线性代数-对称矩阵
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
对称矩阵正定的充要条件
对称矩阵正定的充要条件1.引言1.1 概述对称矩阵正定的充要条件是一种在线性代数中常见并且十分重要的性质。
它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，可以在很多实际问题中得到应用。
在本文中，我们将探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件，同时总结并讨论这些条件的意义。
在开始深入讨论之前，我们需要明确对称矩阵和正定矩阵的定义。
对称矩阵是指矩阵的转置和自身相等，而正定矩阵则是指其所有特征值均为正且对应的特征向量线性无关。
接下来，我们将首先介绍对称矩阵和正定矩阵的定义，以便读者对这些概念有一个清晰的认识。
然后，我们将详细讨论对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过探究这些条件，我们能够更好地理解对称矩阵正定性质的本质。
最后，我们将总结这些条件，并探讨其在实际问题中的应用和意义。
通过研究对称矩阵正定的充要条件，我们能够更深入地理解矩阵的性质和特征，并能够将其应用到更广泛的领域中。
本文的目的是帮助读者掌握对称矩阵正定性质的重要概念和相关理论，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要探讨对称矩阵正定的充要条件。
文章分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将概述本文的目的和重要性，并介绍对称矩阵和正定矩阵的定义。
通过对这些基本概念的明确界定，我们可以更好地理解对称矩阵正定的条件。
接下来，在正文部分，我们将详细讨论对称矩阵和正定矩阵的定义。
我们将首先介绍对称矩阵的定义，阐明其特性和性质。
然后，我们将引入正定矩阵的定义，并探讨其与对称矩阵之间的联系。
在正文的最后部分，我们将详细探讨对称矩阵正定的充分条件和必要条件。
通过这些条件的讨论，我们可以更加准确地判断一个对称矩阵是否正定。
最后，在结论部分，我们将总结对称矩阵正定的充要条件，简洁地概括文章的主要观点和结果。
此外，我们还将探讨这些条件的实际应用和意义，以展示对称矩阵正定的重要性和价值。
通过以上结构，本文将从引言到正文再到结论，层层递进地介绍对称矩阵正定的充要条件。
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
高考数学中的线性代数中的对称矩阵
高考数学中的线性代数中的对称矩阵高考较为重视数学的考察，而线性代数是其中的一个重要组成部分。
在线性代数中，对称矩阵是一个关键的概念。
本篇文章将着重探讨高考数学中的线性代数中的对称矩阵。
一、对称矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一种非常重要的工具。
而矩阵的对称性则是其中的一个重要概念。
对称矩阵是指一个矩阵满足它的转置矩阵等于它本身，即A = A^T。
其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
对称矩阵的一个典型例子是单位矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]它是一个对称矩阵，因为它等于它的转置矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]对称矩阵在线性代数中有重要的应用，因为它与一些重要的性质相关。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵可以对角化一个矩阵可以对角化，意味着可以做出一个相似变换将其变为形如对角矩阵的形式。
而对于对称矩阵，它可以被对角化。
也就是说，对于任意的对称矩阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
2. 对称矩阵的特征值均为实数在线性代数中，矩阵的特征值是一个非常重要的概念。
而对于对称矩阵，它的特征值都是实数。
这是因为对于一个实对称矩阵，它的特征多项式一定是实系数的。
对于实系数的多项式，它的根必须是实数或者共轭复数对。
3. 对称矩阵的特征向量可以相互正交一个非零向量集合中的向量时相互正交的，意味着它们之间的内积为0。
而对于对称矩阵，它的特征向量可以相互正交。
也就是说，对于一个对称矩阵A，如果它的一个特征值λ有k个不同的线性无关特征向量，那么它们就可以相互正交。
三、对称矩阵在高考数学中的应用1. 对称矩阵的求解在高考数学中，对称矩阵可以用于求解线性方程组。
由于对称矩阵的特征值都是实数，可以通过求解对称矩阵的特征值及其对应的特征向量来求解线性方程组。
这是很多高考数学题目经常涉及的部分。
2. 向量的内积对称矩阵与向量相乘可以得到一个结果向量，结果向量的每个元素表示对应维度上的内积。
第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质
⎛ λ1 ⎜ , pn ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
通识教育必修课程——线性代数
定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ [ξ 3 ,η2 ] 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η2 = ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = ξ 3 − η2 = ⎜ 1 ⎟ [η2 ,η2 ] 2⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 此时ξ1⊥η2 ， ξ1⊥η3 ，η2⊥η3 ．
