初等数论 §2不定方程
初等数论第二章3
初等数论
Number Theory
第二章 不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系 本章所讨论的不定方程， 数代数方程，并且限定它的解是整 数代数方程， 数。本章只讨论几类比较简单的不 定方程。 定方程。
第三节 几类特殊的不定方程
不定方程是一个内容丰富的课题， 不定方程是一个内容丰富的课题 ， 许多不 定方程的解法有其特殊性。 定方程的解法有其特殊性 。 本节要介绍几类 这样的方程，以及几个有普遍性的方法。 这样的方程，以及几个有普遍性的方法。
第三节 几类特殊的不定方程
由此及式(8)与式 得到 由此及式 与式(9)得到 与式
x + y = 24 2 x − xy + y 2 = 67
解这两个联立方程组， 解这两个联立方程组，得到所求的解是
x1 = 7 x2 = 9 . 或 y2 = 7 y1 = 9
第三节 几类特殊的不定方程
一、因数分析法
任何非零整数的因数个数是有限的， 因此， 任何非零整数的因数个数是有限的 ， 因此 ， 可以对不定方程的解在有限范围内用枚举法 确定。 确定。
第三节 几类特殊的不定方程
求方程x 的整数解。 例1 求方程 2y + 2x2 − 3y − 7 = 0的整数解。 的整数解 解 原方程即 (x2 − 3)(y + 2) = 1。 。 因此
第三节 几类特殊的不定方程
综合以上，注意到 式对于x， ， 的 综合以上，注意到(11)式对于 ，y，z的 式对于 对称性，得到方程的 个正整数解 对称性，得到方程的12个正整数解 (x, y, z) = (2, 4, 20)，(2, 5, 10)，(2, 20, 4)， 20)， 10)， 4)， (2, 10, 5)， (4, 2, 20)，(5, 2, 10)， ， ， ， (20, 2, 4)， (10, 2, 5)， (20, 4, 2)， ， ， ， (10, 5, 2)， (4, 20, 2)， (5, 10, 2)。 ， ， 。
初等数论二-夏子厚
如：5x+6y=C无非负整数解的最大整数C=?
第一节 二元一次不定方程
• 思考与练习2.1 • 1、解下列不定方程： （1）15x+25y=100 （2）306x-360y=630 • 2、把100分成两份，使一份可被7整除， • 一份可被11整除。 • 3、设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大
，tZ，于是由x ，但区间的长度是
0，y 0 N ，故此区来自abab
间内的整数个数为[ N ]或[ N ] 1。 ab ab
第一节 二元一次不定方程
例4：证明：二元一次不定方程 ax by =N
(a, b) = 1，a＞1，b＞1,当N＞ab a b
时有非负整数解，但是N= ab a b时则 不然。（不再给予证明）
于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这种形式。
第二节 多元一次不定方程
• 设a1, a2, , an是非零整数，N是整数，称 关于未知数x1, x2, , xn的方程
•
a1x1 a2x2 anxn = N (1)
第一节 二元一次不定方程
•
(3)
写出方程(1)的解
x y
x0 y0
b1t a1t
，t
Z
，
其中(a, b)c1
c，a1
a (a, b)
，b1
b (a, b)
。
• 例1：求7x+4y=100的一切整数解
• 解：因（7，4）=1，从而原方程有解。 其特解为x0 =0，y0 =25。
初等数论不定方程
充分性：用数学归纳法 (n=2）时已证
假设对n-1时条件是充分的，令
d2 (a1, a2 ), (d2 , a3,an ) d | c
则方程 d2t2 a3x3 an xn c 有解，设解为
t2, , x3, xn, 又a1x1 a2 x2 d2t2,有解，
设为x1, , x2, ,这样 x1, , x2, xn, 就是方程的解。
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产
生了矛盾，∴ 2 无理数。
几个特殊的不定方程的初等解法
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
令 25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
y 8 107 t, x 3 37t,t Z
§2 多元一次不定方程
2.1定义：形如 a1x1 a2 x2 an xn c(n 2)
且
(
z
2
y
,
z
2
y
)
1
因为设
(
z
2
y
,
z
2
y
初等数论不定方程的解法
初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。
在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。
不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。
本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。
首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。
一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。
我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。
我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。
我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。
2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。
我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。
扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。
我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。
3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。
这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。
接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。
二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。
对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。
下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。
如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。
初等数论第二章1
(1)
是n元一次不定方程。
若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称 (x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，或说x1 = x10， x2 = x20， ，xn = xn0是方程(1)的解。
第一节一次不定方程
定理1 方程(1)有解的充要条件是
(a1, a2, , an)b。
初等数论
Number Theory
第二章 不定方程
• 本章所讨论的不定方程，是指整系 数代数方程，并且限定它的解是整 数。本章只讨论几类比较简单的不 定方程。
第一节一次不定方程
定义1 设a1, a2, , an是非零整数，b是整数， 称关于未知数x1, x2, , xn的方程
a1x1 a2x2 anxn = b
7。
11
习题一
4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100 支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到 相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量 的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程 ax by = n，a > 0， b > 0，(a, b) = 1的非负整数解的个数为
[ n ]或[ n ] 1。 ab ab
因此，若式(2)成立，则
( ) b b
b
d
y1 , d
y2 ,
, d
yn
就是方程(1)的解，充分性得证。证毕。
第一节一次不定方程
定理2 设a，b，c是整数，方程
ax by = c
(3)
若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
x x0 b1t
， tZ
(4)
y y0 a1t
的形式，其中
习题一
6. 设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, , ab a b中恰有 (a 1)(b 1) 个整数可以表示
