二项式知识点十大问题练习含答案资料全
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式知识点+十大问题+练习(含答案)
二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈；2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项；是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b-+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0；是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ；是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等；即0n n nC C =；···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=； 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理十大典型例题纯WORD版
⼆项式定理⼗⼤典型例题纯WORD版1．⼆项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①⼆项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的⼆项展开式。
②⼆项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做⼆项式展开式的通项。
⽤1r n r r r n T C a b -+=表⽰。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分⼆项式系数与项的系数，⼆项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括⼆项式系数）。
4．常⽤的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①⼆项式系数的对称性：与⾸末两端“对距离”的两个⼆项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n nC C -= ②⼆项式系数和：令1a b ==,则⼆项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
（完整版）二项式定理（习题含答案）
（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。
用丁i =C；a n」b r表示。
3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。
(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
项式定理十大典型问题及例题
,则有 ①， ,则有 ②
将①-②得：
有题意得， ， 。
练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。
解： ， ，解得
所以中间两个项分别为 ， ，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少
练：求式子 的常数项
解： ，设第 项为常解：
.
练：
解：
.
练：
解：
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：
题型十：赋值法；
例：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若
,则 等于多少
解：若 ，有 ， ，
令 得 ，又 ,即 解得 ， .
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
6、 = ，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为
7、若 展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小
7、由条件得m+n=21，x2的项为 ，则 因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
教学内容
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 .
③项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案(可编辑修改word版)
练：求 (x2 1 )9 展开式中 x9 的系数？ 2x
解： Tr1
C9r
(
x
2
)9
r
(
1 2x
)r
C9r
x182r
(
1 2
)r
xr
C9r
(
1 2
)r
x183r
，令18
3r
9 ,则 r
3
故
x9
的系数为 C93 (
1 )3 2
21 2
。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 (x2 1 )10 的展开式中的常数项？ 2x
令x则①1, a0 a1 a2 a3 an (a 1)n
令x则 1, a0 a1 a2 a3 an (a 1)n ②
①② 得奇,数a0项 的 a2 系 a数4 和
an
(a
1)n
2
(a
1) n
(
)
①② 得偶,数a1项 a的3 系a数5 和 an
(a
1)n
(a 2
1) n
(
)
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大
值。
n1
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时
取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分
变形式 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n 1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn (11)n 0 ，
完整版二项式定理十大典型问题及例题
题型一：二项式定理的逆用；
1232nn?1C?C?6?C?6?L?C?6?.例：nnnnn012233nn(1?6)?C?C?6?C?6?C?6?L?C?6与已知的有一些差距，解：nnnnn112n2n123n2n?1?6?L?6C)?C?C??C6??6??6(C??C6L??Cnnnnnnn6111nn0n122n1)(7??6)[(11)?CL?C6??C?(C?6??6????1]nnnn666123n?1nC?3C?9C?L?3C?.练：nnnn
题型三：利用通项公式求常数项；
1102)(x?的展开式中的常数项？例：求二项式x25145511?20r88rrrr210?r?C()T?8r?020?r?x)()?C()T?C(x2，令解：，所以，得10r?110109225622x216)(2x?练：求二项式的展开式中的常数项？x21133rr?6?rrr6?2rrrr620?C?T?(?1)3r?r6?2?0x1)2)?TCC((?1))()?(?(2x解：，令，得，所以6461?6r22x1n2____.?n5)x?(练：若的二项展开式中第项为常数项，则x16n?4?412n2?442n0?12?2nx)(x)C?TC?(.，令解：，得nn5x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
93x?)x(展开式中的有理项？例：求二项式
3
127?r127?rrrr9?rrx1)CT?C(x)x)?(?(?0?r?9r?3或r?9Z?632，,( )，令得解：9r?19627?r3443C?1)T?(x??84xr?34?时，所以当，，946r27?3339C??x1)T?(?x9r?3?，。当时，9106题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
