【6套合集】辽宁东北育才学校高中部2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
2020年辽宁省中考数学模拟试卷(含答案)
2020年辽宁省中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．C．﹣5 D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列事件是必然事件的是（）A．任意购买一张电影票，座位号是奇数B．打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”C．13名同学中至少有两名同学出生的月份相同D．抛掷一枚硬币，反面朝上4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.25．下列运算中，正确的是（）A．2a2+3a2=a4B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6D．3a6÷a2=3a46．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（）A．B．C．D．7．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣2 0 1 2 …y …7 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．当x＜2时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于负半轴10．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点E为△ABC内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕C点顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△AFC，连接EF交AC于点M，已知BC=10，CF=6，则AM：MC的值为（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5二、填空题（每小题3分，共24分）11．4是的算术平方根．12．若二次根式有意义，则a的取值范围为．13．因式分解：ab2﹣9a= ．14．五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是．15．小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图所示）叠放在一起，如果∠α=43°，那么∠β是度．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为．17．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是．18．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °．三、解答题（共96分）19．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x=2•sin60°+（3﹣π）0﹣．20．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这3个口袋中各随机取出一个小球．（1）用树形图表示所有可能出现的结果；（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．21．某校为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”对文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；并在扇形统计图中，计算出“其他类”所对应的圆心角的度数；（3）若该校有2400名学生，请你估计该校喜爱“科普类”的学生有多少名．22．如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．24．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．C．﹣5 D．【考点】相反数．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．【解答】解：﹣5的相反数是5．故选A．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．3．下列事件是必然事件的是（）A．任意购买一张电影票，座位号是奇数B．打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”C．13名同学中至少有两名同学出生的月份相同D．抛掷一枚硬币，反面朝上【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A不符合题意；B、打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”是随机事件，故B不符合题意；C、13名同学中至少有两名同学出生的月份相同是必然事件，故C符合题意；D、抛掷一枚硬币，反面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选：C．4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2【考点】方差；中位数；众数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为 [（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．故选B．5．下列运算中，正确的是（）A．2a2+3a2=a4B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6D．3a6÷a2=3a4【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B、5a2﹣2a2=3a2，故本选项错误；C、a3×2a2=2a5，故本选项错误；D、3a6÷a2=3a4，故本选项正确．故选D．6．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣1；由②得x＜1，故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜1，在数轴上表示为：．故选A．7．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据已知的四个数可得排列规律：分子是从1开始的自然数列，分母都是分子的平方加1；据此解答．【解答】解：∵一列按规律排列的数：∴这列数的第5个数是： =，这列数的第6个数是： =，故选：A．8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断得则y关于x的函数的图象的大致形状．【解答】解：∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，∴BE=CF=AG=2﹣x；∴△AEG≌△BEF≌△CFG．在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）．∴其图象为二次函数，且开口向上．故选C．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣2 0 1 2 …y …7 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．当x＜2时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于负半轴【考点】二次函数的性质．【分析】根据x=1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x=1，再根据函数的对称性可知当x=﹣2时的函数值与x=4时的函数值相同，并求出y=0时的x的值，从而得解．【解答】解：A、由图表数据可知x=1时，y=﹣2最，所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；B、∵x=0和x=2时的函数值都是3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，正确，故本选项错误；C、由图表数据可知，当x=﹣2时的函数值与x=4时的函数值相同，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x=﹣2时的函数值应大于x=5时的函数值，故本选项正确；D、根据对称性，x=﹣1和x=3时的函数值y=0，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．10．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点E为△ABC内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕C点顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△AFC，连接EF交AC于点M，已知BC=10，CF=6，则AM：MC的值为（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】由旋转可以得出△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠AFC=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，进而得出CE∥AF，就有△CEM∽△AFM，就可以求出CM，DM的值，从而得出结论．【解答】解：∵△BEC绕C点旋转90°使BC与AC重合，得到△ACF，∴△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，∴EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠DFC=90°．在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF=8．∵∠AFC=90°，∴∠AFC+∠ECF=180°，∴EC∥AF，∴△CEM∽△AFM，∴==，∴AM：MC=4：3，故选A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．4是16 的算术平方根．【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42=16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．12．若二次根式有意义，则a的取值范围为a≥5 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可求解．【解答】解：依题意，得a﹣5≥0，解得a≥5．故答案是：a≥5．13．因式分解：ab2﹣9a= a（b+3）（b﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．14．五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是．【考点】概率公式．【分析】先找出分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中，有三张标有奇数；任意抽取一张，数字为奇数的概率是．故答案为．15．小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图所示）叠放在一起，如果∠α=43°，那么∠β是47 度．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质由a∥b得到∠1=∠2，再利用对顶角相等得∠3=∠β，∠2=∠α=43°，然后利用互余可计算出∠β．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠2，∵∠2=∠α=43°，∴∠1=43°，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣43°=47°，∴∠β=∠3=47°．故答案为47．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为6πcm2．【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图．【分析】易得此几何体为圆柱，底面直径为2cm，高为3cm．圆柱侧面积=底面周长×高，代入相应数值求解即可．【解答】解：主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，俯视图为圆可得此几何体为圆柱，故侧面积=π×2×3=6πcm2．故答案为：6πcm217．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是12﹣．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数y=的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4，则OA=4﹣3，设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求得OD=4﹣，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=4，∴B点纵坐标为4，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），∴OC=3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8，AC=BC=4，OA=AC﹣OC=4﹣3．设AB与y轴交于点D．∵OD∥BC，∴=，即=，解得，OD=4﹣，∴阴影部分的面积=×（OD+BC）×OC=12﹣，故答案为：12﹣．18．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45 °．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC===67.5°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．故答案为：45．三、解答题（共96分）19．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x=2•sin60°+（3﹣π）0﹣．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】首先对括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入数值计算即可．【解答】解：原式=×=×=x﹣1，当x=2×+1﹣2=﹣+1，原式=﹣．20．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这3个口袋中各随机取出一个小球．（1）用树形图表示所有可能出现的结果；（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答；（2）根据树状图结合三角形的三边关系列举出能够成三角形的情况，用能够成三角形的情况数：总的情况数即可得到概率．【解答】解：（1）如图所示：，所以共有12种可能出现的结果；（2）这些线段能够成三角形（记为事件A）的结果有4种：（5，4，6）；（5，4，7）；（5，9，6）（5，9，7），所以P（A）==．21．某校为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”对文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；并在扇形统计图中，计算出“其他类”所对应的圆心角的度数；（3）若该校有2400名学生，请你估计该校喜爱“科普类”的学生有多少名．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用喜欢文学的人数除以其所占的百分比即可求得调查的学生总数；（2）用总人数乘以每种情况所占的百分比后即可求得每一个小组的频数，从而补全统计图；（3）首先求得喜欢科普类的学生所占的百分比，然后确定喜爱科普类的学生数即可．【解答】解：（1）60÷30%=200（人）．答：这次调查的学生共有200人．（2）200×20%=40（人）补充条形统计图（艺术）200﹣（60+80+40）=20（人）补充条形统计图（其他）（注：没有算出40人，20人的步骤，直接补充条形图可得分）20÷200=10%10%×360°=36°．答：“其它类”所对应的圆心角是36°．（3）80÷200=40%2400×40%=960（人）．答：该校喜爱“科普类”的学生有960人．22．如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，根据余弦的定义求出AE，根据正弦的定义求出BE，设BF=x米，根据正切的定义求出NF，结合图形列出方程，解方程即可．【解答】解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，∵∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BE=DF，BF=DE，在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=×110=55（米），设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），∵∠NAD=45°，∴AD=DN，∴DN=DF+NF=55+x（米），即55+x=x+55，解得：x=55，∴DN=55+x≈150（米），答：山的高度约为150米．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用三角形中位线定理证得OE∥BC．所以由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠ODE=∠F，则易证得结论；（2）设⊙O半径为r．根据相似三角形△AOE∽△ABC的对应边成比例列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．然后通过解Rt△AOE来求sinA的值．【解答】（1）证明：连结OE．∵AC切⊙O于E，∴OE⊥AC，又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，∴OE∥BC∴∠OED=∠F．又∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠ODE=∠F∴BD=BF；（2）解：设⊙O半径为r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．∴，即，∴r2﹣r﹣12=0，解之得r1=4，r2=﹣3（舍去）．在Rt△AOE中，∴sinA=．24．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40．答：a=40，m=1；（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得40=k1，∴y=40x当1＜x≤1.5时，y=40；当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得，解得：，∴y=40x﹣20．y=；（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得，解得：，∴y=80x﹣160．当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：x=．当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：x=．=，．答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；（2）EG=AG﹣BG．如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴EG=AG﹣BG．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M 的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m 的代数式表示S．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）依题意：设M点坐标为（0，t），①当MA=MB时：解得t=0，故M（0，0）；②当AB=AM时：解得t=3（舍去）或t=﹣3，故M（0，﹣3）；③当AB=BM时，解得t=3±3，故M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．。
【2020-2021自招】辽宁东北育才学校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年辽宁东北育才学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21sin ,02A xx B x x x ⎧⎫=>=-<⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合,A B ，再由交集的概念求解即可. 【详解】522,Z ,{01},,1666A xk x k k B x x A B πππππ⎧⎫⎛⎫=+<<+∈=<<⋂=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∣∣. 故选：B.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >"是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】A【分析】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>即得22a b >，反之，由22a b >推不出ln ln a b >成立，由此可得答案.【详解】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>，继而可得到22a b >； 当22a b >时，比如3,2a b =-=-，推不出ln ln a b >成立， 故“ln ln a b >"是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A4．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}41m m -<<B ．{1m m <-或}4m >C ．{}14m m -<<D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<， 即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.5．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【分析】根据不等式0ax b +>的解集可得,a b 关系，代入不等式2056ax bx x +>--，然后转化为整式不等式求解即可.【详解】解：因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩， 则()()()()()()()210006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >. 故选：A. 6．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据0x >且趋近0时判断，最后利用()f x 的零点进行判断，即可得到答案 【详解】解：因为cos ()22x x x f x -=-，所以220x x--≠，解得0x ≠， 则()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 由cos ()22x x x f x -=-可得()cos -cos (-)2222x x x xx xf x --==--， 发现()(-)0f x f x +=，故()f x 为奇函数，故B 错误；当0x >且无限接近0时，0cos 0,22x x x ->->，所以此时()0f x >，故A 错误； 因为当cos ()022x xx f x -==-即cos 0x =，解得,Z 2x k k ππ=+∈，所以在x 轴正半轴的第一个零点是2π，第二个零点是32π，第三个零点是52π，第四个零点是72π，第五个零点是92π，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C 错误； 故选：D7．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（ ） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=， 即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.8．已知不等式ln (1)2ln2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题意，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由ln (ln4)0x x x k k +-+<可得：(1)ln 4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，()ln4ln 1=--'g x x ，40,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，4,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，则当4e x =时函数()g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当0k ≤时，整数解超过了2个，不满足题意；当0k >时，需满足()()()()2233f g f g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩得：342ln ln 2433≤<k ．故选择：D ．【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、多选题9．下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是 -1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2 D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案； 对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案； 对于D ，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->， 所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦211≤-=-， 当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()4111553313y z x x y z ⎡+⎡⎤+=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确； 对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤--++ 当且仅当2stts=，即s 时取等号， 所以22x y x y x y+++的最大值是4-D 正确， 故选：ABD ．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多 【答案】ABC【分析】由题知()2060e ktf t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060e ktf t θ-==+，A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31e 2k -=，则()()2263162060e2060e206035C 2kkf --⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2t -=，两边同时取对数得11ln ln2102t -==-，所以10ln27t =≈，所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．11．已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，图象关于y 轴对称，导函数为()'f x ，且当0x <时，()()'f x f x x>，设1a >，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()(411a a f a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭B ．()(22f a a a >C ．()()414111af a a a f a a +⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭D ．