相似专题二：母子相似及射影定理
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2 2 2
C
D
B
母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成 的两个直角三角形和原三角形相似。 C
格式：
1.∵∠A=∠BCD
∴ΔACD∽ΔCBD
A D
射影定理：
（1）AC2=AD · AB （2）BC2=BD · AB （3）CD2=AD · DB
B
∴CD2=AD
· DB
3.∵∠B=∠B
2.∵∠A=∠A
A A’
B B’ l
A’
B’
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
求：BD,AB,AC,BC的长
ห้องสมุดไป่ตู้
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
2.(2007广州一模)如图所示，圆O上 一点C在直径AB上的射影为D， B CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 5 ． _____
C O D A
例2.
D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD· AB
∴ ΔACD ∽ΔABC
∴AC2=AD · AB
∴ ΔBCD ∽ΔABC
∴BC2=BD · AB
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, C 求CD,AC和BC的长.
解 : ACB是半圆上的圆周角， ACB 90 ,即ABC是直角三角形.
0
A
D
O
B
由射影定理可得 CD2 AD BD 2 8 16，解得CD 4;
AC 16 4cm;
解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48,
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
BC 48 4 3 cm.
练习2 1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
思考1：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=k/x（k＞0） 的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7． （1）求点B的坐标和线段PB的长； （2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．
思考2 如图1 36 , ABC 中, 顶点 C 在 AB 边上的射影为 D, 且 CD 2 AD BD.求证 : ABC是直角三角形.
第 二 十 七 章 相 似
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂 线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点 在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
2.各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’ o B’ B l
AC 2 AD AB 2 10 20，解得AC 2 5;
BC BD AB 8 10 80，解得BC 4 5.
2
练习1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
∴ AB =4.
练习2. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
母 子 相 似
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD ·AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
B
C
D
A
例3 如图32－2－9所示，点D 在△ABC的边AB上，满足怎 样的条件时，△ACD与△ABC 相似？试分别加以列举.
C
证明 在CDA和BDC中,因为 点C在AB上的射影为 D, 所以CD
A
D
B
图1 36
AB.因而CDA BDC 900 . 又因为 CD2 AD DB, 即 AD : CD CD : DB. 所以CDA ~ BDC. 故CAD BCD.
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB 90 , 因此 ABC是直角三角形 . 2015/12/8
0
思考3、已知直角三角形 ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点， DE AB
交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ） A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm 2、如图1-1，在Rt ABC
D、1.3cm
中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只 要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长. A、1 B、2 C、3 D、4
C
A
D
B
这也是母子相似 , 但只有1对三角形 相似
新知应用
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , 母 子 相 似
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,
C
D
B
母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成 的两个直角三角形和原三角形相似。 C
格式：
1.∵∠A=∠BCD
∴ΔACD∽ΔCBD
A D
射影定理：
（1）AC2=AD · AB （2）BC2=BD · AB （3）CD2=AD · DB
B
∴CD2=AD
· DB
3.∵∠B=∠B
2.∵∠A=∠A
A A’
B B’ l
A’
B’
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
已知直角三角形ABC，CD垂直AB 问：1．图中有几个Rt△? 2．有几对△相似？ DB 3．CD =？ AD· AB AC =？ AD· A BC =？ BD· BA
求：BD,AB,AC,BC的长
ห้องสมุดไป่ตู้
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
2.(2007广州一模)如图所示，圆O上 一点C在直径AB上的射影为D， B CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 5 ． _____
C O D A
例2.
D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD· AB
∴ ΔACD ∽ΔABC
∴AC2=AD · AB
∴ ΔBCD ∽ΔABC
∴BC2=BD · AB
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, C 求CD,AC和BC的长.
解 : ACB是半圆上的圆周角， ACB 90 ,即ABC是直角三角形.
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A
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O
B
由射影定理可得 CD2 AD BD 2 8 16，解得CD 4;
AC 16 4cm;
解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48,
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
BC 48 4 3 cm.
练习2 1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
思考1：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=k/x（k＞0） 的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7． （1）求点B的坐标和线段PB的长； （2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．
思考2 如图1 36 , ABC 中, 顶点 C 在 AB 边上的射影为 D, 且 CD 2 AD BD.求证 : ABC是直角三角形.
第 二 十 七 章 相 似
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂 线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点 在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
2.各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’ o B’ B l
AC 2 AD AB 2 10 20，解得AC 2 5;
BC BD AB 8 10 80，解得BC 4 5.
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练习1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
∴ AB =4.
练习2. 已知:如图,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
母 子 相 似
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD ·AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
B
C
D
A
例3 如图32－2－9所示，点D 在△ABC的边AB上，满足怎 样的条件时，△ACD与△ABC 相似？试分别加以列举.
C
证明 在CDA和BDC中,因为 点C在AB上的射影为 D, 所以CD
A
D
B
图1 36
AB.因而CDA BDC 900 . 又因为 CD2 AD DB, 即 AD : CD CD : DB. 所以CDA ~ BDC. 故CAD BCD.
在ACD中,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB 90 , 因此 ABC是直角三角形 . 2015/12/8
0
思考3、已知直角三角形 ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点， DE AB
交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ） A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm 2、如图1-1，在Rt ABC
D、1.3cm
中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只 要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长. A、1 B、2 C、3 D、4
C
A
D
B
这也是母子相似 , 但只有1对三角形 相似
新知应用
练习1. 已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , 母 子 相 似
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,