初等数论§2不定方程
（1）方程的一般解可以表示为 x x0 bt, y y0 at,t 0,1,2, 在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z ，使得
0 y y0 at a 1
对此t，代入原方程，得 x N b( y0 at)
N b(a 1)
（1）的解为
x
y
t
2v ,v Z.
v
(3)
（2）的解为
t z Biblioteka 1 3u 2u,
u Z. (4) x 1 3u 2v
把(4)代入(3),消去t,得
y
v
,u,v Z .
z 2 u
注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.
再令u x 11z， 则方程可化为 7u 4z 1 又令 t 2u z， 则方程可化为 4t u 1 u 4t 1.
逐步往回代入，可得 z t 2u 2 7t;
x 23 81t; y 25 88t;t Z
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§2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定
定理1 方程 a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1) 有整数解 (a1,a2 , ,an ) N . 证明：( )，记(a1,a2 , ,an ) d . 〔1〕有解 d a1 , ,d an d N .
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定理1 方程
a1 x1 a2 x2 an xn N , a1, ,an , N Z (1)
数论中的同余方程与不定方程
数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。
本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。
1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。
同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。
解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。
1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。
1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。
- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。
这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。
- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。
然后我们可以通过简化后的方程来求解。
二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。
2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。
不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。
我们需要找到满足该关系的整数解x和y。
2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。
- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。
2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。
《初等数论》第三版习题解答
《初等数论》第三版习题解答第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则q1a1q2a2证明：qnan是m得倍数．a1,a2,an都是m的倍数。
pn使a1p1m,a2p2m,存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,anpnm,qn是任意n个整数qnanq1a1q2a2q1p1mq2p2m(p1q1q2p2即q1a1q2a2qnpnmqnpn)mqnan是m的整数2．证明3|n(n1)(2n1)证明n(n1)(2n1)nn(1n)(2nn(n1)(n2)n(1n)n(又n(n1)(n2)，(n1)n(n2)是连续的三个整数故3|n(n1)(n2),3|(n1)n(n1)3|n(n1)(n2)(n1)n(n1)从而可知3|n(n1)(2n1)3．若a某0by0是形如a某by（某，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则(a某0by0)|(a某by)．1/77证：a,b不全为0在整数集合Sa某by|某,yZ中存在正整数，因而有形如a某by的最小整数a某0by0某,yZ，由带余除法有a某by(a某0by0)qr,0ra某0by0则r(某某0q)a(yy0q)bS，由a某0by0是S中的最小整数知r0a某0by0|a某bya某0by0|a某by（某,y为任意整数）a某0by0|a,a某0by0|ba某0by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b(a,b)|a某0by0故a某0by0(a,b) 4．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数，t使得abt,|t||b|2成立，并且当b是奇数时，，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？证：作序列即存在一个整数q，使2222若b0则令,tabaq2bqb，则同样有t22(ii)当q为奇数时，若b0则令q1q1,tabab，则有222/77下证唯一性当b为奇数时，设abtb1t1则tt1b(1)b而tbb,t1tt1tt1b矛盾故1,tt122b为整数2当b为偶数时，,t不唯一，举例如下：此时3bbbbbb1b2(),t1,t122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法abq1r1,br1q2r2,rnqn1,0rn1rnrn1(a,b)rnd|abq1r1，d|br1q2r2，┄,d|rn2rn1qnrn(a,b),即d是(a,b)的因数。
不定方程公式
不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。
先来说说什么是不定方程。
不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。
我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。
假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。
通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。
那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。
比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。
像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。
还有一种常见的方法是同余法。
比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。
然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。
在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。
虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。
就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。
比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。
不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。
我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。
我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。
初等数论 期末复习 不定方程精选例题
第二章不定方程例题分析例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。