通识教育必修课程——线性代数
单位化：
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ； ⎜ ⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ p1 = ⎜ −1 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 η2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = 2 ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎠
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
通识教育必修课程——线性代数
二、对称矩阵正交对角化
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = Λ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，对称矩阵和正交矩阵是两个重要的概念。
本文将深入探讨对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵是一个n阶方阵，其主对角线上的元素对称分布。
即对于一个n阶方阵A，如果对于所有的i和j，都有A(i,j) = A(j,i)，那么A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵的重要性质包括：1. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵A，其特征值都是实数，这使得对称矩阵在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在物理学中，对称矩阵可以表示刚体的惯性矩阵，而其实数特征值可以表示刚体的转动惯量。
2. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，若v是其非零特征值λ对应的特征向量，那么与v对应的特征值也是λ的特征向量与v正交。
这一属性使得对称矩阵在正交变换和对角化等方面具有重要的应用。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个n阶方阵，其列向量两两正交且模长为1。
换句话说，对于一个n阶方阵Q，如果满足Q^TQ = QQ^T = I，其中Q^T是Q的转置矩阵，I是单位矩阵，那么Q就是一个正交矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：1. 正交矩阵的行和列都是单位向量：正交矩阵的行和列向量都是单位向量，这意味着正交矩阵保持了向量的模长不变，并保持了向量之间的正交性。
2. 正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵Q，Q的逆矩阵等于其转置矩阵。
即Q^(-1) = Q^T。
这一属性使得正交矩阵在求逆和解线性方程组等方面具有重要的应用。
三、对称矩阵与正交矩阵的关系对称矩阵与正交矩阵之间存在着一定的关系。
具体来说，如果A是一个n阶对称矩阵，那么必存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = D，其中D是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
这个关系被称为对称矩阵的正交对角化定理，它表明对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
线性代数课件—对称矩阵、分块矩阵、逆矩阵
形如
或的分块矩阵, 其中App(p=1,2, ,s)是方阵, 分别称为上三角形分块矩阵或下三角形分块矩阵.同结构的上(或下)三角形分块矩阵的和, 积,
仍是同结构的分块矩阵.
定理2.1
n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必
要条件是A非奇异, 而且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.
证: 必要性设A可逆
AA-1=I|AA-1|=|I|
由有则 所以
|A| |A-1|=1|A| 0, 即A为非奇异.
充分性
设A非奇异, 存在矩阵
有
同理可证
BA=I
由此可知A可逆, 且
那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.
如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.
0, 则称
定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|A为非奇异的.
BT=B.如果AB=BA, 则有 (AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.
对任意矩阵A,
ATA和AAT都是对称矩阵.
§2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中, 有时需要将一个矩阵分成若干个"子块"(子矩阵), 使原矩阵显得结构简单而清晰.例如:
