两直线平行
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两直线的位置关系
--两直线平行
一、复习提问:
你知道用什么来刻画直线的倾斜程度吗? 那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的 位置关系呢?
提问:
平面内两条不重合的直线的位置 关系有哪几种？
平行
相交
那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的 位置关系呢?
y y
α
0
α
x 0
x
倾斜角:α
y
倾斜角:00
0
x
倾斜角:900
又所求直线与已知直线平行， 所以它的斜率也是– 2/3. 根据点斜式，得所求直线方程是 y＋4 = - 2/3（x－1），
即
2x＋3y＋10 = 0 .
7 例3，求证：顺次连结（ A 2， 3）、（ B 5，- ）、C （2， 3） 2 D （ 4，）四点所得的四边形是梯形。 4
y
D●
分析:1.什么是梯形? 2.怎么样处理直线平行?
(C m)
练习:
1 1)求过点( , 2), 且与直线 2 x 2 y 5 0平行的直线方程。
2)当a为何值时，直线(a 1) x 6 y 7 0 与x 2 y 5 0平行。
思考
如果直线 ax＋2y＋2 = 0 与3x－y－2 = 0平行，那么系数a = （ B ）
证明1:
1 7 1 5 l1 :y = x + , l2 :y = x + 2 4 2 2 ∵k1 = k2 ,b1 ≠ b2 ∴l1 //l2。
A1 BHale Waihona Puke Baidu C1 A2 B2 C2
证明2:
例2.求过点 A（1，- 4）且与直线 2x+3y+5 = 0 平行的直线的方程.
解法1：已知直线的斜率是 – 2/3，
例2: 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平 行的直线方程.
你的结果2x+3y+10=0与已知直线 2x+3y+5=0有什么不同? 待定系数法:设所求直线为2x+3y+c=0
将x=1,y=-4代入得2x+3y+10=0
重要方法 与直线Ax By C 0平行的直线可设为:
Ax By m 0
A. - 3
C. - 3/2
B.
- 6
D. 2/3
两直线 mx＋y－n =0和 x＋my＋1 =0 互相平行的条件是什么？
四、课堂小结：
判断两直线平行的方法： 在两条直线不重合的前提下， (１).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都存在，则直线 平行能得到斜率相等；反之，斜率相等也能 得到直线平行． (２).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都不存在,那么两 直线都垂直于Ｘ轴，故它们平行．
两直线平行的充要条件是什么? l : y k x b 1 1 1 l2 : y k2 x b2 1、
l1与l 2重合 k1 k 2且b1 b2 ２、l : A x B C 0 l 2 : A2 x B2 y C2 0 1 1 2 1
l1平行于l 2
-4
3
C
●
o
-3
2
●
5
x
B
A
●
7 (3) 1 2 解： k AB 52 6 7 3 ( ) 13 2 kBC 25 6
y
D● 3
C
●
-4
kCD
k DA
3 4 7 2 (4) 6
43 1 4 2 6
o
-3
2
●
5
●
x
B
A
k AB kCD , kBC kDA
直线AB CD，而直线BC与DA不平行。
若两直线方程均为一般式时,我们又 如何判定两直线平行呢?
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
试探求l1∥l2 的条件？
重要结论
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
判断两条直线平行的程序
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在 k1= k2 b1≠b2 平行或重合
化为 斜截 式方 程
两条 直线 斜率 截距
平行
k1= k2 b1= b2
k1 ≠ k2
重合
相交
例1。已知直线方程l1 : 2 x 4 y 7 0, l2 : x 2 y 5 0, 证明：l1 / / l2。 把l1、l2的方程写成斜截式
若两直线平行 它们的倾斜角如何?
相等 两直线在Y轴上 的截距又如何? 不等
相等
y
A
B
l1
C
D
E
l2
F
o
x
那他们的斜率呢?
当直线 l1 和 l2 是斜截式方程即
l1：y = k1 x +b 1 l2： y = k2 x +b 2 时
直线 l1 ∥l2 的条件是什么? k1 = k2 且 b 1 ≠b 2 . 若两直线l1 、l2斜率都不存在也 不重合则两直线位置关系怎样? l1：x=a1 l2： x=a2（ a1 ≠ a2 ） l1 ∥ l2
l1∥l2
A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
变式: 已知直线
l1 : ax 2 y 6 0
l2 : x (a 1) y a 1 0
2
平行求实数a的值。
例2: 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平 行的直线方程. 分析：求直线的方程需要哪些条件？还差什 么条件？可以怎么求？
l1平行于l2 k k2且b1 b2
A1 B2 A2 B1 0且B1C2 B2C1
或AC 1 2 A 2C1
l1与l 2重合 A1 B2 A2 B1 0且B1C2 B2C1
--两直线平行
一、复习提问:
你知道用什么来刻画直线的倾斜程度吗? 那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的 位置关系呢?
