高中数学易错题举例解析
高中数学易错题分类及解析
高中数学中的易错题分类及解析高中数学中的易错题分类及解析成都玉林中学成都玉林中学 周先华周先华周先华关键词：高考关键词：高考 数学数学 易错题易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩..易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性..易错题的分类解析易错题的分类解析::分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析..本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集..下表是易错题分类表：表是易错题分类表：正 文数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动..从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构..所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素都是严重影响考生数学成绩的重要因素. .一．易错题的典型特征解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关它既与数学学习环境有关,,又与试题的难易程度有关又与试题的难易程度有关..同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关与考生的数学水平、身体与心理状况有关. .1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物..而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程..部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. . 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成..数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强现的，因此易错点的隐蔽性很强. .3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. .4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点：学生的认识结构有其个性特点..在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取..在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”..只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”立建全解题的“警戒点”,,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. .二、易错题的分类解析1.数学概念的理解不透数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性本的、最重要的本质属性..每一个概念都有一定的外延与内涵每一个概念都有一定的外延与内涵..而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错. . 例1.若不等式ax 2+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（的取值范围（ ）） A.a A.a≤≤-21或a ≥21 B.a B.a＜＜21 C.-21≤a ≤21 D.a D.a≥≥21【错解】选A.A.由题意，方程由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a D <Û-<Û a a≤≤-21或a ≥21，所以选A.【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响忽视了开口方向对题目的影响. .【正确解析】【正确解析】D D .不等式ax 2+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，若a=0,a=0,则不等式为则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0¹；要不等式ax 2+x+a +x+a＜＜0的解集为的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ìD £Û-£Û³í>î.例 2. 命题“若△ABC 有一内角为3p，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同．与原命题真值相同 【错解】选A.A.因为原命题正确，其逆命题不正确因为原命题正确，其逆命题不正确因为原命题正确，其逆命题不正确. .【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的..【正确解析】选D.D.显然，原命题正确；其逆命题为：显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为3p”.也正确，所以选D. 例3.判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)=221(1)(1)(1)(1)(1)111x x x x x x x xx++--==+-=---，所以22()1()1()f x x x f x -=--=-=，所以f （x ）为偶函数. 【错因分析】上述解法有两个错误：【错因分析】上述解法有两个错误：11未考虑函数的定义域；未考虑函数的定义域；2.x-1<02.x-1<02.x-1<0，放入根号内后根号前应添负号，放入根号内后根号前应添负号，放入根号内后根号前应添负号. .【正确解析】非奇非偶函数【正确解析】非奇非偶函数.y=f(x).y=f(x).y=f(x)的定义域为：的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-³ì+³ÛÛ-£<í-¹-î，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数. .例4.(2011四川四川))1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ））(A)12l l ^，23l l ^13//l l Þ （B ）12l l ^，3//l l Þ13l l ^ (C)123////l l l Þ 1l ，2l ，3l 共面共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点Þ1l ，2l ，3l 共面共面【错解】错解一：选A.A.根据垂直的传递性命题根据垂直的传递性命题A 正确；正确；错解二：选C.C.平行就共面；平行就共面；平行就共面；【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致. .【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面. 例5.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件充分非必要条件 B.必要非充分条件必要非充分条件 C.充要条件充要条件 D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件【错解】【错解】C.C.C.当当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立成立 . 【错因分析】对等比数列的定义理解不透【错因分析】对等比数列的定义理解不透. .【正确解析】选D.D.若若x=a=0x=a=0，，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列，不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b 成等比数列，则2x ab x ab =Û=±，所以x=ab 不一定成立，必要性不成立所以选D. 例6．(1)(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. (2)(2)某种产品某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 分析: （1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n mP =自然就是错误的. （2） 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实验概率公式，得：6件产品中恰有1件次品的概率为：23210)10051(1005)1(5166=-=C P . 【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，件产品，其中有其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：2430.0610059515==CC C P . 2.公式理解与记忆不准数学公式众多，学生在应用公式解决数学问题时，由于理解不准确（例如公式成立的条件未考虑）或记忆不准确，极易导致运算失误.例如公式2(0,0,a b ab a b +³>>当且仅当a=b 时“=”成立）中极易忽略数a,b 均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式：x x =2，111>Þ<x x，2)(v vu v u v u¢+¢=¢，y x y x a a a log log )(log ×=+等等. 例7.若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________. 【错解】 yx41+8)2(14422=+³³y x xy，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】 yx41+=945)(4³++=+++yxx y y y x x y x 例8.8. 函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为周期为_________，单调递增区间为____________. 【错解】y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2p，增区间为…. 【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数..教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x p =+.相位为42x p+，初相为2p ，周期为2p，单调递增区间为21[,]()42k k k Z p p -Î.3.审题不严审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误不清等错误. . （1）读题不清例9.(2011四川四川))已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是大致是【错解】选B.B.因为因为1()2xy =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（过点（00，2），所以选B. 【错因分析】考生未看清楚题目是求()f x 的反函数的图像的反函数的图像. .【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<Þ<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A.例10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（致的坐法种数为（ ）A ．120 B.119 C.110 D.109 【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个号码一致有3252C A 种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为553322552199A C A --=，无选项.多有一盒次品的概率是 . 多有一盒次品的概率是（2）忽视隐含条件1)))y =1, =1, 求828x=－－ －∞, , ].+ y =1 y 的取值范围是[1, [1, ].（3）字母意义含混不清x y5 4.运算错误（1）数字与代数式运算出错2211k k ++2211k k ++（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错OQ OP 为 . 2265,2x x OP OP 的值为的值为 22331()3-36【正确解析】666（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错 AB （4）计量单位缺乏量纲意识x 53300003-x 300003]x -].31006000),3000053-x ]310030000-x )].3100200003=Þt .时y 最大，此时对甲商品资金投入量为9999999775.29999)200003(300002=-=x 元，对乙商品资金投入量为0.0000000225元.，此时甲商品获得利润60000000.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！）【错解三】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元. 由于利润总额单位为万元，故)300005351(100001x x y -+=，令]3100,0[,300000,300002Î-==-t t x t x 则t t y 500003)30000(5000012+--=].3100,0[],2096000)23[(5000012Î+--=t t （元）元）25.230000,(75.2999723=-=Þ=Þx x t . 【错因分析】量纲不统一，对经验公式x Q x P 53,51==的单位理解不清.从量纲角度看，长度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），x Q 53=的单位由经验公式给出的前提是变量x 的单位万元确定，因此，的单位万元确定，因此，【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元，是乙种商品投资为（3-x ）万元，获得的利润总额为y 万元. 由题意，得]3,0[,35351Î-+=x x x y ,设]3,0[,3,32Î-==-t t x t x 则，则，则t t y 53)3(512+-=].3,0[,2021)23(512Î+--=t t2021,]3,0[23m ax =Î=\y t 时当,即43493=-=x ，494333=-=-x . 