然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得
线性代数4.3 实对称矩阵
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
根据th4.8,对应特征值
i
恰有 ri 个线性无关的特征向量 (i 1,2,, s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量. 由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交 矩阵P, 则
AP P1 AP diag (1, 2 ,n ) P
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵 定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足
A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2)
Ir 幂等矩阵一定相似于形如 0
0 的对称阵. 0
补充：幂零矩阵 定义
m 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A 0 (ｍ为正整数），则称
对称矩阵
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
对称矩阵定义
对称矩阵定义矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数学元素构成的矩形阵列。
对称矩阵是一种特殊的矩阵，它在对角线两侧的元素相等，即$a_{ij}=a_{ji}$。
在本文中，我们将探讨对称矩阵的定义、性质以及应用。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指矩阵$A$满足$A=A^T$，其中$A^T$表示$A$的转置矩阵。
对称矩阵的元素$a_{ij}$和$a_{ji}$相等，即$a_{ij}=a_{ji}$，因此对称矩阵是关于其对角线对称的。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵的特征值是实数对称矩阵的特征值是指矩阵$A$满足$Ax=lambda x$的解$lambda$。
对称矩阵的特征值是实数，这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值是实数。
2. 对称矩阵的特征向量可以正交化对称矩阵的特征向量可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
这是因为对称矩阵的特征向量对应不同的特征值，而不同特征值的特征向量是线性无关的，因此可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
3. 对称矩阵是半正定的对称矩阵是半正定的，当且仅当其所有特征值都非负。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵每个元素都非负。
4. 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的逆矩阵也是对角矩阵。
三、对称矩阵的应用对称矩阵在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学对称矩阵在物理学中有许多应用，例如在量子力学中，哈密顿矩阵是对称矩阵，它的特征值和特征向量描述了量子系统的能量和波函数。
2. 图像处理对称矩阵在图像处理中有许多应用，例如在图像压缩中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行特征提取，从而实现图像压缩。
3. 机器学习对称矩阵在机器学习中有许多应用，例如在核方法中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行核函数的构造，从而实现非线性分类。
线性代数中的对称矩阵及其对角化
线性代数中的对称矩阵及其对角化在线性代数的领域中，矩阵是一项非常关键的概念。
而对称矩阵更是其中的重要角色之一。
它们不仅具有对称性，还有着很多独特的性质和应用。
本文将从对称矩阵的定义开始，逐步深入探讨该类矩阵的多种性质及其对角化方法。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指一个矩阵 A，满足 A 的转置矩阵等于其本身，即A = A^T。
其中，A^T 表示 A 的转置矩阵，即将 A 中的行列交换。
例如，若 A = [1,2;2,3]，则 A^T = [1,2;2,3]。
这种对称性不仅易于计算，而且在实际应用中也很常见。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵是实矩阵：由对称矩阵的定义可知，对称矩阵 A 的每一个元素都与其转置后的对应元素相等。
因此，对称矩阵的元素都是实数，即对称矩阵是实矩阵。
2. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵 A，其特征值λ 和特征向量 x 满足Ax = λx。
由于 A 是实矩阵，则 x 也必须为实向量。
于是，特征方程式det(A-λI) = 0的解λ 必须是实数。
这一性质在矩阵的谱分解及特征值问题中起到了关键作用。
3. 对称矩阵的特征向量具有正交性：假设 A 是一个 n×n 的对称矩阵，其特征向量分别为x1,x2,…,xn，对应特征值为λ1,λ2,…,λn。