二次项定理10大典型例题
( 1 )知识点的梳理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C n1a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式1 项 C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用④通项：展开式中的第 rT r 1 C n r a n r b r表示。
3 ．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于 n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是c0,c；,c2, C, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4．常用的结论：令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n (n N )令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L ( 1)n C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C n k③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C c n Cn C 3 L ( 1)n c ：(1 1)n 0， 从而得到：C 0 C ； Cn Cn rC n C 3L c ；r 1- 2n 2n 1 2④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:(a x)n c ；a n 0 x C ；a n 1 x C ；a n ；； x L n 0 n C n a x a ° 1 a 〔x ；1 n a x L a x (x a)n 昨 0 n x C ；ax n 1 C ；a ； n ； x L C ：n 0 n a x a n xL ； 1 a ；x a 〔x 令x 1,则 a o a 1 a ； a s L a n (a 1)n①令x 1,则 a o a 1 a ； a s L a n (a 1)n②① ②得,a o a ； a 4L a n (a 1)n (a ；1)r1-(奇数项的系数和) ① ②得,a 1 a s a 5 L a n (a 1)n (a ；1)n (偶数项的系数和 ) ⑤ 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式②二项式系数和 b 1 ,则二项式 系数的和为变形式C ： C ； Lc n2n,c nC n ： 2n1n 系数C2取得最大值。
二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理1.二项式定理：(a b)n Cn°a n Cn『b L C…r a nr b r L C n n b n(n N ),2.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a bT的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数Cn (r 0,1,2, ,n)・③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项Cn r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用Tr 1 Cna b表示。
3.注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择b,其顺序不能更改。
Gb)n与(b»是不同的。
③指数：。
的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n ,是升幕排列。
各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是时时金，，C： , ,C：•项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
②二项式系数和：令3 bC°C： C ： LCC 2n12r变形式 Cn Cn LCnC 2n③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：④奇数项的系数和与偶数项的系数和:(a n On OXX)Cna1 X C n 2C ： a 9 X_ L n c On 1 2 [ nc n a xa (x a?xL anX (x\ na? C an XC ： axn 1C: a xn 2L n cn 0n2 1C nTx a xL a?x a (x a令: < 1,则 ao ai a2 a ； L Sn (al)n①令: < 1,则 aoaia2 a ； L Qn(a 1) n ②① ②得,aoQ2aiLQ n(al)n(a 2D rl -(奇数项的系数和)①②得,■ A 卫旦工(偶数项的系数和)4•常用的结论:令& 1, b x,(1 x)C; x 「L C; x n (n N5 •性质:①二项式系数的对称性：与首末两端“对距 令 8 1, b X,C°(1 x)n Co C ： x C: x 2 LCn k Cn 1的两个二项式系数相等，即C ； x r L ( l)n C ： x n (n N )在二项式定理中，令a l,b 1,则 C° C： C ： C ； L l)n Cn (1 l)n 0,从而得到：Cn Cn c; C2CiC ； J-2“ 2 厂2C ： x C ； x 22⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式n系数雷取得最大值。
最新二项式知识点+十大问题+练习(含答案)
二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式.②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项.用1r n r rr n T C a b-+=表示.3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项.②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改.()n a b +与()nb a +是不同的.③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列.b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列.各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）.4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-.③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则123(1)(11)0n nnn n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC取得最大值.如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值.⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来.专题一题型一：二项式定理的逆用； 例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nnn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解：设1231393n nn n n n nS C C C C -=++++，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210.