()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，再由()f x 为偶函数，得()g x 为奇函数，从而判断出()g x 在(0,)+∞上的单调性，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：当0x <时，()()'f x f x x >，即()()()()''0f x xf x f x f x x x--=>，所以'()()0xf x f x -<，构造函数()()f x g x x=，则''2()()()0xf x f x g x x -=<， ∴当0x <时，()g x 单调递减，又由题意可得()f x 是偶函数， ∴()g x 是奇函数，则当0x >时，()g x 也单调递减． 对于A ，∵1a >，∴401a a <<=+∴(41a g g a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即4141a f f a a a ⎛⎫⎪+⎝⎭>+∴()(411a a f a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，故A 正确； 对于B ，∵1a>，∴20a >>，∴()(2g a g <，即()22f f aa()(2f a ，故B 错误；对于C ，∵1a >，()2141011a a a a a -+-=>++，即4101a a a +>>+，∴()411a g a g a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭， 即()411411a f f a a a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭<++，∴()()414111af a a a f a a +⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭，故C 错误； 对于D ，∵1a >，()221422420111a a a a a a a a a a -+--==>+++，∴ 4201a a a >>+， ()421a g a g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即()421421a f f a a a aa ⎛⎫⎪+⎝⎭<+，∴()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故D 正确． 故选:AD ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数()g x ，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y =，()R A B ⋂=______. 【答案】()1,2【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得()R A B ⋂.【详解】因为02xx ≤-，等价于()2020x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得02x ≤<，由1102x --≥，即121x -≤，即1022x -≤，所以10x -≤，即1x ≤；所以{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{{}1B x y x x ==≤， 所以{}R 1B x x =>，因此，()()R 1,2A B ⋂=. 故答案为：()1,214．若π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得到πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin 26sin 024αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ10sin cos 6sin 0444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππsin 5cos 3044αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,当πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4α+=，所以3π4α=，所以3π22α=，所以3πsin 2sin 12α==-. 当π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即()23cos sin 25αα-=-， 所以()2219cos sin 2sin cos 225αααα+-=，所以181sin 225α-=，则7sin 225α=.因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，所以sin 20α<，故7sin 225α=不符合题意，应舍去， 综合以上sin 21α=-， 故答案为：-115．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【答案】4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，将()2221234x x x x +++转化为关于2x 的代数式，利用换元法，根据2x 的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4上的图象与()0,2上的图象关于2x =对称， 不妨设1234x x x x <<<,如图：可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x .∴121,x x =14322211,4,4x x x x x x ==-=-. ∴()121222222212342342x x x x x x x x x x ++++++=+ ()2222222214421x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭+- 22222112830x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈.令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为()252830,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，其对称轴为2t =，开口向上，∴()h t 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()4522,2h t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()2221234x x x x +++的取值范围为4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.【答案】12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值. 【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥. 令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=. 当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -==== 所以12ea ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e. 【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.四、解答题17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos 2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.【答案】(1)14【分析】（1）先由已知条件判断,22βααβ--的范围，再利用同角三角函数的关系求出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式可求得cos2αβ+，（2）由同角三角函数的关系求出sin 2αβ+，从而可求得tan2αβ+的值，再利用正切的二倍角公式可求得()tan αβ+的值. 【详解】(1)因为2απ<<π，02βπ<<， 所以42πβαπ<-<，422παπβ-<-<，所以sin 2βα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin .sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12==(2)因为3424παβπ+<<，cos 2αβ+=，所以sin2αβ+==所以sin2tan2cos 2αβαβαβ++==+，所以2222tan 2tan()1tan 12αβαβαβ⎛+⨯ ⎝⎭+===+⎛-- ⎝⎭18．已知曲线()321133y f x x ax bx ==+++在点()()1,1f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 【答案】(1)()321111513423f x x x x =-++(2)()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()34148f x =极大值，13【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.【详解】(1)()22f x x ax b '=++，结合题意可得()()1213,3690,'⎧=++=⎪⎨'=++=⎪⎩f a b f a b 解得114152a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()321111513423f x x x x =-++，经检验符合题意.(2)由（1）知()2111522f x x x '=-+． 令0fx，解得x ＞3或52x <，令0f x，解得532x <<，故()f x 在50,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()5341248f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，又因为()103f =，()85312f =，185312<，故()f x 在[]0,3上的最小值是13．19．已知()()()()sin ,21(0)2f x x g x f x x f x πωωωω⎫⎛⎫==+-+> ⎪⎪⎝⎭⎭.(1)若函数()g x 的最小正周期为π，求ω的值及()g x 的单调递减区间；(2)若0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()g x =ω的取值范围【答案】(1)1ω=，单调递减区间为：()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)131544ω<.【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得()2sin(2)6f x x πω=+，利用正弦函数的性质即得；（2）由正弦函数的性质可得7283363πωπππ≤+<，进而即得． 【详解】(1)因为())π2sin sin 12sin sin 12g x x x x xx x ωωωωωω⎤⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦2cos 2sin 1x x x ωωω=-+cos22sin 2,6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期22T ππω==，又0>ω， 所以1ω=，即()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()22,,6636x f x ππωππω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦即sin 26x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以7283363πωπππ≤+<，即13215636πωππ≤<，解得131544ω≤<， 所以实数ω的取值范围是131544ω≤<. 20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=，∴k ≥．21．设函数2(1)()x xa t f x a--=(0a >，且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求t 和a 的值；(2)若x ∀∈R ，2()(1)0-+-<f kx x f x ，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数22()22()xx g x mf x -=+-在区间2[1,log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,2t a == (2)31k -<< (3)存在，7324m =【分析】(1)直接利用奇函数(0)0f =可得到t 的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a ；(2)利用奇函数的性质可得2()(1)f kx x f x -<-，再由函数单调性脱去“f ”，转化为二次不等式恒成立求解即可；(3)令 22x x t -=-换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出m 即可. 【详解】(1)∵f （x ）是定义域为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=且(0)0f =，∴1(1)(0)01t f --==， ∴ 2t =，此时()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-， 故2t =符合题意，∵函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴132a a --=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-，因为0a >且1a ≠，∴2a =．(2)由（1）知()22x x f x -=-，由2()(1)0-+-<f kx x f x ，得2()(1)-<--f kx x f x ， ∵()f x 为奇函数，∴2()(1)f kx x f x -<-，()22x x f x -=-为R 上的增函数，∴21kx x x -<-对一切x ∈R 恒成立，即2(1)10x k x -++>对一切x ∈R 恒成立， 故2(1)40k ∆=+-<，解得31k -<<． (3)由题意22()22(22)x x x x g x m --=+--设22,x x t -=-则22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+，∵2[1,log 3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()2h t t mt =-+，∴函数2()2h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最大值为1，①若对称轴3825232212m t +=>=， ∴max 317313()12426⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭h t h m m ，不合题意．②若对称轴25212m t =≤， ()max2525212736,873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在实数7324m =，使函数g （x ）在[]21,log 3上的最大值为1． 22．已知函数()()2ln f x ax x x a R =--∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最大值；(3)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，证明：()()12122ln f x x x x +>-+. 【答案】(1)21y x =-(2)()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分0a ≤、1a ≥和01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；（3）利用分析法可得只需证()()212122+-+>a x x x x ，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】(1)解：当2a =时()22ln f x x x x =--，()141f x x x=--'∴，()12f '∴=，()11f =，∴切线方程为：21y x =-.(2)解：()212121(0)ax x f x ax x x x----'==>，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在[1，2]单调递减，()max 1f x a ∴=-②当1a ≥时，()()()2121210x x x x f x x x-+-'-≥=≥ ()f x ∴在[]1,2单调递增，()max 42ln2f x a ∴=--③当01a <<时，()01f x x =⇒≥， （i2<即318a <<时，()f x ∴在⎡⎢⎣⎦单调递减，2⎤⎥⎝⎦上递增()()(){}max31ln2183max 1,21ln242ln213a a f x f f a a ⎧+⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭∴==⎨+⎛⎫⎪--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（ii2≥即308a <<时，()f x ∴在[]1,2单调递减，()max 1f x a ∴=-，综上：()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(3)证明：要证()()12122ln f x x x x +>-+，只需证()()()()212121212ln 2ln a x x x x x x x x +-+-+>-+， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为2111ln 0ax x x --=，2222ln 0ax x x --=，两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x -----=.整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=+-.所以只需证()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即1211221ln 21x x x x x x +⋅>-，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<， 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证()()1ln 210t t t +--<， 设()()()1ln 21n t t t t =+--， 只需证当01t <<时，()0n t <即可.()()221111ln 1,0(01)t n t t n t t t t t t'''-=+-=-=<<<，()n t ∴'在()0,1单调递减，第 21 页 共 21 页 ∴当01t <<时，()()10n t n ''>=，()n t ∴在()0,1单调递增，当01t <<时()()10n t n <=，∴原不等式得证.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学(理)试题
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( )A ．AB =B ．A B =∅IC ．A B A ⋃=D ．A B A =I2．若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．分层抽样法､系统抽样法 B ．分层抽样法､简单随机抽样法 C ．系统抽样法､分层抽样法D ．简单随机抽样法､分层抽样法4．“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ）A ．2B C D6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r，则x =( )A ．34B ．23C ．12D ．147．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110xf x -=⨯，则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比( )A ．100B ．1000C ．1100D ．110008．如图，在以下四个正方体中，使得直线AB 与平面CDE 垂直的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B 两点，且||AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．210．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( ) A ．710B ．760C ．2760D ．476011．已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为( )A ．8116B ．278C ．94 D ．3212．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的值可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．613．等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若10k a S =，则k =________.14．已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩的最小值为________.15．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD 的内切球的表面积为________.16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________. 17．在 ①22cos cos 20B B +=，②cos 1b A acosB +=+，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角ABC n 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S b c a =+-，b ，求ABC n 的面积S 的大小.18．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）19．如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥.（1）证明：PD ⊥平面BCD ；（2）若M 为PB 的中点，二面角P BC D --等于60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值.20．已知函数()()ln f x x ax a R =+∈，()2e x g x x x =+-. （1）求 函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点. 如果函数()()()F x f x g x =-存在两个不同的不动点，求实数a 的取值范围. 21．已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =uu u v uu u v，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于点M ，N 两点，连接MN ，求DMN ∆的面积的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）. 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅. 23．已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.参考答案1．C 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A ，B ，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果. 【详解】2{|2}A x y x R ==-=， 2{|2}[2,)B y y x ==-=-+∞，所以B A ⊆， 故A B A ⋃=， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目. 2．D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由(2)5i z +=得52z i=+5(2)1052(2)(2)5i i i i i --===-+-， 所以复数z 对应的点Z 的坐标为(2,1)-，其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可. 【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样； ②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样. 故选：B. 【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样； （3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取. 4．A 【解析】 【分析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+Q ，1q ≠．∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠Q 213q ∴+=化为：22q =，解得q =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】以,AB AD u u u r u u u r为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出AF u u u r， 由34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解．【详解】因为F 为DE 的中点，所以()12AF AD AE =+u u u r u u u r u u u r， 而1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又34AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r ，所以12x =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】设90dB 与60dB 的声音强度分别为12,x x ，根据1()90f x =，2()60f x =计算即可求解. 【详解】设90dB 的声音与60dB 的声音强度分别为12,x x ，则1()90f x =，即11210lg90110x -=⨯，解得3110x -=. 由2()60f x =，即21210lg 60110x -=⨯，解得6210x -=. 因此所求强度之比为316210100010x x --==. 故选：B 【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题. 8．B 【解析】 【分析】①根据ABC V 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB 与CE 的夹角为60o ，再由线面垂直的定义判断；④易知CE ⊥平面ABD ，得到AB CE ^，同理AB ED ⊥，再利用线面垂直的判定定理判断. 【详解】①因为ABC V 是正三角形，所以AB 与AC 的夹角为60o ，又因为//AC ED ，所以AB 与ED 的夹角为60o ，故错误；②因为正方形对角线相互垂直，所以AB CE ^，,AB ED ED CE E ⊥⋂=，AB ⊥平面CDE ，故正确；③由①知AB 与CE 的夹角为60o ，故错误；④因为,,CE AD CE BD BD AD D ⊥⊥⋂=，所以CE ⊥平面ABD ，则AB CE ^，同理AB ED ⊥，又ED CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE ，故正确.故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9．A 【解析】 【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出答案即可. 【详解】由AB =()0,0到l 1=，即12p=，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2 所以PQF △的边长为4所以144sin 602PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A 【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．