世界数学史上的十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式
在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这 片天地装点得更加丰富多彩•下面择要介绍一些著名的不等式.
一、平均不等式(均值不等式)
当这：个实数非负时叫做这-•个非负数的几何平均数.
当这：个实数均为正数时， • • •叫做这；个正数的调和平均数. 设'，—，•••，‘■•为'•个正数时，对如下的平均不等式: =—二，当且仅 当八 —J 时等号成立.
平均不等式」；是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的 最大值和最小值即是其应用之一.
设是'•个正的变数，贝U
(1)当积是定值时，和I 】1 ■有最小值，且
「是定值时，积有最大值，且
设"，
-是」个实数， ■ 叫做这」个实数的算术平均数
.
两者都是当且仅当：个变数彼此相等时，即J时，才能取得最大值或最小值.
a i + a2 > rr-
在」；中，当「时，分别有；’,
—①=»•• = a =—平均不等式」二经常用到的几个特例是（下面出现的-时等号成立；
（口］ + 十 * ・ * + + —卡.* * + 2 輕'
（3）■■- ，当且仅当「卩〜…"<■时等号
成立；
^ + -1 > 2 _
（4），当且仅当'「时等号成立.
二、柯西不等式（柯西一许瓦兹不等式或柯西一布尼雅可夫斯基不等
式）
对任意两组实数'，_，•••，「；；，•••，：：，有
（◎禹+码為+…£ +昇+…*<）•（獰+衬+…+盯）其中等号当且仅当丑.鱼生
啓切%时成立.
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ''都表示实数）是：
1磧席+…+盯=1贝*禹乜迟+-" + t3Al-1
(1)
(2) + 金尹了+a3cJ L£ E] + +
（3）■-：「” -「・■-
柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.
二、闵可夫斯基不等式
设'，‘ ,•••,「；；，•••，：：是两组正数，；！…」，则
[£他+駢]”空｛严+（£們・
- 一.一（’，：.）
.■-I .■-：.■-! （.-. 1）
当且仅当「宀'时等号成立.
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当'…-时得平
面上的三角形不等式：
A
右图给出了对上式的一个直观理解.
若记厂心畧，则上式为
a^b<a + H
四、贝努利不等式
（1）设 --- ”■' ,且同号，则（1十帀）（1+花）…（｝+耳）〉1十吗
（2）设〔，则（i）当〔m 时，有1■ ■ r - ■ ;（n）当：「或
1•时，有i ，上两式当且仅当：|时等号成立.
不等式（1）的一个重要特例是|“ -腸（'—“—）. 五、赫尔德不等式
已知；•；r ■■■ ）是•，个正实数，宀」，则
+ +…吗＜（口】+心+…扌务产©十&厂…+耳尸
上式中若令「:，"，二'，则此赫尔德不等式即为柯西不等式.
六、契比雪夫不等式
玄…■金和％•昭…殂则
—(ah -^ab + -■ • + ab) 2」- ------- 」——
(2)若” •.…二■、' ] "1 ■'■ ■■ ■■ ■ ■ ■：则
詬”必7+呦J*勺十…叫
F面给出一个，：时的契比雪夫不等式的直观理解.
如图，矩形OPAQK ' 「，匸，显然
阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的
面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即
知）•于是有
（曲+也）（囱十右打 < 维角+色為）也即
七、排序不等式
设有两组数'，“，…，一；-，•，••;:满足：：「-…-亠二-二-' -■■■
贝q有拆夜+的占皆1 +…+耳外冬轉如+心如"・・+皱码£%血卡砌妇+…+爲A，式中的
,二…；,是1,2,…；的任意一个排列，式中的等号当且仅当—---------------- •或「厂…：时成立.
以上排序不等式也可简记为：反序和二乱序和二同序和
这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解.
八、含有绝对值的不等式
':为复数，则I ' ’，左边的等号仅当’’的幅角差为『时成立，右边的等号仅当一…的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，
其一般形式是
同+①+…+叫卜|內卜忆|+…斗W
也可记为ml j-1
绝对值不等式在实数的条件下用得较多
九、琴生不等式
设’「是（-：）内的凸函数，贝U对于（-：）内任意的几个实数有
/( _= --------- ) ■ -[f(X1) */(花)十…十了(耳)]等号当且仅当、时取得.
琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。

利用琴生不等式
我们可以得到一系列不等式，比如“幕平均不等式”，“加权的琴生不等式”等
也可记为ml j-1
等.
十、艾尔多斯一莫迪尔不等式
设p为hABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD PE, PF,则
PA + PB^PC> 2（FD+ FE + FF）
当且仅当二盘'为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号.
这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式.
如果以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们已
变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具.。