初等数论 §2不定方程

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初等数论第二章3

初等数论
Number Theory
第二章不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系本章所讨论的不定方程，数代数方程，并且限定它的解是整数代数方程，数。本章只讨论几类比较简单的不定方程。定方程。
第三节几类特殊的不定方程
不定方程是一个内容丰富的课题，不定方程是一个内容丰富的课题，许多不定方程的解法有其特殊性。定方程的解法有其特殊性。本节要介绍几类这样的方程，以及几个有普遍性的方法。这样的方程，以及几个有普遍性的方法。
第三节几类特殊的不定方程
由此及式(8)与式得到由此及式与式(9)得到与式
x + y = 24 2 x − xy + y 2 = 67
解这两个联立方程组，解这两个联立方程组，得到所求的解是
x1 = 7 x2 = 9 . 或 y2 = 7 y1 = 9
第三节几类特殊的不定方程
一、因数分析法
任何非零整数的因数个数是有限的，因此，任何非零整数的因数个数是有限的，因此，可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法确定。确定。
第三节几类特殊的不定方程
求方程x 的整数解。例1 求方程 2y + 2x2 − 3y − 7 = 0的整数解。的整数解解原方程即 (x2 − 3)(y + 2) = 1。。因此
第三节几类特殊的不定方程
综合以上，注意到式对于x，，的综合以上，注意到(11)式对于，y，z的式对于对称性，得到方程的个正整数解对称性，得到方程的12个正整数解 (x, y, z) = (2, 4, 20)，(2, 5, 10)，(2, 20, 4)， 20)， 10)， 4)， (2, 10, 5)， (4, 2, 20)，(5, 2, 10)，，，， (20, 2, 4)， (10, 2, 5)， (20, 4, 2)，，，， (10, 5, 2)， (4, 20, 2)， (5, 10, 2)。，，。

初等数论二-夏子厚

注：这就是著名的弗罗贝尼乌斯（Frobenius）问题。这时n=2的情况，在19世纪，由西勒维斯特（Sylvester）证明了这个定理。
如：5x+6y=C无非负整数解的最大整数C=?
第一节二元一次不定方程
• 思考与练习2.1 • 1、解下列不定方程：（1）15x+25y=100 （2）306x-360y=630 • 2、把100分成两份，使一份可被7整除， • 一份可被11整除。 • 3、设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大
，tZ，于是由x ，但区间的长度是
0，y 0 N ，故此区来自abab
间内的整数个数为[ N ]或[ N ] 1。 ab ab
第一节二元一次不定方程
例4：证明：二元一次不定方程 ax by =N
(a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab a b
时有非负整数解，但是N= ab a b时则不然。（不再给予证明）
于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这种形式。
第二节多元一次不定方程
• 设a1, a2, , an是非零整数，N是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程
•
a1x1 a2x2 anxn = N (1)
第一节二元一次不定方程
•
(3)
写出方程(1)的解
x y
x0 y0
b1t a1t
，t
Z
，
其中(a, b)c1
c，a1
a (a, b)
，b1
b (a, b)
。
• 例1：求7x+4y=100的一切整数解
• 解：因（7，4）=1，从而原方程有解。其特解为x0 =0，y0 =25。

初等数论不定方程

充分性：用数学归纳法 (n=2）时已证
假设对n-1时条件是充分的，令
d2 (a1, a2 ), (d2 , a3,an ) d | c
则方程 d2t2 a3x3 an xn c 有解，设解为
t2, , x3, xn, 又a1x1 a2 x2 d2t2,有解，
设为x1, , x2, ,这样 x1, , x2, xn, 就是方程的解。
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产
生了矛盾，∴ 2 无理数。
几个特殊的不定方程的初等解法
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
令 25 4 y1 33

x1有 33 x1
4 y1

25
故y1

6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4

y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
y 8 107 t, x 3 37t,t Z
§2 多元一次不定方程
2.1定义：形如 a1x1 a2 x2 an xn c(n 2)
且
(
z
2
y
,
z
2
y
)
1
因为设
(
z
2
y
,
z
2
y

初等数论不定方程的解法

初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。

在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。

不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。

本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。

首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。

一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。

解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。

我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。

我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。

我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。

2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。

我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。

扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。

我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。

3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。

这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。

接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。

二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。

对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。

下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。

如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。

初等数论第二章1

(1)
是n元一次不定方程。
若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称 (x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，或说x1 = x10， x2 = x20，，xn = xn0是方程(1)的解。
第一节一次不定方程
定理1 方程(1)有解的充要条件是
(a1, a2, , an)b。
初等数论
Number Theory
第二章不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系数代数方程，并且限定它的解是整数。本章只讨论几类比较简单的不定方程。
第一节一次不定方程
定义1 设a1, a2, , an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程
a1x1 a2x2 anxn = b
7。
11
习题一
4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100 支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程 ax by = n，a > 0， b > 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为
[ n ]或[ n ] 1。 ab ab
因此，若式(2)成立，则
( ) b b
b
d
y1 , d
y2 ,
, d
yn
就是方程(1)的解，充分性得证。证毕。
第一节一次不定方程
定理2 设a，b，c是整数，方程
ax by = c
(3)
若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
x x0 b1t
， tZ
(4)
y y0 a1t
的形式，其中
习题一
6. 设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, , ab a b中恰有 (a 1)(b 1) 个整数可以表示

初等数论§2不定方程

（1）方程的一般解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t 0,1,2, 在a个单位长度内，y一定有整数解。所以，一定存在某个 t Z ，使得
0 y y0 at a 1
对此t，代入原方程，得 x N b( y0 at)