B 【解析】 【分析】由题意基本事件总数66720n A ==，其中“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解. 【详解】由题意知基本事件总数66720n A ==，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，故有42648⨯⨯=种②“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684+=种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为84772060P ==. 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 11．D 【解析】 【分析】由题意，,,,P A B O 四点共圆，求||AB 的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果. 【详解】由题意，,,,P A B O 四点共圆， 要使取||AB 的最小值，只需圆的直径OP 最小，即P 为右顶点时满足条件，且OP =，因为2213x y -=的渐近线为y x =，所以60AOB ∠=︒，所以有sin 60AB =︒32AB =，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目. 12．C 【解析】 【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断． 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+ 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，同时又满足()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以函数又关于4πx =-对称，设周期为T ,21()()4442n T n Z πππ-=--=∈,而221()T n n Z πωω=⇒=-∈显然ω是奇数， 当ω=3时，()sin(3)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，33()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-而2πϕ<，4πϕ=，()sin(3)4f x x π=+ 5(0,)(3)(,)8448x x ππππ∈⇒+∈，显然不单调；当ω=5时，()sin(5)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，55()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-，而2πϕ<，4πϕ=-，()sin(5)4f x x π=-， 3(0,)(5)(,)8448x x ππππ∈⇒-∈-，显然单调，故本题选C ．【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键. 13．46 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算． 【详解】由题意10110910452S a d d ⨯=+=，1(1)(1)k a a k d k d =+-=-，所以(1)45k d d -=，又0d ≠，所以46k =． 故答案为：46．【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项1a 和公差d 表示项与前n 项和是解题的基本方法．14【解析】 【分析】画出可行域，(),x y 到定点()1,0P -的距离.数形结合可求距离的最小值. 【详解】画出可行域，如图所示(),x y 到定点()1,0P -的距离. 解方程组40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2M .由图可知，minMP ===【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题. 15．12π 【解析】 【分析】首先求出母线l ，设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得R ，即可求出该圆锥内切球的表面积． 【详解】解：依题意，圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1， 所以()()2:2:1rl rππ=，因为3r =，所以6l =设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得116(666)22R ⨯=⨯++，R ∴=∴该圆锥内切球的表面积为2412ππ⨯=，故答案为：12π 【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题． 16．1- 【解析】 【分析】令()0f x =，显然0x ≠，可得出{}121x x=+，将问题转化为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点()0,1，数形结合可得出结果. 【详解】()01f =-Q ，令()0f x =，可得{}121x x=+，则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标， 作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17．32+ 【解析】 【分析】先根据2224S b c a =+-，b ，222cos 2b c a A bc+-=求出4A π=，若选择①，根据二倍角的余弦公式求出3B π=，根据正弦定理求出2a =，根据两角和的正弦公式求出sin B ，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得1c =，再根据三角形的面积公式求出面积即可. 【详解】因为2224S b c a =+-，222cos 2b c a A bc+-=，1sin 2S bc A =，所以2sin 2cos bc A bc A =.显然cos 0A ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=.若选择①，由22cos cos 20B B +=得,21cos 4B = 又(0,)2B π∈,∴3B π=，由sin sin a bA B=，得sin 2sin b A a B ===.又sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+1sin cos cos sin 222A B A B =+=⨯+=所以1sin 2S ab C ==.若选择②,cos 1bcos A a B +=，则222222222222cos cos 12222b c a a c b b c a a c b b A a B b a c bc ac c c+-+-+-+-+=+=+==所以113sin 1)2222S bc A +==⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18．（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X 的分布列和数学期望． 【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ， ()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为所以数学期望()26355E X =⨯=． 【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19．（1）证明见解析（2）4【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，求出向量n r，则向量,PC n u u u r r 所成角的余弦值的绝对值即为所求.【详解】（1）证明：因为,,BC CD BC PC PC CD C ⊥⊥=∩， 所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥. 又因为,PD BD BD BC B ⊥=∩， 所以PD ⊥平面BCD .（2）因为,PC BC CD BC ⊥⊥，所以PCD ∠是二面角P BC D --的平面角，即60PCD ∠=︒，在Rt PCD V 中，tan 60PD CD =︒=，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，因为,BC CD BC CD =⊥,所以OC BD ⊥,由（1）知，PD ⊥平面BCD ，OM 为PBD △的中位线， 所以,OM BD OM OC ⊥⊥，即,,OM OC BD 两两垂直， 以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，则(1,0,0),(0,1,0),,((1,1,0)P C D M CP CD⎛=-=-⎝⎭u u u r u u u r，CM⎛=-⎝⎭u u u u r，设平面MCD的一个法向量为(,,)n x y z=r，则由0,0,n CDn CM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得0,0,x yx z-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令z=，得n=r，所以cos,||||CP nn CPCP n⋅〈〉==u u u r rr u u u ru u u r r，所以直线PC与平面MCD【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20．（1）当0a≥时，()f x的单调递增区间为(0,)+∞；当0a<时，()f x的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞；（2）1a e>+.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a的取值，得到函数的单调区间；（2）依题意可得()()2ln0xF x x x ax x e x=-++->，()F x存在两个不动点，所以方程()0F x=有两个实数根，即2lne x x xax-+=有两个解，令()()2ne lx x xh x xx+-=>，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()()110,0ax f x a x x x++∞=+='>，， 对于函数1y ax =+，①当0a ≥时，10y ax =+>在0x >恒成立.()0f x '∴>在()0,∞+恒成立.()f x ∴在()0,∞+为增函数；② 当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-； 由()0f x '<，得1x a>-； ()f x ∴在1(0,)a -为增函数，在1(,)a-+∞减函数.综上，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （2）()()()()2ln 0xF x f x g x x x ax x ex =-=-++->，()F x Q 存在两个不动点，∴方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x -+=有两个解，令()()2n 0e l x x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x ++-+-+++-='=， 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x '<，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；()()1e 1h x h ∴≥=+， 设()ln I x x x =-,则'1()1I x x=-,max ()(1)10I x I =≤-<,即0x >时,ln x x < 将ln x x <两边取指数,则e x x <当0x +→时,2211()1x e x x x x h x x x x x+-+->>=+-→+∞当x →+∞时 , 2()x x xh x x x+->=→+∞当1a e >+时，()F x 有两个不同的不动点 【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题．21．（1）2219x y +=；（2）278. 【解析】 【分析】（1）设动点P 和点A ，B 的坐标，利用向量数乘关系结合||4AB =容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程，利用弦长公式可得|DM |，|DN |=则221162()1||||12829()DMNk k S DM DN k k∆+==++，设1k t k +=，则2t ≥，再利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）解：设()()(),,,0,0,P x y A m B n .3BP PA =u Q u u v u u u v ，()()(),,33,3x y n m x y m x y \-=--=--，即333x m xy n y =-⎧⎨-=-⎩.434m x n y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩. 又||4AB =，2216m n ∴+=. 从而221616169x y +=.∴曲线C 的方程为2219x y +=. （2）由题意可知，直线DM 的斜率存在且不为0.故可设直线DM 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得22(19)180k x kx ++=，则|DM |， 将式子中的0k >换成1k -，得：|DN |. 1|DM ||DN |2DMN S ∆== 342162()9829k k k k +=++221162()1829()k k k k +=++， 设1k t k+=，则2t ≥. 故2162964DMNt S t ∆==+162276489t t =+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +=，解得k =时，DMN S 取得最大值278. 【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题．22．（1）26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，()0y x x =-≥；（2）【解析】【分析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解.【详解】（1）由32cos ,22sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩得()()22324x y -++=， 即226490x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为26cos 4sin 90ρρθρθ-++=.射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥.（2）将74πθ=代入26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，得2649022ρρρ-⨯-⨯+=，即290ρ-+=，则12ρρ+=129ρρ=，所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，ρ的几何意义，根与系数的关系，属于中档题.23．（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1.【解析】【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+，两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++，即63ax >-，当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-.故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ （2）因为()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=，当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号.所以()()f x g x +的最小值为3， 所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤，解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。
辽宁省沈阳市东北育才双语学校2023届高三上学期数学学科第一次模拟测试题
东北育才双语学校2022—2023学年度上学期高三年级数学学科第一次模拟测试题一､单选题（共8小题，每题5分）1.设复数 z 满足()12i z i +=（其中 i 为虚数单位），则下列结论正确的是A.2z =B.z 的虚部为i C.22z = D.z 的共轭复数为1i-【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由()12i z i +=，得()22(1)111(1)i i i z i i i i -===+++-，∴z =，z 的虚部为1，()2212z i i =+=， z 的共轭复数为1i -，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知平面向量a ，b 满足2= a ，()1,1b = ，a b +=r r ，则a 在b上的投影向量的坐标为（）A.22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()1,1C.()1,1-- D.,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据a b + 及相关公式可得a b ⋅ ，再根据投影向量的计算公式求解.【详解】a b += b = ，所以2a b ×= 所以a 在b上的投影向量为()1,1a b b b bb⋅⋅==，故选：B.3.已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.223-D.223【答案】B 【解析】【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得3cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cossin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即313cos sin 122ααα⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭即33cos sin 122αα-=13cos sin 1223πααα⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212133⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 4.函数()2sin 1cos 22x x f x ωω-=+，且102ω<<，若()f x 在()3,4x ππ∈内无零点，则ω的取值范围为（）A.15,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1570,,41616⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C.37,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，【答案】D 【解析】【分析】先通过降幂公式及辅助角公式得到2()sin 24f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫ ⎝⎭+，由2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z 结合102ω<<即可求解.【详解】2sin 1111cos 11()cos sin sin cos 2222222x x x f x x x x ωωωωωω-+=+=-+=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()3,4x ππ∈时，4443,4x πππωωπωπ⎪+∈+⎛⎫⎝⎭+，则2342,44k k k πππωπωπππ≤+<+≤+∈Z 或23422,44k k k ππππωπωπππ+≤+<+≤+∈Z ，解得213,312162k k k ω-≤≤+∈Z 或217,34162k k k ω+≤≤+∈Z ，又102ω<<，当213,312162k kk ω-≤≤+∈Z ，令0k =，得131216ω-≤≤，故3016ω<≤；当217,34162k kk ω+≤≤+∈Z ，令0k =，得17416ω≤≤；综上ω∈3170,16416⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，.故选：D.5.a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.2021【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得22021cos 2c C ab =，再由三角恒等变换及正弦定理得22tan tan 2cos tan (tan tan )A B ab CC A B c =+即可求解.【详解】因为2222022a b c +=，由余弦定理得22222021cos 22a b c c C ab ab+-==，2sin sin 2sin sin 2tan tan cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B C A B A BC A B C A B C A B C A B ==++⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭()()22sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin sin sin sin sin A B C A B C A B CC A B C C Cπ==⋅+⋅-=，由正弦定理可得22212tan tan 2cos 2tan (ta 20212n 02n ta )2A B ab C ab C A B c c c ab==⋅+=.故选：D.6.已知直线l 是曲线ln y x =与曲线2y x x =+的一条公切线，直线l 与曲线2y x x =+相切于点()2,a a a +，则a 满足的关系式为（）A.()21ln 210a a +-+= B.()21ln 210a a +++=C.()21ln 210a a --+= D.()21ln 210a a -++=【答案】C 【解析】【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.【详解】记()ln y f x x ==得1()f x x'=,记2()g x x x =+得()21g x x '=+，设直线l 与曲线()ln f x x =相切于点(),ln b b ，由于l 是公切线，故可得()()()()()f b g a g a f b g a a b⎧=⎪⎨-''=-'⎪⎩，即2121ln ()21a b a a b g a a a b ⎧=+⎪⎪⎨+-⎪==+'⎪-⎩化简得()21ln 210a a --+=，故选：C7.已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x m f x ++=有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A.13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭ B.13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.134,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点.当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意；②当12,0t t >时：1.若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2.若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<；综上可得101t <<或1423t ≤<.又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.8.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+-==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x -<的解集为（）A.(2,1)-B.(1,5)C.(1,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()2exf xg x =，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令()()2exf xg x =，所以()()2e xf xg x =，因为()()4e0xf x f x +-=，所以()()242e e e 0x x x g x g x -⋅+⋅-=，化简得()()0g x g x +-=，所以()g x 是()3,3-上的奇函数；()()()()()2242e 2e 2e ex x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为当03x ≤<时，()()2f x f x '>，所以当[)0,3x ∈时，()0g x '>，从而()g x 在[)0,3上单调递增，又()g x 是()3,3-上的奇函数，所以()g x 在()3,3-上单调递增；考虑到()()2221e 11e ef g ===，由()24e 2e x f x -<，得()()2224e e2e x x g x --<，即()()211g x g -<=，由()g x 在()3,3-上单调递增，得323,21,x x -<-<⎧⎨-<⎩解得15x <<，所以不等式()24e 2e xf x -<的解集为()1,5，故选：B.二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）9.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若cos sin a b A B=，则4A π=B.若sin 2sin 2A B =，则此三角形为等腰三角形C.若1a =，2b =，30A =︒，则解此三角形必有两解D.若ABC 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+【答案】AD 【解析】【分析】由正弦定理可求A ，然后可判断A ；根据角的范围直接求解可判断B ；正弦定理直接求解可判断C ；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知sin sin a bA B =，又cos sin a b A B =，所以cos sin a a A A=，可得tan 1A =，因为(0,)A π∈，所以4A π=，A 正确；因为2(0,2),2(0,2)A B ππ∈∈，且角2A ，2B 最多有一个大于π，所以由sin 2sin 2A B =可知，22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；由正弦定理可得12sin 2sin 11b AB a⨯===，因为(0,)B π∈，所以2B π=，故此三角形有唯一解，C 错误；因为ABC 是锐角三角形，所以2A B π+>，即022A B ππ>>->，又sin y x =在(0,2π上单调递增，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，同理sin sin()cos 2B A A π>-=，所以sin sin cos cos A B A B +>+，D 正确.故选：AD10.下列选项中正确的是（）A.若平面向量a ，b满足||2||2b a == ，则|2|a b - 的最大值是5；B.在ABC 中，3AC=，1AB =，O 是ABC 的外心，则BC AO ⋅的值为4；C.函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的对称中心坐标为,062k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈D.已知P 为ABC 内任意一点，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点P 为ABC 的垂心；【答案】ABD 【解析】【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A ；利用三角形外心及数量积计算判断B ；求出函数()f x 的对称中心判断C ；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D 作答.