因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万 元，获得的最大利润为1.05万元. 【正解二】设对甲种商品投入金额x 元，则目标函数应该为元，则目标函数应该为 100003531000051xxy -+×==x x -+300005003500001 令]3100,0[,300000,300002Î-==-t t x t x 则则2021)150(5000015003)30000(50000122+--=+-=t t t y 7500300002=-=Þt x （余与解一同）（余与解一同） 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分例23.已知：已知：a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,求求(a+ 1a )2+(b+ 1b)2的最小值的最小值. .【错解】【错解】 (a+ (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4+4≥≥2ab+ab 2+4+4≥≥4abab 1·+4=8.∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab 2ab，第一次等号成立的条件是，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的，显然，这两个条件是不能同时成立的..因此，因此，88不是最小值不是最小值. . 【正确解析】原式【正确解析】原式= a = a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b )+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)－ab2]+4= (1]+4= (1－－2ab)(1+221b a )+4)+4，由，由ab ab≤≤(2ba +)2=41 得：得：11－2ab 2ab≥≥1－21=21, , 且且221b a ≥1616，，1+221b a ≥1717，∴原式，∴原式≥21×17+4=225 ( (当且仅当当且仅当a=b=21时，等号成立时，等号成立))， ∴(a + a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .例24.已知两正数x,y x,y 满足满足x+y=1,x+y=1,则则z=11()()x y x y++的最小值为的最小值为 . .【错解一】因为对a>0,a>0,恒有恒有12a a+³,从而z=11()()x y x y++³4,4,所以所以z 的最小值是 4. 【错解二】222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-³22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-. 【错因分析】解法一中，等号成立的条件是11,11,1x y x y x y xy====+=且即且与相矛盾；解法二中，等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104xy <£相矛盾相矛盾.. 【正解】z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy+-++=+-，令t=xy, 则210()24x yt xy +<=£=，由2()f t t t =+在10,4æùçúèû上单调递减上单调递减,,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性思维的不严密性. .例25．(1)(1)不等式不等式不等式|x+1|(2x |x+1|(2x |x+1|(2x－－1)1)≥≥0的解集为的解集为____________ ____________ (2)(2)函数函数11xy x+=-的定义域为的定义域为 . . 解析：解析：（1）【错解】1[,)2+¥.因为因为|x+1||x+1|³0恒成立，所以原不等式转化为2x-1³0，所以1[,)2x Î+¥ 【错因分析】忽略了当x=x=－－1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解为不等式的解. .【正确解析】}1{),21[-È+¥.原不等式等价于原不等式等价于|x+1|=0|x+1|=0或2x-1³0，所以解集为1[,){1}2x Î+¥È-. (2) (2) 【错解】【错解】10(1)(1)011xx x x x+³Þ+-³Þ³-或1x £-.【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错. .【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x xx x x x +-³+-£ìì+³ÞÞÞ-£<íí-¹¹-îî例26.过点过点(0,1)(0,1)(0,1)作直线，使它与抛物线作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C. 3条D. 0条【错解】设直线的方程为1+=kx y ，联立îíì+==142kx y xy ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,0,得得k=1,k=1,得答案得答案A.【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条掉了，故本题应有三解，即直线有三条. .【正确解析】C.C.由上述分析，由上述分析，y 轴本身即为一切线，满足题意；解方程01)42(22=+-+x k x k 时，若k=0k=0，，即直线y=1也与抛物线x y 42=仅有一个公共点，又k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 例27.27. （1）已知f(x) = a x +bx，若,6)2(3,0)1(3££££-f f 求)3(f 的范围的范围. . （2）已知集合}1|||{£-=a x x A ，}0330|{2³---=x xx x B ，且F =B A ，求实数a 的取值范围的取值范围.. 解析：（1）【错解】由条件得ïîïíì£+££+£-622303b a b a ②①由②×由②×22－①－① 156££a ③ ①×①×22－②得－②得 32338-££-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310£££+£f b a 即【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) f(x) = = a x +bx，其值是同时受b a 和制约的制约的..当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的. .【正确解析】由题意有ïîïíì+=+=22)2()1(b a f b a f , , 解得：解得：解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f ba f -=+=\ 把把)1(f 和)2(f 的范围代入得的范围代入得 .337)3(316££f（2）【错解】由题意，【错解】由题意，A A ：11a x a -££+B ：2300(6)(5)(3)0{|63x x x x x x x x --³Û-+-³Û³-或53}x -££……(后面略后面略)) 【错因分析】求集合B 时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B 中不等式为()0f x >或()0f x <形式而不是()0f x ³或()0f x £则不需要考虑此问题）则不需要考虑此问题）. . 【正确解析】由题意，【正确解析】由题意，A=A={|11}x a x a -££+B ：2(6)(5)(3)0300{|6303x x x x x x x x x -+-³ì--³ÛÛ³í-¹-î或53}x -£<由F =B A 则(,6)[4,5)a Î-¥- . 例28.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n nS，求.n a【错解】【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n nnS S a【错因分析】【错因分析】 显然，当1=n 时，1231111=¹==-S a ，不满足上述公式，不满足上述公式. .没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是n 2³.【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2³时，时，1111(21)(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -ì=ï=í³ïî.例29.实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点有两个公共点. . 【错解】【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22³=-+--x a x a x ①①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得ïïîïïíì>->-=D .01021202a a ，， 解之得.817=a 【错因分析】如下图（【错因分析】如下图（11）（2）.显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点时，圆与抛物线有两个公共点. .11143q q q qq q 43x y O 图1x y O 图2（4）空间识图不准数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力..空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．表等手段形象地揭示问题的本质．对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多. 例31．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB b a ÌÌAC ,，则∠BAC= . 【错解】如右图由最小角定理，12221cos cos cos 2223BAC BAC pq q Ð=×=´=ÞÐ=【错因分析】错解中忽视了AC 的另一位置OD OD，此时，此时23BAD p Ð=.【正确解析】3p或23p .如下图.当6CAF pÐ=时，由最小角定理，12221cos cos cos 2223BAC BAC p q q Ð=×=´=ÞÐ=；当AC 在另一边DA 位置时，23BAC pÐ=.（5）推理方向的盲目性根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发，运用公式、定理等得结论，这是综合法；有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，这是分析法这是分析法.这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻或出错. 例32.32. 设f f ( ( ( x x x ) ) ) = = = x x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-Îx 时，f f ( ( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 【错解】m>72.令2'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥，f(-1)=112（区间左端点），7(1)2f =(极小值点)，所以]2,1[-Îx 时min 7()2f x =所以m>72.【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) < m 恒成立应理解为max ()m f x >而不是min ()m f x >. 【正确解析】m>7.由题意，f f ( ( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立即max ()m f x >.令2'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥，且f(2)=7，2()73f -<，结合f(x)的草图知，max()7f x =，所以m>7.（6）限域求值端点取值不正确例33.若31<<-x ,则_____________;__________112ÎÎ-x x()])的取值范围是的取值范围是 . .1,3,sin,sin 426636232£Þ£Þ£+£==)36p +£.【错因分析】当2663£+£时，根据正弦函数的图象，)6+[,1]23[,]222,42663p p p p p £Þ£Þ£+£)6p+1[,1]2n (6+（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致tan tan 1=-+=BA 4=. 。
高中数学错题集及解析
高中数学错题集及解析1. 题目：如图所示，已知AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°，求∠BCF的度数。
A B C DE F解析：根据题目所给的已知条件，我们可以得到如下信息：AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°。
要求∠BCF的度数，我们可以利用几何知识进行推理和计算。
首先，根据平行线的性质，我们知道∠ADE=∠FCD=40°。
由于∠FCD=120°，所以∠DCF=180°-120°=60°。
接下来，我们观察四边形ADCF，可以发现∠CAF和∠ADF是对顶角，因此它们的度数相等。
∠ADE和∠DCF是共顶角，它们的度数也相等。
由此，我们可以得到以下等式：∠CAF=∠ADF=40°∠ADE=∠DCF=60°现在我们来考虑三角形BCF。
已知∠CAF=∠ADF=40°，∠BCF为所求。
我们知道，三角形内角和为180°，因此有：∠CAF+∠ADF+∠BCF=180°带入已知信息，得到：40°+40°+∠BCF=180°化简得：80°+∠BCF=180°再进一步，我们可以得到：∠BCF=180°-80°∠BCF=100°因此，∠BCF的度数为100°。
2. 题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f(-1)和f(2)的值。
解析：我们可以使用给定的函数，将x的值代入函数中进行计算，从而得到f(x)的值。
首先，计算f(-1)的值。
将x=-1代入函数f(x)中，有：f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5化简得：f(-1)=-2-3+(-1)-5=-2-3-1-5=-11因此，f(-1)的值为-11。