则对于任意i ≠ j，有 x^T_i x_j = 0。
也就是说，对称矩阵的特征向量构成的集合是一个正交基，对于正交矩阵 P，满足 P^T=P^-1，则矩阵 P 内所有的特征向量组成的矩阵 P^-1 A P 即为对称矩阵 A的对角化形式。
三、对称矩阵的对角化对角化是将一个矩阵变为对角矩阵的过程。
对于一个 n×n 的对称矩阵 A，在其特征向量组成的正交基{x1,x2,…,xn} 中，可表示x = a1x1 + a2x2 + … + anxn其中，a1,a2,…,an 是实数。
于是有A x = λ x，即A (a1x1 + a2x2 + … + anxn) = λ (a1x1 + a2x2 + … + anxn)用 A 对上式的每一项做左乘运算，则有A aixi = λ aixi (i=1,2,…,n)即x1,x2,…,xn 分别是 A 的特征向量，λ1,λ2,…,λn 为对应的特征值。
对称矩阵知识点
对称矩阵是线性代数中一个重要的概念。
本文将从基本概念、性质和判断方法三个方面来介绍对称矩阵的相关知识。
基本概念对称矩阵是指一个方阵，其转置矩阵与原矩阵相等。
换句话说，对称矩阵就是满足A=A T的矩阵。
其中，A表示对称矩阵的符号，A T表示A的转置矩阵。
对称矩阵的行数和列数相等。
性质对称矩阵具有许多重要的性质，下面列举其中几个常见的性质： 1. 对称矩阵的主对角线上的元素都是实数。
因为一个矩阵和它的转置矩阵相等，所以主对角线上的元素保持不变。
2. 对称矩阵的特征值都是实数。
这是因为对称矩阵的特征值和特征向量是成对出现的，而特征向量是对应于特征值的实数向量。
3. 对称矩阵可以对角化。
对称矩阵可以通过相似变换对角化，即可以找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
判断方法判断一个矩阵是否是对称矩阵有多种方法，下面介绍两种常见的判断方法： 1. 比较矩阵和其转置矩阵的元素。
对称矩阵的定义就是矩阵和其转置矩阵相等，因此可以逐个比较矩阵的元素是否相等来判断是否是对称矩阵。
2. 判断矩阵的特征值是否都是实数。
对称矩阵的特征值都是实数，因此可以通过计算矩阵的特征值来判断是否是对称矩阵。
如果特征值都是实数，那么矩阵是对称矩阵；如果存在复数的特征值，那么矩阵不是对称矩阵。
总结对称矩阵是满足A=A^T的方阵，具有许多重要的性质。
它的主对角线上的元素都是实数，特征值都是实数，而且可以通过相似变换对角化。
判断一个矩阵是否是对称矩阵可以比较矩阵和其转置矩阵的元素，也可以计算矩阵的特征值。
对称矩阵在线性代数和其他数学领域中都有广泛的应用，在实际问题中具有重要的作用。
对称矩阵与正交矩阵
对称矩阵与正交矩阵在线性代数中，矩阵是一种十分重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
其中，对称矩阵和正交矩阵是两个常见的矩阵类型。
本文将介绍对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、对称矩阵对称矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其本身。
换句话说，设A是一个n×n矩阵，如果对于任意的i,j(1≤i,j≤n)，都有A(i,j)=A(j,i)，那么A就是一个对称矩阵。
对称矩阵的一些性质如下：1. 对称矩阵的特征值都是实数：由于对称矩阵是一个实数矩阵，它的特征方程也是一个实系数的多项式，所以它的特征根（特征值）一定是实数。
2. 对称矩阵可以对角化：对于任意一个对称矩阵A，存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D，使得P^TAP=D，其中D的对角元素是A的特征值。
这意味着对称矩阵可以由正交矩阵对角化，简化了对称矩阵的运算。
3. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，如果x和y是A的两个特征向量，对应于不同的特征值λ和μ，那么x和y是正交的，即x·y=0。
对称矩阵在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学、金融学、图像处理等领域，对称矩阵的性质使其能够简化计算过程，提高计算效率。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T·A=AA^T=I，其中I是单位矩阵。
正交矩阵的一些性质如下：1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交：设A是一个n×n的正交矩阵，其中的每个列向量都是单位向量（长度为1），则任意两个不同的列向量都是正交的。
2. 正交矩阵保持向量长度不变：设A是一个正交矩阵，x是任意一个列向量，则有||Ax||_2=||x||_2，其中||x||_2表示向量x的二范数（Euclidean距离）。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成标准正交基：设A是一个n×n的正交矩阵，其中的每个列向量都是单位向量，那么这些列向量就构成了n 维欧几里得空间（实数域下）中的一个标准正交基。
对称矩阵的特征向量两两正交的证明
对称矩阵的特征向量两两正交的证明一、引言在线性代数中，对称矩阵是一种非常重要的矩阵类型，它具有许多独特的性质和特征。
其中之一就是它的特征向量之间具有两两正交的性质。
本文将首先介绍对称矩阵的特性，然后深入探讨特征向量两两正交的证明，最后加以总结和回顾，希望能让读者更加深入地理解这一主题。