【详解】对于A ，因||2||2b a == ，则|2|5a b -==，当且仅当2b a =-时取等号，A 正确；对于B ，令边AB 的中点为D ，因O 是ABC 的外心，则⊥OD AB ，则211()22AO AB AD DO AB AB ⋅=+⋅== ，同理有21922AO AC AC ⋅== ,所以()4BC AO AC AB AO AC AO AB AO ⋅=-⋅=⋅-⋅=，B 正确；对于C ，由232k x ππ-=，Z k ∈得46k x ππ=+，Z k ∈，因此函数()f x 图象的对称中心为(,0)64k ππ+，Z k ∈，C 不正确；对于D ，点P 在ABC 内，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅= ，即0CA PB ⋅=，有PB CA ⊥，由PB PC PA PC ⋅=⋅，同理有PC AB ⊥，因此点P 为ABC 的垂心，D 正确.故选：ABD11.已知函数()11ln x f x x x -=-+，下列结论成立的是（）A.函数()f x 在定义域内无极值B.函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为5ln 282y x =+-C.函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点D.函数()f x 在定义域内有两个零点1x ，2x ，且121x x ⋅=【答案】ABD 【解析】【分析】求出定义域与导函数可判断A ；利用导数的几何意义可判断B ；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C ；根据选项C 可判断D.【详解】A ，函数()11ln x f x x x -=-+定义域为()()0,11,+∞ ，()()()()2211112011x x f x x x x x --+'=-=+>--，()f x ∴在()0,1和()1,+∞上单调递增，则函数()f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由()()2121f x x x '=+-，则()()212522221f '=+=-，又()212ln 23ln 221f +=-=-+-，∴函数()f x 在点()()2,2A f 处的切线方程为()53ln 222y x +-=-即5ln 282y x =+-，故B 正确；C ，()f x 在()1,+∞上单调递增，又()112ln 10111e ef e e e e e ++-=-=-=<---，()22222222113ln 20111e ef e e e e e +-=-=-=>---，所以函数()f x 在()2,e e 存在0x ，使()00001ln 01x f x x x +=-=-，又20111e x e <<，即0101x <<，且()0000000011111ln ln 0111x x f x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，即1x 为函数()f x 的一个零点，所以函数()f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得10201,x x x x ==，所以121x x ⋅=，故D 正确.故选：ABD12.已知函数()2sin sin 2f x x x =，则（）A.函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.()max338f x =C.函数()f x 的最小正周期为2πD.对22223sin sin 2sin 4sin 24nnnn N x x x x +∈⋅⋅⋅≤，【答案】ABD 【解析】【分析】根据二倍角正弦公式化简3()2sin cos f x x x =，求导，判断函数单调区间即可判断A,验证函数周期为π可判断C ，由单调性及周期可判断B ，利用三角函数的最值及有界性可判断D.【详解】()23sin sin 22sin cos f x x x x x == ，()()(22422222()23sin cos sin 2sin 3cos sin 2sin 4cos 1)f x x x x x x x x x ∴=-=-=-',22sin (2cos 1)(2cos 1)x x x =+-()0f x '=在(0,)x π∈上的根为22,33x x ππ==，当(0,(,)33x π2π∈π 时，()0f x '>，当(,)33x π2π∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭和2(,)3ππ上单调递增，在(,)33π2π上单调递减，故A 正确；又[]22()sin ()sin 2()sin sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，故函数是周期为π的函数，故C 错误；所以23333(0)()0,()()3228f f f ππ===⨯=，223333())()3228f π=⨯-=-，故()max8f x =，故B 正确；()3233233222sin sin 2sin 4sin sin sin 2sin 4s 2in 2nnx x x xx x x x ⋅⋅⋅= ()()()2222123[sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2]n n n x x x x x x x x -=⋅⋅32223i sin324883s88n4n n nnnx x⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫⎢⎥≤⨯≤==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⨯⨯⨯⎣，故D正确.故选：ABD三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，第二空3分）13.若00223a b ab a b>>++=，，，则2+a b的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】根据()2224a bab+≤，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为0,0a b>>，所以()2224a bab+≤，则()222224a bab a b a b+++≤++，所以()22234a ba b+++≥，解得22a b+≥或26a b+≤-，当且仅当2a b=，即11,2a b==时，取等号，所以2+a b的最小值是2.故答案为：2.14.已知函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，且对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，当2(]0,x∈时，()2f x x=+.则(2022)f=___________.【答案】2-【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x的周期，再利用周期性计算作答.【详解】因函数(1)y f x=+的图象关于直线3x=-对称，而函数(1)y f x=+的图象右移1个单位得()y f x=的图象，则函数()y f x=的图象关于直线2x=-对称，即(4)()f x f x--=，而对Rx∀∈都有()()2f x f x+-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+，所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-.故答案为：2-15.已知函数3()6ln h x x x x =-+图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于m ，则实数m 的取值范围为__________．【答案】8m ≤【解析】【分析】由()()2121h x h x m x x ->-将问题转化为()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，求导后参变分离得2631m x x≤-+，构造函数求出最值即可求解.【详解】假设存在实数m ，使得函数()h x 的图象上任意不同的两点()()()()1122,,,A x h x B x h x 连线的斜率都大于m ，即()()2121h x h x m x x ->-，不妨设210x x >>，则问题可以转化为()()2211h x mx h x mx ->-，∴()y h x mx =-在()0,∞+上是增函数，∴26310y x m x '=-+-≥，即2631m x x ≤-+在()0,∞+上恒成立，设()()26310H x x x x =-+>，由()2660H x x x=->'，得1x >，()0H x '<，得01x <<.可知()H x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数．∴()H x 的最小值为()18H =.∴存在m ，且8m ≤.故答案为：8m ≤.16.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π=，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.【答案】①.58π②.82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出()sin 1A B -=，结合34A B π+=，即可得出答案；进而可知()sin 2sin C A B =-，分别讨论2C A B =-或2C A B π+-=，结合题意即可求出64B ππ<<，由正弦定理将2cos a b B化简为22sin 33tan sin cos B B B B =-，代入即可求出答案.【详解】因为2222222cos a b a b c C c ab-+-==，所以222sin sin 2sin cos A B C C -=，()()sin sin sin sin sin 2sin A B A B C C -+=，2sin cos 2sin cos sin 2sin 2222A B A B A B A B C C +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()sin sin sin 2sin A B A B C C +-=，由A B C π++=，则()sin sin sin 2sin C A B C C -=，即()sin sin 2A B C -=，代入4C π=，可得()sin sin 12A B π-==，则2A B π-=，且34A B π+=，解得58A π=.由()sin sin 2A B C -=，①当2C A B =-时，且A B C π++=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以2A C ππ=+<，不成立；②当2C A B π+-=时，且A B C π++=，所以2C B =，代入上式，可得3A B π+=，若ABC 是锐角三角形，则2A π<，所以32B π>，即6B π>，且2222sin sin 3sin cos 2cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos a A B B B B Bb B B B B B B B +===()222222sin 2cos 1cos 2sin cos 2cos 12cos 14sin cos cos cos B B B B BB B B BB B-+⋅-+==-22222sin cos 44tan 13tan cos B B B B B +=-=--=-，又3tan ,13B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以282,cos 3a b B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：58π；82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）17.在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=.（1）求A ；（2）若D 为BC 的中点，且ABC 的面积为332，AB =2，求AD 的长.【答案】（1）π3A =；（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC ，再借助平面向量求解作答.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin c C b B=，因tan 21tan A c B b +=，则sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B +=，即有2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，而0πC <<，sin 0C >，因此，1cos 2A =，而0πA <<，解得π3A =，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，而AB =2，则1sin 222ABC S AB AC A AC =⋅== ，解得3AC =，因D 为BC 的中点，则2AB ACAD += ，于是得2222211π19(2)(23223cos )4434AD AB AC AB AC =++⋅=++⨯⨯= ，解得19||2AD = ，所以AD 的长为2.18.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记21n n n n n a c a a b ++=⋅⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】（1）1n a n =+，2nn b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立方程组求首项和公差，求出数列{}n a 通项公式；退位相减求出数列{}n b 的通项公式；（2）对数列{}n c 进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证.【小问1详解】由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1a d ==，所以1n a n =+，当1n =时，1122b b -=，12b ∴=①，当2n ≥时，112222n n n n b S b S ---=⎧⎨-=⎩，12n n b b -=②，由①②得2nn b =.【小问2详解】由（1）知，所以32(1)(2)n n n c n n +=⋅+⋅+1112(1)2(2)n n n c n n -⇒=-⋅+⋅+011223111111111()()()()2223232424252(1)2(2)1122(2)n n n n nT n n T n -⇒=-+-+-+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⇒=-⋅+12n T ⇒<.19.已知函数2()2cos cos f x x x x a ωωω=++（0>ω，a ∈R ）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-；条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2.求：（1）求函数()f x 的解析式；并求()f x 的单调递增区间、对称中心坐标；（2）若将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]m 上的最小值为(0)g ，求m 的最大值.【答案】（1）π()2sin(2)16f x x =+-；ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；ππ(,1)122k -+-（Z k ∈）（2）π3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将()f x 化为π()2sin(2)16f x x a ω=+++，然后根据函数性质选择条件求出ω和a ，进而得到π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；（2）利用函数平移变换得()π2sin 416g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用函数的性质得到π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩进行求解.【小问1详解】()22cos cos f x x x x aωωω=++πcos212sin 216x x a x a ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，当选条件①时，31a +=，解得2a =-；当选条件②时，πππ20π,Z 1262k k ωω⎛⎫⋅-+=≠+∈ ⎪⎝⎭，显然条件②不合理；当选条件③时，π22T =，即2ππ2T ω==，解得1ω=；综上所述，条件①③能确定函数()f x 解析式，且π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，得ππππ36k x k -+≤≤+，Zk ∈所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -++（Z k ∈）；令π2π6x k +=，得ππ122k x =-+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心坐标为π(π,1)12k -+-，Z k ∈；【小问2详解】将函数()f x 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到π2sin(416y x =+-的图象，再向右平移π12单位，得到函数πππ2sin[4(12sin(411266y x x =-+-=--的图象，即()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；因为[]0,x m ∈，所以πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以π7π4660m m ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得π03m <≤.所以m 的最大值为π3.20.已知函数()2ln x f x e x λ=-.（1）当2λ=时，求()f x 的图象在点1x =处的切线方程；（2）当1λ=时，判断()f x 的零点个数并说明理由；（3）若2()f x x x λ- 恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）222(1)20e x y e ---+=；（2）()f x 无零点，理由见解析；（3）2eλ≥.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导()2xf x e x'=-，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在0x 使()00f x '=，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，构造函数x y e x =+，利用函数的单调性可知2ln x x λ≥，利用参变分离的方法，求λ的取值范围.【详解】（1）当2λ=时，2()2ln x f x e x =-，2(1)f e =，222()2,(1)22x f x e f e x'='=-∴-，∴切线方程为22(22)(1)y e e x -=--，即222(1)20e x y e ---+=（2）当1λ=时，2()2ln ,()x xf x e x f x e x-='=-，易知'()f x 在()0,∞+单调递增，且()1()40,1202f f e ''=-<=->，'()f x ∴存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，002x e x =满足且当()00,x x ∈时，'()0,()f x f x <单调递减，当()0x x ∈+∞，时，'()0,()f x f x >单调递增.对02x e x =两边取对数，得：00ln 2ln x x =-0min 00002()()2ln 22ln 22ln 242ln 20x f x f x e x x x ∴==-=+->=->()f x ∴无零点.（3）由题意得，22ln x e x x x λλ-≥-，即22ln x e x x x λλ+≥+，即2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，易知函数x y e x =+单调递增，2ln x x λ∴≥，x()0,e e(),e +∞'()h x +0-()h x 单调递增极大值单调递减2ln x x λ∴≥，令2ln ()xh x x=，则222ln ()x h x x -'=，令'()0h x =得x e =，列表得，max 22()(),h x h e e eλ∴==∴≥.【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式22ln x e x x x λλ+≥+等价于2ln 2ln x x e x e x λλ+≥+，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数x y e x =+，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.21.如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，21cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积；（3）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF 的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【答案】（1）4（2（3）502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出b 和c 的关系式，进而求出b 的长度即可；（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出cos BAC ∠，进而求出sin BAC ∠，再根据三角形面积公式求出面积即可；（3）首先设k A A D G = ，AB AE λ= ，AC AF μ=（[)1λμ∈+∞，，），根据三点共线公式得到2k λμ+=，再根据面积的倍数关系求出6λμ=，因此求出AG EF的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可．【小问1详解】由已知条件可知：12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C ⋅=⋅-⋅+⋅在ABC 中，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得2212cos 4ac B a b bc ⋅=-+在ABC 中，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得2222214a cb a b bc +-=-+4b c ∴=，又14c b =∴= ，【小问2详解】设BAC θ∠= AD为BC 边上中线1122AD AB AC∴=+ 则()21111cos 2cos 2222AB AD AB AB AC AB AB AC θθ=+=+=+178cos 2AD ===7co s AB AB AD BAD AD=∠== ①228cos 8cos 110θθ∴+-=()()12cos 114cos 1102θθθ∴-+=∴=或1114-由①，得1134cos 10cos cos sin 422θθθθ+>∴>-∴=∴=1sin 2ABCS AB AC θ∴=⋅⋅=uuur uuu r △【小问3详解】设AD k AG = ，AB AE λ=，AC AF μ= （[)1λμ∈+∞，，）1AE λ∴= ，4AF μ=1122222AB AC k AG AE AF AG AE D AFk kA λμλμ=+⇒=+⇒=+ 根据三点共线公式，得2kλμ+=()1AG E AD AF AEkF =-()1112AB AC AC AB k μλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2211111cos 2AC AB AB AC k θμλμλ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅+-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1cos 2θ=，θ为∠BAC ）1161222k μλμλ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭36λμλμλμ-=⋅+1sin 2661sin 2ABC AEF AB AC AE AF S S θλμθ⋅⋅==∴=⋅ △△66162AG EF λλλλ-∴⋅=⋅+ 22136λλ-=⋅+27316λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭[][]2616166742μλλλ=≥⇒≤⇒∈⇒+∈，，217510662AG EF λ⎡⎤⇒≤≤⇒∈⎢⎥+⎣⎦，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．22.已知函数()()ln 1f x x ax a R =-+∈.（1）函数()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围：（2）求证：当2n N n *∈≥，时，222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：1221x x a <.【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）()0f x ≤在定义域内恒成立只需要()0f x ≤在定义域内满足()()max 0f x ≤，对a 进行分类讨论；（2）取1a =时，ln 1≤-x x ，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和ln 1≤-x x 产生联系；（3）由题知12()()0f x f x ==，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有a ，故想办法消去参数，只保留12,x x 的关系，然后构造函数进行解决.【小问1详解】函数定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()110f a =->，不满足题设；当0a >时，()0f x '=，1x a =，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()max 11ln 0f x f a a ⎛⎫==≤⎪⎝⎭，解得1a ≥.综上：a 的取值范围是[)1,+∞.【小问2详解】证明：由（1）得，当1a =时ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，所以2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合对数的运算法则可得222222222111111111ln 111ln 1ln 1ln 1232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111111122312231n n n n n++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+=-⨯⨯--，所以222111111323e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以222111111323n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】由题意11ln 10x ax -+=，22ln 10x ax -+=，两式相减得()2211ln 0x a x x x --=，即2121ln x x a x x =-，故要证明1221x x a <，即证明()22112221ln x x x x x x -<，即证明()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，不妨设120x a x <<<，令()()21ln 21g t t t t t =--+>，()22ln 11112ln t g t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()()12ln 1h t t t t t =-+>，()()2210t h t t -'=-<，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，()()10h t h <=，所以()g t 在()1,+∞上单调递减，()()10g t g <=，21ln 20t t t--+<在()1,+∞上成立，令21x t x =，得()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -<=-+，所以1221x x a <.第24页/共24页。
【精准解析】辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学(理)试题
2.若复数满足 (2 i) z 5 ，则在复平面内与复数 z 对应的点 Z 位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】 根据复数的除法运算求出复数 z ，再根据复数的几何意义可得答案.