练：求291()2x x -展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()()222r r r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-.题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x -的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22rr r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()nx x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n = 解：4244421251()()n n n n T C x C xx --==，令2120n -=，得6n =.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r-=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r-=，3933109(1)T C x x =-=-.题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=.练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数.练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项.练：在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b=-的系数最小，43457T C a b=系数最大.例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx +的展开式中系数最大的项？解：由01279,nnnC C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102rr rr T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x+==+，所以x得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =.解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x+=，故展开式中x 的系数为240.练：求式子31(2)x x+-的常数项？解：361(2)x x +-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)()(1)rr rr r rr T C xC x x--+=-=-，得620r -=,3r =,33316(1)20T C +∴=-=-.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数. 解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,n n n n n x x x m n -⋅-=⋅-⋅==的展开式的通项是其中342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：610(1(1+求展开式中的常数项.解：436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为0,3,6,0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,m m m m n m n n n n ===⎧⎧⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⎨⎨⎨===⎩⎩⎩其中当且仅当即或或0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x +++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则解：3431()C C ,n r n r r r n rn n x x x x x ---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x xn --+-+⋅⋅⋅≤≤展开式中不含常数项441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：2006(,,,_____.x x S x S -==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++=-------②3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-①②得2006200620061(()[((]2x S x x x ∴=-+展开式的奇次幂项之和为32006220062006300812,]222x S ⨯==-=-=-当题型十：赋值法；例：设二项式1)nx 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若 272p s +=,则n 等于多少？解：若20121)n nn a a x a x a x x =+++⋅⋅⋅+，有01nP a a a =++⋅⋅⋅+，02nnn n S C C =+⋅⋅+=，令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.练：若011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？ 解：令1x =，则011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈的展开式中各项系数之和为264n=，所以011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，则展开式的常数项为011()()nnn r n rrn n nnnna b C a C a b C ab C b n N --*+=+++++∈540=-.例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得20091202200901, 1.222a a a x a ==++⋅⋅⋅+=-在令可得因而练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得1234531.a a a a a ∴++++=题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+-- 011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++⋅⋅⋅+++--011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++⋅⋅⋅++++--01112111888n n n n n n C C C +-+++=++⋅⋅⋅+由于各项均能被64整除22*389()64 n n n N+∴--∈能被整除1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f)1(f11-=-=-+2、=++++nnn2n21nnC3C3C3C 2、4n3、203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第项3、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x (C -作积，第一个因式中的－x 3与(1-x)9展开式中的项)x (C 19-作积，故x 4的系数是135C C 4919=+6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+，原式中x 3实为这分子中的x 4，则所求系数为7C 7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中，x 的系数为21，问m 、n 为何值时，x 2的系数最小？