第四章 时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场
作业06_第四章时变电磁场-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第四章 时变电磁场1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=⨯⨯-，求位移电流密度。
2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度58210sin(10)x E t e -=⨯π，计算在92.510s t -=⨯时刻，媒质中的传导电流密度c J 和位移电流密度d J 。
3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =⨯-，求空间任一点的磁场强度H 和磁感应强度B 。
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V u t =π。
求极板间任意点的位移电流密度。
5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。
求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 20002)V/m x E =t z e ωβ-， 5.32sin()A/m y H =t z e ωβ-式中，20MHz f =，0.42rad/m β==。
求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。
7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问：(1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量；(2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第4章 时变电磁场【圣才出品】
（2）推导 J% j&。提示：
r A
0。
解：（1） H% J% jD% jD%，方程左边做旋度运算，有：
H% H% 2H%
由于 H%
1 j
E%，于是有
H% 0
4 / 17
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Ñ
s
v (E
v H)
v dS
d dt
(We
Wm )
P
或
Ñ
vv v (E H ) dS
d
(1 E2 1 H 2 )d
E2d
s
dt 2
2
反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。
4．试解释什么是 TEM 波。 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；若电磁场分量都在横向平面中，则称这种 波称为平面波；又称横电磁波即 TEM 波。
f ck 3108 3 4.5 108 Hz
2π 2π
π
E% jB%
2．从复数形式的麦克斯韦方程组源自 H% J% D% &
j
D%推导：
B% 0
（1）自由空间（ & 0、 J% 0 ）磁场复数形式波动方程 2 k 2 H% 0 。提示：
r
r
r
A A 2A ；
5．说明矢量磁位和库仑规范。
答： 由于 g( A) 0 ，而 gB 0 ，所以令 B A ，A 称为矢量磁位，它是一
个辅助性质的矢量。从确定一个矢量场来说，只知道一个方程是不够的，还需要知道 A 的
散度方程后才能唯一确定 A，在恒定磁场的情况下，一般总是规定 gA 0 ，这种规定为
库仑规范。
增加的电磁场能量与损耗的能量之和——能量守恒。
高中物理选择性必修2 第四章 第2、3节 电磁场与电磁波 无线电波的发射和接收
第四章第2、3节电磁场与电磁波、无线电波的发射和接收教学设计一、教材分析电磁场的形成、电磁波的产生以及发射和接收是这两节的知识主干，在物理观念的形成上作为重点落实。
由于LC回路产生电磁振荡不如机械振动直观，要引导学生结合教材图示分析理解，并通过多媒体手段和实验演示等讲这一过程形象化，帮助学生在物理思维的培养上再上一个台阶。
电磁场的概念和麦克斯韦电磁理论是电磁学的核心内容，但是中学对电磁场理论是要求初步了解。
教材突出了理论的核心内容是：变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，交替产生的电场和磁场传播出去形成电磁波。
能够动手实验的要学生亲自动手培养学生的科学探究能力。
无线电波的发射和接收涉及概念较多，可以结合图表、思维导图、流程图等多种手段，或者利用运送货物的装卸等流程来帮助学生理解调制、调谐、解调等一系列名次含义。
对电磁波的发现以及无线电波的应用，可以介绍赫兹和马可尼等人的不懈努力以及科技成果，落实培养学生的科学态度与责任。
二、学情分析学生在学习电磁场理论时，已经具备：静电场的知识、电流的产生和电流的磁效应知识、电磁感应现象等知识；接触并了解过电磁波的接收(半导体收音机等)或发射的机械设备。
学生对电磁场的知识掌握还不够全面和系统化，要更好的创设情境，精心组织素材，进一步培养学生的抽象思维和创造思维能力。
三、素养目标1．了解电磁场的形成、电磁波的产生。
2．了解电磁波的发射、传播和接收过程，知道无线电通信的基本原理。
3.能正确区分调制、调幅、调频、调谐和解调等概念。
4.结合实际生活，说出无线电通信在生活中的应用。
四、教学重点、难点1．教学重点：电磁场的形成、电磁波的产生、无线电的传播过程。
2．教学难点：无线电波传播的各种概念辨析。
五、教学方法实验演示法、类比分析法.六、教学过程同学们请看，这是电视台发射电视信号的信号塔效果图。
那么，为什么要建高耸入云的发射塔呢？这是为了接受信号，也就是电磁波。
接下来我们就来学习一下关于电磁波以及电磁波的发射和接收的相关知识。
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
《电磁场与电磁波》第四章 时变电磁场
r H
r e
I
2π
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
[er
U
ln(b
a)] (er
I)
2π
r ez
UI
2π 2 ln(b
a)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
原因：未规定 A的散度。
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 的A散度使位函数满足的方程得以简
化。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
r
(H0) 0
r E0
r H0 t
r