接下来，计算f(2)的值。
高中数学高频错题总结 (含例题答案)
高一上学期易错陷阱总结1、 对数型函数中，（易忽略真数位置大于0）5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 2、 集合中，空集的特殊性（易忘记讨论空集）13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )． 3、集合中，元素的互异性（易忽略导致取值错误）[例2] 已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，求a 2 019＋b 2 020的值．跟踪探究 2.已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．4、集合中，元素的特殊要求（比如：易忽略x等条件）跟踪探究 1.若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A.{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{2,3}D ．{1,2}5、抽象函数的定义域问题（定义域仅代表x ，括号内取值范围一致）14、函数的定义域为,则的定义域是___;函数的定义域为___.6、 区间中默认a<b14.已知函数f （x ）=, x是偶函数，则a+b=7、 换元法求值域类问题（易忽略换元后，t 的取值范围）(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的值域；8、动轴定区间类问题（分类讨论不重不漏）典型案例：求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最值．9同增异减求单调区间问题（对数型时不能忽略真数位置大于0）（多个区间，隔开）跟踪探究 2.求函数y ＝log 2(x 2－5x ＋6)的单调区间．10、分段函数单调性问题。
（易忽略结点处）13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，(x ≤1)，－ax ＋3a －4，(x ＞1)且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围________．11.解分式不等式。
高中数学易错题大汇总及其解析
【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。
而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。
本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。
解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。
然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。
最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。
（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。
解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。
2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。
解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。
（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。
解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。
3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。
解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。
（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。
解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
ＡＢ时，【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、()22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
高三数学错题整理与解析
高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。
对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。
本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。
一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。
解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。
求$a$、$b$、$c$的值。
解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。
将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。
根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。
将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。
综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。
二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。
高中数学易错题举例解析学生版
高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
下面通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。
【例1】已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-(2) 已知(x+2)2+ y 24 =1, 求x 2+y 2的取值范围。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b)2的最小值。
●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=nn S ，求.n a(2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q . (2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。
《章节易错训练题》1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或22、已知A = {}x | x 2+ tx + 1 = 0 ，若A ∩R *= Φ ，则实数t 集合T = ___。
高中数学易错点(附配套例题与答案)
高中数学各章节关注点1.4 否定形式命题可考虑用逆否命题来研究．例1.4 已知R b a ∈,，则条件＂21≠≠b a 或＂是＂2≠ab ＂的 条件．1.5 “且”与“或”的区分．例1.5.1 判断真假：(1) 10232≠⇔≠+-x x x 或2≠x ；(2)33≥．例1.5.2 已知 013:1=+-y ax l ，01)21(:2=---ay x a l ，根据下列条件分别求a 的取值范围．(1) 21l l 与相交；(2) 21l l ⊥．2、函数2.1求函数关系式时必须包含定义域；对数问题也应注意定义域．例2.1 (1)在ABC ∆中，BC AC BC x AB ,3,4,===边上的中线长y AM =，求y 关于x 的函数关系式；(2)函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 ．2.2 函数的零点问题通常利用函数图像．例2.2 (1)若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ；(2) 若函数m x x x y -+-=4423在区间），（251-至少有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．例2.5.2 已知函数)(x f 是周期为2的周期函数，当20≤<x 时，13)(2+-=x x x f ，求当75<<x 时，函数)(x f 的表达式．2.6 关注二次函数二次项系数是否为零，注意∆、开口、对称轴与特殊值四要素．例2.6 (1)已知方程0)3(42=++-a x ax 有两个大于１的不等实根，求实数a 的取值范围； (2) 已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于１的实根，求实数a 的取值范围．2.7 指对数的运算法则．例2.7 （1）已知02ln =+x ，求x ；（2）已知)00(02≠>=-a a a x且，求x ； （3）解不等式)10(2log <<->a x a ；（4）已知()1,12log 2log >>>b a b a ，求b a , 的大小关系．3、数列3.1 注意题中n 取值，如：⎩⎨⎧≥-==-2n ,S S 1,n ,S a 1n n1n 的公式应用．例3.1 (1)已知数列{}n a 的前n 项的和为）（+∈+-=N n n n S n 1322，求数列{}n a 的通项公式；(2) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若),2(0321+-∈≥=+N n n a S S n n n ，又31=a ，求n a ；(3) 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若,)(31++∈=N n a S n n 又31=a ，求n a ．3.2 等比数列求和注意对q=1与q ≠1的分类；等比数列证明注意首项0a 1≠的说明．例3.2 (1) 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1-≠q ．求证：n n n n n S S S S S 232,,--也成等比；(2) 若数列{}n a 中,)(23,411++∈-==N n a a a n n ．求证数列{}1-n a 是等比数列．3.3 求和：观察通项、 注意首项、 点清项数，并注意结果的验证．例3.3 求和nn S )2(8421-++-+-= ．3.4 应用性问题：逐步列式，保留原始数据，便于观察规律．例3.4 小王2012年5月向银行借款100万元用于购房，年利率7.8%，2013年5月开始偿还，每年还a 万元，2032年5月全部还清，求每年还款额a （其中2078.110≈）．3.5 等差数列、等比数列常用定义、公式或性质解决．例3.5.1 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，42,293==S S ．(1)若数列{}n a 成等差，求12S ； (2) 若数列{}n a 成等比，求12S ．例3.5.2 已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和分别为n n T S , , 若1423--=n n T S n n , 求2020b a ．3.6 数列与函数的单调性、最值研究的方法“区别”．例3.6 (1) 已知数列{}n a 的通项公式是nnn C a )31(2012⋅=，求数列{}n a 的最大项；(2)已知函数xex x f 2012)(-=，求函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值．3.7 熟练掌握利用错位相减法或裂项法进行数列求和． 例3.7 (1) 求和：n n n S )21)(12()21(7)21(5)21(321432--++-+-+-+-= ；(2) 求和：)12(753197531753153131++++++++++++++++=n S n ．(3) 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++)23(3522n n n n 的前n 项的和n T ．3.8 通常递推关系转化为“新数列”的思想运用． 例3.8 已知数列{}n a 中，311=a ,根据下列各递推公式，求数列的通项公式： （1） 131-=+n n a a ；（2）131+=+n nn a a a ；（3）()112++-=n n n n a a a a ；（4）nn n a a 331=+－．5.4 三角形问题应注意内角的判断一个或两个解．例5.4 (1) 在ABC ∆中，若32cos ,36sin ==B A , 求C sin ；(2) 在ABC ∆中，若3,31cos ,33sin ===a B A , 求边c 的长．5.5 熟练掌握正弦、余弦定理，面积公式．例5.5.1 在ABC ∆中， 面积32=S ，,6,600=+=c b A （1）求边a 的长； (2)求)(sin C B -．例5.5.2 在ABC ∆中, 三内角C B A ,,成等差数列 , 角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,, 外接圆半径为2 , 求22c a +的取值范围．6.5 熟练掌握不等式应用的两种题型.例6.5 (1) 已知+∈R y x ,，212=+yx ，求y x +的最小值；（2）已知c ax x f +=2)(，1)1(2≤≤-f ，4)2(0≤≤f ，求)3(f 的取值范围．7、直线和圆7.1 求直线问题注意斜率存在与不存在，掌握斜率变化与倾斜角变化的规律．例7.1 (1) 已知过点（０，１）的直线l 与圆)0()1(222>=++R R y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若52<⋅<-OB OA ，求半径R 的取值范围；(2) 已知过点（－２，０）的直线l 与圆16)1(22=++y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1213-<⋅<-OB OA ，求直线l 的倾斜角取值范围．