二、对称矩阵的特性对称矩阵是一种非常特殊的矩阵，它的转置矩阵与其自身相等，即A^T = A。
这个性质使得对称矩阵在很多领域有着广泛的应用，比如在物理学、工程学和计算机科学中。
另外，对称矩阵的特征值都是实数，并且其特征向量可以相互正交。
接下来，我们将详细讨论对称矩阵特征向量两两正交的证明。
三、特征向量两两正交的证明我们假设A是一个n阶对称矩阵，它有n个线性无关的特征向量v1，v2，...，vn，对应的特征值分别为λ1，λ2，...，λn。
我们要证明这些特征向量是两两正交的。
假设存在i，j（i≠j），使得vi和vj不正交。
即存在一个非零常数c，使得v^T_i*vj=c（其中v^T_i表示vi的转置）。
我们来考虑以下的等式：A*vj=λj*vj (1)左乘vi转置，得到：v^T_i*A*vj=λj*v^T_ivj (2)又因为A是对称矩阵，即A^T = A，所以有：v^T_i*A = v^T_i*A^T = (Av_i)^T (3)将（3）代入（2）中，得到：(λj*v_i)^T*vj=λj*v^T_i*vj (4)再结合（1），得到：λj*v^T_i*vj=λj*v^T_i*vj (5)将（5）两边同除以λj，得到：v^T_i*vj=v^T_i*vj (6)上式说明v^T_i*vj=0，与我们的假设矛盾。
假设不成立。
我们得出结论，对称矩阵的特征向量是两两正交的。
四、个人观点和理解对称矩阵的特征向量两两正交是一个非常有趣的性质。
它的证明过程虽然较为复杂，但是通过逐步推导，我们可以清晰地理解其中的逻辑和数学原理。
这种性质在实际应用中也有着重要的意义，比如在特征值分解和主成分分析中的应用。
线性代数中的对称矩阵及其特征值问题
线性代数中的对称矩阵及其特征值问题在线性代数学科中，对称矩阵以其特殊的性质和重要的应用而被广泛研究。
本文将就对称矩阵的定义、性质以及如何计算其特征值等方面进行详细介绍和讨论。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵的定义是指矩阵A的转置矩阵和它本身相等，即A=A^T，其中A^T是矩阵A的转置矩阵。
对称矩阵的一个重要性质是它一定是方阵。
对于对称矩阵A和B，我们可以证明以下性质：1. A+B仍为对称矩阵。
2. A-B仍为对称矩阵。
3. kA (k为常数)仍为对称矩阵。
4. AB和BA的转置矩阵相等。
二、对称矩阵的特征值和特征向量对于一个方阵A，如果存在非零向量x和一个常数λ使得Ax=λx，那么称常数λ是矩阵A的一个特征值，向量x是对应于特征值λ的一个特征向量。
对称矩阵的一个重要性质是其特征向量一定正交。
换句话说，对于一个n阶对称矩阵A，它有n个互不相同的特征值，并且可以拥有n个相互正交、单位化的特征向量，其中表示向量x_1到x_n，i≠j时x_i·x_j=0，x_i·x_i=1，其中·表示向量的内积。
特别地，对于实对称矩阵，我们还可以将所有的特征向量归一化使得它们两两正交且长度为1。
这样，将所有的特征向量排列在一起形成的矩阵U满足U^-1U=UU^-1=I，即是一个正交矩阵。
三、计算对称矩阵的特征值与特征向量计算对称矩阵的特征值和特征向量的方法有多种，其中较为常用的是Jacobi方法和Householder方法。
Jacobi方法是一种迭代方法，它的思路是通过旋转矩阵将对称矩阵迭代地对角化。
该方法的关键在于如何构造旋转矩阵，具体细节可以参考高等数学《线性代数》一书。
Householder方法则是通过反射矩阵将对称矩阵一步步化为对角矩阵。
该方法的具体步骤和实现细节可以参考相关的资料和教材。
总的来说，计算对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要课题，可以应用于很多实际问题中，比如谱聚类算法和主成分分析等。
线性代数_实对称阵及(若当标准形,不做要求).do
A的共轭矩阵. 可以验证 (1) kA = k A ; (2) AB = AB ; T = ( A )T ; (4) AB = A B; (3) A
(5) 若A可逆, 则A也可逆, 且( A ) A .
1
1
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
2. 实对称矩阵
的特征向量. 求A.
分析： 0是A的特征值 (1)A不可逆 设A对应于特征值0的特征 向量为3 , 由3, 1 = 3, 2 = 0 可求得3 . (2) 记P=(1 ,2 ,3 ), 则 P -1AP = diag(1,2,0). A = P diag(1,2,0) P -1.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
再单位化, 即得
0 1/ 3 2/ 6 Q (q1 , q2 , q3 ) 1/ 2 1/ 3 1/ 6 . 1/ 2 1/ 3 1/ 6
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
2 / 3 2 / 3 1 / 3 2/ 3 , Q = 1 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3 2 / 3
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.3 实对称矩阵的相似对角化
2 / 3 2 / 3 1 / 3 2/ 3 , Q = 1 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3 2 / 3 1 0 0 它满足QTAQ = Q1AQ = = 0 1 0 , 0 0 10 2 2 2 由此可得A = QQT = 2 5 4 . 2 4 5
性质5.1. 实对称矩阵的特征值均为实数.