解：注意到z 的系数最小，把原方程化为z =)()(12361102261101561++-++--=+--y x y x y x 令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=∴x t x t x y 令t 2=z x ∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2∴原不定方程解为⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121t t z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足222y x =即222b a =，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则21212b a =,这里12a b <这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1>a 2>b 2>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。
例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。
证：设N =3m ±1(m 为整数)，∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。
例4：求x 2+y 2=328的正整数解解：∵328为偶数，∴x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u ,x -y =2v ，代入原方程即为u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有21121121212282v v u u v u v u =-=+=+,,,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0<u 2<6u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。
初等数论第二章2
况不能发生。 况不能发生。
第二节 方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时 由式 及式(12), 有 及式 / ， 此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ， ， (13)
利用引理可知，存在正整数 ， 利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v， ， 因此，存在整数 ， ， 因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解 的解。 ( , , 也是方程 的解。 ) 2 d d d
因此， 的最小性， 因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。 ， 。 显然x 有不同的奇偶性.不妨设 不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性 不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节 方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数 ， ， 由定理 ，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0， ， ， 其中a与b有不同的奇偶性，并且 其中 与 有不同的奇偶性， 有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ， 下面按照a与 的奇偶性 考察两种情况。 的奇偶性， 下面按照 与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的 式 (1)，式 (4)与式 是矛盾的 ， 因此 ， 结论 ⅲ) ， 与式 是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。 成立。证毕。
初等数论第二章：不定方程
§2.2 解二元一次不定方程
• 对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研 究,最理想的结果是能像一元二次方程那 样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式. • 这个公式是能够找到的,但它是建立在方 程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的 基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个 整数解就成为求出它一切整数解的关键.
(2)解不等式组 x x0 bt 0 x x0 bt 0 或 y y0 at 0 y y0 at 0
(3)根据t的取值范围,求出t的相应整数值,得到 方程的非负整数(或正整数)解.
例2.6求不定方程3x+4y=23的非负整数解..
第二章
不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有
一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。 是数论中 最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就 开始研究不定方程， 因此常称不定方程为丢番图方程。 中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共 井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘
证：首先证明(2.3)是方程(2.1)的解.因为x0，y0 , a, b, t都是整数, 所以x0 bt , y0 at也是整数.把x x0 bt , y y0 at 代入(2.1)左边, 得到ax by a x0 bt b y0 at ax0 by0 c 从而x0 bt , y0 at是方程(2.1)的解.
x 4 y 1
可以直接解出。 再依次反推上去，就得到原方程的通解。 为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小 余数。 下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时， 它的非负解和正解问题。 由通解公式知这可归结为去确 定参数t的值，使x,y均为非负或正。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]
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初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。
其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。
定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
不定方程
不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
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即为方程〔1〕的解。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c , (a , b ) 1 (3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 a s b t 1 ,
又 令 t 2 u z，
逐步往回代入，可得 z t 2 u 2 7 t ;
x 23 81t; y 25 88 t; t Z
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习题讲解：
P3 1 3 . 证 明 ： 方 程 a x b y N , a 0 , b 0 , ( a , b ) 1
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
代数运算，观察法
例5 求
107 x 37 y 25
的一切整数解。
25 4 x y ' 1 4
解：y 令y'
25 107 x
3 x
37 25 4 x 37
x
37 3 7 y ' 2 5 4
（2）
注 ： 如 果 ( a , b ) 1 , 则 (1) 的 解 为 x x 0 b t , y y 0 a t .
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定理1的证明：
ax by c
(1)
证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。
设 x ', y ' 是 (1)的 任 一 解 ， 又 x 0 , y 0 是 (1)的 解 . 所 以 有 a x ' b y ' a x 0 b y 0 .