7、由条件得m+n=21，x 2的项为22n 22m x C x C +，则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N ，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x 2的系数最小8、自然数n 为偶数时，求证：1n n n 1n n 4n 3n 2n 1n 23C C 2C C 2C C 21--⋅=+++++++8、原式=1n 1n n 1n n 5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被9除的余数9、)(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z ，∴1181被9除余810、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，此展开式中x 的系数为24011、求(2x+1)12展开式中系数最大的项11、设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数，即有 ⎩⎨⎧≥≥⇒ ⎝⎛≥≥+--+----1r 12r 121r 12r 12r 111r 12r 12r 12r 131r 12r 12r 12C C 2C 2C 12C 2C 2C 2C⇒4r ,314r 313=∴≤≤∴展开式中系数最大项为第5项，T 5=44412x 7920x C 16=。
二次项定理10大典型例题
（1）知识点的梳理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n nn n n C C C C +++++=-。
二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理1. 二项式定理：(a b)n C°a n C：a n1b L C；a n r b r L C：b n(n N ),2. 根本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式.②二项式系数：展开式中各项的系数C；(r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项.用T r1 C^a"「b「表小.3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项.②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改.(a b)n与(b a)n是不同的.③指数：a的指数从n逐项减到0,是降籍排列.b的指数从0逐项减到n ,是升籍排列.各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是C：,C n,C：, ,C：, ,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数).③ 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 布—珈式宗押中今 a1 b 1|T1[| pp 1 p 2 「3| /i\n c nn—I ) a1,bI )人 J C n C n C nC n L ( I) C n(I I)11 |-A-t 4旦车11 . c 0c 2c 4c 2 rc 1 c 3 I c 2 r 1 1c n c n1 〃[叩彳寸王」-C n C n C n C nC n C n L C n2 2 2④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a nX) C 0a n X 0C ：a n 1X C 2a n 2 2 X L c n 0 n C n a X a °1 a 1x2 a ?x nLa n X(Xn a) C 0a 0X n C ：aXn 1 C%2 n 2 X L c n n 0 C n a X n a n XL2 a ?x1a 〔x a °令X1, 那么 a . aa 2 a 3La n (a 1)n①令 X1,那么 a 0 a 1 a 2 a 3 L a n (a 1)n ②① ②得,a 0 a 2 a 4L a n 直卫(奇数项的系数和)2 ①②得,a 1 a3 a 5La n(a (a"(偶数项的系数和)22): 二项式 系数和：令a b1,那么二 项式系数的和C 0 C 1 Cn Cn Cn L CrCnL 况 2n,变形式C n Cn L C n L 况2n 1.为4.常用的结论: 令 a 1,b x,n M 八1- 2 2 r rn n(1 X) C nC n X C n X L C n X LC n X (n N ) 令 a 1,bX, (1 X )n C 0 C ：X CnX 2 L C ；X r L ( 1)n C ：X n (n N ) 5.性质：①二项式系数的对称性: C 0 C ,•••与tr 末两端 C n' Cn 1“对距离〞的两个二项式系数相等,S n(1 3)n1⑤ 二项式系数的最大项：如果二项式的籍指数n 是偶数时,那么中间一项的二项式n系数c n2取得最大值.如果二项式的籍指数n 是奇数时,那么中间两项的二项式系数n 1 n 1cn^’cF 同时取得最大值.⑥ 系数的最大项：求(a bx)n 展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别A r 1 A,, __ …,为A I ,A 2, ,A ni,设第r 1项系数取大,网有,从而解出r 来.A ri A r 2(2)专题总结/ A厂 \ n c 0c 1厂 c 2 厂2c 3厂 3] c n厂 n r_--—( /rn 冬Ar / r 口 匚角牛：(1 6) c nc n 6 c n 66 L c n 6与的有一些差距,八1 八232n n11/八12 2nn 、 c n c n 6 c n 6 L c n6(c n 6 c n 6Lc n 6 )61(c 0 c ： 6 c ： 62 L况 6n 1)1[(1 6)n 1] ：(7n 1)666练：c n 3c ：9c 3 L3n 1c n n.布忍• -t/J -o c 1OC 2cC 3 [ O n1八 n [t]\\用牛：以 S n c n3c n9^ L 3题型一：二项式定理的逆用;例：c n c 2 6 Cn 62L c n n 6n 13S c 13 c 232 c 333 LODn ~n o 〜n o 〜n o c ；3nc 0c 1 3 c 2 32c 333Ln~n O n O〜n On nnc n 31 (1 3)1题型二：利用通项公式求x n 的系数；例：在二项式〔£ yx2〕n 的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X 3的项的 系数？解：由条件知C ： 2 45,即C ： 45, n 2 n 90 0,解得n9〔舍去〕或n 10 ,由1210 r 2T r i C ；0〔x 4〕10 r 〔x 3〕r C ；0x'3「,由题意-r 3,解得 r 6, 4 3那么含有x 3的项是第7项T 6 - CiV 3 210x 3,系数为210.练：求(x 2 —)9展开式中x 9的系数？