数学竞赛数论问题

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法.

1.基本原理

为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:

我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数

b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod

m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ϕ表示{1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ϕ为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系.

定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=.

定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(mod 21m x x =,则

1

1n

i

i i a x =∑≡2

1

n

i i

i b x

=∑；

(2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则

)(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d

b

d a ≡；

(4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+；

(3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为

∑≥1

k k

p

n

.

定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模

m 的完全剩余系；

(2)若{)(21,...,,m r r r ϕ}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ϕ}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ϕϕϕ=.

(2)若n 的标准分解式为k k p p p n α

αα (2)

121=,其中k ααα,...

,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

同的素数,则)11)...(11)(11()(21k

p p p n n ---

=ϕ. 对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.

2 方法解读

对于数论试题,除直接运用数论的基本原理外,常用的基本方法还有因式(因数)分解法,配对法,分组法,估值法,同余方法,构造法,调整法,数学归纳法与反证法.下面分别予以说明

2.1基本原理的应用

例1 设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且

c b

a ab

=- (1),证明:)(b a -是一个完全平方数. 证:设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ,故有1),(=c d .由(1)得

c b c a

d b a 1111-= (2)

由(2)知,c b a 11|,又1),(11=b a ,∴ c a |1.同理可证c b |1,从而有c b a |11,设k b a c 11=,k 为正整数,代入(2)得)(11b a k d -= (3)

由(3)知d k |,又c k |,∴1),(|=c d k ,∴1=k . ∴11b a d -=.∴211)(d b a d b a =-=-.故成立. 例2 设n 为大于1的奇数,1k ,2k ,…,n k 为给定的整数.对于{n ,...,2,1}的排列12(,,...,)n P a a a =, 记1

()n

i i i s P k a ==

∑,试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列B 、C,使得)()(!|C s B s n -.

证:假设对于任意两个不同的排列B 、C,均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构

成的集合,则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系,从而有

!

1

(1!)!

()(mod !)2

n P X

i n n s P i n ∈=+≡=

∑∑ (1) 又 1()()n

i i P X P X i s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+n

i i k n n 1

2)1(! (2) 而n 为大于1的奇数,所以由(1),(2)得)!(mod 02)1(!2!)!1(1

n k n n n n n

i i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ,所以)!(mod 02

!

n n ≡,矛盾.故,存在B 、C X ∈,B ≠C,使得)()(!|C s B s n -. 2.2 因式(数)分解

数论中许多问题直接与因式(数)分解相关联,如合数问题,整除问题等常常是要证明某种分解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中,因式(数)分解能帮助我们确定某些变量的取值范围,寻找到解题的方法.