9 y ' 6
取 y ' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解 x 0 3 , y 0 8 从而所求的一切整数解为
x 3 37 t , y 8 107t , t Z
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法 例6 求
有 整 数 解 ( a 1 , a 2 , , a n ) N .
(1)
( ) 当 n 2时 ， 结 论 显 然 成 立 .
假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。
令 d 2 ( a 1 , a 2 ), 则 ( d 2 , a 3 , , a n ) d , 且 d N .
假设存在非负整数解，则
从 而 m , n 1，
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x 1, y 1 1，
代入〔*〕，显然不成立。
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§2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定 定理1 方程
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n N , a 1 , , a n , N Z
消去z得到方程
7 x 4 y 100
这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。
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小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④
a 1 ( x ' x 0 ) b1 ( y ' y 0 ) ( a 1 , b1 ) 1
（* ）
a 1 ( y ' y 0 ) t Z , 使 得 y ' y 0＝ a 1 t，
即 y ' y0 + a1t
代 入（ * ） ， 得 x ' x 0 b1 t .
第二章
不定方程
§2.1 二元一次不定方程
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一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”
分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下：
x y z 100 1 5 x 3 y z 100 3
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二元一次不定方程的一般形式为
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
例 1 求 方 程 7 x 4 y 100 所 有 正 整 数 解 .
y
100 7 x 4
25
7x 4
x 4 , y 1 8; x 8 , y 1 1; x 12, y 4.
思 考 ： N a b a b呢 ？
（1）方程的一般解可以表示为
x x 0 b t , y y 0 a t , t 0 , 1, 2 ,
在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 t Z
0 y y0 at a 1
，使得
N b( y0 at ) a
有 整 数 解 ( a 1 , a 2 , , a n ) N .
证 明 ： ( ) ， 记 ( a 1 , a 2 , , a n ) d .
(1)
〔1〕有解 d a 1 , , d a n d N .
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定理1 方程
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n N , a 1 , , a n , N Z
176 x 162 y 2
的一切整数解。
解：原方程可化为 8 8 x 8 1 y 1
令 x y z， 则方程可化为 7 x 8 1 z 1 .
再 令 u x 1 1 z，
则方程可化为 7 u 4 z 1 则方程可化为 4 t u 1 u 4 t 1 .
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x 0 , y y 0 则〔1〕式的一切解可以表示为
x x 0 b1 t , y y 0 a 1 t , 其 中 ，1 a a (a , b ) ,b b (a , b ) , t 0 , 1, 2，
1
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对此t，代入原方程，得 x
N b ( a 1) a
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a b a b b ( a 1) a
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4 .证 明 ： 方 程 a x b y N , a 1, b 1, ( a , b ) 1
当 N a b a b时 有 非 负 整 数 解 ； N a b a b时 则 不 然
ax by c (1)
定理2
有整数解 ( a , b ) c .
若 d c ， 则 c c1d , c1 Z .
显 然 ； ， 记 d (a , b ) d 可 以 表 示 为 as bt .
所 以 c c1 ( a s b t )
取 x c 1 s , y c 1 t，
思 考 ： N a b a b呢 ？ ( 2 )当 N a b a b 时 ，
代入原方程，有
a ( x 1) b ( y 1) a b (* )
又 ( a , b ) 1，
所 以 a ( y 1) , b ( x 1) ， 即 y 1 m a , x 1 n b .
( 4 )6 x 8 y 1 .
x x 0 4 t , y y 0 3 t , t 0 , 1, 2 ,
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说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，
解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？
例如 6 x 8 y 1.
所 以 方 程 d 2t2 a3 x3 an xn N 有 解 ，
令其一整数解为 t 2 ', x 3 ', , x n '
N N 的非负整数解的个数为 或 ab 1. ab
设
x 0 , y是原方程的一个非负整数解， 0 x x0 bt , y y0 at , t Z
则其一切整数解可以表示为
由 x 0, y 0
ax0 N ab
t
ax0 ab
则 x 0 cs , y 0 ct .
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例3 求方程 7 x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
7 4 1 3 4 3 1 1 3 7 41 1 4 31
7 ( 1) 4 2 1 .
所 以 ， 4 ( 7 4 1) 1, 即 1
从 而 ， 0 1; y 0 2 . x
注：若原方程是 7 x 4 y 1 ，则化为 7 x 4 ( y ) 1 ，
原方程有一个特解 x 1, y 2 .