2xr,2、9r, 1. r r182r, 1. r r r , 1. r 18 3r解：T r 1 C 9(x ) ( 一) C 9x ( -) x C 9( 一)x ,令 18 3r 9,那么2x 2 2r 3故x 9的系数为C ；( 1)3芝. 22题型三：利用通项公式求常数项;1例：求二项式〔x 2 十〕10的展开式中的常数项?2.x5 ,一 一,—r 0,得r 8,所以 2 45256■—〕6的展开式中的常数项?2xr 6 rr , 1 . rr r6r,1、r6 2r角牛：T r 1 C 6 (2 x) ( 1) () ( 1) C 6 2 (—) x ,令 6 2r 0,侍 r 3,所2x2以 T 4 ( 1)3C 320练：假设(x 2 1)n 的二项展开式中第5项为常数项,那么n .T 9G 80(1)8求二项式(2x练:5r r 1 r 20 5r r C ；(-)rx2,令 202解：T r1隽疽〕10「42、n4,1、4 4 2n 12解：T 5 C n (x ) (—) C n x ,令 2n 12 0,得 n 6.x题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 5 孜)9展开式中的有理项？1 1 27 r解：T r 1 C ；(x 2)9r ( x 3)r ( 1)r C ；x 〒,令 2^^ Z ,(0 r 9)得 r 3 或 r 9,所以当 r 3时,4 , T 4 ( 1)3C 93x 484x 4 ,6当 r 9 时27 r3 T ( 1)3C 9x 3x 3o-=1 r .,---- ., 110 ( l)V/gx x o6题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和； 例：假设(J7 品^)n 展开式中偶数项系数和为 256,求n . \ x令x 1,那么有a .a 1 a n 0,①,令x 1,那么有a . a 1 a 2 a 3( 1)n a n 2n ,②将①-②得：2(a 1 a 3 a 5)2, a1 a3 a52,有题意得,2n 1 25628, n 9.练：假设(£ £)n 的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.242r 13 2r 1Q n 1o n 1 用牛•Q C n C n C nC nC n C n L C n2,21024 ,解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T 5 1席(；巳)6(』5)5 462 x 4,1 x , x61T 6 1 462 x 17题型六：最大系数,最大项； 一 , 1 ■一一 一. 一 一 一…—)n 展开式中各项系数依次设为 解：设(•.,了例：〔1 2x〕n,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC： C6 2C；, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,当n 7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数C3〔-〕423 35,,2 2, 1 OT5的系数C7〔｛〕 2 70,当n 14时,展开式中二项式系数最大的项是丁8,1 7 7T8的系数C74〔—〕727 3432.2练：在〔a b〕2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的籍指数是偶数2n,那么中间一项的二项式系数最大,即T2n E1,—12也就是第n 1项.练：在〔兰二〕n的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项 2 3 x是多少？解：只有第5项的二项式最大,那么n1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七2项等丁C；〔；〕2 7练：写出在〔a b〕7的展开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的籍指数7是奇数,所以中间两项〔第4,5项〕的二项式系数相等, 且同时取得最大值,从而有T4 C3a4b3的系数最小,T5 C；a3b4系数最大.练：假设展开式前三项的二项式系数和等丁79,求〔1 2x〕n的展开式中系数最大2的项？1 1解：由C：c n Cn 79,解出n 12,假设T「1 项最大,Q 〔1 2x〕0 〔1 4x〕A r 1 A r C124 C12 4,化简得到9.4 r 10.4, 乂Q0 r 12,A r 1 A r 2 CU r C I；^11 _ _ _ _ _r 10,展开式中系数最大的项为Tn,有£ (；)12C*410x 10 16896x 10练：在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设T r 1项最大,QT r 1C 1r 0 2r x r题型七：含有三项变两项； 例：求当(x 2 3x 2)5的展开式中x 的一次项的系数？ 、,r 9K9Kr 9R rr ........................解法①：(x 3x 2)[(x 2) 3x] , T r 1 C s (x 2) (3x),当且仅当 r 1时,T r1的展开式中才有x 的一次项,此时T r 1 T 2 C 5(x 2 2)43x , 所以x 得一次项为C ；C ：243x 它的系数为C 5C 44243 240.解法②：255 5 _05_14_5_05_14 _55 x 3x 2) (x1)(x 2) (C 5 x C 5xC 5)(C 5x C 5x 2 C 5 2 )故展开式中含x 的项为C ；xC 525 C ；x24 240x ,故展开式中x 的系数为240.练：求式子(x 1 2)3的常数项?| 2)3 (J , /=p 6,设第r 1项为常数项,那么_ r r6 r1 r6_r6 2rT r 1 C 6( 1) |x(口)( 1) C 6 x ,得 6 2r 0,r 3,xT 31 ( 1)3C 3 20.题型八：两个二项式相乘；A r A rA r C ；2rA r 2驾2「C 1012rC 1012r 1解得 1 2(11 r 1J ； r)'化简得到6.3 k7.3, 乂Q0 r 10,7/7718 C 102 x 15360x .r 7,展开式中系数最大的项为解：(x例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x 2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 C3 (2x)m C T 2m x m ,m 0,* m 3,* m 6 3n,即 成 或n 0, n 4, n 8,时得展开式中的常数项为 C ； C S C 3勇 C ； C 180 4246. 练：C 1 c(1 x x )(x ")的展开式中没有吊数项,n N 且2 n 8,那么n . x 解：(x [y 展开式的通项为c n x nr x 3r c n x n4r ,通项分别与前面的三项相乘可得xr n 4r r n 4r 1 r n 4r 2 -C n x ,C n x,C n x ,Q 展开式中不含吊效项,2 n 8n 4r 且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8且 n 3,7且n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和 ； 例：在(x J 2) 2006的二项展开式中,含x 的奇次蓦的项之和为 S,当x J 2时,S角牟： 设(x 拒)2006=a 0 a 1x 1 a 2x 2 a 3x 3 L(i x)4的展开式的通项是C 4 ( x)nC 41n x n ,其中 m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令 m n 2,那么 m 0 且 n 2,m 1 且 n 1,m 2 且 n0,因此(1 2x)3(1 x)4 …、.