实数经典例题及习题。dos2.doc

第二章实数综合练习题

、实数的概念及分类

1、实数的分类

「正有理数r

「有理数3 零卜整数、有限小数和无限循环小数实数' L负有理数」

「正无理数r

L无理数Y 卜无限不循环小数

L负无理数」

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数，如J7,扼等；

（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如兰+8等；

3

（3）有特定结构的数,如0.1010010001…等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果&与4互为相反数, 则有a+b=0, a=—b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（lalNO）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若lal=a，则Q0；若lal=-a,则龙0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一•对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一•般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算木平方根。特别地，。的算术平方根是0。

表示方法:记作“西”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根:一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“土石”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方°

4ab = y[a •4b {a > 0,b > 0)

-a(a < 0) ( 4 脖辛5>0)

注意石的双重非负性:

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

表示方法：记作插

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：-如，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的儿种常用方法

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-h>O<^>a>b, a-b = O = ci = b, a-b <0 a

(3)平方法：设a、b是两负实数，则a2 >b2 ^>a

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“、厂”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

(1 ) (V^)2=a(a>0)( 3 )

(4a • 4b = 4ah(a > 0,。> 0))

仁a (a > 0)

(2) 4^ = Cl = Y

4b

3、最简二次根式：运算结果若含有形式，必须满足:

乘法交换律

乘法结合律

ab = ba (ab)c =

a(hc)

（1）9的平方根是（

）。

-3 B. 3 C. ±3 D. 81

（2） 16算术平方根是（ )o A. ±4 B. -4 C.4 D. 2

Jx- 3y+ I 3.己知w 1

x 2- 9

x+ 3)2

aV-bVbV-a

-bVaOaVb

aV-bV —aVb

D ・-bVaVbV-a

6.求下列各式中的x 。 （1）（2"沪16=0；

(2)

3疽+

81

125

（1） 被开方数的因数是整数，因式是整式； （2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算

（1） 六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 （2） 实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3） 运算律：运算律在无理数范围内仍然适用 力n 法交换律 a + h = h +a

加法结合律 （。+幻+ c =。+ （Z? + c ）

乘法对加法的分配律Q （b + c ） = ab + ac

1.

实数a 、b 、c 在数轴上的对应

点如图，求a+|o+Z?|- ■ \b- c|的值。

x

0,求一的

值。

y

4.

若 a+bVO, a<0, b>0,则 a, -a, b, -b 的大小关系为(

)。

B i

际-i

5.

估计与0.5大小关系是 0.5 （填”

或“＜）°

2

2