用留数定理计算实积分的再讨论分析

毕业论文

（2014届）

题目用留数定理计算实积分的再讨论

学院数计学院

专业数学与应用数学（师范）

年级2010级(2)班

学生学号12010244185

学生姓名刘艳

指导教师汪文帅

2014年5月8日

用留数定理计算实积分的再讨论

数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳

摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义.

关键词:留数定理;实积分;积分曲线

中图分类号:O174

Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem

Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve

目 录

1 引言 (1)

2 主要定理 (1)

3 留数定理为实积分的计算提供了新思路 .........................................................................

4 4 留数定理在实积分计算中的应用 ......................................................................................4 4.1 如何把实积分转化为复积分 ............................................................................................4 4.2 实积分计算方法中的固定模式 ...................................................................................

5 4.2.1计算形如dx x R ⎰+∞

∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数 (5)

4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上的实积分的计算 .....................8 4.2.3 计算形如⎰

+∞∞

-cos )(mxdx x f 或⎰

+∞

∞

-sin )(mxdx x f )0(>m (13)

结束语 ...........................................................................................................................................17 参考文献 ......................................................................................................................................19 致谢 (20)

用留数定理计算实积分的再讨论

1 引言

对于留数定理，国内外数学家已经有了很多研究，如:留数定理的应用及推广，留数定理计算广义积分[1]、定积分[2]以及用留数定理解决某些物理问题[3]都做出了相应的讨论和研究. 留数定理是柯西定理在区域内有孤立奇点时的推广，因其在理论和实际计算中的重要性使得他至今在大学理工科复变函数教材中仍占有一席之地. 推广的留数定理进一步解决了以往实积分的计算难题，这些都使得用留数定理计算实积分的过程更为简单可行. 但是纵观这些理论所建立的基础，不难发现在研究很多实积分计算的问题时，在选择相应的积分路径的过程中，都大同小异，都选取包含实轴的或者部分实轴的封闭曲线而且对于其他可以选取的路径只是提到，也没有加以讨论. 在这样的教学情境下，必然会对学生掌握留数定理造成错误的认识，让学生误认为: 在用留数定理计算实积分的时候只能选取包含x轴的这样一个封闭曲线. 事实上，我们知道，正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径，用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，这只是我们通过柯西积分公式以及留数理论所得出的结论，然而对本部分的认识我们还是建立在理论认识之上,并没有一个系统的分类，计算和验证.那么讨论不同的积分曲线的选取是否会影响积分值? 或者,研究一个不包含实轴的封闭曲线是否能计算实积分就显得很有意义了. 本文在前人研究的基础之上，总结和讨论了以往实积分计算方法当中存在的某些惯性思维，进而对这些惯性思维进行补充和改进. 本文主要介绍了留数定理在复变函数积分中的应用，用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想，为进一步开拓思维，更为深刻理解留数定理有积极的意义. 如何将实积分转化为复积分? 讨论在转化的过程中不同的曲线选取对于积分计算的影响. 探讨了用留数定理计算实积分方法中存在的某些既有思维，通过三种积分曲线的选取，说明了积分曲线的选取不会影响积分值．

2主要定义和定理