安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.
【详解】由题意知基本事件总数 n A66 720 ，
“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：
-6-
① “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有 4 个，考
虑两者的顺序，有 2 种情况，
C. 系统抽样法､分层抽样法
D. 简单随机抽样法､分层抽样法
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.
【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；
②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.
故选：B.
【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.
（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在
东北育才学校高中部 2020 届高三第八次模拟考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.）
1.已知集合 A {x | y x2 2}，集合 B {y | y x2 2} ，则有( )
国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三数学第八次模拟试题理(含解析)
东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（理科）第I 卷（选择题共 60分）要求的一项。
【答案】 【解析】【分析】 求解出集合M ，根据子集的判定可得结果 【详解】由题意知：M x 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题2.记复数z 的虚部为Im （z ），已知z 满足iz2i ,lm(z)为(A. 1B. iC. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得 z ，从而可得虚部. 1 2i 1 【详解】由iz 1 2i 得：z 丄二2 2 i i2i iIm本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到bi 的形式.23.已知公比不为1的等比数列｛ a n ｝满足31535 314 3620 ,若a m 10，则 m、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目1.已知集合M {x|(x 1)(x 2) 0}, N{x|x0｝，则（）A. NB.C.D.x 2，则【答案】B 【解析】 【分析】2根据等比数列的性质可求得 a 10 10 ,从而求得结果.【详解】由等比数列性质得： a 15a 5 a 14a 6 a ：0 a^ 2a ：0 202 a1010 m 10本题正确选项：B【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题4.X 2(y■, x 2(y2)22表示的曲线方程呈为( : )A. x 22y 1(x 1)B.2x y 2 1(x1)C. y22x 1(y1)D. 2y x 2 1(y 1)【答案】C【解析】【分析】 根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义 求得曲线方程 【详解】、x 2y 2 可看作动点 x, y 到点0,. 2的距离差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在 y 轴上则：c ， a 1 b 2 c 2 a 21曲线方程为：y 2 x 2 1 y 1A. 9B.10 C. 11 D. 12y 2 2 可看作动点x,y 到点0,2的距离2表示动点x, y 至U 0^. 2和0,. 2的距离之又动点到0, 2的距离大于到 0, .2 的距离，所以动点x,y 轨迹为双曲线的下半支本题正确选项：C【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何 意义•命题p 是命题q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D. 必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据x1—可知2m - n ；若 m n2 0，可知x0或x 1—;综合可得结果2【详解】ir1 r1 r 1 r若x—,则 2m,1 ， n 4?2m n 2则命题p 是命题q 的充分条件若mn10，则2x 2 x ，解得：x 0或x -2则命题P 是命题q 的不必要条件综上所述：命题 p 是命题q 的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为5.已知向量mm x 2,i ，nx,2，命题 p : x1，命题q ：o,使得m成立，则非充分非X I LA. 3B. -C. 5D. 2X2【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：C有：PB 面ABC PB 2,^ABC中，AB dC, BC 2, BC 边上的高为2, 所以，AB AC 、,5,PA 3,PC 2,2 .该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3.故选A.点睛；思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各 1 人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校 长不相邻，则不同的安排方法为 ( )A. 24 种B. 48 种C. 72 种D. 【答案】 C 【解析】【分析】 采用插空法即可求得结果 . 详解】采用插空法可得安排方法有：A 33A 42 6 12 72 种本题正确选项： C 【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关 系.9.设 a log 3 6, b log 5l0 , c 1 log 6 2，则() A. a b c B. b a cC. c a bD.【答案】 D 解析】【分析】 根据对数运算将a,b 变形为1 log 3 2和1 log 5 2，根据真数相同的对数的大小关系可比较出 三个数之间的大小. 【详解】a log 3 6 log 3 3 2 1 log 3 2 ； b log 510 log 5 5 2 1 log 5 2又 log 3 2 log 5 2 log 6 2 c b a本题正确选项：D96 种8. 已知 (2x 2 3x A. 24解析】 分析】 分别取 x详解】令 两式作和得： 2 本题正确选项：L a 7x ，则 a 0 a 2 a 4 a 6 ( )C. 72D. 96数间的关系，通过作和可求得结果a 5a7a 0a 6 a 7a 2 a 452 596a 6 481 和 x则a 0a 4 a 5 a696x1a 2 a 3 a 4【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式•10.已知函数f x cos 2x 在a, 上有最小值1，则a的最大值（）3 2pAA. B. C. - D.2 3 4 6 【答案】B【解析】【分析】根据x在a, 上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案2【详解】函数f x cos 2x —3x a,—22x2a233’ 3f x在a, 上有最小值-1,2根据余弦函数的性质，可得2a -3可得a —，故选：B •3【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题.211.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且3三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概 率（） 【答案】C 【解析】 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ; “甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出P A ，再计算出P AB ，结合条件概率公式求得结果 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ; “甲解答不正确”为事件 BP AB 1P B A -------------- -----P A 5本题正确选项：C【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题截I 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A.13 20B.—C.D.20丄202则 PA C 32|120 27P AB12 2 4 3 3 3272x12.己知椭圆一y ab 21 a b 0直线l 过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆A.B.2.5ciD.【答案】D 【解析】 【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离 d ，利用弦长等于2 a 2d 2可构造关于a, c 的齐次方程，从而求得离心率设直线I 方程为：y , 3 x c本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求解， 关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于 a,c 的齐次方程.第n 卷（非选择题共 90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举 这个伟大创举与古希腊的算法一“辗转相除法”实质一样•如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a 288,b 123时，输出的a __________ .1/^K a>b/【答案】3 【解析】 【分析】【详解】由题意知，椭圆左焦点为c,0，长轴长为 2a ，焦距为2c则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为0,0，半径为圆心到直线I 的距离d2c 2 , a 2 d 2 2'a 23 2-c 4 ，整理得: 椭圆的离心率为c2.7 7ti = b解法一：按照程序框图运行程序，直到 r 0时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入： a 288，b 123 则r 42, a 123, b 42，不满足 r 0 ,循环; 则r 39, a42 , b 39，不满足r 0,循环；则r3, a 39 , b 3，不满足r 0 ,循环； 则r 0, a 3, b0 ,满足r 0 ,输出a 3解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为288与123的最大公约数为 3 二a 3 本题正确结果：3【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础 题.14.已知三棱锥 P ABC 中，侧棱PA 、、2, PB 、一5, PC 3,当侧面积最大时，三棱锥P ABC 的外接球体积为32 【答案】323【解析】 【分析】当三棱锥侧面积最大时，PA , PB , PC 两两互相垂直，可知以 PA , PB , PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥 P ABC 的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半， 从而求得半径，代入球的体积公式得到结果 •Q APB , APC , BPC 相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥 P ABC 的侧面积最大此时PA , PB , PC 两两互相垂直以PA , PB , PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥 P ABC 的外接球1 ) ---------外接球半径R2 5 9 2 2【详解】三棱锥P ABC 的侧面积为:3、2 . sin 2 APC 3.5 .sin 2BPC三棱锥P ABC 的外接球的体积: 【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条 棱之间的关系15.设函数f(x) lnx ，x 0，若函数g(x) f(x) b 有三个零点，则实数 b 的取值范 (x 1)e x ,x 0围是 ____ .【答案】(0,1] 【解析】 【分析】将问题转化为y f X 与y b 有三个不同的交点；在同一坐标系中画出 y f X 与y b 的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围【详解】函数g x f x b 有三个零点等价于y f x 与y b 有三个不同的交点 当 x 0 时，f x x 1 e x ，则 f x e xx 1 e xx 2 e xf x 在 ，2上单调递减，在2,0上单调递增1且 f 2—，f 01，[计 f x 0ex从而可得f x 图象如下图所示：通过图象可知，若 y f x 与y b 有三个不同的交点，则 b 0,1 本题正确结果：0,1本题正确结果:323【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和 直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果本题正确结果：2n 1n 项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)17.在 V ABC 中，a 21 , A 120 , V ABC 的面积等于-.；3，且 b c .(I) 求b 的值； (n)求cos2B 的值.16.已知数列 耳中，a i 1， S n 是数列a n 的前n 项和，且对任意的r,t都有S r r则a n =【答案】 2n 【解析】 【分析】*S 1n N ，可知S -s 12n22 ;假设S nn 2k ,1S i 11 2 k ，利用a 1 S 可求得 得到S n 和S n 1 ；根据 a n 1S n 1 S n可求得a n 1，进而得到【详解】若rS n，则「6 1令 S n n 2k ,Sn 12k则 a 1 S 1n 2, S nan 1S n S n2n 2na n 2n 1经验证，n1时, 满足 a n2n 1综上所述: a n 2n 1【点睛】本题考查利用数列前132c 2bccos120 .bc=4,2 2b c =17.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案 (1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前 44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成 5元•该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量•现随机抽取 100天的数据，将样本数据分为 [25 , 35), [35 , 45) , [45 , 55) , [55 ,65),[65 , 75) , [75 , 85) , [85 , 95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
辽宁省2020年中考数学模拟试卷(含答案)
辽宁省2020年中考数学模拟试卷含答案考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1.3-的倒数是（ ） A 3 B31 C 31- D 3- 2.2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ）A 6.76×106B 6.76×105C 67.6×105D 0.676×1063.右图所示，几何体的左视图为（ ）A B C D 4.一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（ ） A 8，6 B 7，6 C 7，8 D 8，7 5.下列计算结果正确的是（ ）A 248a a a =÷ B 632a a a =⋅ C 623)(a a = D 6328)2(a a =- 6.二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+425y x y x ，的解为（ ）A ⎩⎨⎧==；，41y x B ⎩⎨⎧==；，32y x C ⎩⎨⎧==；，23y x D ⎩⎨⎧==．，14y x7.如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB =6，EF=2，则BC 长为（ ）A 8B 10C 12D 148.如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE =45°，点F 是第3题图AEFDBC第7题图HFAEGAB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE =∠BAD .有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC ·AD=2AE 2；④S △ABC =4S △A DF .其中正确的有（ ）A 1个B 2 个C 3 个D 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.分解因式：=-x xy 2 ．10.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<->-．，32126x x x 的解集为 ．11.一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 12.反比例函数xk y 1-=的图象经过点（2，3），则k = ． 13.某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x ，则可列方程为 ． 14.观察下列数据：2-，25 ，310-，417，526-，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 ．15.如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长 线于点F ，则EF 的长为 ．16.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示， 则下列6个结论正确的有____个 ①ac<0 ②2a+b=0 ③4a+2b+c>0 ④对于任意x 均有ax 2+bx ≥a+b ⑤3a+c=0 ⑥b+2c<0⑦当x>1时，y 随着x 的增大而减小第15题图ADB F CE第16题图三、解答题（每小题8分，共16分） 17.计算：01)2016()21(12360sin 4-+--+︒-π18.在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2 、C 2的坐标．四、（每小题10分，共20分）19.为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团，每人只能选择一项)．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？第19题图第18题图yxBCAO20.甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．21.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，∠B =60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F. （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）① 当AE= 时，四边形CEDF 是矩形； ② 当AE= 时，四边形CEDF 是菱形.ADCBGEF第21题图五、（每小题10分，共20分）22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．（1）求证：∠BDC =∠A ；（2）若CE =4，DE =2，求AD 的长． 六、（每小题10分，共20分）23.某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为︒48，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为︒64，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） （参考数据： sin48°≈107,tan48°≈1011,sin64°≈109,tan64°≈2)BDCA建筑 物第23题图第22题图E A24.某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y （千克），增种．．果树x （棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w （千克）最大？最大产量是多少？七、（本题12分）25.如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，（1）如图1，连接AG 、CE ，试判断AG 和CE 的数量和位置关系并证明。
辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试数学含答案
2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()7,+∞ B.()6,+∞ C.(]1,7- D.(]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（）A.5B.6C.7D.84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.2- D.25.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若()1235MF MF MN λλ+=∈R，则双曲线E 的离心率为（）A.87 B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
辽宁省2020年中考数学模拟试卷(含答案)
辽宁省2020年中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．C．﹣5 D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列事件是必然事件的是（）A．任意购买一张电影票，座位号是奇数B．打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”C．13名同学中至少有两名同学出生的月份相同D．抛掷一枚硬币，反面朝上4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.25．下列运算中，正确的是（）A．2a2+3a2=a4B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6D．3a6÷a2=3a46．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（）A．B．C．D．7．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣2 0 1 2 …y …7 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．当x＜2时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于负半轴10．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点E为△ABC内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕C点顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△AFC，连接EF交AC于点M，已知BC=10，CF=6，则AM：MC的值为（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5二、填空题（每小题3分，共24分）11．4是的算术平方根．12．若二次根式有意义，则a的取值范围为．13．因式分解：ab2﹣9a= ．14．五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是．15．小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图所示）叠放在一起，如果∠α=43°，那么∠β是度．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为．17．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是．18．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °．三、解答题（共96分）19．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x=2•sin60°+（3﹣π）0﹣．20．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这3个口袋中各随机取出一个小球．（1）用树形图表示所有可能出现的结果；（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．21．某校为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”对文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；并在扇形统计图中，计算出“其他类”所对应的圆心角的度数；（3）若该校有2400名学生，请你估计该校喜爱“科普类”的学生有多少名．22．如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．24．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．﹣5的相反数是（）A．5 B．C．﹣5 D．【考点】相反数．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．【解答】解：﹣5的相反数是5．故选A．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．3．下列事件是必然事件的是（）A．任意购买一张电影票，座位号是奇数B．打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”C．13名同学中至少有两名同学出生的月份相同D．抛掷一枚硬币，反面朝上【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A不符合题意；B、打开电视，正在播出“奔跑吧，兄弟”是随机事件，故B不符合题意；C、13名同学中至少有两名同学出生的月份相同是必然事件，故C符合题意；D、抛掷一枚硬币，反面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选：C．4．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2【考点】方差；中位数；众数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为 [（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．故选B．5．下列运算中，正确的是（）A．2a2+3a2=a4B．5a2﹣2a2=3 C．a3×2a2=2a6D．3a6÷a2=3a4【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B、5a2﹣2a2=3a2，故本选项错误；C、a3×2a2=2a5，故本选项错误；D、3a6÷a2=3a4，故本选项正确．故选D．6．将不等式组的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣1；由②得x＜1，故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜1，在数轴上表示为：．故选A．7．给定一列按规律排列的数：，则这列数的第6个数是（）A．B．C．D．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据已知的四个数可得排列规律：分子是从1开始的自然数列，分母都是分子的平方加1；据此解答．【解答】解：∵一列按规律排列的数：∴这列数的第5个数是： =，这列数的第6个数是： =，故选：A．8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是边AB、BC、CA的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断得则y关于x的函数的图象的大致形状．【解答】解：∵AE=BF=CG，且等边△ABC的边长为2，∴BE=CF=AG=2﹣x；∴△AEG≌△BEF≌△CFG．在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x，∵S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；∴y=S△ABC﹣3S△AEG=﹣3×x（2﹣x）=（x2﹣x+1）．∴其图象为二次函数，且开口向上．故选C．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣2 0 1 2 …y …7 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．