N b(a 1)
（1）的解为
x

y

t
2v ,v Z.
v
(3)
（2）的解为
t z Biblioteka 1 3u 2u,
u Z. (4) x 1 3u 2v
把(4)代入(3),消去t,得

y

v
,u,v Z .
z 2 u
注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.
再令u x 11z，则方程可化为 7u 4z 1 又令 t 2u z，则方程可化为 4t u 1 u 4t 1.
逐步往回代入，可得 z t 2u 2 7t;
x 23 81t; y 25 88t;t Z
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§2.2 多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定
定理1 方程 a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1) 有整数解 (a1,a2 , ,an ) N . 证明：( )，记(a1,a2 , ,an ) d . 〔1〕有解 d a1 , ,d an d N .
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定理1 方程
a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1)

数论中的同余方程与不定方程

数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。

本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。

一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。

1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。

同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。

解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。

1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。

1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。

- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。

这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。

- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。

然后我们可以通过简化后的方程来求解。

二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。

2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。

不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。

我们需要找到满足该关系的整数解x和y。

2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。

- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。

2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。

《初等数论》第三版习题解答

《初等数论》第三版习题解答第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则q1a1q2a2证明：qnan是m得倍数．a1,a2,an都是m的倍数。

pn使a1p1m,a2p2m,存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,anpnm,qn是任意n个整数qnanq1a1q2a2q1p1mq2p2m(p1q1q2p2即q1a1q2a2qnpnmqnpn)mqnan是m的整数2．证明3|n(n1)(2n1)证明n(n1)(2n1)nn(1n)(2nn(n1)(n2)n(1n)n(又n(n1)(n2)，(n1)n(n2)是连续的三个整数故3|n(n1)(n2),3|(n1)n(n1)3|n(n1)(n2)(n1)n(n1)从而可知3|n(n1)(2n1)3．若a某0by0是形如a某by（某，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则(a某0by0)|(a某by)．1/77证：a,b不全为0在整数集合Sa某by|某,yZ中存在正整数，因而有形如a某by的最小整数a某0by0某,yZ，由带余除法有a某by(a某0by0)qr,0ra某0by0则r(某某0q)a(yy0q)bS，由a某0by0是S中的最小整数知r0a某0by0|a某bya某0by0|a某by（某,y为任意整数）a某0by0|a,a某0by0|ba某0by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b(a,b)|a某0by0故a某0by0(a,b) 4．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数，t使得abt,|t||b|2成立，并且当b是奇数时，，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？证：作序列即存在一个整数q，使2222若b0则令,tabaq2bqb，则同样有t22(ii)当q为奇数时，若b0则令q1q1,tabab，则有222/77下证唯一性当b为奇数时，设abtb1t1则tt1b(1)b而tbb,t1tt1tt1b矛盾故1,tt122b为整数2当b为偶数时，,t不唯一，举例如下：此时3bbbbbb1b2(),t1,t122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法abq1r1,br1q2r2,rnqn1,0rn1rnrn1(a,b)rnd|abq1r1，d|br1q2r2，┄,d|rn2rn1qnrn(a,b),即d是(a,b)的因数。

不定方程公式

不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。

先来说说什么是不定方程。

不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。

我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。

假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。

通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。

那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。

比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。

像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。

还有一种常见的方法是同余法。

比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。

然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。

在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。

虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。

就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。

比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。

不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。

我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。

我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。

初等数论期末复习不定方程精选例题

第二章不定方程例题分析例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。

解：注意到z 的系数最小，把原方程化为z =)()(12361102261101561++-++--=+--y x y x y x 令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=∴x t x t x y 令t 2=z x ∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2∴原不定方程解为⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121t t z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足222y x =即222b a =，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则21212b a =,这里12a b <这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1>a 2>b 2>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N =3m ±1(m 为整数)，∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x 2+y 2=328的正整数解解：∵328为偶数，∴x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u ,x -y =2v ，代入原方程即为u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有21121121212282v v u u v u v u =-=+=+,,,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0<u 2<6u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。

初等数论第二章2

况不能发生。况不能发生。
第二节方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时由式及式(12), 有及式 / ，此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ，， (13)
利用引理可知，存在正整数，利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v，，因此，存在整数，，因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解的解。 ( , , 也是方程的解。 ) 2 d d d
因此，的最小性，因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。，。显然x 有不同的奇偶性.不妨设不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数，，由定理，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0，，，其中a与b有不同的奇偶性，并且其中与有不同的奇偶性，有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ，下面按照a与的奇偶性考察两种情况。的奇偶性，下面按照与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的式 (1)，式 (4)与式是矛盾的，因此，结论 ⅲ) ，与式是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。成立。证毕。

初等数论第二章：不定方程

§2.2 解二元一次不定方程
• 对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研究,最理想的结果是能像一元二次方程那样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式. • 这个公式是能够找到的,但它是建立在方程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个整数解就成为求出它一切整数解的关键.
(2)解不等式组 x x0 bt 0 x x0 bt 0 或 y y0 at 0 y y0 at 0
(3)根据t的取值范围,求出t的相应整数值,得到方程的非负整数(或正整数)解.
例2.6求不定方程3x+4y=23的非负整数解..
第二章
不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有
一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘
证：首先证明(2.3)是方程(2.1)的解.因为x0，y0 , a, b, t都是整数, 所以x0 bt , y0 at也是整数.把x x0 bt , y y0 at 代入(2.1)左边, 得到ax by a x0 bt b y0 at ax0 by0 c 从而x0 bt , y0 at是方程(2.1)的解.
x 4 y 1
可以直接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小余数。下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，它的非负解和正解问题。由通解公式知这可归结为去确定参数t的值，使x,y均为非负或正。

不定方程的解法

基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。

今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。

他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。

丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。

初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]

初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。

其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。

定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

不定方程

不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。