高中数学各章节关注点答案3.1解：(1) ⎩⎨⎧≥== 2.n ,5-4n ,1n ,0a n (2) ,0)(3211=-+--n n n n S S S S 32111=--n n S S ， 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是首项为31，公差为32的等差数列，所以3121-=n S n ，即123-=n S n ，从而得⎪⎩⎪⎨⎧≥---==.2,)32)(12(61,3n n n n a n ， (3) ,43111n n n n n n S S S S a S =⇒-==+++数列{}n S 是公比为4 , 首相为3的等比数列 ,所以143-⋅=n n S , 从而⎩⎨⎧≥⋅==-.2,49,1,32n n a n n 3.2解：(1)当公比1=q 时，,,,0123121na S S na S S na S n n n n n =-=-≠=结论成立；当公比1≠q 时，222212131123)1()1()1)1(1)1((1)1()(q q q a q q a q q a q q a S S S nn n n n n n n --=-----⋅--=-， 22221212122)1()1(1)1(1)1()(q q q a q q a q q a S S n n n n n n--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-， 1,0,01±≠≠≠q q a ，0)()(2322≠-=-∴n n n n n S S S S S ，结论成立．(2),)1(311-=-+n n a a 又0311≠=-a ，所以数列{}1-n a 是以3为首项,以3为公比的等比数列．3.3解： []11)2(131)2(1)2(1++--=----=n n n S ． 3.4解：201819%)8.71(100%)8.71(%)8.71(%)8.71(+=+++++++a a a a ，2020%)8.71(100%)8.71(1%)8.71(1+=+-+-⋅a ， 4.103078.0400=⨯≈a （万元）．3.5.1解：(1)由91269363,,,S S S S S S S ---成等差，得,)42(2)2(266S S -+=-166=S ，所以38912=-S S ，8012=∴S ．(2) 由91269363,,,S S S S S S S ---成等比，得,)42(2)2(626S S -=-86-=S 或106=S ，从而128912=-S S 或250912-=-S S ，所以17012=S 或20812-=S ．3.5.2解：利用等差数列求和公式n n a n S )12(12-=-得312315511539392020===T S b a ． 3.6解：(1)1)1(3201231!)2011(!)1(!2012!)2012(!!2012312012120121≥+-=⋅-+-=⋅=++n nn n n n C C a a n n n n ，得25.502≤n ，即12502503a a a a >>>> ， >>>505504503a a a ，所以数列{}n a 的最大项为5035032012503)31(C a =．(2)2013,02013)('==-=x exx f x得，函数↑∞+↑），（，），）在（（201320130x f ． 所以函数)(x f 在区间),0(∞+上的最大值是2013)2013-=ef （．3.7解：(1) 运用错位相减法，15432)21)(12()21)(32()21(7)21(5)21(3)21(21+--+--++-+-+-+-=-n n n n n S15432)21)(12(])21()21()21()21()21[(22123+----++-+-+-+-+-=n n n n S 1111)(12()21(13121)21)(12()21(1)21(141221+-+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⋅+-=n n n n n n n n )21(61661-++-=， nn n S )21(91691-++-=∴．(2) )211(21)2(1)12(7531+-=+=+++++n n n n n，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++--++-+-+-+-=∴)211()1111()6141()5131()4121()311(21n n n n S n )2)(1(23243211121121+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=n n n n n ． (3) )2(31)1(31)23(35212+-+=+++-n n n n n n n n,))2(31)1(31()531431()431331()33121(1322+-+++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=∴-n n T n n n)2(3121+-=n n ．4.9解：y x y x 32cos 2sin -=+,22)32()2(1y y -≥+,031252≤+-y y ,52165216+≤≤-y , ∴值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-5216,5216． 4.10解：321sin 121,21sin 23,1sin 21,326<+≤≤+<≤<∴≤<x x x x ππ， 所以1sin 43+-=x y 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛1,31．4.11解: 2tan 11tan )4tan(=-+=+x x x π, 得31tan =x ． (1)原式671tan 32tan =++=x x ．(2)原式7201tan tan )1(tan 2)cos (sin cos sin )cos (sin 2222222-=--+=+-+=x x x x x x x x x ． 5.1 (1)51- 解析：CB AB AC AB CB BC AB CB AM ⋅-+=⋅+=⋅)](32[)32( 51)2716236(31231)()2(3122-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB AC AB ．(2)42- 解析：以A 为原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，A （0，0），B （6，0），C （0，9），M （2，6），425412),9,6(,)6,2(-=-=⋅-==CB AM CB AM ．5.2解：(1)213,0372)2(1)1)(23(2-=-==++⇒-⋅=++x x x x x x x 或得． (2) 26,03201)23()1)(2(2±==-⇒=⋅+++-x x x x x 得． 5.3解：(1)错 解析：0应该为0．(2)错 解析：c b a )(⋅与向量c 共线 , )(c b a ⋅与向量a 共线． (3)错 解析：正确形式为AC BC AB =+；(4) 错 解析：正确形式为CB AC AB =-．5.4解：(1),,sin 35sin A B A B <∴<=33cos ±=∴A , B A B A B A C sin cos cos sin )(sin sin +=+= 9156235)33(3236±=±+⋅=． (2) 36cos ,,sin 322sin =∴>∴>=A A AB A B ，必为锐角角 ,935322363133sin cos cos sin )(sin sin =+⋅=+=+=B A B A B A C ； 由正弦定理得539353sin sin =⋅⋅==A C a c ．5.5.1解：(1) 83260sin 210=⇒==bc bc S ， 又，或22,4,6===∴=+b c b c b 4=c ，32,12cos 2222==-+=a A bc c b a ． (2) 当4,2==c b 时，由正弦定理，C B sin 4sin 260sin 320==，得1sin ,21sin ==C B ，23)sin(,90,3000-=-==C B C B ，同理当2,4==c b 时，23)sin(=-C B ． 5.5.2解：三角C B A ,,成等差060=⇔B , 由正弦定理42sin sin ===R CcA a , 所以[][])2240cos(2cos 28)120(sin sin 1602222A A A A c a ---=-+=+)602cos(8160+-=A , 由于001200<<A , 00030060260<+<A ,所以21)602cos(10<+≤-A , 从而241222≤+<c a ． 5.6.1 解: (1)真． (2)假．(3)假. 解析：正确的应是等腰三角形或直角三角形． 例5.6.2 (1) 若角A 为锐角, 则A A cos sin +的取值范围是 ； (2)若角A 为钝角, 则A A cos sin +的取值范围是 ．5.6.2 （1）(]2,1 解析：)45sin(2cos sin +=+A A A ，A 为锐角，900<<∴A ， 1354545<+<∴A ，1)45sin(22≤+<∴A ，即有2cos sin 1≤+<A A .． (2)()1,1- 解析: A 为钝角，即18090<<A ，22545135<+<∴A ，22)45sin(22<+<-∴ A ，即有1cos sin 1<+<-A A ． 6.1解：(1)027322132≥--=---x x x x x , 由此得解集[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,372,0 ．6.4 1024或 解析：)52()(1+=-⋅x x x ，得0=x 或3-=x ，44224)42(222++=++=-x x x x ，40=-=x ；1023=--=x ．6.5 解:(1))223(21)2(321)12)((21+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+y x x y y x y x y x ， 即y x +的最小值为)223(21+． (2))1(35)2(389)3(,4)2(,)1(f f c a f c a f c a f -=+=+=+=；332)2(380≤≤f ，310)1(3535≤-≤-f ，14)3(35≤≤-∴f ．则当1=t 时，1=k ，当1≠t 时，0)3)(1(44,0)3(2)1(2≥---=∆=-+--t t t k k t ，得；2222+≤≤-t ，所以24322-<<-R ．综上所述，半径R 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-24,0．(2) 当x l ⊥轴时，)15,2(-A ，)15,2(--B ，11-=⋅OB OA ，不合, 当l 与x 轴不垂直时，设直线)2(:+=x k y l 代入圆方程，得0154)12(2)1(2222=-++++k x k x k ,由韦达定理，222122211154,1)12(2kk x x k k x x +-=++-=+， 2212212212214)(2)1()2)(2(k x x k x x k x x k x x OB OA ++++=+++=⋅)12,13(1151141)12(41542222222--∈++-=+++--=kk k k k k k ，得312<<k , 13-<<-k 或31<<k ，所以直线l 倾斜角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,323,4ππππ ．7.2解：圆心（－１，０）到直线的距离53=d ，所以5109235322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R ． 8.1.1解：(1)513解析：因为02=+FQ PF ,所以点Q 为线段PF 的中点, O 为原点，椭圆另一焦点为'F ,则OQ PF //', 4'=PF , 由椭圆定义：42-=a PF ,'PF PF PF OQ ⊥⇒⊥,由勾股定理；52)42(162=-+a , 得5=a , 所以椭圆的离心率513=e ． (2) 228- 解析：如图，椭圆左焦点)0,2(-F ， 右焦点即为B ，如图，由椭圆的定义得2288)(8-=-≥--=+AF PA PF PB PA ．8.1.2解： (1) 1622=+y x 解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，设直线1与2PF 交于点Q ，O 为坐标原点，4221)(21)(21212122==⋅=-=-==a a PF PF PF PQ Q F OM ， 所以点M 的轨迹方程是1622=+y x ．(2) ２ 解析：抛物线的焦点()1,0F ，准线1:-=y l ，连AF 、BF ，设A 、B 、M 到准线l 的距离分别为1d 、2d 、d 则322221=≥+=+=AB BF AF d d d ， ∴点M 到x 轴的最近距离为2．8.2解：(1)9或964解析：当焦点在ｘ轴上时，3181=-m ，得9=m ；当焦点在ｙ轴上时，3181=-m ，得964=m ． (2) 3171--或 解析：当焦点在x 轴上时，7)28(2=+++n n ，得1-=n ；当焦点在y 轴上时，7)2()82(=--+--n n ，得317-=n ．(3) )161,0(a 解析：抛物线方程的标准式为y ax 412=．8.3解：(1)（基本轨迹法） 设)0,5(,)0,5(21F F -，动圆半径为R ，则31+=R PF ，12+=R PF ，221=-PF PF ，由双曲线定义，点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的一支，1=a ，24,52==b c ，它的轨迹方程是)1(12422≥=-y x y ． (2) (转移法) 设),(),,(00y x C y x G ，则3,300yy x x ==，即y y x x 3,300==，代入椭圆得1144)3(324)3(22=+y x ，又三角形中三点不共线，0≠∴x , 所以重心G 的轨迹方程是)0(1163622≠=+x y x ．8.4 解： )0,2()0,2(21F F -，当x PQ ⊥轴时, )3,2(,)3,2(-Q P ，12=S ； 当AB 与x 轴不垂直时, 设直线)0)(2(:≠-=k x k y PQ ,代入椭圆方程得0481616)43(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+=+, 2222243)1(24431241k k k k k PQ ++=+++= , 点1F 到直线PQ 的距离 214kk d +=,由此得222222)43()1(484314821k k k k k k d PQ S ++=++== , 设t k =+243，其中3>t ，则232112t t S --=随t 的增大而增大，120<<S ， 所以PQ F 1∆面积S 的取值范围是(]12,0.(2)设直线2)1(:+-=x k y l ， 代入双曲线方程4422=-y x 得[]01)2(4)2(8)41(222=+-----k x k k x k ，[]0)543(161)2()41(16)2(6422222=+--=+--+-=∆k k k k k k ，得3192±-=k ， 双曲线的渐近线斜率为21±，如图，可知直线l 的斜率范围是)21,3192(---． 8.6解：)0,2(-F ,当x l ⊥轴时,)214,1(P ,)214,1(-Q ,不合． 设直线)1(:-=x k y l ，代入椭圆得0824)21(2222=-+-+k x k x k ,设),(11y x P ,),(22y x Q , 则 ,2142221kk x x +=+22212182k k x x +-=, 2212212212214))(1()1()1)(2()2)(2(k x x k x x k x x k x x FQ FP +++-++=--+++=⋅=2222222421)2(421)82)(1(k k k k k k k +++-++-+=02141122=+-k k ,得112±=k , 所以直线的方程为)1(112-±=x y ．9.1解：(1) 373)4242(433122=⋅⨯++=V ． (2)表面积ππππ425)41(4122=⋅++⋅+⋅=S ，体积ππ284)4161(31=⋅++=V ． 9.2解：(1)取AB 中点O ，连OC ，则AB PO ⊥，ABC PAB 面面⊥ ，ABC PO 面⊥∴， ABC PC PCO 与面就是∠∴所成的角，103010232tan 10232==∠==PCO OC PO ，，， 所以所求角的正切值为1030．。