( E0 ) 0
根据坡印廷定理，应有
S
(E0
H0
)
endS
d dt
V
(1
2
H0
2
1 2
E0
2
)dV
2
V
E0
dV
rr
根据 E0 和 H0的边界条件，上式左端的被积函数为
r (E0
(E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。 S
推证 由
H Ε
J
D
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
2015作业04_第四章时变电磁场答案
5.一个球形电容器的内、外半径分别为 a 和 b ，内、外导体间材料的介电常数为 ε ， 电导率为 γ ，在内、外导体间加低频电压 u = Um sin ωt 。求内、外导体间的全电 流。
解：设球形电容器带有电量为 q ，由高斯定律
v∫ S
KK D ⋅ dS
=
D 4πr 2
=
q
⇒
D
=
q 4πr 2
−
20.9
K z)ey
A/m ，
K B
=
3.33 ×10−10
cos(6.28 ×109 t
−
K 20.9z)ey
T
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为 r1 = 1cm 、r2 = 4cm ，长度 l = 0.5m ， 极板间介质介电常数为 4ε0 ，极板间接交流电源，电压为 u = 6000 2 sin100πt V 。 求极板间任意点的位移电流密度。
解：由于 r1 l ，r2 l ，所以两柱型极板间的场可以看成是无限长带电圆柱面产
生的场，设柱型极板上电荷线密度为τ ，选取柱型高斯面，由高斯定理可得：
v∫
S
K D
⋅
K dS
=
D2πrl
=
τ
l
⇒D= τ 2πr
E= τ 2πε r
两极板之间的电势差为
∫ ∫ u =
KK E ⋅ dl =
r2
τ
K E
=
2 ×10−5
sin(108
πt
K )ex
，计算在
t
=
2.5 ×10−9
s
时刻，媒质中的传导电流密度
K Jc
和
位移电流密度
K Jd
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
第四章-电磁辐射2讲
30~300K 300~3000K 3~30M 30~300M 300~3000M
无线电广播
电视
微波技术
电磁辐射五大影响 世界卫生组织调查显示，电 磁辐射对人体有五大影响： 1.电磁辐射是心血 管疾病、糖尿病、癌突变的主要诱因 2.电磁辐 射对人体生殖系统、神经系统和免疫系统造成 直接伤害 3.电磁辐射是造成流产、不育、畸胎 等病变的诱发因素 4.过量的电磁辐射直接影响 大脑组织发育、骨髓发育、视力下降、肝病、 造血功能下降，严重者可导致视网膜脱落 5.电 磁辐射可使男性性功能下降，女性内分泌紊乱 ，月经失调。
低频电磁辐射作用于人体后，体温并不会 明显提高，但会干扰人体的固有微弱电磁 场，使血液、淋巴和细胞原生质发生改变 ，造成细胞内的脱氧核糖核酸受损和遗传 基因发生突变，进而诱发白血病和肿瘤， 还会引起胚胎染色体改变，并导致婴儿的 畸形或孕妇的自然流产。电磁辐射作用于 神经系统， 影响新陈代谢及脑电流，使人 的行为及相关器官发生变化，继而影响人 体的循环系统、免疫及生殖和代谢功能， 严重的甚至会诱发癌症。
1.0
1~10
1.5
35
3.0
66~110
4.0
220
5.0
330
6.0
500
8.5
② 当交流电频率在每秒十万次以上，形成高频的电磁场。 无线电广播、电视、微波的迅速普及，射频设备功率成倍 提高，已达到直接威胁人体健康的程度。
低频 长波 中频 中波 高频 短波 甚高频 超短波 特高频 微波 超高频 极高频
电磁辐射（电磁波）：变化的电场与磁场交替地产生，由近及远，互相 垂直（亦与自己的运动方向垂直），并以一定速度在空间传播的过程中 不断地向周围空间辐射能量，这种辐射的能量称为电磁辐射，亦称为电 磁波。 频率、波长与波速： C=3×108m/s，λ=c/f
04第四章-时变电磁场和时谐电磁场(1)
电磁场与电磁波_ 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件的一般形式
一、H 的切向分量的边界条件
取一小矩形回路，两个边 l 分别
位取于H分沿界此面闭两合侧回，路的h 线积0 分，，
由
CH
单位
电场强度
E
V/m
电的
电通量密度
D
C/m^2
（电位移矢量）
磁通量密度
B
T
磁的 （磁感应强度）
磁场强度
H
A/m
回顾以上矢量场量的引入
E是讨论自由空间中静电学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位试验电荷上的电作用力
F qE
D是研究电介质中的电场时引入的辅助量
D E 0E P
B是讨论自由空间中静磁学时引入的唯一矢量，其物理意义 是单位长度电流上的磁作用力
D →高斯定律。电场的一个源是静止电荷；电场有通量源
电动力学的基本方程：麦克斯韦方程 +
f
qv
B
+
f
m
dv
dt
电磁场的基本方程： 麦克斯韦方程 第16页
电磁场与电磁波 时变电磁场
2.6.3 媒质的本构关系(电磁场的辅助方程)
本构关系(组成关系、流量关系、特性方程)
SB dS 0
S D dS q
麦克斯韦方程组： 宏观电磁现象所电遵子循科学的与工基程本学院规律，周是俊 电磁场的基本方程。
电磁场与电磁波_ 2.6 麦克斯韦方程组
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式(点函数形式)
微分形式(麦克斯韦方程的不限定形式)：
所 不 因从 HE有符此18的，)6J。4宏 麦年Bt理观 克提Dt论→电 斯出变上→磁 韦到化也变场方目磁化没问程场前电有产题组为场找生被,止产到并电生认，场任且磁为麦；从何场是克位未真；2移斯J出正0、磁世韦J现值流d纪方是过得是磁之程电错挑场前可场误剔的最以的的(涡成或涡用流东流功与来源西源的实求。物验解 理 B学方0 程→,磁被通称连为续“性上。自帝然的界符不号存”在。磁荷；磁场无通量源
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。
本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。
在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。
例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
第四章 时变电磁场
∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|
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A
的散度使位函数满足的方程得以简