线性代数-实对称矩阵的对角化
2x12x13x22x22x30 0 解之得基础解系
1
2 2
.
2x2 4x3 0
对 2 1 , 由 A E x 0 பைடு நூலகம் 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
A11
0 2
13 10
0 1
23 ,
求 得 通 解 为k(3,2,1)，
特别取k1， 即 得(3,2,1)， 将向量 单位化，
即得所求向量为
1 (
3 ,
2 ,
1 ).
14 14 14
6
定义 若非零向量 1,2, ,s两两正交，
则称之为正交向量组。
定理 正交向量组必线性无关。
证 设 1,2, ,s是正交向量组，
4
14
9
1
1
4
例4 将向量组 1 2,2 3,3 1
标准正交化.
1
1
0
解 1 1 , 2 2((21,,11))1
1
3
1
4 1
6
2 1
33(( 3 1,, 1 1))1(( 3 2 ,, 2 2 ))2
5 3
1
1
1
,
2
1
1
1
,
4 1
2
1 2
显然有 (i,j)0, (i j,i,j 1 , n )
5
例2 设 ( 1 ,0 ,3 )， (1 , 2 ,1 ), 求 一 个 3 维 单 位 向 量 ， 使 它 与 向 量 , 都 正 交 。
解 设 (x 1,x 2,x 3)， 则
(,)x13x3 0 (,)x12x2x3 0
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xT Ax(xT AT )x(Ax)T x(x)T xxT x
两式相减 得 ( )xT x0
n
n
但因x0 所以 xT x xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数
注意：设为实对称矩阵的特征值，故(iE A)X 0的
系数矩阵为实矩阵，故此方程组的解必有实的 基础解系，故A的特征向量也可以取为实向量。
思考题解答
解 由 A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称
阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
P 1 AP E r 0 , 0 0
其中E r 是r阶单位阵. 从而 det(2E A) det(2P P1 P P1)
det(2E ) det E r 0
2nr .
0 2 Enr
课后作业
• P138
15，17
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元 素的对角矩阵.
3）把这两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵P， 则P-1AP PT AP ，其中中元素的排列顺序应该与 矩阵P中的特征向量的排列顺序相对应。
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
性质2:设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是 对应的特征向量 若12 则p1与p2正交
分析：只要证明 p1，p2 0，即p1T p2 0即可。
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
• 一、实对称矩阵的性质
§4.4
对
• 二、实对称矩阵正交对角化的 过程
称
• 复习小结
矩
阵
一、实对称矩阵的性质
性质1:实对称阵的特征值为实数
证明: 设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特征向量 即Axx x0
显然有 Ax Ax (Ax)(x)x 于是有 xT Ax xT (Ax) xT (x)xT x
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T
p3
1 (1, 6
1,
2)T
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
返回
二、实对称矩阵正交对角化的步骤：
1）求出n阶方阵A的全部特征值1, ,r ,设它们
的重数依次k1，k2， kr，则k1 k2 kr n。
2）把属于i (i 1, 2 n)的ki个线性无关的特征向量求出来， 设为i1, ,iki (i 1, 2 n)，再把它们正交化和单位化，
得到ki个两两正交的单位特征向量，因为k1 k2 kr n， 故可得到n个两两正交的单位特征向量。
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
性质3 : 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征方程的k重根， 则对应于特征值恰有k个线性无关的特征向量。
性质4 :设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P1AP PT AP , 其中是以A的n个特征值为对角线上元素的对角矩阵。
证明 设A 的互不相等的特征值为 1,2 ,,s ,
它们的重数依次为r1 , r2 ,, rs (r1 r2 rs n). 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定
理3( 如上)可得：
对应特征值 i (i 1,2,, s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个 单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知, 这样的特征向量共可得 n个.
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个 1,, rs 个s , 恰
是A的n个特征值.
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
例
设
A 011
1 0 1
011 求正交阵
P
使P1AP为对角阵
解: 由| E A|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程( 2EA)x0得基础解系1(1 1 1)T
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T
对应231 解方程 (E A)x0得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2