高一数学错题集锦与讲解
高一数学错题集锦与讲解1. 周长与面积题目：一个正方形的周长为16cm，求它的面积。
解析：设正方形的边长为a，则周长可以表示为4a，根据题目可得4a=16cm，解方程得到a=4cm。
正方形的面积可以表示为a²，代入已知的边长得到面积为4²=16cm²。
所以，这个正方形的面积为16平方厘米。
2. 相似三角形题目：两个三角形的两个内角分别为45°和90°，它们的两边分别成比例，则这两个三角形相似吗？解析：根据三角形的内角和定理可知，三角形的内角和为180°。
已知其中一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角为180°-45°-90°=45°。
另一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角也为45°。
因此，这两个三角形的内角完全相同，所以它们是相似三角形。
3. 平行线与相交线题目：如图，AB//CD，AD是两平行线AB和CD的相交线段。
已知∠ABC=80°，求∠CDA的度数。
解析：根据平行线的性质，平行线AB和CD之间的对应角是相等的。
所以∠ABC=∠CDA。
已知∠ABC=80°，代入已知条件可得∠CDA=80°。
4. 三角函数的计算题目：已知cosθ=1/2，求sinθ的值。
解析：根据三角函数的定义可知，sinθ=√(1-cos²θ)。
已知cosθ=1/2，代入公式可得sinθ=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。
所以，sinθ的值为√3/2。
5. 数列的求和题目：求等差数列1, 4, 7, 10, …, 100的前n项和Sn。
解析：已知第一项a₁=1，公差d=3（等差数列的公差是指相邻两项之间的差值）。
根据等差数列的求和公式，Sn=n(a₁+an)/2。
高中数学经典错题深度剖析及针对训练 独立事件、独立重复试验的概率和条件概率
高中数学经典错题深度剖析及针对训练 独立事件、独立重复试验的概率和条件概率【标题01】把独立重复试验的概率定性为古典概型了【习题01】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望EX ； （2）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【经典错解】（1）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=．所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0,1,2，所以()2824070195C P X C ===,()11832240641195C C P X C ===,()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为故X 数学期望76412431280121951951951955EX =⨯+⨯+⨯==． （2）由题得从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率213283404961235C C P C == 【详细正解】(1)同上；（2）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【习题01针对训练】某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若仅有A ，A 、B 两项技术指标都不达标的（1）求一个零件经过检测为合格品的概率；（2）若任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．【标题02】把独立重复试验的概率定性为独立事件的概率了【习题02】某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1,2,3．规定每位考生必须且只须在其中选做一 题.甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为13，每位学生对每题的选择是相互独立的，各 学生的选择相互之间没有影响．求这三个人选做的是同一道题的概率.【经典错解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A ,则1111()33327P A =鬃=【详细正解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A ,则131111()3339P A C =鬃?.【深度剖析】(1)经典错解错在把独立重复试验的概率定性为独立事件的概率了.（2）这三个人选做的是同一道题为事件A ，则A 实际上是三个互斥事件和和事件，因为甲乙丙可能同时选做第一题或第二题或第三题，而每一个互斥事件的概率又是三个独立事件同时发生的概率.错解把事件A 直接定性为独立事件同时发生的概率了，是错的.（3）解答概率题时，要先定性（六大概型：古典概型、几何概型、互斥事件的概率、独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率和条件概率），后定量.在定性时，要仔细分析，不要把事件定性错了.【习题02针对训练】某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【标题03】对事件)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 理解错误【习题03】某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列}{n a ，使⎩⎨⎧-=)(,1)(,1次掷出奇数当第次掷出偶数当第n n a n ，记n n a a a S +++= 21 求)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 的概率.【经典错解】记事件A ：28=S ，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1，∴28=S 的概率858)21()(⋅=C A P记事件B ：)4,3,2,1(0=≥i S i ，将)4,3,2,1(0=≥i S i 分为两种情形： （1）若第1、2项取值为1，则3，4项的取值在1和-1中任意取值；（2）若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1，第四项在1和-1中任意取值. ∴()P B =83)21()21(32=+ ∴所求事件的概率为()()P P A P B =⋅ =858)21(83⋅⋅C 【详细正解】∵)4,3,2,1(0=≥i S i ∴前4项的取值分为两种情形①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为-1即可.即8361)21(⋅=C P ；②若1、2项为正，为避免与第①类重复，则第3项必为-1，则后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即8352)21(⋅=C P ，∴所求事件的概率为783536215)21()(=⋅+=C C P【习题03针对训练】一种电脑屏幕保护画面，只有符号""""X O 和随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现""""X O 和之一，其中出现""O 的概率为p ，出现""X 的概率为q ，若第k 次出现""O ，则记1=k a ；出现""X ，则记1-=k a ，令n n a a a S +⋅⋅⋅++=21． (1)时，求3S 的分布列及数学期望． (2)时，求），，，且4321(028=≥=i S S i 的概率．【标题04】对事件“A B 、两组中有一组恰有两支弱队”没有理解清楚【习题04】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A B 、两组，每组4支，求A B 、两组中有一组恰有两支弱队的概率.【经典错解】将8支球队均分为A B 、两组，共有4448C C 种方法：A B 、两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有2325C C 种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法.∴所求事件的概率为：7344482225=C C C C . 【详细正解】将8支球队均分为A B 、两组，共有4448C C 种方法：A B 、两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有2325C C 种方法.再把这这组队伍分给A 组或B 组，有12C种方法，所以所求事件的概率P=76244482225=C C C C .【习题04针对训练】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门.该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同. （1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列及期望、方差．【标题05】概型判断错误【习题05】某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率.【经典错解】由于此人第一次不能开房门的概率为45，若第一次未开，第2次不能打开房门的概率应为34；所以此人第3次打开房门的概率为31. 【详细正解】第1次未打开房门的概率为54；第2次未开房门的概率为43；第3次打开房门的概率为31，所求概率为：51314354=⨯⨯=P .【习题05针对训练】某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击，若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m 处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．（1）求这名射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这名射手比赛中得分的均值．【标题06】没有注意事件的先后顺序导致遗漏了一些情况 【习题06】某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求ξ的分布列.【经典错解】ξ的取值为8，9，10.ξ=7，两次环数为7,7；ξ=8，两次成绩为7，8或8，8；ξ=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；ξ=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10. ∴04.02.02.0)7(=⨯==ξP 15.03.03.02.0)8(2=+⨯==ξP23.03.03.03.03.02.0)9(2=+⨯+⨯==ξP 2.02.03.03.02.03.02.0)10(2=+⋅+⋅⨯==ξP （分布列略）【详细正解】8=ξ，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP 9=ξ两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9∴39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，同理36.02.042.03.0212.0)10(22=+⨯⨯+⨯==ξP 【深度剖析】(1)经典错解错在没有注意事件的先后顺序导致遗漏了一些情况.（2）8=ξ，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP9=ξ两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 ∴39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ，同理36.02.042.03.0212.0)10(22=+⨯⨯+⨯==ξP .【习题06针对训练】学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望.【标题07】把独立事件的概率定性为互斥事件的概率了【习题07】甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？【经典错解】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好投中2次为A B +.所以()()()P A B P A P B +=+ =825.03.07.02.08.0223223=⨯+⨯C C .【详细正解】设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人恰好都投中2次为AB .所以()()()P AB P A P B =⋅ =2222330.80.20.70.3C C ⨯⨯⨯0.169=【习题07针对训练】地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为23、12，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；（2）求成活的棵树ξ的分布列与期望.【标题08】把独立事件同时发生的概率定性为独立重复试验了【习题08】某射手射击一次，击中目标的概率是0.5，现该射手连射4次，（1）求恰好前3次击中的概率；（2）恰好第3次击中的概率.【经典错解】（1）由题得334111()()224P C ==；（2P =(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625= 【详细正解】（1）由题得3111()2216P ==；（2）P =(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【习题08针对训练】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．