当x＜2时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于负半轴【考点】二次函数的性质．【分析】根据x=1时的函数值最大判断出抛物线的开口方向；根据表格数据判断出函数图象关于直线x=1，再根据函数的对称性可知当x=﹣2时的函数值与x=4时的函数值相同，并求出y=0时的x的值，从而得解．【解答】解：A、由图表数据可知x=1时，y=﹣2最，所以，抛物线开口向下，正确，故本选项错误；B、∵x=0和x=2时的函数值都是3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，正确，故本选项错误；C、由图表数据可知，当x=﹣2时的函数值与x=4时的函数值相同，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x=﹣2时的函数值应大于x=5时的函数值，故本选项正确；D、根据对称性，x=﹣1和x=3时的函数值y=0，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确，故本选项错误．10．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点E为△ABC内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕C点顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△AFC，连接EF交AC于点M，已知BC=10，CF=6，则AM：MC的值为（）A．4：3 B．3：4 C．5：3 D．3：5【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】由旋转可以得出△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠AFC=90°，由勾股定理就可以求出AF的值，进而得出CE∥AF，就有△CEM∽△AFM，就可以求出CM，DM的值，从而得出结论．【解答】解：∵△BEC绕C点旋转90°使BC与AC重合，得到△ACF，∴△BEC≌△AFC，∠ECF=90°，∴EC=CF=6，AC=BC=10，∠BEC=∠DFC=90°．在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF=8．∵∠AFC=90°，∴∠AFC+∠ECF=180°，∴EC∥AF，∴△CEM∽△AFM，∴==，∴AM：MC=4：3，故选A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．4是16 的算术平方根．【考点】算术平方根．【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42=16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．12．若二次根式有意义，则a的取值范围为a≥5 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可求解．【解答】解：依题意，得a﹣5≥0，解得a≥5．故答案是：a≥5．13．因式分解：ab2﹣9a= a（b+3）（b﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．14．五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是．【考点】概率公式．【分析】先找出分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中，有三张标有奇数；任意抽取一张，数字为奇数的概率是．故答案为．15．小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图所示）叠放在一起，如果∠α=43°，那么∠β是47 度．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质由a∥b得到∠1=∠2，再利用对顶角相等得∠3=∠β，∠2=∠α=43°，然后利用互余可计算出∠β．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1=∠2，∵∠2=∠α=43°，∴∠1=43°，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣43°=47°，∴∠β=∠3=47°．故答案为47．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为6πcm2．【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图．【分析】易得此几何体为圆柱，底面直径为2cm，高为3cm．圆柱侧面积=底面周长×高，代入相应数值求解即可．【解答】解：主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，俯视图为圆可得此几何体为圆柱，故侧面积=π×2×3=6πcm2．故答案为：6πcm217．如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是12﹣．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数y=的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4，则OA=4﹣3，设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求得OD=4﹣，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=4，∴B点纵坐标为4，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），∴OC=3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8，AC=BC=4，OA=AC﹣OC=4﹣3．设AB与y轴交于点D．∵OD∥BC，∴=，即=，解得，OD=4﹣，∴阴影部分的面积=×（OD+BC）×OC=12﹣，故答案为：12﹣．18．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45 °．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC===67.5°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵EF=BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴BF=EF=CF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．故答案为：45．三、解答题（共96分）19．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x=2•sin60°+（3﹣π）0﹣．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】首先对括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入数值计算即可．【解答】解：原式=×=×=x﹣1，当x=2×+1﹣2=﹣+1，原式=﹣．20．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为1，6，7．从这3个口袋中各随机取出一个小球．（1）用树形图表示所有可能出现的结果；（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答；（2）根据树状图结合三角形的三边关系列举出能够成三角形的情况，用能够成三角形的情况数：总的情况数即可得到概率．【解答】解：（1）如图所示：，所以共有12种可能出现的结果；（2）这些线段能够成三角形（记为事件A）的结果有4种：（5，4，6）；（5，4，7）；（5，9，6）（5，9，7），所以P（A）==．21．某校为了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”对文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；并在扇形统计图中，计算出“其他类”所对应的圆心角的度数；（3）若该校有2400名学生，请你估计该校喜爱“科普类”的学生有多少名．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用喜欢文学的人数除以其所占的百分比即可求得调查的学生总数；（2）用总人数乘以每种情况所占的百分比后即可求得每一个小组的频数，从而补全统计图；（3）首先求得喜欢科普类的学生所占的百分比，然后确定喜爱科普类的学生数即可．【解答】解：（1）60÷30%=200（人）．答：这次调查的学生共有200人．（2）200×20%=40（人）补充条形统计图（艺术）200﹣（60+80+40）=20（人）补充条形统计图（其他）（注：没有算出40人，20人的步骤，直接补充条形图可得分）20÷200=10%10%×360°=36°．答：“其它类”所对应的圆心角是36°．（3）80÷200=40%2400×40%=960（人）．答：该校喜爱“科普类”的学生有960人．22．如图，小明在山脚下的A处测得山顶N的仰角为45°，此时，他刚好与山底D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着山顶前行110米到达B处，测得山顶N的仰角为60°．求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，根据余弦的定义求出AE，根据正弦的定义求出BE，设BF=x米，根据正切的定义求出NF，结合图形列出方程，解方程即可．【解答】解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，∵∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BE=DF，BF=DE，在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=×110=55（米），设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），∵∠NAD=45°，∴AD=DN，∴DN=DF+NF=55+x（米），即55+x=x+55，解得：x=55，∴DN=55+x≈150（米），答：山的高度约为150米．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用三角形中位线定理证得OE∥BC．所以由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠ODE=∠F，则易证得结论；（2）设⊙O半径为r．根据相似三角形△AOE∽△ABC的对应边成比例列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．然后通过解Rt△AOE来求sinA的值．【解答】（1）证明：连结OE．∵AC切⊙O于E，∴OE⊥AC，又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，∴OE∥BC∴∠OED=∠F．又∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠ODE=∠F∴BD=BF；（2）解：设⊙O半径为r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．∴，即，∴r2﹣r﹣12=0，解之得r1=4，r2=﹣3（舍去）．在Rt△AOE中，∴sinA=．24．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40．答：a=40，m=1；（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，由题意，得40=k1，∴y=40x当1＜x≤1.5时，y=40；当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由题意，得，解得：，∴y=40x﹣20．y=；（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，由题意，得，解得：，∴y=80x﹣160．当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：x=．当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：x=．=，．答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；（2）EG=AG﹣BG．如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴EG=AG﹣BG．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M 的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m 的代数式表示S．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）依题意：设M点坐标为（0，t），①当MA=MB时：解得t=0，故M（0，0）；②当AB=AM时：解得t=3（舍去）或t=﹣3，故M（0，﹣3）；③当AB=BM时，解得t=3±3，故M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟考试 数学(理)
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<，{(,)|B x y y ==，则A B I =（） A ．[)0,2 B ．1(0,)3C ．∅D ．(2,)+∞【答案】C【解析】集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=，{(,)|B x y y ==表示点集，即可得出结论． 【详解】解：集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=为数集，{(,)|B x y y ==表示点集，A B ∴=∅I ．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】对复数进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（） A ．3m =- B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-【答案】C【解析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果. 【详解】 由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题. 4．已知向量，则“x ＞0”是“与的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，；但是当x ＝5时，，与共线，与夹角为0°，故充分性不成立，必要性：与夹角为锐角，则，解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.5．设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（） A ．6 B ．10C ．7D ．9【答案】C【解析】因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C. 6．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．π(,1)4【答案】D【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z p p =+?，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o ，30o ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．240(31)mB ．180(21)mC ．31)mD ．30(31)m【答案】C 【解析】【详解】120AC =，60sin 75AB =o ，sin 30sin 45AB BC=o o， 所以sin 45602120(31)sin30sin(3045)AB BC ===+o o o o. 故选C.8．三个数 1.10.40.40.4,log 1.1,1.1大小关系是（ ）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.4【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】解： 1.100.41<<Q ，0.41.11>，0.4log 1.10<，10.40.4.1log 0.4 1.1.11∴<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设函数()32cos 412f x x x x θ=++-，其中50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f -的取值范围是 ( )A ．[]36，B．3⎡⎣， C．⎡⎤⎣⎦ D．⎡⎣【答案】A【解析】先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式，将1x =-代入可求取值范围． 【详解】 解：Q 32cos ()412f x x x θ++-∴2()cos 4f x x x θθ'=++∴(1)cos 42sin()46f πθθθ'--+=-+Q 5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大． 10．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v，OAC V的面积为1S ，ABC △的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．421 【答案】A【解析】∵2350OA OB OC u u u r u u u r u u u r++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v ．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-u u u u v u u u v,∵MN 为ABC V 的中位线，且32OM ONu u u u v u u u v =，∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABC S S S S S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭V V V V V ，即12310S S =．选A ． 11．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①31y x x =-++②32(sin cos )y x x x =--③e 1x y =+④ 1sin x xxy e e π-=+,其中为“H 函数”的有（） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①②③【答案】C【解析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 【详解】解：Q 对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．①函数31y x x =-++，则231y x '=-+，当x <，或x >0y '<，此时函数为减函数，不满足条件．②32(sin cos )y x x x =--，32(cos sin )0y x x '=-+>，函数单调递增，满足条件． ③e 1x y =+为增函数，满足条件． ④1sin x xxy e e π-=+，在定义域上不具有单调性，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．经过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN D 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．2CD ．2【答案】B【解析】试题分析：双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，设两条渐近线的夹角为θ，则222tan tan 1b b b b abMON a a a a a b θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=∠=--+⋅-=-⎝⎭，设FN ON ⊥，则F 到渐近线by x a =的距离为d b ==，即有ON a ==，则OMN ∆的面积可以表示为3212tan 23a a a θ⋅⋅==，解得2a b =，则c e a ==．故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tan tan MON θ=∠，求出F 到渐近线by x a=的距离为b ，即有ON a OMN =∆，的面积可以表示为1tan 2a a θ⋅⋅，结合条件可得ab ，的关系，再由离心率公式即可计算得到．二、填空题13．函数()23s 4f x in x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1 【解析】【详解】 化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1．14．过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．【答案】34200x y +-=【解析】直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可． 【详解】解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为R =Q 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ， ∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22340x y x y +--=， 两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=， 故答案为：34200x y +-=．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键．15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P在直线:80l x ++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．【答案】31-【解析】先根据椭圆221 164x y+=的方程得出其左右焦点分别为1(23F-，0)、与2(23F，0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF∠取最大值时，经过1F与2F的圆与直线l相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出122||||PF PBPF BF=，最后利用相似比即可求出答案．【详解】解：椭圆221164x y+=的左右焦点分别为1(23F-，0)、与2(23F，0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF∠取最大值时，经过1F与2F的圆与直线l相切，此时圆心在y 轴上，坐标为(0,2)A，在直线:38230l x y-++=中令0y=得B的坐标：()823,0B--，在三角形1BPF和三角形2BF P中，12BPF BF P∠=∠，1BPF∴∆∽△2BF P，∴221222||31||PF PB AB PAPF BF-===-．故答案为：31-．【点睛】本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c，且()cos cos 0b A a B -+=． （1）求角A ；（2）若a =cos B =，求BA 的长度． 【答案】(1)4A π=;(2)AB ＝6【解析】（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理求得cos A =可得A 的值．（2）ABC ∆中，先由正弦定理求得AC 的值，再由余弦定理求得AB 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理可得sin cos cos sin cos A B C A B A =-，化简可得sin()cos A B C A +=，即sin cos C C A =，求得cos 2A =4A π∴=． （2）由cos 5B =，可得sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin a b A B==，求得b AC ==． ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠g g ，即22082AB AB =+-⨯6AB =． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查．18．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析【解析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K 2的观测值k ，即可判断结果． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：于是有K 2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为：所以12131220123105301515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般． 19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，2AP =，120BAD ∠=︒，E 为PC 中点．（1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角E AB C --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角的余弦值为3311【解析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC BD ⊥，再由PAC ∆的中位线，得到//EO PA ，结合PA ⊥面ABCD ，所以EO ⊥面ABCD ，从而AC EO ⊥．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC ⊥面BED ；（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得到A 、B 、C 、E 各点的坐标，从而得到向量AB u u u r 、AC u u u r 、AE u u u r的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE 和平面ABC 的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E AB C --是锐二面角，得到二面角E AB C --平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值． 【详解】解：（1）设O 为底面ABCD 的中心，连接EO ，Q 底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥PAC ∆Q 中，E 、O 分别是PC 、PA 的中点 //EO PA ∴又PA ⊥Q 面ABCD ，EO ∴⊥面ABCDAC ⊂Q 面ABCD ，AC EO ∴⊥又BD Q 、EO 是平面BED 内的两条相交直线AC ∴⊥面BED（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得111(0,0,0),,0),,0),2242A B C E -∴111,0),,0)242AB AE AC =-==u u u r u u u r u u u r设1111(,,)n x y z =u r是平面ABE 一个法向量由111111111··()?0021····0442n AB x y z n AE x y z ⎧=+-+=⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩u v u u u v u v u u u v，解得1111y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以取11x =，1y =1z =，可得1n =u u r ，因为PA ⊥平面ABC ，所以向量PA u u u r即为平面ABC的一个法向量，设2PA n ==u u u r u u r∴121212cos ,||||n n n n n n <>===u u r u u r g u u u r u u u u r 根据题意可知：二面角E AB C --是锐二面角，其余弦值等于12cos ,n n =∴二面角E AB C --的平面角的余弦值为11．【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题． 20．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，32 4.4817e ≈） 【答案】(1) 1()=m f x e-极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求. （2）题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立，构造函数设4()xx g x x e +=+，求出导函数，设()(3)x h x e x =-+，判断()h x 的零点所在区间，可得()g x 的单调性，即可表示出的()g x 最小值，分析得到min 4916()185<<g x ，推出结果． