世界数学史上的十个著名不等式
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数学史上的十个著名不等式
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这 片天地装点得更加丰富多彩•下面择要介绍一些著名的不等式.
一、平均不等式(均值不等式)
当这：个实数非负时叫做这-•个非负数的几何平均数.
当这：个实数均为正数时， • • •叫做这；个正数的调和平均数. 设'，—，•••，‘■•为'•个正数时，对如下的平均不等式: =—二，当且仅 当八 —J 时等号成立.
平均不等式」；是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的 最大值和最小值即是其应用之一.
设是'•个正的变数，贝U
(1)当积是定值时，和I 】1 ■有最小值，且
「是定值时，积有最大值，且
设"，
-是」个实数， ■ 叫做这」个实数的算术平均数
.
两者都是当且仅当：个变数彼此相等时，即J时，才能取得最大值或最小值.
a i + a2 > rr-
在」；中，当「时，分别有；’,
—①=»•• = a =—平均不等式」二经常用到的几个特例是（下面出现的-时等号成立；
（口］ + 十 * ・ * + + —卡.* * + 2 輕'
（3）■■- ，当且仅当「卩〜…"<■时等号
成立；
^ + -1 > 2 _
（4），当且仅当'「时等号成立.
二、柯西不等式（柯西一许瓦兹不等式或柯西一布尼雅可夫斯基不等
式）
对任意两组实数'，_，•••，「；；，•••，：：，有
（◎禹+码為+…£ +昇+…*<）•（獰+衬+…+盯）其中等号当且仅当丑.鱼生
啓切%时成立.
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ''都表示实数）是：
1磧席+…+盯=1贝*禹乜迟+-" + t3Al-1
(1)
(2) + 金尹了+a3cJ L£ E] + +
（3）■-：「” -「・■-
柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.
二、闵可夫斯基不等式
设'，‘ ,•••,「；；，•••，：：是两组正数，；！…」，则
[£他+駢]”空｛严+（£們・
- 一.一（’，：.）
.■-I .■-：.■-! （.-. 1）
当且仅当「宀'时等号成立.
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当'…-时得平
面上的三角形不等式：
A
右图给出了对上式的一个直观理解.
若记厂心畧，则上式为