【标题09】把古典概型定性为独立重复试验了【习题09】某产品100件，其中恰有5件次品，现从中任意抽取5件，求恰有一件次品的概率. 【经典错解】由题得145595(A)()()100100P C = 【详细正解】由题得145955100()0.2144C C P A C == 【深度剖析】(1)经典错解错在把古典概型定性为独立重复试验了.（2）所求事件的概型应该是一个古典概型，而错解把它当作是独立重复试验了.因为已知中的抽取，是一次性地从100件产品中抽取5件，所以没有抽多次，所以根本上不是独立重复试验.如果有的同学分5次来抽，每次抽取一件，也不是独立重复.因为第一次抽取时，抽到次品的概率是5100，第二次抽取时，只有99件产品，此时抽到次品的概率肯定不是5100，由于概率不同，所以也不是独立重复试验.【习题09针对训练】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率； (2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率. 【标题10】把条件概率定性为古典概型了【习题10】一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．【经典错解】由题得228622108151()453C C P A C C ===【详细正解】记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有(|)P B A ＝()()P AB P A ＝22862288C C C C ⋅⋅＝1528，即事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是1528．【习题10针对训练】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【标题11】审题不清忽略了“有放回地取”这个关键词【习题11】一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求连续取两次都是白球的概率；【经典错解】由题得22241()6A P A A ==.【详细正解】记事件A 为“连续取两次都是白球”，所以()P A 14．【深度剖析】(1)经典错解错在审题不清，忽略了“有放回地取”这个关键词.（2）抽样常用的有“有放回抽样”和“不放回抽样”两种，所以在解题时一定要注意抽样的方法.【习题11针对训练】一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出．．．．3．次红球即停止．．．．．．．．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率1P ； (2)从袋中有放回地取球;①求恰好取5次停止的概率2P ；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【标题12】对事件“某位顾客返券的金额为30元”没有理解透彻【习题12】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．求某位顾客返券的金额为30元的概率.【经典错解】设A =某位顾客返券的金额为30元,则111()236P A ==.【详细正解】设A =某位顾客返券的金额为30元,则11111()23323P A =+= .【习题12针对训练】某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求(8)P x =.【标题13】把此种条件概率和“丢开法”条件概率混淆了【习题13】10名同学中，有7个人获得了全国数学联赛一等奖，3人没有获得.现在从中任选2名同学，已知其中1名同学获得全国一等奖，求另外一名同学也获得全国一等奖的概率. 【经典错解】由题得6293P ==. 【详细正解】设A =2名同学中有1人获得全国一等奖，B =2名同学中另外一个同学也获得全国一等奖，由题得27112737()211(|)(A)422C n AB P B A n C C C ====+,所以另外一名同学也获得全国一等奖的概率为12.【习题13针对训练】抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，则两颗骰子的点数之和大于8的概率为________．【标题14】把古典概型定性为独立重复试验概率了【习题14】某产品100件，其中恰有5件次品，现从中任意抽取5件，求恰有一件次品的概率. 【经典错解】由题得145595(A)()()100100P C = 【详细正解】由题得145955100()0.2144C C P A C == 【深度剖析】（1）经典错解错在把古典概型定性为独立重复试验概率了.（2）所求事件的概型应该是一个古典概型，而错解把它当作是独立重复试验了.因为已知中的抽取，是一次性地从100件产品中抽取5件，所以没有抽多次，所以根本上不是独立重复试验.如果有的同学分5次来抽，每次抽取一件，也不是独立重复.因为第一次抽取时，抽到次品的概率是5100，第二次抽取时，只有99件产品，此时抽到次品的概率肯定不是5100，由于概率不同，所以也不是独立重复试验. 【习题14针对训练】现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率. (2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.【标题15】概率定性定错了【习题15】某射手射击一次，击中目标的概率是0.5，现该射手连射4次，（1）求恰好前3次击中的概率；（2）恰好第3次击中的概率.【经典错解】（1）由题得334111()()224P C ==;（2）P= (10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【详细正解】（1）由题得3111()2216P ==；（2）P=(10.5)(10.5)0.5(10.5)-⨯-⨯⨯-0.0625=【习题15针对训练】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．高中数学经典错解深度剖析及针对训练第29讲： 独立事件的概率、独立重复试验的概率和条件概率参考答案【习题01针对训练答案】（1（2满足条件的事件是恰有2人申请A 片区房源，共有2242C C ∴根据等可能事件的概率公式得到224248327C C P == （2）由题意知ξ的可能取值是1,2,3.431(1)327P ξ=== 231222341423414(2)327A C C C C C P ξ+=== 234344(3)39C A P ξ=== ∴ξ的分布列是：∴1144651232727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 【习题03针对训练答案】(1)详见解析；(2)218780． 【习题03针对训练解析】(1)3,1,1,33--=S()()0318183=⨯+⨯+⨯-+⨯-=EX(2)前4次有2次出现""O 的概率是前4次有3次出现""O 的概率是前4次有4次出现""O 的概率是P (ξ= 0 ) =P (ξ= 1) =P (ξ= 2 ) =P (ξ= 3 ) =∴ξ的分布列为：E np ξ=34416D npq ξ==⨯⨯=【习题05针对训练答案】（1）95144；（2）8548.【习题05针对训练解析】记第一、二、三次射击命中目标分别为事件,,A B C三次均未命中目标的事件为D．依题意1 ()2P A=．（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，则1121(3)(2)2299P Pξξ====⨯=171749(1)(0)298144144P Pξξ==⨯⨯===∴ξ的分布列为∴32102914414448Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．【习题06针对训练答案】(Ⅰ； (Ⅱ【习题06针对训练解析】（1）由已知条件得即31p=，则所以p的值为（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3所以ξ的分布列为：，【习题7针对训练答案】（1）6；（2）详见解析.ξ∴的分布列为6E ξ∴=. 【习题08针对训练答案】827【习题08针对训练解析】甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，∴P＝C3223⎛⎫⎪⎝⎭2·13⎛⎫⎪⎝⎭·23＝827，∴甲三胜一负而结束的概率为827.【习题09针对训练答案】（1）0.512；（2）7 15.【习题10针对训练答案】(1)0.55 ； (2)311；（3）1.23.【习题10针对训练解析】（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．则()0.200.200.100.050.55P A=+++=（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费比基本保费60%”．()0.100.050.15P B=+=所以()()0.153 (|A)()()0.5511P AB P BP BP A P A====，所以一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率为3 11.（3）续保人本年度的平均保费估计值为0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23 EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.【习题11针对训练答案】(1)128；(2) ①881②13181.【习题11针对训练解析】(1)113363149128C C APA==(2)①22224121833381 P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②随机变量ξ的取值为0,1,2,3; 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()231511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()328080173124381P ξ++==-=随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是 3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=∴()P B =1036＝518． 当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故()P AB ＝536．∴(|)P B A ＝()()P AB P A ＝53613＝512．【习题14针对训练答案】（1）0.512；（2）715. 【习题14针对训练解析】(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(,,)x y z 记录结果,则,,x y z 都有10种可能,所以基本事件总数为10×10×10=103(种)；设事件A 为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此338()0.51210P A ==.(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(,,)x y z ,。
高考数学典型易错题解析
高考数学典型易错题解析高考数学典型易错题解析高考数学作为一门基础学科，是衡量学生逻辑思维和数学能力的重要标准。
在备考过程中，同学们需要加强对数学概念、方法和技巧的理解与掌握，提高解题能力。
本文将结合一些典型易错题，对高考数学中的常见错误进行分析，并提出相应的解题技巧。
一、概念理解不清在数学学习中，概念是基础。
如果对概念理解不清，那么在解题过程中就会容易犯错。
例如，很多同学对于函数的概念掌握不够扎实，容易混淆一些基本的函数关系，如增函数和指数函数。
针对这类问题，同学们可以通过多读、多写、多练来加深对概念的理解。
二、解题方法不当在解题过程中，如果解题方法不当，就会导致解题过程复杂或者答案错误。
例如，在解分式方程时，很多同学会忽视验根这一步骤，导致得到的答案可能是增根或漏根。
因此，在解题时，同学们需要选择合适的解题方法，并按照正确的解题步骤进行。
三、思维不严谨在数学中，严谨的思维是非常重要的。
如果思维不严谨，就会在细节上犯错误。
例如，在计算极限时，同学们需要先判断极限是否存在，然后再进行计算。
如果忽略了这个步骤，就会得到错误答案。
因此，同学们需要加强思维训练，注重细节把握。
四、做题粗心大意在考试中，有时因为紧张或者时间不够，同学们容易粗心大意，导致答案错误。
例如，在解题时可能会看错题、写错数等。
因此，同学们需要加强做题训练，提高解题速度和准确性。
总之，在高考数学备考过程中，同学们需要加强对概念、方法、思维等方面的训练，提高解题能力。
也要注意避免粗心大意等不良习惯。
只有这样，才能够在高考中取得优异的成绩。
高中数学80个易错题汇总
高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。
错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。
正确结果：A B =B【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。
错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)}正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。
反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知A = {x | 2a <x <a 2}, B = {x | -2 <x < 1} ，且A ⊆B ，求a 的取值范围。
错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。
正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A ⊆B 就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。
尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。
考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{ a + 2 , (a +1)2 , a2 + 3a +3 }，求实数a 的值。
错解：a =-2, -1, 0剖析：忽视元素的互异性，其实当a =-2 时，(a +1)2 = a2 + 3a + 3 =1；当a =-1时，a + 2 = a2 + 3a + 3 =1；均不符合题意。
正确答案：a = 0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
高中数学各章易错点精析6-数列