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--xf x x e令'()0f x >，解得1x m <-；令'()0f x <，解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增， 当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+xx m x e （0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--x x e x 则'()1xh x e =-0> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增 所以00min 04g()+=+x x x x e又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增,所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =u u u u ru u u r，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) △OAB 面积的最大值为1 【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--g ．又2211221x y a b+=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2AM MB =u u u u r u u u r，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出．【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--g ． 又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t-=+，Q 2AM MB =u u u u r u u u r，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++g ．212||1214949||||t S t t t ∴==++…，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+． （1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标系方程；（2）从2C 上任意一点P 作曲线1C 的切线，设切点为Q ，求切线长PQ 的最小值及此时点P 的极坐标．【答案】（1）曲线C 122(2)(2)1x y -+-=,曲线C 2x +y ﹣2＝0; （2）|PQ|35极坐标为：8,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）曲线1C的方程cos (sin x aa y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y +=．曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+sin cos )8ρθρθ+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出． （2）如图所示，过圆心1C 作1C P ⊥直线2C ，垂足为点P ，此时切线长PQ 最小．利用点到直线的距离公式可得1||C P．||PQ 1C P 的方程为：y x =，联立0y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得P，利用tan yx ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 极坐标． 【详解】解：（1）曲线1C的方程cos (sin x aa y a⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y -+-=．曲线2C 的方程：8sin()4ρπθ=+sin cos )8ρθρθ+=，0x y ∴+-=（2）如图所示，过圆心1C 作1C P ⊥直线2C ，垂足为点P ，此时切线长PQ 最小．1||6C P =．||PQ ∴==直线1C P 的方程为：y x =，联立0y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ==P ∴，∴8ρ，42tan 142θ==，4πθ=．(8,)4P π∴．【点睛】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．设函数． (1)当时，解不等式； (2)若的解集为，，求证:．【答案】（1）（2）(当且仅当时取等号) 【解析】（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为，即解得a 值即可，再由1的妙用，结合均值不等式得到结果. 【详解】(1)当时，不等式为， ∴或或， ∴或． ∴不等式的解集为． (2)即，解得，而解集是， ∴,解得，所以，∴．(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟考试 数学(理)-含答案 师生通用
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<，{(,)|B x y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．1(0,)3C ．∅D ．(2,)+∞【答案】C【解析】集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=，{(,)|B x y y ==表示点集，即可得出结论． 【详解】解：集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=为数集，{(,)|B x y y ==表示点集，A B ∴=∅．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】对复数进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（ ） A ．3m =- B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-【答案】C【解析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果. 【详解】 由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题. 4．已知向量，则“x ＞0”是“ 与的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，；但是当x ＝5时，，与 共线，与夹角为0°，故充分性不成立，必要性：与夹角为锐角，则，解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.5．设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（ ）A ．6B ．10C ．7D ．9【答案】C【解析】因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C. 6．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．π(,1)4【答案】D【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z p p =+?，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m【答案】C 【解析】【详解】120AC =，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC=，所以sin 4560120(1)sin30sin(3045)AB BC ===+.故选C.8．三个数 1.10.40.40.4,log 1.1,1.1大小关系是（ ）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.4【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】解： 1.100.41<<，0.41.11>，0.4log 1.10<，10.40.4.1log 0.4 1.1.11∴<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设函数()32cos 4132f x x x x θθ=++- ，其中 50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f - 的取值范围是 ( )A ．[]36，B．3⎡⎣， C．⎡⎤⎣⎦ D．⎡⎣【答案】A【解析】先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式，将1x =-代入可求取值范围． 【详解】解：32cos ()412f x x x θ++-∴2()cos 4f x x x θθ'=++∴(1)cos 42sin()46f πθθθ'--+=-+5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大． 10．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC △的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．421 【答案】A【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 11．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①31y x x =-++②32(sin cos )y x x x =--③e 1x y =+④ 1sin x xxy e eπ-=+, 其中为“H 函数”的有（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①②③【答案】C【解析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 【详解】 解：对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．①函数31y x x =-++，则231yx '=-+，当3x <-，或3x >时，0y '<，此时函数为减函数，不满足条件．②32(sin cos )y x x x =--，32(cos sin )0y x x '=-+>，函数单调递增，满足条件． ③e 1x y =+为增函数，满足条件． ④1sin x xxy e eπ-=+，在定义域上不具有单调性，不满足条件． 综上满足“H 函数”的函数为②③， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．经过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN D 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】试题分析：双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，设两条渐近线的夹角为θ，则222tan tan 1b b b b abMON a a a a a b θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=∠=--+⋅-=-⎝⎭，设FN ON ⊥，则F 到渐近线by x a =的距离为d b ==，即有ON a ==，则OMN ∆的面积可以表示为3212tan 23a a a θ⋅⋅==，解得2a b =，则2c e a ==．故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tan tan MON θ=∠，求出F 到渐近线by x a=的距离为b ，即有ON a OMN =∆，的面积可以表示为1tan 2a a θ⋅⋅，结合条件可得ab ，的关系，再由离心率公式即可计算得到．二、填空题13．函数()23s 4f x in x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1【解析】【详解】 化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．14．过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．【答案】34200x y +-=【解析】直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可． 【详解】解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为R =过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22340x y x y +--=， 两式相减得34200x y +-=，即直线PQ 的方程为34200x y +-=， 故答案为：34200x y +-=． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键． 15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P在直线:80l x ++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．1【解析】先根据椭圆221164x y +=的方程得出其左右焦点分别为1(F -0)、与2F 0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出122||||PF PBPF BF =，最后利用相似比即可求出答案． 【详解】解：椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1(F -0)、与2F 0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，此时圆心在y 轴上，坐标为(0,2)A ，在直线:80l x ++=中令0y =得B 的坐标：()8B --，在三角形1BPF 和三角形2BF P 中，12BPF BF P ∠=∠， 1BPF ∴∆∽△2BF P ，∴1222||1||PF PB PF BF ===．1．【点睛】本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos cos 0b A a B -+=． （1）求角A ；（2）若a =cos 5B =，求BA 的长度． 【答案】(1)4A π=;(2) AB ＝6【解析】（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理求得cos A =可得A 的值．（2）ABC ∆中，先由正弦定理求得AC 的值，再由余弦定理求得AB 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理可得sin cos cos sin cos A B C A B A =-，化简可得sin()cos A B C A +=，即sin cos C C A =，求得cos A =4A π∴=．（2）由cos 5B =，可得sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin a b A B==，求得b AC ==． ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠，即22082AB AB =+-⨯6AB =． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查．18．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析【解析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K 2的观测值k ，即可判断结果． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：于是有K 2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为：所以12131220123105301515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般． 19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，AP =120BAD ∠=︒，E 为PC 中点．（1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角E AB C --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角E ﹣AB ﹣C 【解析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC BD ⊥，再由PAC ∆的中位线，得到//EO PA ，结合PA ⊥面ABCD ，所以EO ⊥面ABCD ，从而AC EO ⊥．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC ⊥面BED ；（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得到A 、B 、C 、E 各点的坐标，从而得到向量AB 、AC 、AE 的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE 和平面ABC 的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E AB C --是锐二面角，得到二面角E AB C --平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值． 【详解】解：（1）设O 为底面ABCD 的中心，连接EO ，底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥PAC ∆Q 中，E 、O 分别是PC 、PA 的中点 //EO PA ∴又PA ⊥面ABCD ，EO ∴⊥面ABCDAC ⊂面ABCD ，AC EO ∴⊥又BD Q 、EO 是平面BED 内的两条相交直线AC ∴⊥面BED（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得111(0,0,0),,0),,0),224A B C E - ∴3131231(,,0),(,,),(,,0)242AB AE AC =-==设1111(,,)n x y z =u r是平面ABE 一个法向量由111111111···()?0021····042nAB x y z n AE x y z ⎧=+-+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，解得11112y z x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以取11x =，1y =12z =-，可得1n =，因为PA ⊥平面ABC ，所以向量PA 即为平面ABC的一个法向量，设2PA n ==∴121212cos ,||||322n nn n n n <>=== 根据题意可知：二面角E ABC --是锐二面角，其余弦值等于12cos ,n n =∴二面角E AB C --．【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题． 20．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，32 4.4817e ≈） 【答案】(1) 1()=m f x e-极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求. （2）题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立，构造函数设4()xx g x x e +=+，求出导函数，设()(3)x h x e x =-+，判断()h x 的零点所在区间，可得()g x 的单调性，即可表示出的()g x 最小值，分析得到min 4916()185<<g x ，推出结果． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--xf x x e令'()0f x >，解得1x m <-；令'()0f x <，解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增， 当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+xx m x e （0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则 33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--xx e x 则'()1xh x e =-0>所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增 所以 00min 04g()+=+x x x x e 又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增, 所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) △OAB 面积的最大值为1 【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b+=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2A M M B =，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出．【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t -=+，2AM MB =，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++．212||1214949||||t S t t t ∴==++…，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：cossinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+．（1）求曲线1C和曲线2C的直角坐标系方程；（2）从2C上任意一点P作曲线1C的切线，设切点为Q，求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标．【答案】（1）曲线C122((1x y+=,曲线C2 x+y﹣＝0; （2）|PQ|P极坐标为：8,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）曲线1C的方程cos(sinx aay a⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y+=．曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+sin cos)8ρθρθ+=，把cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出．（2）如图所示，过圆心1C作1C P⊥直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小．利用点到直线的距离公式可得1||C P．||PQ1C P的方程为：y x=，联立y xx y=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得P，利用tanyxρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩P极坐标．【详解】解：（1）曲线1C的方程cos(sinx aay a⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y-+-=．曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+，化为sin cos)82ρθρθ+=，0x y∴+-=（2）如图所示，过圆心1C作1C P⊥直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小．||PQ ∴==直线1C P 的方程为：y x =，联立0y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ==P ∴，∴8ρ，tan 1θ==，4πθ=．(8,)4P π∴．【点睛】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．设函数． (1)当时，解不等式； (2)若的解集为，，求证:．【答案】（1）（2）(当且仅当时取等号) 【解析】（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为，即解得a值即可，再由1的妙用，结合均值不等式得到结果.【详解】(1)当时，不等式为，∴或或，∴或．∴不等式的解集为．(2)即，解得，而解集是，∴,解得，所以，∴．(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|21A x x =-<≤，{}|21xB x =≤，则A B I 等于（ ）A ．{}|21x x -<≤-B ．{}|21x x -<≤C ．{}|20x x -<≤D ．{}|10x x -<≤【答案】C【解析】解指数不等式可得集合B,跟交集运算即可求得A B I . 【详解】集合{}|21A x x =-<≤,{}|21xB x =≤可得{}|0B x x =≤ 则由集合交集运算可得{}{}{}|21|0|20A B x x x x x x =-<≤≤=-<≤I I故选:C 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.2．如图，在复平面中，复数1z 、2z 分别对应点A 、B ，则12z z ⋅=（ ）A ．55iB ．25+5iC ．3i -D ．43i +【答案】A【解析】根据复平面内的点坐标,可得复数1z 、2z .结合复数的模及共轭复数的定义,即可求得12z z ⋅. 【详解】由图可知, ()1,2A -、()2,1B因为复数1z 、2z 分别对应点A 、B 则112z i =-+,22z i =+由复数模的求法及共轭复数定义可知1z ==,22z i =-则)122z z i ⋅-= 故选:A 【点睛】本题考查了复数的几何意义与坐标表示,复数模的求法及共轭复数的定义,属于基础题.3．已知1e u r ，2e u u r为单位向量，且满足()12220e e e +⋅=u r u u r u u r ，则12,e e =u r u u r （ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e u r u u r【详解】因为()12220e e e +⋅=u r u u r u u r则212220e e e ⋅+=u r u u r u u r由向量数量积的定义可得2121222cos ,0e e e e e ⋅+=u r u u r u r u u r u u r1e u r ,2e u u r为单位向量 则122cos ,10e e +=u r u u r即121cos ,2e e =-u r u u r由向量夹角的取值范围为[]0π，可得12,120e e =ou r u u r故选:C 【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4．已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为（ ）A ．2B ．2C D ．12【答案】C【解析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果. 【详解】因为圆C 的方程为226290x y x y +-++=，所以其圆心坐标为(3,1)C -， 又M 在直线10x y +-=上，所以求圆心C 到点M 的最小距离，即是求圆心C 到直线10x y +-=的距离d ，由点到直线距离公式可得：2d ==故选C 【点睛】本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.5．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题.6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果. 【详解】因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度. 故选D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.7．已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.8．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常9．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（ ） A ．18100a b +< B ．18100a b +>C ．18100a b +=D ．18a b +与100的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得,x y ，利用公式，求出b ，a ，点（a ，b ）代入x+18y ，求出值与100比较即可得到选项． 详解：由题意，15x =（15+16+18+19+22）=18，15y =（102+98+115+115+120）=110，519993,i ii x y==∑，5x y ⋅=9900，521i i x =∑=1650，n 2()x =5•324=1620，∴b=9993990016501620--=3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2， ∵点（a ，b ）代入x+18y ， ∴54.2+18×3.1=110＞100． 