽Rt△AEF∽Rt△BDF【错题精练】例1．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AMMF．其中正确结论的个数是（）＝23A. 5个；B. 4个；C. 3个；D. 2个．【答案】B例2．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．第2页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】（1）略；（2）3．5例3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）证明：AB=AC，∴∠C=∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BEC=90∘，∴△BEC∽△ADC．【答案】（1）略；（2）略．例4．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是高，∠ABC的平分线交AD、AC于E、F，点P是BF延长线上一点，且∠APB=45°，连接PC；以下结论：①CF=2DE；②BE=PE；③AE•CF=AP•EF；④BF•PB+CF•AC=AB2．其中正确的结论是（）第3页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. ①②B. ①③④C. ①②③D. ①②③④【解答】第4页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】C例5．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB=4，∠DBE=30°．则△EDM的面积为（）A. 2B.C.D.第5页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】【答案】B例6．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第6页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【答案】D例7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使第7页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．【解答】（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．∴线段CD的长为4.8；（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴=．∴=．∴PH=﹣t．第8页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】（1）线段CD的长为4.8；（2）当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100；（3）当t 第9页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．例8．如图，O是△ABC的外接圆的圆心，∠ABC=60°，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交⊙O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BD=BH，BG=BO，下列结论：①∠ABO=∠HBC；②AB•BC=2BF•BH；③BM=BD；④△GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④【解答】第10页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】D【举一反三】1．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F．（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）若DE=3，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B =∠DCE，∵CF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFC =∠CED，∴△BCF∽△CDE；（2）解：∵△BCF∽△CDE，∴DECF =DCCB=12，∵DE=3，∴CF=6．【答案】（1）略；（2）6．2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC，AD=3，AB=5，则AFAG的值为．【答案】35．3．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，说明理由．【解答】【答案】见解析4．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（）A.B.C. 1D.【解答】【答案】D5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求证：AC·BC＝AB·CD．【答案】6．△ABC中，∠A=60°，BD，CE是两条高.求证：【答案】7．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CG⊥AD于点G，先利用HL判定Rt△BCE≌Rt△DCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到△BCE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BE•AB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去．（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）8．（2009•梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A.B.C.D.【解答】D【答案】D1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】结合图形，可以把所要证明的线段放到△CBG和△FBC中，两个三角形中已经有一个公共角，只需进一步证明∠BCG=∠F，根据等角的余角相等和圆周角定理，借助中间角∠A即可证明．证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．。
相似里面的射影定理ppt课件
1、已知，如图，FD⊥BC，AC⊥BF（1）、写出与△ABC相似的所有三角形 。
例1
解:
分析：利用射影定理和勾股定理
1、如图,在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB若AD=1，AC=3， 求 BD的长。
例2：在△ABC中，∠BAC=90°，D为AC中点，AE⊥BD，E为垂足，求证：（1） （2）△DCE∽△DBC （3） ∠CBD= ∠ECD
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
（2）、求证：△ABC∽△ADE 。
2、如图,在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB若BC=５，CD=3， 求AC的长。
如图，圆0上一点C在直径AB上的射影为D,AD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长
C
A
D
O
B
A
B
C
D
如图，△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且求证：三角形是直角三角形
如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB此图中有几个直角三角形，它们相似吗？
1.AC2＝AB·AD
3.BC2＝AB·BD
2.CD2＝AD·BD
结论：
射影的三个结论
A
B
C
D
AC2＝AB·AD
BC2＝AB·BD
CD2＝AD·BD
直角三角形射影定理： 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边的在斜边上射影的乘积
(2)SAS判定相似，夹角是直角
(3) HL判定相似，但不能直接用
(常用方法)
“ 射影”
从一点向A'
子母三角形——精选推荐
子母三角形（1）1.“母子直角三角形”“一母生两子，两子皆似母。
”直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个小直角三角形，这两个小直角三角形都和原直角三角形相似。
在直角三角形母子相似形中有三个重要的结论（射影定理）：2.“母子等腰三角形”母子等腰三角形之所以重要，是因为它与黄金分割有着千丝万缕的关系．典例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=36°，作∠C 的平分线CD ，交AB 于D ，求证：BC=AD=215-AB 。
经典例题1.．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C ′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n ]．（1）如图①，对△ABC 作变换[60°，3]得△AB′C′，那么AB C ABCS S ''∆∆= ； 直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为 度．（2）如图②，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB'C'， 使点B 、C 、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n 的值．（3）如图③，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =36°，BC =l ，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB′C′，使点B 、C 、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n 的值．D CB A CD AD BD AC AB AD BC BA BD222===···2．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知⊙O 的半径长为1，PQ 是⊙O 的直径，点M 是PQ 延长线上一点，以点M 为圆心作圆，与⊙O 交于A 、B 两点，联结P A 并延长，交⊙M 于另外一点C .(1) 若AB 恰好是⊙O 的直径，设OM=x ，AC=y ，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y 关于x 的函数解析式；(2) 联结OA 、MA 、MC ，若OA ⊥MA ，且△OMA 与△PMC 相似，求OM 的长度和⊙M 的半径长；(3) 是否存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM 的长度和⊙M 的半径长；若不存在，试说明理由.图12 Q P O M A B 图11 C Q P O M。
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解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48,
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
BC 48 4 3 cm.
练习2 1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
AC 2 AD AB 2 10 20，解得AC 2 5;
BC BD AB 8 10 80，解得BC 4 5.
2
练习1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
第 二 十 七 章 相 似
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂 线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点 在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
2.各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’ o B’ B l
思考1：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=k/x（k＞0） 的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7． （1）求点B的坐标和线段PB的长； （2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．
思考2 如图1 36 , ABC 中, 顶点 C 在 AB 边上的射影为 D, 且 CD 2 AD BD.求证 : ABC是直角三角形.
C
A
D
B
这也是母子相似 , 但只有1对三角形 相似
新知应用
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , 母 子 相 似
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,
A A’
B B’ l
A’
B’
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
C
证明 在CDA和BDC中,因为 点C在AB
AB.因而CDA BDC 900 . 又因为 CD2 AD DB, 即 AD : CD CD : DB. 所以CDA ~ BDC. 故CAD BCD.
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB 90 , 因此 ABC是直角三角形 . 2015/12/8
∴ ΔACD ∽ΔABC
∴AC2=AD · AB
∴ ΔBCD ∽ΔABC
∴BC2=BD · AB
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, C 求CD,AC和BC的长.
解 : ACB是半圆上的圆周角， ACB 90 ,即ABC是直角三角形.
0
A
D
O
B
由射影定理可得 CD2 AD BD 2 8 16，解得CD 4;
∴ AB =4.
练习2. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
母 子 相 似
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD ·AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
B
C
D
A
例3 如图32－2－9所示，点D 在△ABC的边AB上，满足怎 样的条件时，△ACD与△ABC 相似？试分别加以列举.
求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
2.(2007广州一模)如图所示，圆O上 一点C在直径AB上的射影为D， B CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 5 ． _____
C O D A
例2.
D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD· AB
2 2 2
C
D
B
母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成 的两个直角三角形和原三角形相似。 C
格式：
1.∵∠A=∠BCD
∴ΔACD∽ΔCBD
A D
射影定理：
（1）AC2=AD · AB （2）BC2=BD · AB （3）CD2=AD · DB
B
∴CD2=AD
· DB
3.∵∠B=∠B
2.∵∠A=∠A
0
思考3、已知直角三角形 ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点， DE AB
交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ） A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm 2、如图1-1，在Rt ABC
D、1.3cm
中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只 要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长. A、1 B、2 C、3 D、4