第6章 数列【易错点1：n=1的讨论】例1、数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3n n a a s +==。
（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。
【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。
易得出数列{}n a 为等比数列的错误结论。
解析：易求得2341416,,3927a a a ===。
由1111,3n n a a s +==得()1123n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n nn a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩。
例2、 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求证：{1S n}是等差数列，并求其公差；(2)求数列{a n }的通项公式．解： (1)当n ≥2时，2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，两端同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝－12，根据等差数列的定义，知{1S n }是等差数列，且公差为－12.(2)由第(1)问的结果可得1S n ＝13＋(n －1)×(－12)，即S n ＝65－3n .当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8).所以a n＝⎩⎨⎧3 (n ＝1)，18(3n －5)(3n －8)(n ≥2).【易错点2：n 的分类讨论】例3、已知：函数23()3x f x x+=，数列}{n a 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==；（1）求{n a }的通项公式。
高中数学易错题分类汇总及解析
≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x +y =-3x -16x-12=
2
2
2
+
28 2 2 因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 3
8 28 28 2 2 2 2 时， x +y 有最大值 。 故 x +y 的取值范围是[1, ] 3 3 3
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件
f ( x) =
lg (1 − x 2 ) x−2 −2
的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
f (− x) =
lg (1 − x 2 ) x+2 −2
≠ f ( x) 从
3
而得出函数
f ( x ) 为非奇非偶函数的错误结论。
2 1 − x > 0 解析：由函数的解析式知 x 满足 即函数的定义域为 ( −1, 0 ) ∪ ( 0,1) 定义域关于原点对称， x − 2 ≠ ±2
2
+
y2 = 1 ,求 x 2 + y 2 的取值范围 4
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、
y 满足
( x + 2)
2
y2 + = 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 4
1
解析：由于
( x + 2) +
2
y2 y2 = 1 得(x+2)2=14 4
Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，
【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 A∪B＝Ｂ ⇔ A∩B＝Ａ ⇔ Ａ 将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
高中数学例题错题详解
高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝,N=｛e、g、h｝,从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射;函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数;函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应;映射与函数特殊对应的共同特点：错误!可以是“一对一”；错误!可以是“多对一”；错误!不能“一对多”；错误!A中不能有剩余元素；错误!B中可以有剩余元素;映射的特点：1多元性：映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等；2方向性：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；3映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象；4唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；5一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C分析根据映射的特点错误!不能“一对多”,所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数特殊对应的全部5个特点;本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题;【例2】已知集合A=R,B={x、y︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→x+1、x2,1求2在B中的对应元素；22、1在A中的对应元素分析1将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为2+1、1；2由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1, 即2、1在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求：1可建立从A到B的映射个数；2可建立从B到A的映射个数分析如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9；32=8例4 若函数fx为奇函数,且当x﹥0时,fx=x-1,则当x﹤0时,有A、fx ﹥0B、fx ﹤0C、fx·f-x≤0D、fx-f-x ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f-x = - fx；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f0=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；2、满足f-x = fx ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有fx=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数即对所有x,fx=0; 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2; 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数; 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数; 两个偶函数的乘积为一个偶函数; 两个奇函数的乘积为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数; 两个偶函数的商为一个偶函数; 两个奇函数的商为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数; 一个偶函数的导数为一个奇函数; 一个奇函数的导数为一个偶函数;两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数; 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数分析 fx 为奇函数,则f-x = -fx,当X ﹤0时,fx = -f-x = ---x – 1 = -x+1>0,所以A 正确,B 错误； fx·f-x=x-1-x+1﹤0,故C 错误； fx-f-x= x-1--x+1﹤0,故D 错误例5 已知函数fx 是偶函数,且x ≤0时,fx=xx-+11,求：1f5的值； 2fx=0时x 的值；3当x ＞0时,fx 的解析式考点 函数奇偶性的性质 专题计算题,函数的性质及应用 分析及解答1根据题意,由偶函数的性质fx= f-x,可得f5= f-5=）（）（5--15-1+=—322当x ≤0时,fx=0 可求x,然后结合fx= f-x,即可求解满足条件的x, 即当x ≤0时,xx-+11=0 可得x=—1；又f1= f-1,所以当fx=0时,x=±1 3当x ＞0时,根据偶函数性质fx= f-x=)(1)(1x x ---+=xx+-11例6 若fx=e x +ae -x 为偶函数,则fx-1＜ee 12+的解集为A.2,+∞B.0,2C.-∞,2D.-∞,0∪2,+∞考点 函数奇偶性的性质 专题转化思想；综合法；函数的性质及应用 分析及解答根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵fx=e x +ae -x 为偶函数,∴f-x=e -x +ae x = fx= e x +ae -x ,∴a=1, ∴fx=e x +e -x 在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,则由fx-1＜ee 12+=e+e 1, ∴ -1 ＜x-1＜1, 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 例7 函数fx=21xb ax ++是定义在-1,1上的奇函数,且f 21=52,1确定函数fx 的解析式；2证明fx 在-1,1上为增函数；3解不等式f2x-1+ fx ＜0考点 函数奇偶性与单调性的综合 专题函数的性质及应用 分析及解答（1） 因为fx 为-1,1上的奇函数,所以f0=0,可得b=0,由f 21=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以fx= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1,fx 1—fx 2=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1,所以x 1-x 2＜0,1—x 1x 2＞0,所以fx 1—fx 2 ＜0, 得出fx 1 ＜fx 2,即fx 在-1,1上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可：f2x-1+ fx= ＜0,f2x-1 ＜—fx,由于fx 为奇函数,所以f2x-1 ＜f —x,因为fx 在-1,1上为增函数,所以2x-1＜—x 错误!, 因为-1 ＜2x-1＜1错误!,-1 ＜x ＜1错误!,联立错误!错误!错误!得0 ＜ x ＜31,所以解不等式f2x-1+ fx ＜0的解集为0,31 点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理;例8 定义在R 上的奇函数fx 在0,+∞上是增函数, 又f-3=0,则不等式x fx ＜0的解集为 考点 函数单调性的性质 专题综合题；函数的性质及应用分析及解答 易判断fx 在-∞,0上的单调性及fx 图像所过特殊点,作出fx 草图,根据图像可解不等式; 解：∵ fx 在R 上是奇函数,且fx 在0,+∞上是增函数,∴ fx 在-∞,0上也是增函数,由f-3=0,可得- f3=0,即f3=0,由f-0=-f0,得f0=0 作出fx 的草图,如图所示：由图像得：x fx ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴ x fx ＜0的解集为：-3,0∪0,3,故答案为：-3,0∪0,3点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键; 例9 已知fx+1的定义域为-2,3,则f2x+1的定义域为抽象函数定义域求法总结：1函数y=fgx 的定义域是a,b,求fx 的定义域：利用a ＜x ＜b,求得gx 的范围就是fx 的定义域；2函数y=fx 的定义域是a,b,求y=fgx 的定义域：利用a ＜gx ＜b,求得x 的范围就是y=fgx 的定义域;考点 函数定义域极其求法分析及解答 由fx+1的定义域为-2,3,求出 fx 的定义域,再由2x+1在函数fx 的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f2x+1的定义域;解：由fx+1的定义域是-2,3,得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25 ∴ f2x+1的定义域是0,25,故选A 点评 本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数fgx 的定义域是a,b,求函数fx 的定义域,就是求x ∈a,b 内的gx 的值域；给出函数fx 的定义域是a,b,只需由a ＜gx ＜b,求解x 的取值集合即可; 例10 已知函数fx=x 7+ax 5+bx-5,且f-3= 5,则f3=A. -15B. 15 考点 函数的值；奇函数分析及解答 令gx= x 75当时,函数图像如图,由图知：只有当时,函数的图像在x 轴上方,即时,因为函数收偶函数,偶函数的图像关于y 轴对称,所以时,函数的图像在x 轴上方时,只有则不等式的解集为故选D 18、如果函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4行单调递减,那么实数a 的取值范围是 ≦-3 ≧-3 ≦5 ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a,b,总有ba b f a f --)()(>0成立,则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加,后减少 D.