提问:
平面内两条不重合的直线的位置 关系有哪几种？
平行
相交
那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的 位置关系呢?
y y
α
0
α
x 0
x
倾斜角:α
y
倾斜角:00
0
x
倾斜角:900
又所求直线与已知直线平行， 所以它的斜率也是– 2/3. 根据点斜式，得所求直线方程是 y＋4 = - 2/3（x－1），
即
2x＋3y＋10 = 0 .
7 例3，求证：顺次连结（ A 2， 3）、（ B 5，- ）、C （2， 3） 2 D （ 4，）四点所得的四边形是梯形。 4
y
D●
分析:1.什么是梯形? 2.怎么样处理直线平行?
(C m)
练习:
1 1)求过点( , 2), 且与直线 2 x 2 y 5 0平行的直线方程。
2)当a为何值时，直线(a 1) x 6 y 7 0 与x 2 y 5 0平行。
思考
如果直线 ax＋2y＋2 = 0 与3x－y－2 = 0平行，那么系数a = （ B ）
证明1:
1 7 1 5 l1 :y = x + , l2 :y = x + 2 4 2 2 ∵k1 = k2 ,b1 ≠ b2 ∴l1 //l2。
A1 BHale Waihona Puke Baidu C1 A2 B2 C2
证明2:
例2.求过点 A（1，- 4）且与直线 2x+3y+5 = 0 平行的直线的方程.
解法1：已知直线的斜率是 – 2/3，
例2: 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平 行的直线方程.
你的结果2x+3y+10=0与已知直线 2x+3y+5=0有什么不同? 待定系数法:设所求直线为2x+3y+c=0
将x=1,y=-4代入得2x+3y+10=0
重要方法 与直线Ax By C 0平行的直线可设为:
Ax By m 0
A. - 3
C. - 3/2
B.
- 6
D. 2/3
两直线 mx＋y－n =0和 x＋my＋1 =0 互相平行的条件是什么？
四、课堂小结：
判断两直线平行的方法： 在两条直线不重合的前提下， (１).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都存在，则直线 平行能得到斜率相等；反之，斜率相等也能 得到直线平行． (２).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都不存在,那么两 直线都垂直于Ｘ轴，故它们平行．
两直线平行的充要条件是什么? l : y k x b 1 1 1 l2 : y k2 x b2 1、
l1与l 2重合 k1 k 2且b1 b2 ２、l : A x B C 0 l 2 : A2 x B2 y C2 0 1 1 2 1
l1平行于l 2
-4
3
C
●
o
-3
2
●
5
x
B
A
●
7 (3) 1 2 解： k AB 52 6 7 3 ( ) 13 2 kBC 25 6
y
D● 3
C
●
-4
kCD
k DA
3 4 7 2 (4) 6
43 1 4 2 6
o
-3
2
●
5
●
x
B
A
k AB kCD , kBC kDA
直线AB CD，而直线BC与DA不平行。
若两直线方程均为一般式时,我们又 如何判定两直线平行呢?
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
试探求l1∥l2 的条件？
重要结论
l1：A1x + B1y +C1 = 0， l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
判断两条直线平行的程序
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在 k1= k2 b1≠b2 平行或重合
化为 斜截 式方 程
两条 直线 斜率 截距
平行
k1= k2 b1= b2
k1 ≠ k2
重合
相交
例1。已知直线方程l1 : 2 x 4 y 7 0, l2 : x 2 y 5 0, 证明：l1 / / l2。 把l1、l2的方程写成斜截式
若两直线平行 它们的倾斜角如何?
相等 两直线在Y轴上 的截距又如何? 不等
相等
y
A
B
l1
C
D
E
l2
F
o
x
那他们的斜率呢?
当直线 l1 和 l2 是斜截式方程即
l1：y = k1 x +b 1 l2： y = k2 x +b 2 时
直线 l1 ∥l2 的条件是什么? k1 = k2 且 b 1 ≠b 2 . 若两直线l1 、l2斜率都不存在也 不重合则两直线位置关系怎样? l1：x=a1 l2： x=a2（ a1 ≠ a2 ） l1 ∥ l2
l1∥l2
A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
变式: 已知直线
l1 : ax 2 y 6 0
l2 : x (a 1) y a 1 0
2
平行求实数a的值。
例2: 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平 行的直线方程. 分析：求直线的方程需要哪些条件？还差什 么条件？可以怎么求？
l1平行于l2 k k2且b1 b2
A1 B2 A2 B1 0且B1C2 B2C1
或AC 1 2 A 2C1
l1与l 2重合 A1 B2 A2 B1 0且B1C2 B2C1