即a+18b ＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力. 10．设3sin ,0()1,0x x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则函数()f x A ．有极值 B ．有零点C ．是奇函数D ．是增函数【答案】D【解析】分析：由x ＜0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x≥0的单调性，即可判断正确结论．详解：由x ＜0，f （x ）=x ﹣sinx ，导数为f′（x ）=1﹣cosx ，且f′（x ）≥0，f （x ）递增，f （x ）＞0； 又x≥0，f （x ）=x 3+1递增，且f （0）=1＞0﹣sin0， 故f （x ）在R 上递增；f （x ）无极值和无零点，且不为奇函数. 故答案为：D点睛：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的零点判断和奇偶性的判断.11．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4+B ．5+C 1D 2【答案】C【解析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果. 【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(c,0),(,0)F F c -，所以1212OP F F c ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=o，所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.12．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë【答案】D【解析】先令2()()(21)xg x xf x x e ax a ==-+-，根据题中条件得到()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，转化为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立；令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞，用导数的方法求出1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小值，即可得出结果.【详解】令2()()(21)xg x xf x x e ax a ==-+-， 则()()()g x f x xf x ''=+，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立， 所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即()(21)20xg x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2xh x e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞， 则22211(21)()2x x xx x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭， 由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0xx x h x e x +-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0xx x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的单调性求参数的问题，通常需要用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.二、填空题13．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，则()2.5f -=______．【答案】0.25-【解析】根据函数的奇偶性和周期性，求出()()2.50.5f f -=-，求出函数值即可． 【详解】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴()()()()2.5 2.520.50.5f f f f -=-+=-=-.当[]0,1x ∈时，()()1f x x x =-，∴()()0.50.510.50.25f =⨯-= ，∴()2.50.25f -=-.故答案为：0.25- 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用，考查函数求值，属于基础题． 14．曲线sin y x x =在点(),0π处的切线方程为___________.【答案】2y x ππ=-+【解析】根据导数的几何意义,先求得在点(),0π处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】曲线sin y x x =则()()''sin sin 'sin cos y x x x x x x x =+=+ 所以在点(),0π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-由点斜式可得()2y x x ππππ=--=-+故答案为: 2y x ππ=-+【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.15．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，1cos 2a Bbc +=，则角A 的大小为___________. 【答案】3π 【解析】根据正弦定理,将表达式转化为角的表达式,由三角形内角的定理,化简即可求得角A . 【详解】因为a 、b 、c 分别是ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边,1cos 2a Bbc += 由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C += 因为sin sin()C A B =+ 展开化简可得1sin cos sin sin cos sin cos 2A B B A B B A +=+ 即1sin sin cos 2B B A = 因为三角形中sin 0B ≠ 则1cos 2A = 解得3A π=故答案为:3π 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.16．已知边长为ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________. 【答案】20π【解析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD 的重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为3且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π===G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为r 在Rt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以球的表面积为2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π 【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题17．等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与三角形ABC 所在的平面互相垂直．（Ⅰ）求证：1AB //平面1DBC ；（Ⅱ）若2AB =，求点D 到平面1ABC 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）63. 【解析】（Ⅰ）连1B C , 1B C 交1BC 于O ,连OD ,由中位线定理即可证明1AB ∥平面1DBC .（Ⅱ）根据11D ABC C ABD V V --=,由等体积法即可求得点D 到平面1ABC 的距离. 【详解】（Ⅰ）连1B C ,设1B C 交1BC 于O ,连OD ,如下图所示:因为O 为1B C 的中点,D 为AC 的中点, 则1//OD ABOD ⊂面1BDC ,1AB ⊂/面1BDC 所以1AB ∥平面1DBC（Ⅱ）因为等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=︒ 则BA AC ⊥,又因为1BA CC ⊥ 所以BA ⊥平面1ACC 则1BA AC ⊥设点D 到平面1ABC 的距离为h . 由11D ABC C ABD V V --=,代入可得11121332h ⨯=⨯⨯⨯⨯解得h =. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于基础题. 18．国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率.（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比. （2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率.【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62％；（2）0.6【解析】（1）根据平均值的定义和古典概型的概率分别求解即可；（2）先按分层抽样的方法抽取5人，再利用组合知识计算从这5名学生中选出2人的方法种数，代入古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262100+==％.（2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人.从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为3510C =，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为21326C C =，所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==. 【点睛】本题考查了平均值的计算，古典概型概率的求法，组合数计算公式，分层抽样方法的利用，属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312S =，且124,,a a a 成等比数列. （1）求n a 及n S ；（2）设2na n n Sb n⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1) 2n a n =；2n S n n =+；（2）1(32)489n n n T ++⋅-=【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件列出方程组，求出首项和公差，结合公式即可求出结果；（2）先由（1）得到(1)4n nb n =+⋅，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为312S =，且124,,a a a 成等比数列，所以有322214312S a a a a ==⎧⎨=⎩，即121114()(3)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩，解得12a d ==， 所以1(1)2n a a n d n =+-=；21()2n n n a a S n n +==+； （2）由（1）可得22(1)2(1)4n a nn n n S n n b n n n⋅+⋅===+⋅，因为数列{}n b 的前n 项和为n T ，所以23123...243444...(1)4n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅+++⋅， 因此，23414243444...(1)4n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两式作差得2341324444...4(1)4n n n T n +-=⋅+++++-+⋅，整理得1(32)489n n n T ++⋅-=. 【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型. 20．已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-. 【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】(1)求出函数()f x 的导数，根据其正负讨论单调性，需按a 与1的大小分类讨论.(2)要证()1f x ≥-，即证()min 1f x ≥-，结合(1)中的单调性对()f x 的最小值进行分析即可. 【详解】（1）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，由()0f x '=得1x =或x a =. 当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增.当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减. 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. （2）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-. ①由（1）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1e aa f a --=. 设()1e a a g a --=，1a >，则()0eaag a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211e g a g >=->-，即()1f a >-.∴()min =1f x -.②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-. 【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标。
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中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，2018÷6＝336…2，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y＝，2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案为：24．18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝8，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据整式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为：200；（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，故答案为：（）n．23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长约为（4+）米．24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；②利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y（n为正整数）；故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n为正整数）；（2）①由题意可得：，解得：答：x的值为﹣6，y的值为2．②设W＝n2x+（n+1）2y当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函数开口向下，对称轴为，∴当时，W随n的增大而减小，又∵n为正整数∴当n＝1时，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED 为⊙O的切线；（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）证明：连接OD，∵E为BC的中点，AC为直径，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD；由题意EC、ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直径，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，设OG＝x，则有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK 是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P 坐标，分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线EF的解析式为y＝x+8．（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，则有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），此时P（0，8）．②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此时P（0，8）或（﹣24，48），③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍弃），∴P（﹣8，24）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD ＝P A、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．∴抛物线的对称轴为x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．当AD＝P A时，4＝12+a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m ＝，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设直线MN的解析式为y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．∴点M的横坐标为．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上1．（3分）的相反数是（）A．B．C．D．2．（3分）电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（）A．10.9×104B．1.09×104C．10.9×105D．1.09×1053．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（）A．30°B．35°C．50°D．75°4．（3分）下列计算正确的是（）A．（xy）3＝xy3B．x5÷x5＝xC．3x2•5x3＝15x5D．5x2y3+2x2y3＝10x4y95．（3分）2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（）A．走B．向C．大D．海6．（3分）在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（）A．5、3、4.6 B．5、5、5.6 C．5、3、5.6 D．5、5、6.6 7．（3分）方程的解为（）A．2 B．2或4 C．4 D．无解（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE CD，过点8．B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝12，则BF的长为（）A．7 B．8 C．10 D．169．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（）A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞610．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A 向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）比较大小：3．（填“＞”或“＜”号）12．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|＝．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad 13．﹣bc，请你将化为代数式，再化简为．14．（3分）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是．15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（1），其中x满足x2﹣2x﹣5＝0．17．（9分）某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息回答下面问题：（1）本次参加抽样调查的学生有人．（2）补全两幅统计图．（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．18．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF AC（1）求证：△ABF是直角三角形．（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．19．（9分）如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．21．（10分）某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米2，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米2（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米2）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．（2）某客户想购买该单元第26层的一套楼房，若他一次性付清购房款，可以参加如图优惠活动．请你帮助他分析哪种优惠方案更合算．22．（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE ⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上1．【解答】解：的相反数是．故选：B．2．【解答】解：将10.9万用科学记数法表示为：1.09×105．故选：D．3．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠ACF＝140°，∴∠AED＝180°﹣140°＝40°，∵∠ADE＝105°，∴∠A＝180°﹣105°﹣40°＝35°，故选：B．4．【解答】解：A、原式＝x3y3，错误；B、原式＝1，错误；C、原式＝15x5，正确；D、原式＝7x2y3，错误，故选：C．5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“星”与面“海”相对，故选：D．6．【解答】解：数据中5出现2次，次数最多，所以众数为5；数据按从小到大的顺序排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；∵平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6，∴方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]＝5.6；故选：B．7．【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）2+4，分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，解得：x＝2或x＝4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝4，故选：C．8．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，∴CD AB＝6．又CE CD，∴CE＝2，∴ED＝CE+CD＝8．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF＝2ED＝16．故选：D．9．【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）∴当x＜3时，x+n＜mx+6，∴x+n+1＜mx+7．故选：A．10．【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y AE•AD＝2x（0≤x≤2），当F在AD上运动时，△AEF的面积为y AE•AF x（6﹣x）x2+3x（2＜x≤4），图象为：故选：A．二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）11．【解答】解：∵3＞＞2，∴2＞1＞1，∴1＜3．故答案为：＜．12．【解答】解：∵a＜0＜b，a+b＜0，∴|a+b|+|b|＝﹣（a+b）+b＝﹣a﹣b+b＝﹣a．故答案为：﹣a．13．【解答】解：∵ad﹣bc，∴＝（x+3）（x+3）﹣（x﹣1）（x+1）＝x2+6x+9﹣x2+1＝6x+10，故答案为：6x+10．14．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积是：6，故答案为：6．15．【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∴∠D＝60°，∵AD＝AB＝2，∴AH＝AD•sin60°，∵B，B′关于EF对称，∴BE＝EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短可知，当EB′时，BE的值最小，∴AE的最大值＝2，故答案为2．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．【解答】解：原式••x（x﹣2）＝x2﹣2x，由x2﹣2x﹣5＝0，得到x2﹣2x＝5，则原式＝5．17．【解答】解（1）总人数＝60÷10%＝600（人）故答案为600．（2）如下图：（3）240÷600＝0.4此人喜欢蓝球的概率最大，其概率是0.4．18．【解答】（1）证明：如图，连接CD，则CF＝CD，∵AB是⊙C的切线．∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，∵CF，∴CD＝CF，∴∠A＝30°∵AC＝BC∴∠ABC＝∠A＝30°，∴∠ACB＝120°，∠BCD＝∠BCF＝60°，又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCF（SAS），∴∠BFC＝∠BDC＝90°，∴△ABF是直角三角形．（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝BF，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝6，∴CD AC＝3，∴AD CD＝3．∴BF＝3．19．【解答】解：过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，如图所示．在Rt△AMD中，DM＝13.3，∠DAM＝53°，∴AD10；在Rt△ABC中，AB＝55，∠BAC＝35°，∴AC＝AB•cos53°＝55×0.82＝45.1．∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，∴四边形MDCN是矩形，∴MN＝DC＝AC﹣AD≈35．答：MN两点的距离约是35米．20．【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝BC＝2，将y＝2代入y x+3得：x＝2，∴M（2，2），将x＝4代入y x+3得：y＝1，∴N（4，1），把M的坐标代入y得：k＝4，∴反比例函数的解析式是y；（2）由题意可得：S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON＝4×22×24×1＝4；∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，∴OP×AM＝4，∵AM＝2，∴OP＝4，∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．21．【解答】解：（1）由题意可得，当2≤x≤15时，y＝6000﹣（16﹣x）×10＝10x+5840，当17≤x≤33时，y＝6000+（x﹣16）×30＝30x+5520，故答案为：10x+5840，30x+5520；（2）第26层每平方米的价格为：30×26+5520＝6300元，方案一应付款：W1＝100×6300×（1﹣5%）﹣m＝598500﹣m，方案二应付款：W2＝100×6300×（1﹣7%）＝585900，当W1＞W2时，598500﹣m＞585900，得m＜12600，当W1＝W2时，598500﹣m＝585900，得m＝12600，当W1＜W2时，598500﹣m＞585900，得m＞12600，所以当m＜12600时，方案二合算；当m＝12600时，二个方案相同；当m＞12600时，方案一合算．22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．23．【解答】解：（1）∵抛物线y bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），∴解得：，c＝1。