函数)(x f 是先减少,后增加解：利用函数单调性定义,在定义域上任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,因为ba b f a f --)()(>0 所以fa-fb<0,所以)(x f 在R 上是增函数;20、对于定义域R 上的函数fx,有下列命题：1若fx 满足f2>f1,则fx 在R 上时减函数；2若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是奇函数；3若函数fx 在区间-∞,0上是减函数,在区间0,+∞也是减函数,则fx在R 上也是减函数；4若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是偶函数；其中正确的是_____________________21、函数fx=x ∣x-2∣,1求作函数Y=fx 的图象；2写出函数fx 的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数不必证明3已知fx=1,求x 的值22、函数Fx 是定义域为R 的偶函数,当x ≧0 时,fx=x2-x,1画出函数fx 的图象不列表；2求函数fx的解析式；3讨论方程fx-k=0的根的情况23、已知fx 的定义域为-2,3,则f2x-1的定义域为A.0,5/2B.-4,4C.-5,5D.-3,724、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧〉-≤++=)0(10)0(63)(2x x x x a x f 且fa=10,则a= 或125、已知函数fx=x7+ax 5+bx-5,则f3=26、若函数fx=4x 2-kx-8在区间5,8上是单调函数,则k 的取值范围是A.-∞,0B.40,64C.- ∞,40∪64,+∞D.64,+ ∞27、已知二次函数fx=x 2+x+aa>0,若fm<0,则fm+1的值为A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关 28、函数fx=∣x 2-2x ∣-m 有两个零点,m 的取值范围__________29、已知函数fx 和gx 均为奇函数,hx=afx+bgx+2,在区间0,+∞有最大值5,那么hx 在区间0,+∞的最小值为________30、对于每个实数x,设fx 取y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出fx 的解析式,求出fx 的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A0,1；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B-1/3,2/3；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C-1/4,1/2.由图像容易看出：1x ＜-1/3时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时fx=-2x;2-1/3≤x ≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的fx=x+1;3x ＞0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的fx=2x+1.所以fx=-2x ；x ＜-1/3,x+1；-1/3≤x ≤0,2x+1.x ＞01考察函数的图像由射线—线段—射线组成的折线可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数fx=x 2+ax+3,1当X ∈R 时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；2当X ∈-2,2时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；3若对一切a ∈-3,3,不等式fx ≥a 恒成立,那么实数x 的取值范围是什么 1fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有△=a 2-43-a ≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2；2当x ∈-2,2时,令gx=x 2+ax+3-a,当x ∈-2,2时,fx ≥a 恒成立,转化为gx min ≥a,分以下三种情况讨论：①当-a/2≤-2,即a ≥4时,gx 在-2,2上是增函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g-2=7-3a,∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解②当-a/2≥-2,即a ≤4时,gx 在-2,2上是递减函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g2=7+a,∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4③当-2<a/2<2时,即-4＜a ＜4时,gx 在-2,2上的最小值为34)2(22+--=a a a g ⇒ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-+-4434a -2a a -4＜a ≤2,解得-4＜a ≤2,综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2；3不等式fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令ha=x-1a+x 2+3,要使ha ≥0在-3,3上恒成立,只需⎩⎨⎧≥≥-0)3(0)3(h h 即⎩⎨⎧≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3。
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高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
下面通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3xy >2 不等价。
【例1】已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (449)A (-(2) 已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a)2+(b+1b)2的最小值。
●不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a (2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。
《章节易错训练题》1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2(D) 0或1或22、已知A = ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2 + tx + 1 = 0 ，若A ∩R * = Φ ，则实数t 集合T = ___。
3、如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是(A) －1≤k ≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1<k ≤0 (D) －1<k<0 4、命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（A ）(4,)+∞ （B ）[)4,+∞ （C ）(,4)-∞- （D ）(],4-∞- 5、若不等式x 2－log a x <0在(0, 12)内恒成立，则实数a 的取值范围是(A) [116,1] (B) (1, + ∞)(C) (116 ,1)(D) (12 ,1)∪(1,2)6、若不等式(－1)n a < 2 + (－1)n + 1n对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是(A) [－2，32 ] (B) (－2，32 ) (C) [－3，32 ] (D) (－3，32 )7、已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足：(1)1f =；当0x <时，()0f x <；对于任意的实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=+。
证明：()f x 为奇函数。
8、已知函数f(x) = 1－2xx + 1，则函数()f x 的单调区间是_____。
9、函数y =log 0. 5(x 2－1) 的单调递增区间是________。
10、已知函数f (x )= ⎩⎨⎧log 2(x+2) x>0xx －1 x ≤0 ， f (x )的反函数f －1(x )=。
11、函数 f (x ) = log 12(x 2 + a x + 2) 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 (A) (－2 2 ,2 2 ) (B) [－2 2 ,2 2 ] (C) (－∞,－22 )∪(2 2 ,+∞) (D) (－∞,－22 )∪[22 ,+∞]12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为 （A ）2（B ）34（C ）23（D ）013、函数y=63422-+++x x x x 的值域是________。
14、函数y = sin x (1 + tan x tan x2)的最小正周期是(A) π2(B) π (C) 2π (D) 315、已知 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当 x ∈ [0,1] 时，f (x ) = 2 x ，则 f(log 1223) =(A)2316(B)1623(C) －1623(D) －231616、已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。
(2004天津)17、已知tan (α－π3)= －3 5则tan α = ；sin α cos α3cos 2α －2sin 2α= 。
18、若 3 sin 2α + 2 sin 2β －2 sin α = 0，则cos 2α + cos 2β 的最小值是 。
19、已知sin θ + cos θ = 15，θ ∈ (0，π)，则cot θ = _______。
20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、2=b 、4π=A ，则∠B =（A ）12π （B ）6π （C ）656ππ或（D ）121112ππ或21、已知a >0 , b>0 , a +b=1，则(a + 1a)2 + (b +1b)2的最小值是_______。
22、已知x ≠ k π (k ∈ Z)，函数y = sin 2x +4sin 2x的最小值是______。
23、求xx y 22cos 8sin 2+=的最小值。
24、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n －1(n ≥2)，则a n = ________。
25、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1 五个实数成等比数列，则 b 2 (a 2－a 1) =(A) －8 (B) 8 (C) －98 (D) 9826、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？27、已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，f(a n )－f(a n －1) = k(a n －a n －1)(n = 2,3,┄)，其中a 为常数，k 为非零常数。
（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）当1||<k 时，求n n a ∞→lim 。
28、不等式m 2－(m 2－3m)i < (m 2－4m + 3)i + 10成立的实数m 的取值集合是________。
29、i 是虚数单位，(－1+i )(2+i )i 3的虚部为（ ）(A) －1(B) －i(C) －3(D) －3i30、求实数m ，使方程021)4(2=++++mi x i m x 至少有一个实根。
31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。
32、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =______。
33、已知 |a |＝1，|b |＝2，若a //b ，求a ·b 。
34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC =a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________。
35、在直二面角 α－AB －β 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为 (A) 45︒ (B) 60︒ (C) 120︒ (D) 60︒ 或 120︒36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小。
37、若方程x 2m+ y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。
38、已知椭圆x 2m+ y 2 = 1的离心率为 32，则 m 的值为 ____ 。
39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1、F 2 组成的三角形的周长为 4 + 2 3 且∠F 1BF 2 =2π3，则椭圆的方程是 。
40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=。
41、 已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程。
42、求与y 轴相切于右侧，并与⊙06:22=-+x y x C 也相切的圆的圆心的轨迹方程。
43、（如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角βα轴－y -等于︒60.已知β内的曲线C '的方程是)0(22>'=p x p y ，求曲线C '在α内的射影的曲线方程。
44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。
图3－2《章节易错训练题》参考答案（注意事项）1、 A(集合元素的确定性)2、{}2t t ->(空集) 3、C(等号) 4、C(等号) 5、A(等号) 6、A(等号)7、 (特殊与一般关系)8、递减区间(－∞，－1)和(－1， +∞)（单调性、单调区间） 9、 [－2 ，－1）（定义域）10、⎩⎨⎧ 2x －2 x >1xx －10≤x <1（漏反函数定义域即原函数值域） 11、D(正确使用△≥0和△<0)12、B(隐含条件) 13、 (－∞,52)∪(52,1)∪(1,+∞) （定义域） 14、C （定义域） 15、D(对数运算)16、（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。