化。
在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即
A
0
t
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
位函数的微分方程
D E
H
B
H
J
D
B
J
E
B A
E
t A
t
t
A
J
(
A
)
t t
A
( A) 2 A
2 A
A
0
t
B
t
Ε H
H
Ε
ΕJ
H
Ε
B
t
D t
将以上两式相减，得到
ΕH H
Ε
Ε
J
Ε
D
H
B
t
t
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有
Ε
D
Ε
Ε
1
(Ε Ε)
(1
Ε D)
t
t 2 t
t 2
H
B
H
H
1
(H
H)
(1
H
B)
t
t 2
t
t 2
再利用矢量恒等式： Ε H H Ε (Ε H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
(Ε H)
(1
ΕD
1
H
B) Ε J
t 2
2
在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度 定理，即可得到坡印廷定理的积分形式
S
(E
H
)
dS
d dt
V
(1 2
E
D
1 2
H
B)
dV
V
E
J
dV
物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）
描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
定义：S
Ε
H
( W/m2 )
E
物理意义：
S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
S
H
能流密度矢量
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传
输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体
表面进入每单位长度内导体的功率。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场
问题的提出
4.1 波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场
间的相互作用关系
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性
麦克斯韦方程组
波动方程
无源区的波动方程
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
电磁能量及守恒关系
电场能量密度：
we
1 2
E
D
dW dt
磁场能量密度： 电磁能量密度：
wm
1 2
H
B
w we wm
1 2
E
D
S
1
H
2
B
V
空间区域V中的电磁能量：W wdV
(1
E
D
1
H
B)dV
V
V2
2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随
2A t 2
J
(
A
2
A
2 A t 2
J
t
)
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2
2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2 2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒
质，则有
2E
2E t 2
0
2H
2H t 2
0
电磁波动方程
推证
H
Ε
Ε
t
H
t
H Ε
0 0
同理可得 问题
2E
2E t 2
0
若为有源空间，结果如何？
若为导电媒质，结果如何？
H
(
E )
t
( H )
2H
S
EH
[e
U ln(b
a)] (e
I)
2
ez
UI
2 2 ln(b
a)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负 载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P
S S ezdS
b a
UI
2 2 ln(b
同轴线
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存 在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量， 只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内 外导体之间的电场和磁场分别为
U
E e ln(b a) ,
I
H e 2
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
2H t 2
2H
2H t 2
0
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B 0
Ε
B
t
B A
(Ε
A)
0
t
E
A
t
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（A、）和（A、）能描述同
2
V
其中：d
(
1
E
D
1
H
B)
dV
——
单位时间内体积V
中所增加
dt V 2
2
的电磁能量
E
J
dV
——
单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；
V
在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率
(E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率 S
推证 由
H Ε
J
D
t
时间改变，从而引起电磁能量流动
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
坡印廷定理
表征电磁能量守恒关系的定理
微分形式：
(E H)
(1
E
D
1
H
B)
E
J
t 2
2
积分形式：
(E H ) dS
d
(1
E
D
1
H
B)
dV
E J dV
S
dt V 2
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
A (A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位
函数之间的上述变换称为规范变换
原因：未规定
A
的散度
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用位
函数的不确定性，可通过规定