八 一……n n 991111_2 2-0 0C 32 C 4( 1)练：求(1次)6(1二)10展开式中的常数项x解:_1m3、610m(1 Jx) (1 ~^=)展开式的通项为 C 6 x 3C*x 4C 6m C 1；4 m 3n12x 12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m2006a 2006x3 .2006a 3x La 2006x(x20061 2=a ° a 〔x a 2x①②得2(a〔x a g x3a5x5L a2005x2005) (x V2) 2006(x ^2) 2006(x 回2006展开式的奇次籍项之和为S(x) 1[(x V2) 2006(x V2) 2006]3 2006当x 、.2时,S(.、2) -[C,2 ...2)2006 C..2 ..2)2006] 230082 2题型十：赋值法；例：设二项式〔3衣-〕n的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为x s,假设p s 272 ,那么n等丁多少？解：假设〔3坂-〕n a0a1x a2x2a n x n,有P a°a〔a n ,xS C0 C：2n,令x 1 得P 4n, 乂p s 272 ,即4n 2n 272 〔2n 17〕〔2n 16〕 0 解得2n 16或2n17〔舍去〕,n 4.n练：假设3、反 & 的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少？xn孚的展开式中各项系数之和为那么展开式的常数项为C：(3'、x)3 ( -L)3540.、- x练：井(1 2 2021 1 2 3I 2021R 鱼鱼a2021有(I 2x) a. a〔x &x a3x L a2021x (x R),火1J? ?222021目Ji且力布及.1巾/曰 c % & a2021 a1 a2 a2021 …角牛•令x2,可侍a0 —歹声0,y ^? 产a0a1 a2 a2021任W x 0可侍a0 1,因叩2歹普9 1.〜5 5 4 3 2 1练：有(x 2) a5x a4x a3x a?x a〔x a°,那么a〔a? a3 a4 a5 .解：令x 0得a032,令x 1 得a°a1 a2 a3 a4 a5 1,_26、(1 x) (1 x)210(1 x)10 11(1 x)[1 (1 x) ]=(x 1) (x 1),原式中1 (1 x)由丁各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N *)能被64整除1、(x — 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是 1、 设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f(1) f( 1)( 2)11/210242122n n2、 C n 3C n 3 C n 3 C n 2、 2、 4n3、 (农 二)20的展开式中的有理项是展开式的第 项.、5 3、 3,9,15,214、 (2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令 x=1,那么所求和为35・5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中x 4的系数. K (A y Y 2V1 Y 、10 Y 3V1 Y \9 曹彳旦到今 Y 4的I 而 心领第一个因A 中的 15、 (I x x )(I x)(I x )(i x),女1 寸工1j x 目 JW ., 久、小牛 I mu J 目J I与(1-x)9展开式中的项C 4( x)4作积,第一个因式中的一x 3与(1-x)9展开式中的项C ；( x)作积,故x 4的系数是C ； C 9 135,6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数.a 〔 a ? 83 84 a § 31.题型十一：整除性； 例：证明：32n 2 8n 9(nN )能被64整除®2n 2n 1:3 8n 9 9 8n—— n 1 ——9 (8 1) 8n 9Q n 11Q n C n 18 C n 18 C ；1182n 1 n 1 C n 18 C n 18n 90 Q n 1 1Q nC n 18 C n 18Cn 1182 8(n 1) 1 8n 9Q n 11Q nC n 18 C n18n 1 a2精品资料，欢迎下载！ x 3实为这分子中的x 4,那么所求系数为C 17,.•.•k € 乙9k-1 € Z, 8111 被 9 除余 &10、在(x 2+3x+2)5的展开式中,求x 的系数. 10、 (x 2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x 的项为C 5 5x ,在(2+x)5展开式中,常数 项为25=32,含x 的项为C ；24x 80x展开式中含x 的项为1 (80x) 5x(32) 240x ,此展开式中x 的系数为24011、 求(2x+1)12展开式中系数最大的项.11、设T r+1的系数最大, 那么 T r+1的系数不小丁 T r 与T r+2的系数,即有r Q 12 r r 1 子3 r C 12 2 C 12 2 r 912 r r 1 11 C 12 2 C 12 12r C ；2 2C ；21 2E C,1c1 1 3 r 4 , r 4 3 3 展开式中系数最大项为第 5 项,T 5=16C ：2x 4 __ 47920x 7、假设f(x) (1 x)m (1 x)n (m n N)展开式中,x 的系数为 值时,x 2的系数最小？7、由条件得 m+n=21 , x 2的项为C ：x 2 21,问m 、n 为何 n € N ,故当n=10或11时上式有最小值, 时,x 2的系数最小.自然数n 为偶数时, 1 2C 1n C 2 2c n 8、求证: C 2c n8、原式=(C 0 C ； C 2 n 1 n \ C n C n ) 9、求8011被9除的余数. 9、 11 11-011-110 80(81 1) C 1181 C 1181 , 21 2 399 m (n —) ——.因 2 4 m=11 和 n=10,或 m=10 和 C 2x 2,那么 C m C 2 也就是 c n 3 (C 1n C n 2“ 1 c n C n 1) 2n 2n 1 3.2n 1 _ 10 _ . C 11 81 81k 1(k Z),。
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1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n rr r n T C ab -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n nn n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L 解：012233(16)6666n nn nn n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距， 123211221666(666)6nn nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222rr r r r r r r r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：024*******r r n nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,nn n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+Q 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设1r T +项最大，1102rrrr T C x +=⋅Q111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)rr r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。